(SKKN 2022) một số kinh nghiệm hướng dẫn khai thác bài toán so sánh tổng của dãy phân số với một số nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn môn toán 6 trường THCS

1 MỤC LỤC TT 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 Nội dung MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận Thực trạng vấn đề chưa áp dụng SKKN Các giải pháp áp dụng để giải vấn đề Kiến thức so sánh phân số Các giải pháp thực Cập nhật toán có đề thi HSG Tốn năm học 2021-2022 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 2 2 3 4 15 16 17 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Qua nhiều năm công tác, giảng dạy ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn, nội dung mà học sinh gặp nhiều khó khăn đề thi nói chung đề thi học sinh giỏi nói riêng tập phần số học Thực tế nhiều năm liền kỳ thi học sinh giỏi môn Tốn cấp tỉnh, học sinh giải hết phần số học Đối với huyện Như Thanh giải nửa số lượng phần Vì mà ảnh hưởng khơng nhỏ đến khả đạt giải em Thực tế, thời lượng cho phần số học chương trình Tốn THCS không nhiều, chủ yếu kiến thức nằm chương trình Tốn Điểm khó với đối tượng học sinh lớp 6, việc thay đổi môi trường học tập từ trường Tiểu học lên THCS, với yêu cầu cao tư suy luận Mặt khác, khả ngôn ngữ để diễn đạt vấn đề lập luận có em lớp hạn chế Và với chương trình giáo dục phổ thơng 2018 việc tiếp cận khai thác vấn đề số học khó khăn Vì thế, mà học sinh lớp gặp khơng khó khăn q trình học tập giải tốn Một thực tế kiến thức Số học chương trình GDPT 2018, đưa khái niệm ban đầu Các tập sách giáo khoa, sách tập nguồn tài liệu khác hạn chế, thường trọng đến việc đưa lời giải cụ thể cho mà chưa quan tâm đến việc khái quát phân dạng Trong trình giảng dạy, tơi thấy tốn so sánh dãy phân số dạng tốn hay khó đối em học sinh lớp Vậy, làm để em lớp tiếp cận, tìm tịi giải tốt tốn? Và đặc biệt cách tiếp cận phải phù hợp trình nhận thức học sinh, từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp Từ lý đó, tơi mạnh dạn viết sáng kiến “Một số kinh nghiệm khai thác toán so sánh tổng dãy phân số với số nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn mơn tốn trường THCS Thị trấn Bến Sung” để trao đổi thảo luận chia sẻ với đồng nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài góp thêm số kinh nghiệm việc hướng dẫn học sinh lớp tìm tịi, khai thác tốn, đặc biệt tốn so sánh dãy phân số Từ giúp em hiểu rõ chất toán biết cách suy luận logic Đồng thời góp phần rèn luyện khả tư linh hoạt sáng tạo giải tốn Đây khơng phải đề tài mẻ đặc sắc với sáng kiến giúp em nhìn nhận vấn đề cách có hệ thống, mạch lạc tự tin gặp dạng toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu toán so sánh tổng dãy phân số thuộc phạm vi chương trình tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế toán so sánh - Phương pháp thực hành giải toán - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Chúng ta biết rằng, dù dạng tốn phải u cầu học sinh nắm vững kiến thức Phân tích cho học sinh thấy mối quan hệ đối tượng, biết với chưa biết, tìm hiểu Từ hướng dẫn em vận dụng sáng tạo, linh hoạt vào tình tốn cụ thể Việc hướng dẫn học sinh ôn tập từ kiến thức để giải tốn từ dễ đến khó, nâng dần mức độ đảm bảo khả tiếp thu học sinh hồn tồn phù hợp với q trình nhận thức Trong học tập nói chung học tốn nói riêng, người học mà tự tìm tịi, khai thác hệ thống kiến thức từ toán khơng giúp cho người học nhớ, lâu tránh lối tiếp thu thụ động mà tạo thói quen suy nghĩ tích cực, tư linh hoạt sáng tạo, góp phần tích cực hóa hoạt động học tập 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua việc dạy học lớp chọn ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6, thân nhận thấy tốn phân số có giá trị ngun ln nội dung khó em học sinh lớp 6, kể với em đội tuyển học sinh giỏi mơn tốn Trước triển khai đề tài, thân tiến hành khảo sát kiến thức với 20 học sinh lớp 6D1 trường THCS Thị trấn Bến Sung Các em học sinh có lực học khá, giỏi mơn Tốn Đề kiểm tra khảo sát: (Thời gian: 30 phút) Bài 1: (8,0 điểm) So sánh 1 1 + + + + a) A = với 1.2 2.3 3.4 2021.2022 1 1 b) B = + + + + với 20222 1 1 1 13 Bài (2,0 điểm) Cho C = + + + + + + Chứng minh < C < Kết kiểm tra Tổng số HS 20 Giỏi Khá TB Yếu, Kém SL % SL % SL % SL % 0 0 14 70 30 Từ kết cho thấy, em có lực học giỏi kết nhiều hạn chế Kinh nghiệm làm chưa có, khả suy luận, lập luận cịn hạn chế Nhiều em cịn khơng xác định hướng giải tốn Đặc biệt, khơng có học sinh có phương án làm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức so sánh phân số - So sánh phân số mẫu; tử; - Tính chất bắc cầu; - Khái niệm làm trội, làm giảm so sánh; - Phương pháp khử tính tổng dãy số có quy luật 2.3.2 Các giải pháp thực Giải pháp Dùng phương pháp khử để tính tổng (thu gọn) so sánh a) Đối với tổng phân số có mẫu dạng tích Ví dụ (Bài 1a, phần khảo sát thực trạng) 1 1 + + + + Cho A = So sánh A với 1.2 2.3 3.4 2021.2022 * Phân tích hướng dẫn: - HS dễ dàng nhận tổng quen thuộc, ta dùng phương pháp khử liên tiếp để tính (thu gọn) so sánh với * Sơ lược cách giải: - Ta có: 1 1 1 1 1 A= + + + + = − + − + − + + − 1.2 2.3 3.4 2021.2022 2 3 2021 2022 =1− 1) So sánh 1.2 2.3 3.4 ( n − 1) n với ( Từ phương pháp trên, tương tự ta giải ví dụ Ví dụ So sánh: 1 1 + + + + a) P = với 3.5 5.7 7.9 97.99 1 1 + + + + b) Q = với 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 * Phân tích hướng dẫn - Với biểu thức này, học sinh quen thuộc Tư toán ta cần dùng phương pháp khử liên tiếp để tính tổng (thu gọn) so sánh * Sơ lược cách giải 1 1 P= + + + + a) Ta có: 3.5 5.7 7.9 97.99 1 2 2  =  + + + + ÷  3.5 5.7 7.9 97.99  11 1 1 1  =  − + − + − + + − ÷ 23 5 7 97 99  11  1 =  − ÷<  99  Suy ra: P < 1 1 Q= + + + + b) Ta có: 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 1 2 2  =  + + + + ÷  1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100  1 1 1 1 1  =  − + − + − + + − ÷  1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 98.99 99.100  1 1  1 =  − ÷<  1.2 99.100  2 * Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta phát biểu thành tốn tổng qt 1 1 + + + + Chẳng hạn, toán: So sánh với 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( n − 1) n.( n + 1) Suy ra: Q < Ví dụ So sánh 43 + 2 + 2 + + 2 2 3 21 22 * Phân tích hướng dẫn : - Yêu cầu quan sát đặc điểm liên hệ thừa số mẫu tử số - Mỗi phân số có tách thành hiệu hai phân số, để thực việc khử liên tiếp ví dụ khơng ? * Sơ lược cách giải Ta có: 43 22 − 12 32 − 22 − 32 222 − 212 + + + + 2 = 2 + 2 + 2 + + 12.22 22.32 32.42 21 22 2 3 212.22 =1− 1 1 1 1 + − + − + + − = − < 2 3 21 22 22 Vậy, 43 + + + + +  + ÷+  + + + ÷  4   10 10 10  1 ⇒ A > + + = 10 ⇒ A> 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: A = + + + + =  + ÷+  + + + ÷+  + ÷  3   8 9 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ A <  + ÷+  + + + ÷+  + ÷  2  4 4 8 8 1 ⇒ A < + + = ⇒ A< Vậy, < A < - Để chứng minh 13 * Nhận xét: Với tốn trên, việc phân tích để tìm tịi cách làm khó khăn học sinh lớp 6, tổng tùy yêu cầu so sánh mà có cách nhóm đánh giá khác Để làm tốt được, em cần thực hành nhiều có nhạy cảm định toán Tương tự, quay lại với phần khảo sát: 1 1 1 13 Cho C = + + + + + + Chứng minh < C < 1 Việc so sánh phân số với , không giải tốn Vì vậy, ta phải nghĩ đến việc thực nhóm số hạng tương tự ví dụ 11 Cụ thể sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: C = + + + + + + = +  + ÷+  + + + ÷ 3 4 5 8 1 ⇒ C > + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Lại có: C = + + + + + + =  + ÷+  + ÷+  + + ÷  3  5 6 8 1 13 ⇒ C < + + = < 6 13 ⇒C < 13 Vậy, < C < 1 1 >4 Ví dụ 12 Chứng minh rằng: P = + + + + + 64 * Phân tích hướng dẫn: - Nhận thấy, mẫu phân số biểu thức số tự nhiên liên tiếp, phân số cuối mẫu 64 = 26 Ta chia biểu thức thành nhóm, nhóm có phân số có mẫu lũy thừa 2, để ta làm giảm giá trị thực so sánh với phân số có mẫu lũy thừa - Ta nhóm sau: 1 1 1 1 1   P = + +  + ÷+  + + + ÷+ +  + + + ÷ 3 4 5 8 64   33 34 * Sơ lược cách làm 1 1 Ta có: P = + + + + + 64 1 1 1 1 1   = + +  + ÷+  + + + ÷+ +  + + + ÷ 3 4 5 8 64   33 34 1 1 1 1 1   P > + +  + ÷+  + + + ÷+ +  + + + ÷  4 8 8 64   64 64 14 1 1 + + + + 32 = 4 64 Suy ra: P > * Nhận xét: Tuy tốn khó, có phương pháp tư riêng nó, nắm bắt ta giải dễ dàng toán Đề tham khảo mức độ phức tạp dạng này, ta đến với ví dụ sau: 1 1 2021 < A < 2021 Ví dụ 12 Cho A = + + + + + 2021 Chứng minh −1 * Phân tích hướng dẫn - Quan sát ta nhận thấy điểm đặc biệt số hạng mẫu số tự nhiên liên tiếp số hạng cuối có xuất lũy thừa số Đặc điểm gợi ý quan trọng để tìm cách giải tốn - Tương tự ta chia tổng thành nhóm, nhóm có số hạng có mẫu lũy thừa 2, sau: 1  1 1  1 1  1  A = +  + ÷+  + + + ÷+  + + + + ÷+ +  2020 + + 2021 ÷   10 15  −1   3  2 Làm trội giá trị để so sánh phân số nhóm với 1 ; ; ; 2020 để chứng minh A < 2021 2 2021 Tương tự chứng minh A > * Sơ lược cách làm 1 1 Ta có: A = + + + + + 2021 −1 1  1 1  1 1  1  = +  + ÷+  + + + ÷+  + + + + ÷+ +  2020 + + 2021 ÷   10 15  −1   3  2 1 1 1 1  1 1  1  A < +  + ÷+  + + + ÷+  + + + + ÷+ +  2020 + + 2020 ÷  2 2   2 2 2 2 1 1 A < + + + + + 2020 2020 = 2021 2 2 Ta có:  1 1   1 1  1  A =  + ÷ +  + ÷ +  + + ÷ +  + + + ÷ + +  2020 + + 2021 ÷ − 2021   10    2 3  5  +1 1 1 2021 A > + + 2 + + + 2020 2021 − 2021 = + − 2021 2 2 2 2021 A> * Nhận xét: Bài toán phát biểu thành tốn tổng quát sau: P >1+ 15 1 1 n + + + + n , n ∈ N , n ≥ Chứng minh < A < n −1 Và với biểu thức so sánh tổng phân số với mẫu số tự nhiên, ta xây dựng hệ thống tập cho dạng sau: 1 1 + + + Chứng minh < P < Bài Cho P = + 21 22 23 80 Cho A = + Bài Chứng minh: 1 1 < + + + + + < 12 41 42 43 79 80 1 1 Bài Cho A = + + + + Chứng minh A số tự nhiên 17 1 1 + + + Bài So sánh M = + với 31 32 89 90 1 1 >1 Bài Chứng minh rằng: A = + + + 12 13 14 144 Bài 2.3.4 Cập nhật tập so sánh xuất đề thi HSG mơn Tốn năm học 2021-2022 Bài Câu đề thi HSG Triệu Sơn, Triệu Sơn- Thanh Hóa năm học 2021-2022 457 456 455 + + + + Cho A = Chứng minh A > 2016 457 Bài Câu 5, đề thi HSG Toán 6, Bá Thước- Thanh Hóa năm học 2021-2022 1 1 Cho A = + + + + + 100 Chứng minh rằng: 50 < A < 100 −1 Bài Câu đề thi HSG Tốn 6, Vũ Thư- Thái Bình năm học 2021-2022 201 202 Cho D = − + − + + 202 − 203 Hãy so sánh D với 7 7 7 64 15 2023 − Bài Cho A = + + + + Chứng minh giá trị A 20232 số tự nhiên Bài Câu đề thi HSG Tốn 6, Như Xn- Thanh Hóa năm học 2021-2022 2 2 13 + > Chứng minh A = + + + + 11 12 13 39 40 Bài Câu đề thi HSG Tốn 6, TP Sầm Sơn- Thanh Hóa năm học 2021-2022 1 1 Cho biểu thức S = + + + + + Chứng minh < S < 63 Bài Câu đề thi HSG Toán TP Bắc Ninh năm học 2021-2022 100 Cho A = + + + + 100 Chứng minh A < 3 3 Bài Câu đề thi HSG Toán, Quảng Xương- Thanh Hóa 2021 2022 Cho tổng A = + + + + 2020 + 2021 So sánh A với 2 2 16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau thời gian áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, tơi nhận thấy học sinh có nhiều tiến gặp toán so sánh chương trình tốn Nhiều em thấy hứng thú, say mê tìm hiểu tự tin Việc lồng ghép hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng từ toán biết vào tốn tương tự khó hơn, phức tạp hơn, giúp em chủ động tiếp thu kiến thức, kích thích tìm tịi sáng tạo, qua em làm chủ kiến thức để tiếp nhận tập khác cách nhẹ nhàng điều giúp đạt kết cao kì thi Sau triển khai đề tài, để kiểm định chất lượng sáng kiến, cho học sinh làm kiểm tra, thời gian kiểm tra 30 phút Đối tượng kiểm tra: 20 học sinh học sinh có lực học giỏi mơn Tốn lớp 6D1 trường THCS TT Bến Sung Đề kiểm tra: (Thời gian: 30 Phút) Bài (6,0điểm) 1 1 + + + + a) So sánh A = với 3.7 7.11 11.15 43.47 12 1 1 b) Cho B = + + + + Chứng minh B < 2 50 Bài (4,0 điểm) 2022 a) Chứng minh C = + + + + 2022 < 5 5 1 1 b) Cho S = + + + + Chứng minh rằng: < S < 31 32 33 60 5 Kết thu : Giỏi Khá TB Yếu, Tổng số HS SL % SL % SL % SL % 20 15% 10 50% 30% 5% Đối chiếu với kết khảo sát cho thấy học sinh có tiến rõ rệt: Với nội dung kiểm tra khó phức tạp đề khảo sát kết hồn thành học sinh tốt Chỉ cịn học sinh có điểm yếu, kém; chủ yếu đạt điểm giỏi; có em học sinh giải tốt Tuy nhiên, đề tài có hiệu cao đối tượng học sinh có lực học khá, giỏi khối 6, có hiệu em có lực học TB yếu, mơn Tốn Vì vậy, đề tài nên triển khai chuyên đề nâng cao ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi Toán 6, KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Đây chuyên đề phù hợp với em học sinh có lực mơn Tốn việc em lĩnh hội khơng gặp nhiều khó khăn 17 Trong phạm vi nhỏ đề tài thân chưa thể bao quát hết kiến thức từ việc khai thác kết toán, nhiên thực có tác dụng tốt học sinh Từ thành công việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy xin mạnh dạn chia sẻ đồng nghiệp Bài viết tránh khỏi hạn chế thiếu sót, mong nhận góp ý để đề tài hồn thiện 3.2 Kiến nghị: Không XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Như Thanh, ngày 10 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Vũ Chí Cường Tài liệu tham khảo: [1] Nâng cao phát triển toán 6-Tập hai Tác giả: Vũ Hữu Bình NXB Giáo Dục Việt Nam, năm 2021 [2] Tốn nâng cao chuyên đề toán Tác giả: Vũ Dương Thụy chủ biên NXB Giáo Dục, năm 2006 18 [3] Tài liệu chuyên toán trung học sở tốn tập Tác giả: Vũ Hữu Bình chủ biên NXB Giáo Dục Việt Nam, năm 2014  ... đến cao, từ đơn giản đến phức tạp Từ lý đó, tơi mạnh dạn viết sáng kiến ? ?Một số kinh nghiệm khai thác toán so sánh tổng dãy phân số với số nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn mơn tốn trường THCS. .. chia sẻ với đồng nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài góp thêm số kinh nghiệm việc hướng dẫn học sinh lớp tìm tịi, khai thác toán, đặc biệt toán so sánh dãy phân số Từ giúp em hiểu rõ chất toán. .. 3 3 3 16 2021 Bài Cho tổng T = + + + + 2021 So sánh T với 2 2 Giải pháp Làm trội, làm giảm giá trị phân số để so sánh a) Đối với tổng dãy phân số có mẫu bình phương số tự nhiên Ví dụ (Bài 1b,