SKKN khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC BÀI TỐN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ CĨ QUY LUẬT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Người thực hiện: Chức vụ: Đơn vị công tác: SKKN thuộc lĩnh vực: Nguyễn Thị Lâm Giáo viên Trường THCS Thăng Long Toán NÔNG CỐNG, NĂM 2017 MỤC LỤC TT 10 11 12 13 Tên mục I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp giải vấn đề Hiệu sáng kiến kinh nghiệm III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị Trang 02 02 02 03 03 04 04 04 04 19 21 21 21 I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Nghị Trung ương khóa VIII nêu rõ: “Giáo dục quốc sách hàng đầu”, phát triển giáo dục động lực quan trọng thúc đẩy nghiệp cơng nghiệp hóa - đại hóa đất nước, điều kiện phát huy nguồn nhân lực người, yếu tố để phát triển xã hội Giáo dục đào tạo thực mục đích “nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong thời đại hội nhập nay, phát triển mạnh mẽ khoa học cơng nghệ địi hỏi dân trí ngày phải nâng lên Vì vậy, từ ngồi ghế nhà trường, học sinh cần giáo dục nhân cách trí tuệ cách toàn diện nhất, tạo tảng vững để giúp em trở thành người đủ phẩm chất lực, có ích cho xã hội Muốn vậy, em cần rèn luyện lối tư sắc bén, lập luận chặt chẽ, linh hoạt nhanh nhẹn, có khả phán đốn, phân tích, tổng hợp, khái quát vấn đề, Để đáp ứng u cầu giáo dục, mơn Tốn chiếm vị trí vơ quan trọng tốn học khơng giúp học sinh có khả tính tốn, phát triển tư duy, suy luận lơgic mà tốn học cịn tiền đề cho mơn khoa học khác Tuy nhiên, tốn học, có nhiều vấn đề trừu tượng, cần vận dụng trực tiếp công thức làm Qua thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy có số dạng tốn mà học sinh gặp phải thấy có nhiều khó khăn, dạng tốn địi hỏi vẽ đường phụ hình học, tốn bất đẳng thức, tốn suy luận lơgic, Đối với lớp 6, đặc biệt có dạng tốn dãy số viết theo quy luật, dạng tốn tương đối khó với em tiếp xúc Nhiều học sinh khó hiểu gặp dạng tốn này, chưa tìm quy luật dãy số, em lúng túng, chưa định phương pháp giải tập cho hợp lý Trong đề thi học sinh giỏi cấp thường hay gặp dạng toán mà sách giáo khoa lại chưa đề cập nhiều, sách nâng cao có đề cập đến chưa sâu, thường cho em số tập rời rạc, không hệ thống, chưa hướng cho em biết cách khai thác toán thành toán đa dạng hơn, nên gặp khác chút em lại lúng túng Vì vậy, tơi mạnh dạn chọn đề tài “Khai thác tốn dãy phân số có quy luật chương trình tốn 6” để nghiên cứu, tìm tịi viết sáng kiến kinh nghiệm Mục đích nghiên cứu: Mục đích việc nghiên cứu đề tài khai thác, mở rộng dạng toán dãy phân số có quy luật thành toán đa dạng hơn, giúp học sinh biết cách nhận quy luật dãy cách nhanh chóng để từ định hướng phương pháp giải Khơng vậy, đề tài giúp học sinh rèn luyện thói quen gặp tốn, khơng tìm cách giải tốn mà cịn phải cố gắng tìm cách khai thác tốn để tốn mới, góp phần nâng cao kiến thức, khả tư tốn học, suy luận lơgic cho học sinh, khuyến khích em ln biết tìm tịi, khám phá, tăng đam mê niềm u thích tốn học cho em Đề tài giúp cho giáo viên hệ thống hóa dạng tốn dãy phân số có quy luật cách rời rạc thành chuỗi thống nhất, từ giúp học sinh tiếp thu dễ dàng, trình dạy học đạt hiệu cao Đối tượng phạm vi nghiên cứu: a Đối tượng nghiên cứu: - Nghiên cứu số dãy phân số có quy luật chương trình tốn lớp - Nghiên cứu hướng khai thác toán dãy phân số có quy luật Cụ thể, đề tài này, nghiên cứu hướng khai thác hai toán tổng dãy phân số có quy luật, là: - Khai thác tốn 1: tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số tích hai số tự nhiên liên tiếp - Khai thác toán 2: tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp b Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phạm vi 33 em học sinh lớp 6D trường THCS Trần Phú năm học 2016 - 2017 (trường THCS Trần Phú nơi làm nhiệm vụ dạy tăng cường) Phương pháp nghiên cứu: a Phương pháp xây dựng, hệ thống kiến thức: - Dựa vốn kiến thức sẵn có thân - Thảo luận, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp - Tham khảo tài liệu (sách vở, mạng internet) kiến thức đề tài b Phương pháp điều tra, khảo sát tình hình thực tế: - Nghiên cứu giải học sinh - Trị chuyện với học sinh khó khăn gặp dạng toán dãy phân số có quy luật, cách xử lý vấn đề em c Phương pháp phân tích, tổng hợp: - Phân tích tốn dạng dãy phân số có quy luật - Phân tích ngun nhân khó khăn học sinh - Tổng hợp kinh nghiệm khai thác tốn cách có hệ thống II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Trong q trình dạy học ơn tập cho học sinh thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 6, dạng tốn dãy phân số có quy luật dạng thường gặp Nhưng 0thực tế, gặp dạng này, nhiều học sinh tỏ lúng túng, khơng tìm cách giải, đặc biệt với dãy dạng mà có biến đổi phức tạp gây khó khăn cho học sinh, nhiều em thấy khó cịn nản chí Vì vậy, việc tìm quy luật dãy khai thác toán theo nhiều dạng tập khác trở nên cần thiết, giúp học sinh thành thạo gặp dạng tự tin gặp đề thi có tập liên quan Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trong trình dạy chương III phần Số học lớp - chương “Phân số”, tơi thấy nhiều em lúng túng, khơng tìm phương pháp giải cho dạng toán dãy phân số có quy luật Cả lớp 18/33 em làm tính tổng dãy phân số có quy luật mà em học từ lớp 4, có thay đổi nhỏ đề khơng em làm Trong q trình trao đổi, trị chuyện với học sinh trình khảo sát làm thực tế em, nhận số khó khăn em thường gặp, là: khơng tìm quy luật dãy có em tìm quy luật khơng biết cách giải vấn đề, em chưa biết cách khai thác dạng toán nên thay đổi đề chút lại khơng có hướng giải Các giải pháp giải vấn đề: Qua tham khảo tài liệu q trình tìm tịi, nghiên cứu với kinh nghiệm thực tế giảng dạy mình, tơi hướng dẫn học sinh khai thác toán chủ đề “dãy phân số viết theo quy luật” thành toán Cụ thể sau: Bài toán 1: 1 1 12 23 34 48 49 49 50 Tính giá trị biểu thức: A = Nhận thấy: A tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số tích hai số tự nhiên liên tiếp Giải: Ta có: 1 A=12 23 1 34 1 48 49 49 50 1 1 1 1 2 3 48 49 49 50 1 1 2 3 49 49 50 1 50 49 50 Từ tốn này, ta có số cách khai thác toán sau: Khai thác 1: Thêm vào biểu thức nhiều số hạng theo quy luật dãy, ta toán Chẳng hạn: 1 23 12 Tính giá trị biểu thức: A1 = 1 12 23 34 Giải: Ta có: A1 = 1 1 2 3 1 2 1 34 2015 2016 2015 2016 2015 1 3 2016 2017 2016 2017 2016 1 2016 2016 2016 2017 2017 2017 2016 2017 Khai thác 2: Từ toán 1, ta phát triển thành toán tổng quát Cụ thể là: Tính giá trị biểu thức: A2= Giải: Với n * 23 12 34 ( n 1) n , ta có: 1 12 23 34 A2= 1 1 1 3 1 2 3 n ( n 1) với n* 1 ( n 1) n n ( n 1) n 1 n n n 1 1 n n n 1 nn n Khai thác 3: Từ kết toán trên, ta phát triển thành toán so sánh hai biểu thức biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 1 1 98 99 99 100 với 12 23 34 So sánh: A3 = Giải: Ta có: A3 = 1 23 12 34 98 99 99 100 1 1 1 1 2 3 98 99 99 100 1 100 1 2 3 99 99 100 1 100 100 Vì > nên < Vậy A3 < Khai thác 4: Ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức vế tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 1 1 12 23 34 998 999 999 1000 Cho biểu thức: A4 = 2017 Chứng minh: A4 < 2016 1 1 12 23 34 998 999 999 1000 Giải: Ta có: A4 = 1 1 1 1 1 2 3 998 999 999 1000 1 1 1 2 3 1000 2017 1 999 999 1 1000 2017 Vì 1000 > nên - 1000 < Lại có : < 2016 suy - 1000 < 2016 2017 2016 Vậy A4 < (đpcm) Khai thác 5: Từ toán 1, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích số tự nhiên liên tiếp, ta có tốn khác Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: 2017 A5 = 2017 23 2017 Ta có: A5 = 2017 2017 2017 34 2015 2016 2016 2017 2017 2017 2017 2017 23 34 2015 2016 2016 2017 Giải: 2017 2017 2017 1 23 34 12 1 1 2 3 2015 2016 1 1 2 3 2016 2017 1 2015 2016 2016 1 2016 2016 2017 2017 2017 2017 2017 2016 2017 2016 Khai thác 6: Từ toán trên, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích số tự nhiên chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp, ta có tốn khác Chẳng hạn: 2 2 13 5 Tính giá trị biểu thức: 95 97 97 99 A6= 2 2 Giải: Ta có: A 6=13 35 57 95 97 97 99 1 1 1 1 3 5 95 97 97 99 1 3 1 5 97 97 99 1 99 99 98 Khai thác 7: Từ toán trên, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích hai số tự nhiên tử số, ta có tốn khác Chẳng hạn: 16 Tính giá trị biểu thức: A7 = 5 11 16 Giải: Ta có: A7 = 5 11 11 16 11 16 2006.2011 2006.2011 2011.2016 2011.2016 1 1 1 11 11 16 1 1 1 11 2006 2011 1 2011 2011 11 2011 2016 2016 2016 2015 2016 Khai thác 8: Từ toán trên, ta phát triển thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích số tự nhiên cách lượng khác tử số, ta có tốn khác Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: A8= Giải: Ta có: A8 = 16 16 11 11 16 11 11 16 5 16 5 5 2016 672 11 2011 2016 2011 2016 2006 2011 11 11 16 1 1 2006 2011 11 11 16 1 1 2006 2011 11 2006 2011 2016 1 2011 2011 2011 2011 2016 2016 2016 2015 403 Khai thác 9: Từ toán 1, bỏ số hạng vị trí chẵn (tính từ trái sang phải), ta toán Cụ thể sau: 12 Tính giá trị biểu thức: A9 = 1 34 12 Giải: Ta có: A9 = 1 34 56 56 97 98 97 98 99 100 99 100 1 1 1 99 100 1 1 4 1 99 100 1 99 100 1 1 1 1 98 100 1 49 50 1 1 51 52 53 99 100 Khai thác 10: Từ toán 1, ta phát triển thành toán với tử số nhau, mẫu số theo quy luật toán tính giá trị cụ thể Chẳng hạn: 1 1 1 4850 5150 Tính giá trị biểu thức: A10 = 14 35 65 1 1 1 14 35 65 4850 5150 Giải: Ta có: A10= 2 2 2 28 70 130 9700 10300 2 2 2 4 7 10 10 13 97 100 100 103 3 3 3 4 7 10 97 100 100 103 1 1 1 1 4 7 10 97 100 100 103 1 1 1 4 7 100 100 103 103 102 103 103 68 Khai thác 11: Từ toán 1, ta phát triển thành toán với tử số nhau, mẫu phân số tích ba số tự nhiên liên tiếp Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: 1 1 34 97 98 99 98 99100 A11 = 34 1 1 34 97 98 99 98 99 100 Giải:Ta có:A11 = 3 1 1 2 3 34 11 12 99100 9900 97 98 1 9899 9899 99 100 4949 4949 19800 Khai thác 12: Kết hợp dạng toán toán vừa phát triển hướng khai thác 11 ta toán Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: A12= 12 1 23 23 23 34 34 99 100 99 100 101 1 23 23 23 34 34 99 100 99 100 101 Giải: Ta có: A12= 12 1 23 34 99 100 1 1 1 12 1 2 3 1 12 1 100 1 23 23 34 100 99 14949 20200 1 123 234 45 99 100 101 99 100 1 45 1 99 100 100 101 100 101 5049 20200 Khai thác 13: Từ toán 1, ta phát triển thành toán với tử số nhau, mẫu phân số tích bốn số tự nhiên liên tiếp Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: = 1234 2345 3456 96 97 98 99 97 98 99 100 1 2345 3456 96 97 98 99 97 98 99 100 A13 Giải: Ta có: A13 =1234 10 1 23 1 34 34 11 123 9899100 45 96 9798 1 97 9899 97 9899 98 99 100 161699 970200 2910600 161699 Khai thác 14: Đổi dấu phân số 1, ta toán Cụ thể là: Tính giá trị biểu thức: A14 = 12 = Giải: Ta có: A14 1 12 23 23 34 1 3 34 48 49 12 34 1 1 1 1 1 48 49 49 50 49 50 1 48 49 48 49 50 1 49 49 50 50 49 50 Khai thác 15: Ta phát triển toán thành tốn tìm x biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: Tìm x biết : Giải : 1 12 34 56 12 34 56 Nhận thấy : 1 34 x 2017 2017 2017 2017 99 100 x 51 2017 52 2017 53 2017 100 2017 51 52 53 99 100 56 97 98 99 100 100 (1) 1 1 99 100 1 1 1 1 51 52 53 1 99 100 99 100 1 99 100 1 1 1 1 98 100 1 49 50 11 2017 51 2017 Lại có: 2017 2017 52 53 1 2017 2017 99 100 1 51 52 53 99 100 Nên từ (1) suy : 1 1 x 2017 1 1 52 53 99 100 51 52 53 99 100 51 x 2017 Khai thác 16: Ta phát triển dạng tốn thành tốn tính tỉ số hai biểu thức, có biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật A 1 2015 2016 Chẳng hạn: Tính tỉ số B với: A = 1 B = 1009 1010 1011 A=12 34 56 2016 2015 2016 Giải: Ta có: 1 1 1 2015 2016 1 1 1 1 1 1 1 1009 1010 1011 1 1 1009 1010 1011 Mà B = Vậy B 2015 2015 2016 2016 1 2016 1 1 2016 1008 1 2016 A1 nên suy B A1 Khai thác 17: Từ toán 1, giữ nguyên tử số 1, phát triển dãy mẫu số từ dạng dãy tích hai số tự nhiên liên tiếp thành dạng dãy giai thừa số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: Cho biểu thức: A17 = 2! 1 3! 4! 200! Chứng minh: A17 < Giải: Nhận thấy: 12 2! 3! 1 12 1 23 1 1 32 1 1 234 34 4! 200! Từ đó, suy ra: A17 = 2! 1 199 200 11 200! < 3! 4! Vậy A17 < Khai thác 18: 1 Chẳng hạn: Cho phân số: b Chứng minh: a chia hết cho 151 12 1 1 34 1 1 199 200 199 200 1 199 200 1 1 34 56 1 1 a Suy ra: 11 200 34 56 1 97 98 1 99 100 1 99 99 1 51 52 1 53 99 100 100 1 100 1 1 1 1 99 100 a , b; b 99 100 1 1 51 52 53 99 100 b Từ toán 1, ta phát triển thành tốn tính chia hết a Giải: Ta có: 1 98 100 1 49 50 51 100 52 99 75 76 151151 151 51 100 52 9975 76 51 52 53 99 100 Chọn MC = k25, ta : , gọi thừa số phụ tương ứng k1, k2, k3, , 151 k1 k k k25 b51 52 53 99 100 a Phân số có tử số chia hết cho 151 (151 số nguyên tố) mà mẫu số không chứa thừa số nguyên tố 151 nên rút gọn đến phân số tối giản tử số chia hết cho 151 hay a chia hết cho 151 13 Vậy a chia hết cho 151 Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức: B = 2 10 2 Nhận thấy: A tổng phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp Giải: Ta có: B = 1 2 2 10 (1) Suy ra: 2B = 22 29 (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B 1 10 1 1024 1023 1024 1023 1024 Vậy B = Từ tốn này, ta có số cách khai thác toán sau: Khai thác 1: Thêm vào biểu thức nhiều số hạng theo quy luật dãy, ta toán Chẳng hạn: 1 22 23 Thu gọn biểu thức: B1 = 22017 B1 = 2B1 = 11 Giải: Ta có: Suy ra: 1 22 23 22017 (1) 22016 (2) 1 Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B1 22016 Khai thác 2: Từ toán 2, ta phát triển thành toán tổng quát Cụ thể là: 1 * n với n Thu gọn biểu thức: B2 = 2 n * Giải: Với , ta có: B2 = Suy : 2B2 = 2 1 22 n (1) 2n (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được: B2 1 2n 14 Vậy B2 2n * với n Khai thác 3: Từ kết toán trên, ta phát triển thành toán so sánh hai biểu thức biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 1 100 với So sánh : B3 = 2 1 100 Giải :Ta có : B3 = (1) 2 1 Suy : 2B3 = 22 (2) 299 1 Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B3 100 Vì 2100 > nên - 2100 < Suy B3 < Khai thác 4: Từ toán 2, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp, ta có tốn khác Chẳng hạn: Thu gọn biểu thức: B4 = 3 3 4 Giải: Ta có : B4 = 3 4 = 3 100 100 4 4 100 (1) 99 4 (2) Suy : 4B4 = Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : 3B4 B4= 100 100 Khai thác 5: Ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức vế tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 3 3 1000 4 4 Cho B5 = Chứng minh: B5 < 3 3 1000 4 Giải: Ta có: B5 = 15 = 4 4B5 = 3 Suy : 4 1000 (1) 999 (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : 3B5 B5= 4 1000 41000 1 1 1 > nên 4 < Suy B5 < Khai thác 6: Từ toán 2, ta phát triển thành toán với dãy phân số có tử số khác 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên theo cấp số cộng Chẳng hạn: Vì 1000 1000 Thu gọn biểu thức: B6 = 2017 Giải: Ta có : B6 = = 2017 2017 44 47 2017 2017 410 42017 2017 44 47 2017 1 4 2017 2017 410 4 42017 10 2017 2017 (1) 2014 4 4 Suy : 43 B6 = (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : 2017 63.B6 1 4 2017 2017 63 4 2017 B6 Khai thác 7:Từ toán 2,đổi dấu phân số (dấu “+” thành dấu “-”, ta có tốn Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: B7 = Giải: Ta có: B7 = 1 2 1 2 10 10 (1) Suy ra: 2B7 = 22 29 (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B 10 16 1024 1024 1023 Khai thác 8: Từ toán 2, đan xen dấu phân số, ta có tốn Chẳng hạn: Thu gọn biểu thức: B8 = Giải: Ta có: B8 = 74.B8 = 5 13 7 1 7 7 7 5 197 201 13 17 201 197 17 197 17 1 13 51 Suy : 5 = 7 13 193 201 197 7 (1) (2) c (2) với đẳng thức (1), ta được: 2402 B8 Cộng vế với vế đẳng thứ 1 201 201 2402 B8 Khai thác 9: Ta phát triển dạng toán thành tốn tìm x biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật 1917 1 1 x 2 100 Chẳng hạn: 2 Tìm x biết : 2 Giải : Đặt B9 = Suy : 2B9 = 2 2 2 100 (1) 99 (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B9 Khi đó: 2 1 100 1917 100 x 2 1 1917 x 100 x 21917 100 x22017 2017 Vậy x 17 Khai thác 10: Từ toán 2, giữ nguyên tử phân số 1, thay dãy mẫu số phân số thành dãy lũy thừa bậc hai số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: 2 Chứng minh: B10= Giải: Nhận thấy: 1 1 12 1 23 1 34 1 22 1002 1 100 99 100 1 99 100 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: 1 B10= 2 1 100 2 1 B10 < 100 2 3 99 100 Vậy B10 < Khai thác 11: Từ toán 2, giữ nguyên tử phân số 1, thay dãy mẫu số phân số thành dãy lũy thừa bậc ba số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: 1 3 Chứng minh: B11= Giải: Nhận thấy: 100 1 23 12 1 23 34 23 1 34 43 45 1 34 45 100 99 100 101 1 1 1 99 100 100 101 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: B11= 1 3 B11< 12 1 12 23 1 100 101 3 100 100 101 1 23 34 1 99100 100 101 18 Vậy B11 < Khai thác 12: Từ toán 2, giữ nguyên tử phân số 1, thay dãy mẫu số phân số thành dãy lũy thừa bậc bốn số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: Chứng minh: Giải: 1 B12 = 44 54 Nhận thấy: 1 100 64 18 1 1234 123 2345 23 34 3456 1 34 45 4 4 100 234 1 97 9899 100 1 97 98 99 98 99 100 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: B 1 4 12 1 123 34 B12< 1004 234 12 3 45 98 99 100 97 9899 18 98 99100 98 99 100 18 18 Vậy B12 < Khai thác 13: Từ toán 2, ta phát triển thành toán với tử số khác 1, dãy mẫu số dãy lũy thừa bậc năm số tự nhiên liên tiếp Chẳng hạn: Chứng minh: Giải: B13= 5 100 24 Nhận thấy: 45 4 12345 23456 4 34567 4 100 1234 2345 3456 97 98 99 100 101 2345 3456 4567 1 97 98 99 100 98 99 100 101 19 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: B 13 45 1234 55 65 2345 B13