Song khi giải các bài toán này học sinh còn gặp nhiều lúng túng, mơ hồ và sai lầm; không tìm ra hướng giải quyết và thường bị nhầm lẫn từ dạng này sang dạng khác; học sinh giải toán thiế
Trang 1ĐỀ TÀI:
RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG SUY LUẬN- GIẢI TOÁN TÌM TỈ SỐ, TÌM PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ.
1 Lý do:
Kể từ năm học 1995 – 1996 các vấn đề phân số, tỉ số đã được chính thức đưa vào chương trình Toán ở bậc Tiểu học và trở thành một chủ đề quan trọng trong chương trình toán lớp 4 và lớp 5 Trong đó dạng toán có liên quan đến “ Tìm tỉ số, Tìm phân số của một số” chiếm một số lượng đáng kể trong các bài toán có lời văn Loại toán này có nhiều ứng dụng trong thực tế Song khi giải các bài toán này học sinh còn gặp nhiều lúng túng, mơ hồ và sai lầm; không tìm
ra hướng giải quyết và thường bị nhầm lẫn từ dạng này sang dạng khác; học sinh giải toán thiếu suy luận, không mang tính toán học, thiếu mạch lạc, làm cho việc giải toán trở nên phức tạp
Với tư cách là giáo viên dạy học ở lớp 4, 5 và bồi dưỡng học sinh giỏi
của trường nhiều năm Tôi chọn nghiên cứu “ Rèn khả năng suy luận -giải
toán Tìm tỉ số, Tìm phân số của một số” nhằm rèn khả năng suy luận cho học
sinh
2 Nhiệm vụ:
Trong khuôn khổ của đề tài này, nhiệm vụ chính là giúp cho học sinh sử dụng tốt hơn khái niệm về phân số, giải thành thạo các bài toán có liên quan đến phân số, khắc phục những sai lầm của học sinh Đồng thời cũng nêu lên một số thủ thuật giải toán theo kinh nghiệm của bản thân trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và phương pháp giải các bài toán ở dạng nâng cao
3 Phương pháp tiến hành:
- Sử dụng phương pháp thống kê, mô tả là chủ yếu
- Tiến hành kiểm tra việc nắm khái niệm, giải toán của học sinh để biết
sự nhầm lẫn, thiếu suy luận, qua đó phân loại, phát hiện học sinh có năng khiếu
về toán để bồi dưỡng
- Hướng dẫn học sinh làm các bài toán có lời văn có liên quan đến phân số
- So sánh thủ thuật giải các bài toán rút ra kết luận cần ghi nhớ ( dựa vào kinh nghiệm của bản thân )
Trang 2- Việc giúp cho học sinh giải được nhiều bài toán trở nên mạch lạc, mang tính toán học có tác dụng không nhỏ đối với việc rèn khả năng suy luận cho học sinh
4 Cơ sở và thời gian tiến hành:
Đề tài này được rút ra trên cơ sở đúc rút kinh nghiệm của nhiều năm dạy lớp năm và kết quả đã đạt được của từng năm Đề tài được thực hiện ở lớp khoảng 5 năm trở lại đây
A RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN CÓ
LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ – TỈ SỐ CHO HỌC SINH.
Toán về phân số là một chủ đề quan trọng trong chương trình Vì thế giải thành thạo các bài toán về phân số là yêu cầu đối với tất cả các em học sinh ở cuối bậc tiểu học Thế nhưng, thực tế giảng dạy ở lớp 5 của trường Tiểu học Ân Hữu trong nhiều năm, tôi thấy học sinh thường hay giải toán một cách máy móc, phương pháp không rõ ràng, hay nhầm lẫn từ dạng này sang dạng khác
Cụ thể ở các dạng toán sau:
I Dạng thứ nhất: Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của chúng.
1 Mô tả: Ở dạng toán này học sinh thường nhầm lẫn với dạng toán khác.
Ví dụ 1 : Một mảnh đất chữ nhật có tổng độ dài chiều dài và chiều rộng là
70 m Biết rằng chiều rộng bằng
3
2
chiều dài Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật đó?
2 Thực trạng:
Những sai lầm thường gặp là:
- Một số học sinh không xác định được tỉ số, không biết
3
2
là tỉ số giữa chiều rộng với chiều dài
- Học sinh cứ xem các tổng đã cho là một số nên nhầm tìm số kia lấy tổng nhân cho tỷ số đã cho
- Học sinh thường tìm chiều dài: 70 x
3
2
- Học sinh nhầm với dạng toán tìm phân số của một số Đó là sai lầm tôi gặp rất nhiều ở học sinh khi giải các bài toán trên Cụ thể:
Tổng số học sinh Số học sinh giảiđúng Số hoc sinh sailầm Kết quả sau áp dụngphương pháp này
Trang 33 Giải pháp khắc phục:
Để khắc phục sai lầm trên, để học sinh không nhầm lẫn tôi tiến hành như sau:
Bước 1: Củng cố kiến thức về phân số, tỉ số
* Giúp cho học sinh biết:
- Phân số là thương đúng của một phép chia một số tự nhiên cho một số
tự nhiên ( khác 0 )
Ví dụ: 5 : 8 =
8
5
; 9 : 7 =
7
9
,…
- Các phân số lớn hơn đơn vị còn được viết dưới dạng hỗn số như sau:
7 9
= 1
7
2
( đọc là Một hai phần bảy )
- Các tính chất của phân số
- Cách đọc, viết các phân số
* Giúp cho học sinh biết tỉ số là gì ?
- Tỉ số của hai số là thương trong phép chia số thứ nhất cho số thứ hai
Ví dụ: + Tỉ số của hai số 3 và 6 là: 3 : 6 =
2 1
+ Tỉ số của hai số 6 và 3 là: 6 : 3 = 2
- Rèn cho học sinh lập tỉ số
Ví dụ:
2
1
số cam thì bằng
3
1
số quýt Tính tỉ số giữa số cam và số quýt + Tỉ số giữa số cam và số quýt là: Cam gồm 2 phần bằng nhau thì số quýt gồm 3 phần như thế
Cam :
Quýt:
Vậy tỉ số giữa số cam và số quýt là:
3 2
- Học sinh hiểu được tỉ số, biết tìm tỉ số Ta rèn kỹ năng giải toán
Bước 2: Rèn kỹ năng giải toán.
Khi dạy dạng toán này cần có bài toán tương tự để học sinh so sánh tìm chỗ khác nhau và thường sai lầm
Ví dụ 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 70 m, chiều rộng bằng
3
2
chiều dài Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật đó ?
Điểm giống nhau của hai bài toán này là chiều rộng đều bằng
3
2
chiều dài ( tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài ) và đều tính diện tích mảnh đất hình chữ
Trang 4nhật Điều học sinh thấy giống nhau nữa là có độ dài 70 m, nhưng số đo này là của hai đại lượng khác nhau
Yêu cầu học sinh đọc kĩ bài toán và tìm sự khác nhau của hai bài toán
Bài 1.
- Tìm chiều dài và chiều rộng khi
biết tổng của chiều dài và chiều rộng;
và tỉ số của chiều rộng bằng
3
2
chiều dài
- Bài toán này giải theo cách: Tìm
hai số khi biết tổng và tỷ số
Bài.2.
- Tìm chiều rộng dựa vào chiều dài tức là tìm phân số của một số
Tránh nhầm với dạng bài 1
- Bài toán này giải theo cách: Tìm phân số của một số
* Để tránh nhầm lẫn là học sinh giải hai bài toán này thường giống nhau Đôi khi bài toán 2 lại giải tìm hai số biết tổng và tỷ Bài 1 lại tìm phân số của một số
- Cần xác định cho học sinh là: Ở bài toán 1 là tìm hai số khi biết tổng và tỷ của chúng Còn bài 2 là tìm một số dựa vào phân số của nó với một số đã cho Cho nên hai cách trên giải hoàn toàn khác nhau
- Giáo viên cần giải 2 bài toán cùng một lúc để học sinh nhận xét rút ra cách giải của từng bài tránh nhầm lẫn cách giải của bài này sang cách giải của bài khác
II Dạng thứ hai: Tìm phân số của một số.
1 Mô tả:
Ví dụ 3: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 45m, chiều rộng bằng
3
2
chiều dài Tính diện tích thửa ruộng hình chữ nhật đó ?
Ví dụ 4 : Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng 25m và bằng
3 2
chiều dài Tính diện tích thửa ruộng hình chữ nhật đó ?
2.Thực trạng:
Qua nhiều năm dạy học ở lớp 5 ở trường Tiểu học Aân Hữu Tôi thấy học sinh thường hay giải một số dạng toán về phân số một cách máy móc, phương pháp không rõ ràng, hay nhầm lẫn từ dạng này sang dạng khác
Có thể đối với bài toán 3 nếu học sinh học kỹ sẽ giải quyết dễ dàng Nhưng ở học sinh lại nhầm tưởng rằng: Ở bài toán 3 học sinh lại giải toán dạng Tổng- tỉ ( Tổng số phần: 2 + 3 = 5 phần ) Sự nhầm lẫn lớn ở đây là bài toán 4, học sinh nhầm như bài toán 3 Tức là học sinh tìm chiều dài thửa ruộng hình chữ nhật: 25 x
3
2
= 16,66….Từ đó học sinh không giải được bài toán
3 Giải pháp khắc phục:
Trang 5Để giải quyết sai lầm này, học sinh không nhầm lẫn hai dạng toán trên.
Khi dạy tôi giải hai bài cùng một lúc Cho học sinh nhận xét, so sánh tìm ra chỗ giống nhau và khác nhau đểà hướng học sinh tìm ra chỗ nhầm lẫn thường gặp
- Điểm giống nhau
Bài 3:
+ Chiều rộng bằng
3
2
chiều dài
+ Chiều rộng 2 phần, chiều dài 3
phần
Bài 4:
+ Chiều rộng cũng bằng
3
2
chiều dài + Chiều rộng cũng 2 phần, chiều dài
3 phần
Đây là điểm giống nhau của hai bài toán trên nên khi giải học sinh thường nhầm lẫn từ bài này sang bài khác, trong đó có một số em còn áp dụng giải toán dạng Tổng – Tỉ Vì vậy, giáo viên cần xác định kiến thức cụ thể
- Điểm khác nhau của 2 bài toán trên dẫn đến hai cách giải khác nhau: + Cho chiều dài 45m tức là chiều
dài gồm 3 phần Tìm chiều rộng tức là
tìm 2 phần
Vẽ sơ đồ:
? m
Chiều rộng:
Chiều dài:
45m
Như vậy chiều rộng 2 phần cần tìm
chính là lấy 45 : 3 tìm 1 phần rồi nhân
với 2, ta có chiều rộng
Cách làm:
Chiều rộng thửa ruộng là:
45 x
3
2
= 30 (m) Hay 45 : 3 x 2 = 30 (m)
+ Cho chiều rộng bằng
3
2
chiều dài
và bằng 25m Tìm chiều dài tức là tìm
3 phần biết chiều rộng 2 phần là 25m
25 m
Chiều rộng:
Chiều dài
? m Như vậy bài toán này cần tìm chiều dài tức là tìm 3 phần khi biết chiều rộng 2 phần là 25m
Chiều dài thửa ruộng là:
25 : 2 x 3 = 37,5 (m)
25 :
3
2
= 37,5 (m)
Như vậy ở bài 3 không thể làm như bài 4 Đây là sai lầm lớn của học sinh
mà tôi thường thấy
Vậy kiến thức cần khắc sâu cho học sinh ở dạng toán này là:
- Nếu cho biết giá trị mẫu số, tìm giá trị tử số Ta lấy số đã cho chia cho mẫu số nhân tử số
Trang 6- Nếu cho biết giá trị tử số, tìm giá trị mẫu số Ta lấy số đã cho chia cho
tử số nhân mẫu số
*Tóm lại: Sau khi áp dụng những phương pháp trên khi dạy toán có liên
quan về phân số Tôi thấy học sinh làm được các bài toán mà không bị nhầm lẫn, các em giải các bài toán trở nên mạch lạc hơn Để nâng cao chất lượng dạy học và việc bồi dưỡng học sinh giỏi mang lại hiệu quả cao đáp ứng sự phát triển của xã hội, những học sinh có năng khiếu về toán được phát triển Tôi đã vận dụng vào bồi dưỡng học sinh khá, giỏi giải toán nâng cao Trong phạm vi của
đề tài này tôi chỉ nêu lên một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán
dạng toán có liên quan đến Tìm tỉ số, Tìm phân số của một số Vận dụng trong giải toán chuyển động đều, hình học Nhằm rèn khả năng suy luận, giúp học
sinh giải nhiều bài toán rõ ràng, mang tính toán học, khắc sâu kiến thức
B RÈN KHẢ NĂNG SUY LUẬN GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO.
* Để giúp học sinh với phép suy luận, bồi dưỡng học sinh toán có liên quan về phân số đạt kết quả cao thì giáo viên cần trang bị cho các em những kiến thức cơ bản như:
- Cách đọc phân số:
+
5
4
đọc là “ Bốn phần năm”
+
4
a
đọc là “ a trên bốn ”
+
b
a
đọc là “ a trên b ”
- Tính chất cơ bản của phân số:
+ Khi thêm vào tử số của một phân số một số bằng mẫu số của phân số
đó ( mẫu số > 0 ) và giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số đó tăng thêm một đơn vị
Tổng quát:
b
a
và
b
b
a+
thì
b
b
a+
=
b
a
+
b
b
=
b
a
+ 1 ( b > 0 )
+ Khi phân số
b
a
lớn hơn đơn vị ( a > b > 0 ) Nếu bớt ở tử số một số bằng mẫu số của phân số và giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số đó giảm
đi một đơn vị
Tổng quát:
b
a
và
b
b
a−
thì
b
b
a−
=
b
a
-
b
b
=
b
a
- 1 ( b > 0 )
+ Khi thêm vào tử số một số bằng tử số và giữ nguyên mẫu số thì phân
số tìm đước gấp 2 lần phân số đó
Trang 7Tổng quát:
b
a
và
b
a
a+
thì
b
a
a+
=
b
a
+
b
a
=
b
a
x 2 ( b > 0 )
* Rèn luyện khả năng suy luận, giải toán theo từng dạng.
I Dạng 1: Tìm tỉ số.
1 Mô tả:
Bài toán 1: Lớp 4A có tất cả 45 HS Trong đó
2
1
số học sinh nam bằng
3 1
số học sinh nữ của lớp Hỏi lớp 4A có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ ?
Bài toán 2: Đội tuyển học sinh giỏi của trường có
2
1
số học sinh nam bằng
3
2
số học sinh nữ Số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ 5 em Hỏi có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ trong đội tuyển học sinh giỏi của trường ?
2.Thực trạng:
- Học sinh không xác định được tổng không thay đổi hay thay đổi, hiệu không thay đổi hay thay đổi
- Học sinh không xác định được tỉ số của số học sinh nam và học sinh nữ
Từ đó học sinh không giải được
3 Giải pháp khắc phục:
- Ở bài toán 1 Trước hết ta cho học sinh hiểu được thế nào là tỉ số ? cho học sinh xác định bài toán này có tổng hay hiệu ( tổng không đổi) sau đó cho học sinh vẽ sơ đồ để tìm tỉ số
Số HS nam:
45 HS
Số HS nữ :
Cho học sinh nhìn vào sơ đồ nhận xét, các em dễ dàng thấy được số học sinh nam là 2 phần, số học sinh nữ là 3 phần, tổng số học sinh của lớp là 45 em,
số học sinh nam =
3
2
số học sinh nữ Cho học sinh rút ra kết luận: Khi hai tử số của hai phân số chỉ số phần số học sinh nam, học sinh nữ bằng nhau thì mẫu số chính là số phần của số học sinh nam, học sinh nữ
Học sinh sẽ dễ dàng giải bài toán dạng tìm hai số khi biết Tổng và tỉ số của hai số đó
- Ở bài toán 2 Học sinh vận dụng kiến thức ờ bài toán 1, Tức là đi tìm tỉ
số là số phần của số học sinh nam, số học sinh nữ Muốn tìm được tỉ số cần làm cho tử số của hai phân số trên bằng nhau thì mẫu số chính là số phần của số học sinh nam, số học sinh nữ Bây giờ ta hướng dẫn cho học sinh theo các cách sau:
Trang 8Cách 1: Quy đồng mẫu số.
Ta có:
2
1
=
6
3
;
3
2
=
6 4
Vậy
6
3
Số HS nam =
6
4
Số HS nữ
Hay 3 lần số HS nam = 4 lần số HS nữ
Suy ra nếu số HS nam là 4 phần bằng nhau thì số HS nữ gồm 3 phần như thế
Do đó tỉ số phải tìm là:
3
4
Cách 2:
2
1
Số HS nam =
3
2
Số HS nữ
Tỉ số học sinh nam so với số học sinh nữ là:
3
2
:
2
1
=
3
4
( Sử dụng phép chia )
Cách 3: Quy đồng tử số.
Ta có:
2
1
Số HS nam =
3
2
Số HS nữ
Hay
4
2
Số HS nam =
3
2
Số HS nữ
Có hai tử bằng nhau ta dễ nhìn thấy:
Số HS nam : 4 phần
Số HS nữ : 3 phần
Số HS nam =
3
4
Số HS nữ Như vậy các em đã tìm ra tỉ số Đưa về dạng toán cơ bản học sinh giải được Tìm hai số khi biết Hiệu và tỉ số của hai số đó ( Hiệu là 5 em, Tỉ số HS nam =
3
4
số HS nữ )
Theo tôi nên cho học sinh áp dụng cách 3 (quy đồng tử số) học sinh dễ hiểu hơn vì nó có tính trực quan hơn, mang tính toán học hơn Đây là bước chúng ta rèn cho các em khả năng suy luận
* Từ một số bài toán trên, ta có cho học sinh áp dụng tìm tỉ số trong giải toán chuyển động đều mà đa số học sinh xem đây là một việc làm khó
Bài toán 3: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/giờ Nếu
người đó đi với vận tốc 15 km/giờ thì đến B sớm được 1 giờ Tính quãng đường AB
* Ta cho học sinh suy luận
- Cần giúp cho học sinh suy luận Khi quãng đường không thay đổi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
- Cho học sinh áp dụng tìm tỉ số của hai số ( Tỉ số vận tốc 12 km/giờ với
15 km/giờ)
Trang 9- Từ tỉ số vận tốc, suy ra tỉ số thời gian.
Tỉ số vận tốc là:
15
12
=
5
4
Vậy tỉ số thời gian là:
4
5
Vì hiệu số thời gian là 1 giờ nên thời gian đi với vận tốc 15 km/giờ là:
1 : ( 5 – 4 ) x 4 = 4 ( giờ ) Khoảng cách AB là: 15 x 4 = 60 (km )
Đáp số: 60 (km ) Như vậy đối với dạng tốn này, ta cần xác định được tỉ số ( tỉ số của vận tốc), khi quãng đường khơng đổi, đưa bài tốn về dạng cơ bản để giải ( tổng hay hiệu tùy vào đề ra)
Bài tốn 4: Một người dự định đi từ A đến B trong 3 giờ, nhưng khi đi
anh ta tăng vận tốc thêm 6 km/giờ nên đã tới B chỉ hết 2 giờ Tính:
a) Quãng đường AB
b) Vận tốc của người đĩ thực đi ?
* Ở bài tốn này cũng cho học sinh áp dụng tỉ số:
- Học sinh muốn giải được bài tốn này thì vận dụng kiến thức ở bài 3 Dùng phép suy luận khi quãng đường khơng đổi thì thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
- Cho học sinh tìm tỉ số thời gian thực đi với thời gian dự định Từ đĩ suy
ra tỉ số vận tốc thực đi với dự định Bài tốn xác định được tỉ số của hai vận tốc, biết hiệu của hai vận tốc Aùp dụng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số, học sinh dễ dàng giải được
Tỉ số thời gian thực đi và dự định là:
3
2
Vậy vận tốc thực đi gồm 3 phần, vận tốc dự định là 2 phần Vì quãng đường khơng đổi nên vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian
Vận tốc thực đi là: 6 : ( 3 – 2 ) x 3 = 18 ( km/giờ )
Quãng đường AB là: 18 x 2 = 36 ( km )
Đáp số: 36 km; 18 km/giờ.
Bài tốn 5: Một người dự định đi từ A đến B hết 2 giờ Nhưng vì vận tốc
giảm 12 m/phút nên người đĩ đi từ A đến B hết 2 giờ rưỡi Tính vận tốc thực tế
đã đi và quãng đường AB
* Cũng hướng dẫn học sinh giải tương tự bài 4:
- Cần xác định cho học sinh là vận tốc tăng hay giảm tùy thuộc vào đề cho Ở bài tốn này, vận tốc giảm 12 m/phút cũng chính là hiệu của hai vận tốc Vậy học sinh cĩ thể dùng phép suy luận, tìm tỉ số để giải bài tốn tương tự bài
4 Điểm khác biệt ở đây là đơn vị số đo, chúng ta phải chuyển đổi đơn vị đo
Trang 10- Cần rèm cho học sinh cách chuyển đổi đơn vị đo thời gian, suy luận một cách thành thạo
Ví dụ: 6 phút = 0,1 giờ; 12 phút = 0,2 giờ; 15 phút = 0,25 giờ; 30 phút = 0,5 giờ; 45 phút = 0,75 giờ…
2,5 giờ = 25/10 giờ = 5/2 giờ,…
Học sinh biết suy luận, biết tìm tỉ số sẽ dễ dàng giải được bài toán:
Tỉ vận tốc dự định với vận tốc thực đi
2 giờ : 2,5 giờ =
5
4
Cùng một quãng đường vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian nên
Tỉ thời gian dự định so với thực tế là:
4
5
Vậy vận tốc thực tế là:
12 : ( 5 – 4 ) x 4 = 48 (m/phút) = 48 : 1000 x 60 = 2,88 km/giờ Quãng đườngc AB: 2,88 x 2,5 = 7,2 km
Đáp số; 2,88 km/giờ ; 7,2 km.
* Tóm lại: Đối với dạng toán này “ Tìm tỉ số” Cần hướng dẫn rèn khả năng suy luận, xác định được tỉ số của hai số, xác định trường hợp tổng không thay đổi hay hiệu không thay đổi, quãng đường không thay đổi trong toán chuyển động đều đưa về dạng toán cơ bản để giải ( tổng tỉ hay hiệu tỉ tùy vào đề cho)
II Dạng 2: Tìm phân số của một số.
1 Mô tả:
Bài 1: Lớp 5A có 48 học sinh gồm 4 loại: giỏi, khá, trung bình và yếu Biết rằng:
- Số học sinh giỏi bằng một nửa số học sinh ba loại kia
- Số học sinh khá bằng
3
1
số học sinh ba loại kia
- Số học sinh yếu bằng
7
1
số học sinh ba loại kia
Tìm số học sinh mỗi loại
Bài 2: Một trại chăn nuôi gia súc có 4 loại gia súc là: dê, bò, heo và ngựa Biết rằng số bò bằng
5
2
số heo và ngựa, số heo bằng
5
3
số gia súc còn lại,
số ngựa bằng
3
1
số gia súc còn lại, số dê là 30 con Hỏi mỗi loại gia súc có bao nhiêu con ?