Một số kinh nghiệm sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh bất đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7

STT MỤC LỤC TRANG 1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp thực 10 2.4 Hiệu sáng kiến 19 11 Kết luận – Kiến nghị 20 12 Tài liệu tham khảo 21 1.MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài Trong nhiều đề thi HSG mơn Tốn khối 6, năm gần đây, thường có tốn chứng minh bất đẳng thức, cho nhiều mức độ khác nhau, HS dễ dàng tìm phương pháp, cách thức để chứng minh bất đẳng thức Từ thực tế giảng dạy nhận thấy hầu hết em lớp 6,7 gặp dạng đề thi thường gặp khó khăn, lúng túng, khơng biết cách làm, đặc biệt với câu cuối em thường bỏ không làm làm thường làm đơn giản biết cách làm Tuy nhiên với làm em không hiểu nắm phương pháp giải chung, cách thức quy toán từ lạ quen để giải Với mong muốn học sinh đạt giải cao kỳ thi chon HSG, Tôi mạnh dạn đưa sáng kiến: Một số kinh nghiệm “sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh bất đẳng thức” BDHSG mơn tốn 6,7 Thơng qua nâng cao chất lương cơng tác giảng dạy, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Do khả hạn chế; kinh nghiệm chưa nhiều hạn chế thời lượng nên biện pháp mà đưa chắn cịn có phần chưa hồn chỉnh Rất mong đóng góp q báu q thầy Tơi xin chân thành cảm ơn! 1.2.Mục đích nghiên cứu Tơi viết SKKN với mục đích: - Nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ cho thân thơng qua nghiên cứu khoa học, từ có thêm hội trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp - Qua đề tài khắc phụ yếu điểm HS chứng minh bất đẳng thức - Củng cố, cung cấp cho học sinh kỹ số kiến thức phương pháp làm trội, làm giảm, cách nhận biết dạng tốn lựa chọn cách trình bày phù hợp nhằm nâng cao lực học toán, giúp học sinh tiếp thu chủ động sáng tạo cơng cụ giải tập có liên quan - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải toán liên quan đến bất đẳng thức số - Giúp GV phát bồi dưỡng HS khá, giỏi, có khả học toán - Phổ biến đến thành viên tổ chuyên môn nơi công tác, giúp em học sinh đạt điểm cao kỳ thi chọn HSG Nếu đồng nghiệp trường khác thấy có ích tơi sẵn sàng chia sẻ 1.3.Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu, tổng hợp “sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh bất đẳng thức” BDHSG mơn tốn 6,7 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nêu lên phần lí thuyết số tính chất thường dùng sử dụng phương pháp làm trội làm giảm - Nêu lên số dạng toán cách suy nghĩ để giải dạng - Một số tập vận dụng nâng cao - Kết hợp sử dụng thêm phương pháp: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; Phương pháp điều tra khảo sát thực tế; Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm; Phương pháp vấn đáp; Phương pháp phân loại hệ thống hố lý thuyết; Phương pháp suy luận, tìm tịi; Phương pháp thống kê xử lí liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Cho A tổng, hiệu, tích phân số, m số thực bất kỳ, tốn có u cầu sau: + Chứng minh A > m A m, ta sử dụng phương pháp làm giảm cách thay phân số tổng A phân số có mẫu lớn tổng đó, tức ta làm giảm giá trị phân số tổng, suy tổng giảm, từ ta chứng minh toán + Nếu toán yêu cầu chứng minh A < m Am, ta sử dụng phương pháp làm trội cách thay phân số tổng A phân số có mẫu nhỏ tổng đó, tức ta làm tăng giá trị phân số tổng, suy tổng tăng, từ ta chứng minh tốn Lưu ý: Trong nhiều toán ta thường phải tách tổng A thành nhiều nhóm vào yêu cầu đề mà sử dụng phương pháp cho phù hợp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua năm trực tiếp giảng dạy, theo dõi BDHSG mơn tốn khối lớp lớp7, tơi thấy tốn chứng minh bất đẳng thức thường có đề thi HSG cấp huyện, thường có đề thi cuối học kỳ dạng câu vận dụng cao Để làm tốt toán chứng minh bất đẳng thức, yêu cầu học sinh phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức liên quan như: Các cách so sánh phân số có tử, mẫu, phép toán phân số, kiến thức lũy thừa, quy tắc thực phép tính, tính tổng, hiệu, tích dãy phân số có quy luật…, đặc biệt HS cần biết hệ thống hoá kiến thức học cách có logic, biết quan sát để định hướng phương pháp làm Tuy nhiên HS lớp 6,7 lớp đầu cấp bắt đầu làm quen với phương pháp giải đại số, lượng kiến thức học cịn ít, khả tư làm quen với tốn nâng cao cịn chậm mà chương trình học khóa khơng có, loại tài liệu tham khảo không giới thiệu tường minh dạng tốn phương pháp giải cụ thể mà có dạng đơn lẻ có hướng dẫn cho bài, gặp dạng tốn đề thi tương tự với chữa, làm em cịn làm được, với thay đổi liệu khác với ví dụ làm em cịn mơ hồ, lúng túng không xác định phương pháp giải cách rỏ ràng khơng hình dung hướng nào, nên kết đạt thường không cao Trước áp dụng đề tài này, khảo sát nhóm gồm 16 học sinh đội tuyển toán lớp 6, lớp năm học liên tiếp: 2019-2020 2020 - 2021 trường THCS A Thời gian khảo sát: Tháng năm Nội dung kháo sát: Cho học sinh làm tập sau: Bài 1: Cho A = Chứng minh răng: Bài 2: Cho A= Chứng minh A < Kết nhận sau: (đánh giá với thang điểm 10) Điểm SL % 10 62,5 Điểm - SL % 31,25 Điểm – SL % 6,25 Điểm – 10 SL % 0 Từ thực trạng trên, để nâng cao chất lượng công tác giảng dạy, đặc biệt chất lượng HSG tơi tìm hiểu, nghiên cứu, phân dạng hệ thống hóa tốn từ rút số kinh nghiệm để chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng phương pháp làm trội làm giảm, áp dụng cho HS lớp 6, 7, thơng qua tốn xây dựng cho em tư phương pháp kỹ giải tốn, giúp cho em có kỹ quan sát, nhận xét, biết quy lạ quen giải dạng toán chứng minh bất đẳng thức, tiền đề cho giải dạng toán lớp 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để giúp cho học sinh nắm cách sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm chứng minh bất đẳng thức, tham khảo tài liêu bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6,7, đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 6,7 nhiều năm huyện, chuyên đề BDHSG qua mạng internet để nghiên cứu, tìm hiểu, phân dạng, qua đúc rút thành kinh nghiệm chung sử dụng phương pháp để chứng minh BĐT, từ tơi tổng hợp, xây dựng hệ thống tập phong phú Với hệ thống tập xếp từ dễ đến khó theo dạng, thơng qua dạng tốn giúp học sinh tự rút kinh nghiệm hình thành phương pháp, rèn luyện kỹ giải, giúp em dễ dàng nghi nhớ, dễ dạng phân biệt, biết quy lạ quen áp dụng vào giải toán dạng đạt kết cao hơn, cụ thể thực dạy sau: 1/Trang bị cho học sinh kiến thức để sử dụng phương pháp a Ôn tập lại cho HS kiến thức cộng, trừ, nhân, chia phân số, quy tắc thực phép tính b Ơn tập lại phương pháp so sánh phân số c Bổ xung cho HS số kiến thức tính chất bất đẳng thức Tính chất bắc cầu thứ tự: a > b; b > c => a >c (tính chất với bất đẳng thức dấu ≥; ≤) Tính chất đơn điệu phép cộng: Nếu a > b =>a+c> b+c Tính chất đơn điệu phép nhân: Nếu a > b =>a.c > b.c (với c > 0) Cộng vế hai bất đẳng thức chiều: Nếu a > b c > d => a+c > b + d Với a > b > ta ln có: Với a, b, c, d a, b, c, d > ta có: + Nếu + Nếu + Nếu 2/ Trang bị cho học sinh kỹ tự đặt câu hỏi tự trả lời câu hỏi H? Yêu cầu toán gì? Để thực u cầu ta có hướng suy nghĩ nào? H? đề cho biết gì? Với giả thiết đó, ta có cách giải toán ta làm theo cách nào? sao? * Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi ? H? Ta gặp khó khăn đâu? Có phần giả thiết chưa sử dụng khơng? H? Ta gặp tốn tương tự chưa? 3/ Các dạng tốn điển hình Dạng 1: Các bất đẳng thức mà biểu thức cho tổng phân số có mẫu số tự nhiên Khi hướng dẫn HS chứng minh dạng thường định hướng cách biến đổi sau: Biến đổi biểu thức thành phân số có mẫu tử ( Thường có tử 1), dùng phương pháp làm trội làm giảm Bài tốn 1: (Trích Đề thi HSG lớp huyện Tĩnh Gia năm 2016-2017) Cho A = a) Chứng minh:  Hướng dẫn HS khai thác toán: Giáo viên yêu cầu học sinh nêu nhận xét phân số tổng A Tổng A có tất phân số +/ Câu trả lời mong muốn: A có 100 phân số, phân số có tử + Phân số tách thành tổng phân số có tử 1, tách cách có thể? +/ Câu trả lời mong muốn: Hướng dẫn: Tổng A có 100 phân số mà đề lại yêu cầu chứng minh A> Từ kết giáo viên hướng dẫn HS chia tổng A thành nhóm nhóm 50 phân số, sau thay phân số nhóm phân số có mẫu lớn nhóm (tức ta làm giảm giá trị phân số đi), sau thực phép cộng phân số mẫu để thu kết cần chứng minh Cụ thể cách làm sau: A = =(( > ) ( = Vậy Từ kết toán giáo viên bổ xung thêm yêu cầu thứ bài, thông qua kiểm tra việc nắm bắt cách làm, cách tư bước đầu học sinh b) Chứng minh (Một ý tuyển tập tốn hay khó toán ) Tương tự câu a giáo viên yêu cầu HS nêu phương pháp làm câu b Học sinh dễ dàng nhận câu b dùng phương pháp làm giảm Vậy để sử dụng phương pháp làm giảm, ta có cần tách biểu thức A khơng, nêu có đề xuất cách tách cho hơp lý +/ Câu trả lời mong muốn: Chia tổng A thành nhóm sau thay phân số nhóm phân số mẫu lớn nhóm Đến học sinh nghĩ cách làm( Nếu học sinh không nghĩ ra, giáo viên gợi ý) Lời giải Ta chia tổng A thành nhóm sau thay phân số nhóm phân số có mẫu lớn nhóm đó, ta có: A==> Sau thực phép cộng phân số ngoặc ta phải làm giảm lần lúc ta làm giảm tử suy kết cần phải chứng minh A> = Vậy Đối với câu b cách làm giáo viên cịn hướng dẫn học sinh khai thác tốn theo cách sau đây: Cách 2: Vì tổng A có 100 phân số, ta ghép thành cặp phân số lấy từ đầu lại 50 cặp sau: A= Lưu ý: dãy số liên tiếp mà số sau lớn số trước, ghép thành tích thừa số tích số thuộc cặp nhỏ tích số thuộc cặp bên cạnh hay tích số thuộc cặp ngồi nhỏ nhất, tích số thuộc cặp lớn (đã chứng minh 15/trang 27/ sách nâng cao phát triển lớp 6) Từ kết ta suy ta, biểu thức ngoặc gồm 50 phân số phân số có mẫu nhỏ nhất, phân số có mẫu lớn nhất, nên suy ra: phân số lớn nhất, nhỏ Vì để chứng minh ta thay phân số tổng (1) phân số nhỏ tổng đó, ta có: A > 301 > * Từ kết chứng minh cách câu b giáo viên thêm yêu cầu thứ ba cho toán sau c Chứng minh (Một ý tuyển tập toán hay khó tốn 7)  Để chứng minh ta sử dụng phương pháp nào? +/ Câu trả lời mong muốn: Sử dụng phương pháp làm trội Giáo viên hướng dẫn: Tận dụng kết biến đổi cách câu b, cách thay phân số tổng (1) phân số lớn tổng đó, tức ta sử dụng phương pháp làm trội để làm tăng giá trị phân số tổng A lên, đến học sinh dễ dàng làm Từ (1) ta có: A < 301 Lời bình: Qua câu toán giúp cho HS phần hiểu cách sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm, nhiên vấn đề HS gặp khó khăn tốn dạng là: Khi chứng minh biểu thức số áp dụng phương pháp làm trội, làm giảm mà hầu hết phải biến đổi biểu thức cách phù hợp áp dụng phương pháp, có phải áp dụng phương pháp vài lần kết Do giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát đặc điểm biểu thức, khai thác triệt để yêu cầu chứng minh bài, từ yêu cầu đề tách ngược để tìm hướng biến đổi biểu thức áp dụng phương pháp Tương tự giáo viên yêu cầu học sinh tiếp tục làm toán sau: Bài tốn 2: (Trích đề thi HSG lớp 6, THCS cẩm Phong, năm 2017- 2018) Cho B = Chứng minh rằng: GV: Tổng B có phân số, nêu cách thực +/ Câu trả lời mong muốn: Tổng B có 30 phân số, để chứng minh ta sử dụng phương pháp làm trội, chứng minh sử dụng phương pháp làm giảm Đến giáo viên yêu cầu học sinh suy nghĩ đối chiếu với vừa làm để nêu phương án biến đổi Nhiều học sinh dễ dàng phát cách làm tương tự câu a câu b cách câu b cách câu c, Hướng dẫn: Để chứng minh ta sử dụng phương pháp làm trội, cách chia tổng B thành nhóm, nhóm có 10 phân số, sau thay phân số nhóm phân số lớn nhóm, thực tính tốn, thu gọn, cụ thể cách giải sau: B = => B< Còn chứng minh B > sử dụng phương pháp làm giảm cách thực tương tự ý thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm đó, cụ thể sau B> Từ hai kết ta kết luận *Trong nhiều chứng minh bất đẳng thức ta thường biến đổi biểu thức cách nhóm thành nhóm sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm hợp lý để đưa thành phân số có tử 1, mẫu lũy thừa Ta tiếp tục xét thêm số toán sau: Bài toán 3: (Nâng cao phát triển toán 6) Cho A = Chứng minh răng: Cách thức mà thực tế thân làm: ?) Yêu cầu tốn gì? Để thực u cầu ta có hướng suy nghĩ nào? +/ Câu trả lời mong muốn: Đề yêu cầu chứng minh , cần sử dụng phương pháp làm trội, mặt khác để chứng minh A< 100 khơng thể dùng phương pháp làm trội cho tổng A mà phải chia tổng A thành nhóm, làm trội cho nhóm Giáo viên gợi ý học sinh cách tách nhóm: Vì cần chứng minh A< 100 nên chia A thành 100 nhóm, cho sau làm trội nhóm có kết 1, ta có điều cần phải chứng minh Với gợi ý trên, GV để HS tự tìm tịi cách chia thành nhóm sử dụng pp để có kết cần chứng minh Cụ thể cách làm sau: A== Với cách chia ta 100 nhóm (GV lưu ý cách đếm số nhóm theo lũy thừa mẫu) Ta làm trội cách, thay phân số nhóm phân số lớn nhóm Khi ta được: =>A => A < = 100 Vậy A < 100  Bài tốn 4: (Trích Đề thi HSG toán 6, huyện Yên Định 2016- 2017) Cho M = Chứng minh răng: */ Cách thức mà thực tế thân làm: Yêu cầu học sinh nêu lên suy nghĩ gặp toán +/ Câu trả lời mong muốn: (Nếu HS không nêu giáo viên gợi ý thêm) Bài tương tự 3, sau tách dùng phương pháp làm giảm, cách thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm nhóm nhóm cho sau làm giảm nhóm có mẫu lũy thừa Nên giải tương tự sau:  Yêu cầu học sinh làm toán cụ thể Lời giải M= M> = 1000,5>1000 Vậy Lời bình: Qua tốn vừa xét dạng Tơi nhận thấy dạng tốn khơng đơn giản yêu cầu chứng minh bất đẳng  thức biểu thức cho có dạng tổng phân số có mẫu số tự nhiên nên cách làm chung sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm, nhiên lại có cách biến đổi khác Do dạy tơi thường lưu ý chốt rỏ cho học sinh cách thức quan sát phương pháp khai thác cụ thể bài, yêu cầu học sinh ghi nhớ đặc điểm để vận dụng, đặc biệt việc sử dụng hợp lý tính chất phép tốn, cần u cầu em phải nắm vững tính chất để nhận xét, đánh giá khía cạnh sát với ý tưởng lời giải, em dễ nhập với giải Phương pháp làm trội, làm giảm lúc phát huy tác dụng cách tích cực Dạng 2: Các bất đẳng thức mà biểu thức có dạng tổng lũy thừa Khi sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh bất đẳng thức dạng thường hướng dẫn học sinh cách làm trội làm giảm mẫu sau: Vì lũy thừa phép nhân thừa số nhau, ta thường giữ nguyên thừa số tích mẫu thay thừa số cịn lại thừa số lớn (nếu làm giảm) thay thừa số nhỏ (nếu làm trội) Cụ thể ta tiếp tục xét số toán dạng sau: Bài toán ( Bài 9.7/trang 24/Sách tập toán 6, tập 2) Cho A = Chứng minh A < Cách thức mà thực tế thân làm: * Yêu cầu học sinh nêu lên suy nghĩ gặp toán +/ Câu trả lời mong muốn: Biểu thức A có mẫu lũy thừa 2, để chứng minh cần sử dụng phương pháp làm trội, cách tăng mẫu Đến giáo viên yêu cầu học sinh nêu cách làm trội cụ thể Hướng dẫn  Với việc hướng dẫn HS làm trội phân số kết nhận biểu thức , biểu thức tính dãy số theo quy luật mà học sinh giải thành thạo học chuyên để dãy phân số có quy luật, đến giáo viên yêu cầu học sinh thực tính tiếp kết sau: Vậy A < Khi học sinh nắm cách sử dụng phương pháp để chứng minh bất đẳng thức dạng nay, tiếp tục cho học sinh làm tiếp toán sau: Bài toán 2: (Trích Đề giao lưu HSG lớp 7, Cẩm Thủy năm học 2019-2020) B= Cho biểu thức 1 1 + + + + 2 100 101 198 199 10 Chứng minh: 1 , ta dùng phương pháp làm giảm (tức tăng mẫu phân số lên), chứng minh B< ta dùng phương pháp làm trội (tức giảm mẫu phân số đi) cách làm tốn1 GV: Vì mẫu bình phương số tự nhiên nên ta làm trội, làm giảm cách nào? Hãy đề xuất phương án làm trội, làm giảm ý +Nếu làm trội ta giữ nguyên thừa số mẫu phân số, thay thừa số lại thừa số nhỏ hơn, giá trị phân số tổng B tăng lên Cụ thể ta làm sau: B=  1 1 1 1 1 + + + = − + − + − + + − = 99.100 100.101 198.199 99 100 100 101 101 102 198 199 1 − < 99 199 99 B< Vậy B < (1) Để chứng minh B> ta làm tương tự dùng phương pháp làm giảm ( Phần giáo viên yêu cầu HS tự làm kiểm tra kết khơng hướng dẫn) Ta có: (2) Từ (1) (2 ) Suy ra: < B < Trong nhiều đề thi học sinh giỏi có nhiều biểu thức nhìn vào phức tạp, khơng giống với dạng thường gặp (các dạng gây nhiễu ), gặp dạng giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách quy lạ quen, cách quan sát kỹ biểu thức yêu cầu chứng minh tốn, tìm cách như: tính thử, tách, nhóm để biến đổi biểu thức dạng thường gặp Cụ thể ta tìm hiểu tiếp số toán sau: Bài toán 3: (Trích Đề thi HSG tốn 6,Bắc Giang năm 2018- 2019) Cho biểu thức N = Chứng minh N <  Cách thức mà thực tế thân làm: Yêu cầu học sinh nêu lên nhận xét mẫu phân số 11 +/ Câu trả lời mong muốn: Mẫu tổng số lẻ liên tiếp tăng dân Giáo viên gợi ý học sinh cách làm: Hãy quy dạng giống biểu thức tốn 2, học sinh khơng phát ra, giáo viên gợi ý học sinh công mẫu lại nhận xét biểu thức thu Hướng dẫn cụ thể sau: Nhận xét: Vì 1+3 = = 22 1+3+5 = = 23 1+3+5 +7 = 16 = 24 …………………………… 1+3+5 +7+…+ 101 = 512 Do N Đến tốn quy toán quen thuộc toán giáo viên yêu cầu học sinh tự tiếp tục làm tự kiểm tra chéo cách làm, kết nhau, sau giáo viên đưa giải mẫu để học sinh đối chiếu N< Bài tốn 4: (Trích đề thi HSG tốn huyện Vĩnh Bảo, năm 2017-2018) Cho A = Chứng minh A số nguyên Hướng dẫn: Đối với thường hướng dẫn học sinh sau: +Để chứng minh A số ngun ta cần chứng minh điều gì? + Có nhận xét tử mẫu phân số tổng A? Hãy thu gọn tử tìm mối quan hệ tử mẫu? */ Câu trả lời mong muốn: + Cần chứng minh A kẹp số nguyên liên tiếp + Các phân số có mẫu số phương, tử hiệu mẫu trừ + Từ tơi gợi ý để học sinh tách phân số tổng thành hiệu phân sô, cụ thể sau: A= A= Mà ta lại có < Từ (1) (2) suy ra: n – < A < n – Vì n – n – số nguyên liên tiếp, nên A số ngun 12 Bài tốn 5: (Trích Tuyển tập tốn BDHSG 7, tác giả Vũ Hữu Bình) Cho A= Chứng minh 1< A< Đối với học sinh chưa làm quen với phương pháp chứng minh bất đẳng thức xét phần đa phần em cảm thấy khó, bỏ phân số biểu thức số to, tính tốn phức tạp, khó hình dung cách làm Tuy nhiên thực tế sau hướng dẫn học sinh nắm phương pháp cách biến đổi phần trình bày, Tơi nhận thấy đa số học sinh xác định hướng chứng minh toán, số học sinh nêu cách làm trội, làm giảm mà khơng cần có hướng dẫn giáo viên, Cụ thể hưỡng dẫn học sinh sau: Hướng dẫn: Tổng A có phân số, để chứng minh A < ta làm trội nào? +/ Câu trả lời mong muốn: Tổng A có 2011 phân số, ta làm trội phân số một, cách quy tất phân số có mẫu chung 2011 2, sau thực phép cộng phân số mẫu thu gọn ?) Vậy ý cịn lại sao? +/ Câu trả lời mong muốn: Làm tương tự, sử dụng phương pháp làm giảm cách tăng mẫu phân số tổng A lên để có mẫu chung 20112+ 2011, sau thực phép tính Lời giải Ta có: Vậy A< (1) Ta lại có:  A >1 (2) Từ (1) (2) suy < A < Lời bình: Qua cách làm tốn tơi cảm nhận nhiều học sinh có hứng thú chứng minh bất đẳng thức mà trước em sợ, em tỏ bất ngờ với cách giải tưởng chừng khó biến đổi biểu thức phù hơp áp dụng phương pháp vào toán lại trở nên đơn giản Điều quan trọng giáo viên phải ý cách đặt câu hỏi gợi mở hướng để học sinh nghĩ đến việc biến đổi biểu thức, áp dụng Dạng 3: Các bất đẳng thức mà biểu thức cho tích phân số Trong nhiều tài liêu đề thi học sinh giỏi, có nhiều bất đẳng thức có dạng tích phân số, với dạng ngồi việc sử dụng cách làm trội, làm giảm dạng tơi cịn lưu ý học sinh phối hợp sử 13 dụng thêm tính chất (6) mục phần nay, cụ thể ta xét số toán sau: Bài toán 1: (Sách nâng cao phát triển toán 7) Cho A= (1) Chứng minh A2 < Nhận xét: Biểu thức A có tích gồm 100 phân số nhỏ 1, có tử số lẻ, mẫu số chẵn, ta cần xác định thêm biểu thức trung gian tích phân số có tử số chẵn, mẫu số lẻ cách cộng thêm 1vào tử mẫu phân số biểu thức A (theo tính chất ), ta làm sau: A= (1) Cơng vào tử mẫu phân số biểu thức A => A< (2) Nhân vế với vế (1) (2) ta A2 M < 0,39 Vậy M < 0,04 Bài tốn 3: (Trích đề thi HSG tốn 7, huyện Thiệu Hóa, Năm 2016- 2017) Cho Chứng minh A < Hướng dẫn: Yêu cầu HS quan sát trả lời câu hỏi ? đề cho biết gì? Với giả thiết đó, ta làm nào? Có thể biến dổi dạng biểu thức toán không? +/ Câu trả lời mong muốn: + Biểu thức A tích tổng, ta thực phép cộng tổng để đưa giống biểu thức toán Giáo viên yêu cầu học sinh tự thực phép tính để biến đổi Ta có : 14 Đến tốn dễ dàng phép nhân phân số, ta cần tách tử mẫu để rút gọn, sau sử dụng phương pháp làm trội bước cuối Vậy A< Bài tốn (Trích Đề thi HSG tốn 7, Huyện Nga Sơn, Năm 2013- 2014) Cho Chứng minh A <  Cách thức mà thực tế thân làm: Với yêu cầu học sinh quan sát biểu thức, đề xuất phương án làm +/ Câu trả lời mong muốn: + Biểu thức có dạng tương tự biểu thức M, thực phép tính ngoặc thu gọn Giáo viên: Sau thực phép tính kết thu có đặc biệt +/ Câu trả lời mong muốn: Kết sau tính phân số có giá trị âm Giáo viên: Vậy xác định dấu tích hay khơng? Vì sao? +/ Câu trả lời mong muốn: Tích mang dấu âm biểu thức A có 99 tích thực phép trừ ngoặc cho ta phân số âm ( ta đếm số tích theo mẫu phân số ngoặc) Sau xác định dấu tích việc biến đổi trở nên dễ dang hơn, cụ thể cách giải sau: Mà ta có: Vậy A < Qua toán vừa xét, đặc biệt tốn tơi nhận thấy việc học sinh phát hướng để biến đổi biểu thức khơng khó, mà điểm khó đặc biết là sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm cho hợp lý để chứng minh biểu thức Mặt khác việc sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm áp dụng kết cuối cùng, lại quan trọng, sau thực biến đổi biểu thức xong, giáo viên không hướng dẫn học sinh cách quan sát biểu thức để làm trội, làm giảm khó đến kết cuối Dạng 4: Các bất đẳng thức mà biểu thức cho phân số có tử mẫu chữ Ngoài bất đẳng thức mà tử, mẫu số cụ thể, nhiều đề thi học sinh giỏi lớp số năm gần yêu cầu chứng minh bất đẳng thức mà tử mẫu chứa chữ, dạng đa số học sinh thấy khó, học sinh lớp kiến thức đại số cịn chưa hồn thiện, em chưa biết phương pháp chứng minh bất đẳng thức, chưa nắm bất đẳng thức thường dùng để chứng minh bất đẳng thức khác,…, trước chứng minh bất đẳng thức dạng mà sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm thường sử 15 dụng tính chất mục để giải Sau ta xét số toán điển hình Bài tốn 1: (Trích Đề thi HSG Tốn 7, Triệu Sơn, năm học 2015- 2016) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: < M < Hướng dẫn: Để chứng minh M > ta cần chứng minh M lớn phân số có tử mẫu nhau, xuất phát từ điều kiện đề cho: Với a, b, c số thực dương bất kỳ, kết hợp với tính chất phân số tử, phân số có mẫu lớn bé ta sử dụng phương pháp làm giảm sau: Vì a, b, c > => 0< a + b < a + b + c Chứng minh tương tự ta có: ; Cộng theo chiều với vế ba bất đẳng thức ta được: Vậy M > (1) Từ kết chứng minh M > giáo viên yêu cầu học sinh tương tự nêu cách phương pháp sử dụng để chứng minh M < Học sinh nêu được: dùng phương pháp làm trội cách ngược lại ý cần chứng minh cho M lớn phân số có tử gấp lần mẫu Giáo viên yêu cầu học sinh tự chứng minh cho lời giải để học sinh đối chiếu Vì a, b, c > 0, nên suy a < b+c => Chứng minh tương tự ta được: Tiếp tục cộng theo chiều với vế ba bất đẳng thức ta được: (2) Từ (1) (2) suy 1 x+y < x+ y+z Chứng minh tương tự ta có: ; Cộng theo chiều với vế bất đẳng thức ta được: M < => M10< 210 (vì M > 0), mà 210 = 1024 < 1025 Vậy M10< 1025 Ở học sinh làm tương tự toán kết M < Bài tốn (Trích Đề thi HSG Toán 7, Việt Yên, Năm học 2018- 2019) Cho ba số dương: Hướng dẫn :Vì 0, nên : (a -1) (b - 1) ab +1a+b   (1) Chứng minh tương tự ta được: (2) ; Cộng theo vế (1), (2) (3) ta  Theo chứng minh tốn 1,ta có: Vậy Tóm lại: Khi chứng minh bất đẳng thức dạng này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tận dụng tối đa điều kiện cho đề bài, kết hợp vận dung linh hoạt tính chất để làm trội làm giảm mẫu cách hợp lý việc sử dụng phương pháp dễ dàng Trong thực tế giảng dạy tơi cịn thường sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để giải nhiều dạng toán khác như: So sánh biểu thức, chứng minh biểu thức khơng có giá trị ngun, bất đẳng thức mà tử, mẫu giai thừa, bất đẳng thức có dấu bậc hai, …, Trong phạm vi đề tài xin giới thiệu số dạng sử dụng dạy phù hợp BDHSG khối 6,7 mà thường hay có đề thi học sinh giỏi khối Nhưng học sinh hiểu áp dụng tốt kiến thức học sáng kiến nêu, hình thành kỹ năng, biết cách để suy luận việc mở rộng tiếp cho dạng cịn lại khơng khó khăn, dạng mà tơi chọn dạy nội dung sáng kiến bản, dễ hiểu, dễ suy luân, sở cho dạng lại 4/ Bài tập tự luyện Bài 1: (Trích Đề thi HSG lớp Huyện Ngọc Lặc năm 2018- 2019) 17 Cho biểu thức: Bài 2: : (Trích Đề thi HSG lớp 6, Huyện Hoằng Hóa năm 2018- 2019) Chứng minh rằng: Bài 3: Cho P= Chứng minh P số tự nhiên (Trích đề thi HSG Tốn 6, Huyện Kỳ Anh, Năm 2019) Bài 4: (Trích Đề thi HSG lớp 7, Huyện Triệu Sơn năm 2016- 2017) Cho biểu thức Bài 5: (Trích Đề thi giao lưu HSG lớp 6, Cẩm Thủy, Năm 2019- 2020) 10 4040 + + + + 1!+ 2!+ 3! 2!+ 3!+ 4! 3!+ 4!+ 5! 2018!+ 2019!+ 2020! Chứng minh A= Không phải số nguyên Bài 6: (Trích kiếm tra đội tuyển HSG toán 7,THCS Cẩm Phong, năm 2017-2018) Cho a, b, c ,d số thực dương Chứng minh 1< P < 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với biện pháp áp dụng vào giảng dạy cho học sinh giỏi trường chia sẻ tổ chuyên môn thu kết khả quan Khi gặp toán chứng minh bất đẳng thức, đa phần học sinh biết sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh xác định hướng làm lựa chọn cách trình bày đơn giản , tránh sai sót bản, có kĩ vận dụng thành thạo, phát huy tính tích cực học sinh Tạo hứng thú học tập, tâm lí vững vàng tự tin cho học sinh trước yêu cầu tốn đặc biệt dạng tốn khó Bồi dưỡng khả tìm tịi, sáng tạo áp dụng kiến thức học vào số toán số học toán khác Đặc biêt HS khá, giỏi giải tốt dạng toán tiếp thu phát triển tập dạng, nâng cao yêu cầu bài, giúp em phát huy lực học toán Cải thiện đáng kể kết đội tuyển dạng toán chứng minh bất đẳng thức, từ tạo cho học sinh chủ động học tập Sau trao đổi với đồng nghiệp nội dung sáng kiến đồng nghiệp ủng hộ, vận dụng vào dạy ôn thi học sinh giỏi khối khác, tùy theo yêu cầu khối mà giáo viên lựa chọn giảng dạy cho phù hợp, 18 dựa sở sử dụng phương pháp cách thức khai thác tập sáng kiến nêu, thu kết khả quan, đáp ứng yêu cầu đội tuyển Kết kiểm tra 16 học sinh đội tuyển toán lớp 6, lớp năm học liên tiếp: 2019-2020 2020 - 2021 trường THCS A Điểm Điểm - 6,5 Điểm - 8,5 Điểm - 10 KQ SL % SL % SL % SL % Trước áp dụng 10 62,5 31,25 6,25 0 biện pháp Sau áp dụng 6,25 25 37,5 31,25 biện pháp KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua thực tế giảng dạy áp dụng biện pháp đạt kết tốt Rất nhiều HS giỏi nâng cao kỹ chứng minh bất đẳng thức, nhiều em chủ động tìm tịi định hướng cách làm chưa có hướng dẫn GV, em tự phát dạng tốn cách làm dạng, biết cách phát triển khai thác toán nhiều cách khác nhau, bên cạnh cịn giúp em học sinh hồn thành tốt tập sách tập, số sách tham khảo đề thi, chuẩn bị tốt cho kì thi học sinh giỏi, góp phần nang cao chất lượng đội tuyển HSG toán nhà trường Trình bày biện pháp sở, động lực giúp tơi có thêm kinh nghiệm, phương pháp giảng dạy, bổ sung thêm phương pháp giải dạng toán nâng cao trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng thời cung cấp cho HS phương pháp giải nhiều dạng tốn, thơng qua phát bồi dưỡng học sinh giỏi Trên số kinh nghiệm “sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh bất đẳng thức” BDHSG mơn tốn 6,7 mà tơi trình bày chắn nhiều hạn chế khiếm khuyết cấu trúc, ngôn ngữ kiến thức, mong nhận đóng góp chân thành bổ sung thêm đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị: Không XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Hiệu Trưởng TT Phong Sơn , ngày 18 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người 19 khác Người viết Nguyễn Thế Hiền Trần Thị Huyền TÀI LIỆU THAM KHẢO TT Tài liệu tham khảo Nhà xuất bản, chủ biên Sách giáo khoa, sách tập toán 6, Toán nâng cao phát triển lớp 6, Toán nâng cao chuyên đề lớp 6, Tuyển tập toán chọn lọc THCS Các chuyên đề bồi dưỡng HSG THCS NXB ĐH Quốc gia Hà Nội Tuyển tập đề thi học sinh giỏi trung học sở năm NXB ĐH Quốc gia Hà Nội Tham khảo thêm số tài liệu qua mạng Internet Đề thi HSG huyện năm 20 NXB Giáo dục Việt Nam NXB Giáo dục Việt Nam NXB Giáo dục Việt Nam NXB ĐH Sư pham DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trần Thị Huyền Chức vụ đơn vị công tác: Trường trung học Cơ sở Cẩm Phong T T Cấp đánh giá xếp loại Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Một số kinh nghiệm giải Phịng GD& ĐT tốn có quy luật tính Huyện Cẩm số số hạng dãy Thủy A 2014- 2015 Nâng cao kỹ giải Phịng GD& ĐT số dạng tốn hàm số Huyện Cẩm đồ thị học sinh lớp Thủy B 2015 - 2016 A 2017 - 2018 Nâng cao kỹ giải Phòng GD& ĐT số dạng toán số học Huyện Cẩm cách sử dụng phương pháp Thủy 21 chặn Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh Hóa C 2018- 2019 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Xếp loại: TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG Chủ tịch 22 Nguyễn Thế Hiền ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM THỦY Sáng kiến kinh nghiệm tiêu biểu Xếp loại: A TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT Chủ tịch Nguyễn Thanh Sơn 23 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA Xếp loại: TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT Chủ tịch 24 ... biết phương pháp chứng minh bất đẳng thức, chưa nắm bất đẳng thức thường dùng để chứng minh bất đẳng thức khác,…, trước chứng minh bất đẳng thức dạng mà sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm. .. toán chứng minh bất đẳng thức, tiền đề cho giải dạng toán lớp 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để giúp cho học sinh nắm cách sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm chứng minh bất đẳng thức, ... phân số, để chứng minh ta sử dụng phương pháp làm trội, chứng minh sử dụng phương pháp làm giảm Đến giáo viên yêu cầu học sinh suy nghĩ đối chiếu với vừa làm để nêu phương án biến đổi Nhiều học sinh