Khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC BÀI TỐN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ CĨ QUY LUẬT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Người thực hiện: Chức vụ: Đơn vị công tác: SKKN thuộc lĩnh vực: Nguyễn Thị Lâm Giáo viên Trường THCS Thăng Long Toán NÔNG CỐNG, NĂM 2017 MỤC LỤC TT 10 11 12 13 Tên mục I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp giải vấn đề Hiệu sáng kiến kinh nghiệm III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị Trang 02 02 02 03 03 04 04 04 04 19 21 21 21 I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Nghị Trung ương khóa VIII nêu rõ: “Giáo dục quốc sách hàng đầu”, phát triển giáo dục động lực quan trọng thúc đẩy nghiệp cơng nghiệp hóa - đại hóa đất nước, điều kiện phát huy nguồn nhân lực người, yếu tố để phát triển xã hội Giáo dục đào tạo thực mục đích “nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong thời đại hội nhập nay, phát triển mạnh mẽ khoa học cơng nghệ đòi hỏi dân trí ngày phải nâng lên Vì vậy, từ ngồi ghế nhà trường, học sinh cần giáo dục nhân cách trí tuệ cách toàn diện nhất, tạo tảng vững để giúp em trở thành người đủ phẩm chất lực, có ích cho xã hội Muốn vậy, em cần rèn luyện lối tư sắc bén, lập luận chặt chẽ, linh hoạt nhanh nhẹn, có khả phán đốn, phân tích, tổng hợp, khái quát vấn đề, Để đáp ứng u cầu giáo dục, mơn Tốn chiếm vị trí vơ quan trọng tốn học khơng giúp học sinh có khả tính tốn, phát triển tư duy, suy luận lơgic mà tốn học tiền đề cho mơn khoa học khác Tuy nhiên, tốn học, có nhiều vấn đề trừu tượng, cần vận dụng trực tiếp công thức làm Qua thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy có số dạng tốn mà học sinh gặp phải thấy có nhiều khó khăn, dạng tốn đòi hỏi vẽ đường phụ hình học, tốn bất đẳng thức, tốn suy luận lơgic, Đối với lớp 6, đặc biệt có dạng tốn dãy số viết theo quy luật, dạng tốn tương đối khó với em tiếp xúc Nhiều học sinh khó hiểu gặp dạng tốn này, chưa tìm quy luật dãy số, em lúng túng, chưa định phương pháp giải tập cho hợp lý Trong đề thi học sinh giỏi cấp thường hay gặp dạng toán mà sách giáo khoa lại chưa đề cập nhiều, sách nâng cao có đề cập đến chưa sâu, thường cho em số tập rời rạc, không hệ thống, chưa hướng cho em biết cách khai thác toán thành toán đa dạng hơn, nên gặp khác chút em lại lúng túng Vì vậy, tơi mạnh dạn chọn đề tài “Khai thác tốn dãy phân số có quy luật chương trình tốn 6” để nghiên cứu, tìm tòi viết sáng kiến kinh nghiệm Mục đích nghiên cứu: Mục đích việc nghiên cứu đề tài khai thác, mở rộng dạng toán dãy phân số có quy luật thành toán đa dạng hơn, giúp học sinh biết cách nhận quy luật dãy cách nhanh chóng để từ định hướng phương pháp giải Khơng vậy, đề tài giúp học sinh rèn luyện thói quen gặp tốn, khơng tìm cách giải tốn mà phải cố gắng tìm cách khai thác tốn để tốn mới, góp phần nâng cao kiến thức, khả tư tốn học, suy luận lơgic cho học sinh, khuyến khích em ln biết tìm tòi, khám phá, tăng đam mê niềm u thích tốn học cho em Đề tài giúp cho giáo viên hệ thống hóa dạng tốn dãy phân số có quy luật cách rời rạc thành chuỗi thống nhất, từ giúp học sinh tiếp thu dễ dàng, trình dạy học đạt hiệu cao Đối tượng phạm vi nghiên cứu: a Đối tượng nghiên cứu: - Nghiên cứu số dãy phân số có quy luật chương trình tốn lớp - Nghiên cứu hướng khai thác toán dãy phân số có quy luật Cụ thể, đề tài này, nghiên cứu hướng khai thác hai toán tổng dãy phân số có quy luật, là: - Khai thác tốn 1: tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số tích hai số tự nhiên liên tiếp - Khai thác toán 2: tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp b Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phạm vi 33 em học sinh lớp 6D trường THCS Trần Phú năm học 2016 - 2017 (trường THCS Trần Phú nơi làm nhiệm vụ dạy tăng cường) Phương pháp nghiên cứu: a Phương pháp xây dựng, hệ thống kiến thức: - Dựa vốn kiến thức sẵn có thân - Thảo luận, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp - Tham khảo tài liệu (sách vở, mạng internet) kiến thức đề tài b Phương pháp điều tra, khảo sát tình hình thực tế: - Nghiên cứu giải học sinh - Trò chuyện với học sinh khó khăn gặp dạng toán dãy phân số có quy luật, cách xử lý vấn đề em c Phương pháp phân tích, tổng hợp: - Phân tích tốn dạng dãy phân số có quy luật - Phân tích ngun nhân khó khăn học sinh - Tổng hợp kinh nghiệm khai thác tốn cách có hệ thống II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Trong q trình dạy học ơn tập cho học sinh thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 6, dạng tốn dãy phân số có quy luật dạng thường gặp Nhưng 0thực tế, gặp dạng này, nhiều học sinh tỏ lúng túng, khơng tìm cách giải, đặc biệt với dãy dạng mà có biến đổi phức tạp gây khó khăn cho học sinh, nhiều em thấy khó nản chí Vì vậy, việc tìm quy luật dãy khai thác toán theo nhiều dạng tập khác trở nên cần thiết, giúp học sinh thành thạo gặp dạng tự tin gặp đề thi có tập liên quan Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trong trình dạy chương III phần Số học lớp - chương “Phân số”, tơi thấy nhiều em lúng túng, khơng tìm phương pháp giải cho dạng toán dãy phân số có quy luật Cả lớp 18/33 em làm tính tổng dãy phân số có quy luật mà em học từ lớp 4, có thay đổi nhỏ đề khơng em làm Trong q trình trao đổi, trò chuyện với học sinh trình khảo sát làm thực tế em, nhận số khó khăn em thường gặp, là: khơng tìm quy luật dãy có em tìm quy luật khơng biết cách giải vấn đề, em chưa biết cách khai thác dạng toán nên thay đổi đề chút lại khơng có hướng giải Các giải pháp giải vấn đề: Qua tham khảo tài liệu q trình tìm tòi, nghiên cứu với kinh nghiệm thực tế giảng dạy mình, tơi hướng dẫn học sinh khai thác toán chủ đề “dãy phân số viết theo quy luật” thành toán Cụ thể sau: Bài toán 1: 1 1      2� 3� 48 � 49 49 � 50 Tính giá trị biểu thức: A = � Nhận thấy: A tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số tích hai số tự nhiên liên tiếp Giải: Ta có: 1 1      2� 3� 48 � 49 49 � 50 A = 1� 1 1 1 1            2 3 48 49 49 50 � � 1� � 1� �   �  � �   �  �   � � 2� � 3� � 49 49 � 50  1  50 49 50 Từ tốn này, ta có số cách khai thác toán sau: Khai thác 1: Thêm vào biểu thức nhiều số hạng theo quy luật dãy, ta toán Chẳng hạn: 1 1      2� 3� 2015 � 2016 2016 � 2017 Tính giá trị biểu thức: A1 = � 1 1      2� 3� 2015 � 2016 2016 � 2017 Giải: Ta có: A1 = � 1 1 1 1          2 3 2015 2016 2016 2017 � � 1� �1 1� �  1 �   � �   �  �    � � 2� � 3� � 2016 2016 � 2017  1 2017 2016  2017  1 Khai thác 2: Từ toán 1, ta phát triển thành toán tổng quát Cụ thể là: Tính giá trị biểu thức: 1 1      2� 3� (n  1) � n n� ( n  1) với n �* A2 = � Giải: * Với n � , ta có: 1 1      2� 3� (n  1) � n n� ( n  1) A2 = � 1 1 1 1          2 3 n 1 n n n 1 � 1� �1 1� �1 1�  1 �   � �   �   �   �  � 2� � 3� � n n � n 1  1 n 1 n  n 1  1 Khai thác 3: Từ kết toán trên, ta phát triển thành toán so sánh hai biểu thức biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 1 1      2� 3� 98 � 99 99 � 100 với So sánh: A3 = � 1 1      2� 3� 98 � 99 99 � 100 Giải: Ta có: A3 = � 1 1 1 1            2 3 98 99 99 100 � � 1� �1 1� �  1 �   � �   �   �    � � 2� � 3� � 99 99 � 100  1 100 1 Vì 100 > nên - 100 < Vậy A3 < Khai thác 4: Ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức vế tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 1 1      2� 3� 998 � 999 999 � 1000 Cho biểu thức: A4 = � 2017 Chứng minh: A4 < 2016 1 1      2� 3� 998 � 999 999 � 1000 Giải: Ta có: A4 = � 1 1 1 1          2 3 998 999 999 1000 � � 1� �1 1� �  1 �   � �   �   �    � � 2� � 3� � 999 999 � 1000  1 1000 1 2017 2017 Vì 1000 > nên - 1000 < Lại có : < 2016 suy - 1000 < 2016 2017 Vậy A4 < 2016 (đpcm)  1 Khai thác 5: Từ toán 1, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích số tự nhiên liên tiếp, ta có tốn khác Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: Giải: 2017 2017 2017 2017 2017      2� 3� 2015 � 2016 2016 � 2017 A5 = � 2017 2017 2017 2017 2017      2� 3� 2015 � 2016 2016 � 2017 Ta có: A5 = � 1 1 �1 �  2017 �     �  � 1� 2� 3� 2015 � 2016 2016 � 2017 � � 1 1 � � 1 1  2017 �           � � 2015 2016 2016 2017 � � 2 3 � � 1� � 1� � � �  2017 � 1 �   � �   �   �   � � � � 2016 2016 � 2017 � � � 2� � 3� � �  2017 � 1 � � � 2017 � 2016  2017 � 2017  2016 Khai thác 6: Từ tốn trên, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích số tự nhiên chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp, ta có toán khác Chẳng hạn: 2 2      3� 5� 95 � 97 97 � 99 Tính giá trị biểu thức: A6 = � Giải: Ta có: A 2 2      1� 3� 5� 95 � 97 97 � 99 = 1 1 1 1            3 5 95 97 97 99 � � 1� � 1� �   �  � �   �  �   � � 3� � 5� � 97 97 � 99  1 99 98  99 Khai thác 7: Từ toán trên, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích hai số tự nhiên tử số, ta có tốn khác Chẳng hạn: 5 5      6� 11 11 � 16 2006.2011 2011.2016 Tính giá trị biểu thức: A7 = � 5 5      6� 11 11 � 16 2006.2011 2011.2016 Giải: Ta có: A7 = � 1 1 1 1          6 11 11 16 2006 2011 2011 2016 � �1 1�� 1 � �  1 �   � �   �   �    � � 6 � � 11 11 � � 2011 2011 � 2016  1 2016 2015  2016  1 Khai thác 8: Từ toán trên, ta phát triển thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích số tự nhiên cách lượng khác tử số, ta có tốn khác Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: 3 3      6� 11 11 � 16 2006 � 2011 2011 � 2016 A8 = 1� 3 3      6� 11 11 � 16 2006 � 2011 2011 � 2016 Giải: Ta có: A8 = �  �5 5 5 � �     �  � � 1� 6� 11 11 � 16 2006 � 2011 2011 � 2016 �  � 1 1 1 1 � �           � � � 6 11 11 16 2006 2011 2011 2016 �  � �1 1�� 1 � � � � � 1 �   � �   �   �    � � � � � 6 � � 11 11 � � 2011 2011 � 2016 � � � � 1 � � � 2016 � 2015  � 2016 403  672  Khai thác 9: Từ toán 1, bỏ số hạng vị trí chẵn (tính từ trái sang phải), ta toán Cụ thể sau: 1 1      3� 5� 97 � 98 99 � 100 Tính giá trị biểu thức: A9 = � 1 1      3� 5� 97 � 98 99 � 100 Giải: Ta có: A9 = � 1 1        99 100 1 � �1 1 1 � � 1 �       � � �      � 99 100 � �2 98 100 � � 1 �� 1 1 � � 1 �            � � � 99 100 � � 49 50 � � 1 1       51 52 53 99 100 Khai thác 10: Từ toán 1, ta phát triển thành toán với tử số nhau, mẫu số theo quy luật toán tính giá trị cụ thể Chẳng hạn: 1 1 1       4850 5150 Tính giá trị biểu thức: A10 = 14 35 65 1 1 1       4850 5150 Giải: Ta có: A10 = 14 35 65 2 2 2        28 70 130 9700 10300 2 2 2        1� 4� 7� 10 10 � 13 97 � 100 100 � 103 �3 3 3 �  �     �  � � 1� 4� 7� 10 97 � 100 100 � 103 � � 1 1 1 1 �  �           � � � 4 7 10 97 100 100 103 � � �1 1��1 1� � � �  � 1 �   � �   �  �    � � � � � 4�� 7� � 100 100 � 103 � � � � 1 � � � 103 � 102  � 103 68  103  Khai thác 11: Từ toán 1, ta phát triển thành toán với tử số nhau, mẫu phân số tích ba số tự nhiên liên tiếp Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: 1 1      �� �� 97 � 98 � 99 98 � 99 � 100 A11 = 1�� 1 1      �� �� 97 � 98 � 99 98 � 99 � 100 Giải:Ta có:A11 = 1�� �1 1 1 1 �  �        �  � � 1� 2� 2� 3� 97 � 98 98 � 99 98 � 99 99 � 100 � �1 �  � �  � � 1� 99 � 100 � 4949  � 9900 4949  19800 Khai thác 12: Kết hợp dạng toán toán vừa phát triển hướng khai thác 11 ta toán Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1         �� 2� �� 3� �� 99 � 100 99 � 100 � 101 A12 = 1� Giải: Ta có: 1 1 1 1         �� 2� �� 3� �� 99 � 100 99 � 100 � 101 A12 = 1� 1 �� 1 1 �1 � �         � � � 1� 2� 3� 99 � 100 � � �� �� �� 99 � 100 � 101 � � 1 � � 1 1 �         � 99 100 � � 2 3 �1 1 1 1 �  �        �  � � 1� 2� 2� 3� 3� 4� 99 � 100 100 � 101 � � � � �1 � 1 � � �  � 1� 100 � 101 � � 100 � � 99 5049   100 20200 14949  20200 Khai thác 13: Từ toán 1, ta phát triển thành toán với tử số nhau, mẫu phân số tích bốn số tự nhiên liên tiếp Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: 1 1      ��� ��� 96 � 97 � 98 � 99 97 � 98 � 99 � 100 A13 = 1��� Giải: Ta có: 1 1      ��� ��� 96 � 97 � 98 � 99 97 � 98 � 99 � 100 A13 = ��� 10 �1 1 1 1 �  �         � � �1�� �� �� �� 45 96 � 97 � 98 97 � 98 � 99 97 � 98 � 99 98 � 99 � 100 � �1 �  �  � � �1�� 98 � 99 � 100 � 161699  � 970200 161699  2910600 Khai thác 14: Đổi dấu phân số 1, ta tốn Cụ thể là: Tính giá trị biểu thức: A14 = Giải: Ta có: A 14 =   1 1      1� 2� 3� 48 � 49 49 � 50 1 1      1� 2� 3� 48 � 49 49 � 50 1 1 � �1  �      � 1� 2� 3� 48 � 49 49 � 50 � � 1 1 � � 1 1  �           � 48 49 49 50 � � 2 3 � �  � 1 � � 50 �  49 50 Khai thác 15: Ta phát triển tốn thành tốn tìm x biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: Tìm x biết : 1 � 2017 2017 2017 2017 �1    � x     �  � 1� 3� 5� 99 � 100 � 51 52 53 100 � 1 � 2017 2017 2017 2017 �1    � x     �  � 1� 3� 5� 99 � 100 � 51 52 53 100 (1) � Giải : 1 1      3� 5� 97 � 98 99 � 100 Nhận thấy : 1� 1 1        99 100 1 � �1 1 1 � � 1 �       � � �      � 99 100 � �2 98 100 � � 1 �� 1 1 � � 1 �            � � � 99 100 � � 49 50 � � 1 1       51 52 53 99 100 11 2017 2017 2017 2017 2017      51 52 53 99 100 Lại có: 1 � �1 1  2017 � �      � 99 100 � �51 52 53 Nên từ (1) suy : 1 � 1 � �1 1 �1 1 � x  2017 � �      � �      � 99 100 � 99 100 � �51 52 53 �51 52 53 � x  2017 Khai thác 16: Ta phát triển dạng toán thành tốn tính tỉ số hai biểu thức, có biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật 1 1 A     3� 5� 2015 � 2016 Chẳng hạn: Tính tỉ số B với: A = 1� Giải: Ta có: 1 1     2016 B = 1009 1010 1011 1 1     3� 5� 2015 � 2016 A = 1� 1 1 1          2015 2016 1 � �1 1 � � 1 1 �         � � �     � 2015 2016 � �2 2016 � � 1 �� 1 � � 1 1 �             � � � 2015 2016 � � 1008 � � 1 1      1009 1010 1011 2016 1 1 A     1 1009 1010 1011 2016 B Mà B = nên suy A 1 B Vậy Khai thác 17: Từ toán 1, giữ nguyên tử số 1, phát triển dãy mẫu số từ dạng dãy tích hai số tự nhiên liên tiếp thành dạng dãy giai thừa số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: 1 1     200! Chứng minh: A17 < Cho biểu thức: A17 = 2! 3! 4! Giải: Nhận thấy: 12 1   1 2! � 2 1 1     3! �� 2� 3 1 1     4! ��� 3� 4 1 1     200! ��� � 199 � 200 199 � 200 199 200 Từ đó, suy ra: 1 1 1 1 1 1          1 1     2 3 199 200 200 2! 3! 4! 200! A17 = < Vậy A17 < Khai thác 18: Từ toán 1, ta phát triển thành toán tính chia hết a 1 1      3� 5� 99 � 100 Chẳng hạn: Cho phân số: b �  a, b �; b �0  Chứng minh: a chia hết cho 151 1 1      3� 5� 97 � 98 99 � 100 Giải: Ta có: 1� 1 1        99 100 1 � �1 1 1 � � 1 �       � � �      � 99 100 � �2 98 100 � � 1 �� 1 1 � � 1 �            � � � 99 100 � � 49 50 � � 1 1       51 52 53 99 100 a 1 1       99 100 Suy ra: b 51 52 53 � �1 � �1 � �1 �  � �  � �  � �51 100 � �52 99 � �75 76 � 151 151 151     51� 100 52 � 99 75 � 76 52 � 53 �� 99 � 100 , gọi thừa số phụ tương ứng k 1, k2, k3, , Chọn MC = 51� k25, ta :  k1  k2  k3   k25  a 151 �  b 51 � 52 � 53 � � 99 � 100 Phân số có tử số chia hết cho 151 (151 số nguyên tố) mà mẫu số không chứa thừa số nguyên tố 151 nên rút gọn đến phân số tối giản tử số chia hết cho 151 hay a chia hết cho 151 13 Vậy a chia hết cho 151 1 1     10 2 Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức: B = 2 Nhận thấy: A tổng phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp 1 1     10 2 2 Giải: Ta có: B = (1) 1 1     2 (2) Suy ra: 2B = Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta :   10 B 1024 1023  1024  1 1023 Vậy B = 1024 Từ tốn này, ta có số cách khai thác toán sau: Khai thác 1: Thêm vào biểu thức nhiều số hạng theo quy luật dãy, ta toán Chẳng hạn: 1 1     2017 2 Thu gọn biểu thức: B1 = 2 Giải: Ta có: Suy ra: 1 1     2017 2 2 B1 = (1) 1 1     2016 2 2B1 = (2)  1 2016 Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B1 Khai thác 2: Từ toán 2, ta phát triển thành toán tổng quát Cụ thể là: 1 1     n * 2 với n � Thu gọn biểu thức: B2 = 2 Giải: * Với n � , ta có: 1 1     n 2 2 (1) B2 = Suy : 2B2 = 1 1    n1 2 (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được: B2  1 2n 14 1 * 2n với n � Vậy B2 Khai thác 3: Từ kết toán trên, ta phát triển thành toán so sánh hai biểu thức biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 1 1     100 So sánh : B3 = 2 với 1 1     100 2 2 (1) Giải :Ta có : B3 = Suy : 2B3 = 1 1    99 2 (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B3  1 2100 1 100 100 Vì > nên - < Suy B3 < Khai thác 4: Từ tốn 2, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp, ta có tốn khác Chẳng hạn: 3 3     100 4 Thu gọn biểu thức: B4 = 3 3     100 4 4 Giải: Ta có : B4 = = 1 � �1 3� �     100 � 4 �(1) �4 1 1 � � 3� �     99 � 4 4 �(2) � Suy : 4B4 = Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : �1 �  3� �  100 � �4 � 3B4 1  100 � B4 = 4 Khai thác 5: Ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức vế tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 3 3     1000 4 Cho B5 = Chứng minh: B5 < Giải: Ta có: B5 = 3 3     1000 4 4 15 = Suy : 1 � �1 3� �     1000 � 4 �4 �(1) 1 1 � � 3� �     999 � 4 4 �(2) � 4B5 = � �1  3� �  1000 � �4 � Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : 3B5 1  1000 � B5 = 4 1000 1 1  1000 > nên 4 < Suy B5 < Vì Khai thác 6: Từ toán 2, ta phát triển thành toán với dãy phân số có tử số khác 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên theo cấp số cộng Chẳng hạn: 2017 2017 2017 2017     2017 10 4 Thu gọn biểu thức: B6 = 2017 2017 2017 2017   10   2017 4 4 Giải: Ta có : B6 = 1 � �1 2017 � �   10   2017 � 4 4 � �(1) = 1 1 � � 2017 � �     2014 � 4 4 � �(2) Suy : 43 B6 = Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : � �1  2017 � �  2017 � �4 � 63 B6 2017 �1 �  � �  2017 � 63 �4 � � B6 Khai thác 7:Từ toán 2,đổi dấu phân số (dấu “+” thành dấu “-”, ta có tốn Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: B7 =  1 1     10 2 2 1 1     10 2 (1) Giải: Ta có: B7 = 2 1 1     2 (2) Suy ra: 2B7 =  Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta :  1  10 B7 16 1024 1023  1024  1  Khai thác 8: Từ toán 2, đan xen dấu phân số, ta có tốn Chẳng hạn: 5 5 5   13  17   197  201 7 7 Thu gọn biểu thức: B8 = 5 5 5   13  17   197  201 7 7 Giải: Ta có: B8 = Suy : 1 1 � �1 5� �   13  17   197  201 � 7 7 7 �(1) � = 1 1 1 � � 5�    13   193  197 � � 7 7 7 �(2) � 74.B8 = � �1  5� �  201 � �7 � c (2) với đẳng thức (1), ta được: 2402 B8 Cộng vế với vế đẳng thứ �1 � � �  201 � 2402 �7 �  � B8 Khai thác 9: Ta phát triển dạng tốn thành tốn tìm x biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật � � 1 1 � �      � x  21917 � � � 100 � 2 2 � � Chẳng hạn: Tìm x biết : � � Giải : Đặt B9 = Suy : 2B9 = 1 1 1     100 2 2 (1) 1    99 2 (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B9  1 2100 � � 1 1 � �  �     100 � � x  21917 � � 2 2 � � Khi đó: � � � � � Vậy x  � � � � 1 �  100 � � x  21917 � � � � � � � x  21917 100 x  22017 2017 17 Khai thác 10: Từ toán 2, giữ nguyên tử phân số 1, thay dãy mẫu số phân số thành dãy lũy thừa bậc hai số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: 1 1     1 1002 B10 = Chứng minh: Giải: Nhận thấy: 1   1 2 1� 2 1 1    32 2� 3 1 1    3� 4 1 1    100 99 � 100 99 100 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: 1 1 1 1 1              2 100 2 3 99 100 B10 = � B10 < 1 1 100 Vậy B10 < Khai thác 11: Từ toán 2, giữ nguyên tử phân số 1, thay dãy mẫu số phân số thành dãy lũy thừa bậc ba số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: 1 1      33 43 1003 B11 = Chứng minh: Giải: Nhận thấy: 1 �1 �   �  � �� 2� 1� 2� 3� 1 �1 �   �  � 3 �� 2� 2� 3� 4� 1 �1 �   �  � �� 2� 3� 4� 5� 1 1� 1 �   �  � 100 99 � 100 � 101 �99 � 100 100 � 101 � Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: 1 1 �1 1 1 �      �       � 3 100 2� 1� 2� 2� 3� 99 � 100 100 � 101 � B11= �1 1 �  �  �  1� 100 � 101 � � 100 � 101 � B11 < � 18 Vậy B11 < Khai thác 12: Từ toán 2, giữ nguyên tử phân số 1, thay dãy mẫu số phân số thành dãy lũy thừa bậc bốn số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: Chứng minh: Giải: 1 1      4 100 18 B12 = Nhận thấy: 1 1� 1 �   �  � 4 ��� 3� �� �� 4� 1 1� 1 �   �  � ��� 3� �� �� 5� 1 1� 1 �   �  � ��� 3� �� �� 6� 1 1� 1 �   �  � 100 97 � 98 � 99 � 100 � 97 � 98 � 99 98 � 99 � 100 � Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: 1 1     4 100 1� 1 1 1 �  �       � 3� 1�� �� �� �� 97 � 98 � 99 98 � 99 � 100 � B12  1� 1 1 �    � � �� 98 � 99 � 100 � 18 � 98 � 99 � 100 18 � B12 < � 18 Vậy B12 < Khai thác 13: Từ toán 2, ta phát triển thành toán với tử số khác 1, dãy mẫu số dãy lũy thừa bậc năm số tự nhiên liên tiếp Chẳng hạn: Chứng minh: Giải: 4 4      5 100 24 B13 = Nhận thấy: 4 1    1���� ��� ��� 4 1    5 ���� ��� ��� 4 1    ���� ��� ��� 4 1    100 97 � 98 � 99 � 100 � 101 97 � 98 � 99 � 100 98 � 99 � 100 � 101 19 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: 4 4     5 1005 1 1 1        ��� ��� ��� ��� 97 � 98 � 99 � 100 98 � 99 � 100 � 101 1 1     � B13 < ��� 98 � 99 � 100 � 101 24 98 � 99 � 100 � 101 24 B13  Vậy B13 < 24 Từ đây, ta khai thác để phát triển toán thành nhiều tốn dãy phân số có quy luật mà giới hạn đề tài chưa thể trình bày hết Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Qua trình vận dụng kinh nghiệm việc giúp học sinh biết cách khai thác tốn dãy phân số có quy luật mà tơi trình bày, tơi nhận thấy đề tài đạt số hiệu sau: - Học sinh biết nhận dạng quy luật dãy nhanh hơn, vận dụng toán dãy để làm toán thành thạo Khi tơi thay đổi đề tốn để có tốn mới, từ chỗ ban đầu em lúng túng, nản chí chưa tìm cách giải em nhận quy luật, biết cách làm tỏ hứng thú với dạng toán - Sự tò mò, thích khám phá nhiều em kích thích, em chủ động tìm cách khai thác toán để phát triển thành tốn tơi chưa u cầu Bài tập em đưa phong phú, đa dạng đầy sáng tạo Tham khảo hệ thống tập mà em phát triển khiến tơi có nhiều trải nghiệm bất ngờ thú vị Nhiều tập hay mà em khám phá được, cho em trao đổi lẫn để tăng cường khả rèn luyện cho thân tinh thần học hỏi từ bạn bè, từ em đua học tập kết học tập em nâng lên - Các em học tập tích cực, chủ động, tư linh hoạt, nhanh nhẹn Nhiều em khơng tìm cách khai thác dạng tốn dãy phân số có quy luật mà tích cực tìm cách khai thác, phát triển toán dạng khác mà em gặp trình học tập - Sau bảng so sánh kết thu trước sau thử nghiệm đề tài: + Đánh giá theo hiểu biết, vận dụng làm bài: Mức độ Làm tốt, nhanh Thời điểm Số lượng Phần trăm Trước 6,06% Sau 20 60,61% Làm bài, chưa nhanh Số lượng Phần trăm 16 48,48% 10 30,3% Còn khúc mắc Số lượng Phần trăm 15 45,46% 9,09% + Đánh giá theo tiêu chí hứng thú tích cực học tập HS nội dung này: Mức độ Thời điểm Trước Hứng thú Số lượng Phần trăm 6,06% Chưa hứng thú Số lượng Phần trăm 31 93,94% 20 Sau 30 90,91% 9,09% 21 III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Qua q trình giảng dạy, tơi nhận thấy việc khai thác toán dãy phân số có quy luật chương trình tốn lớp thật cần thiết quan trọng, quy luật nhiều dãy phong phú, đa dạng, em rèn luyện việc khai thác toán làm cho em tự tin gặp đề tốn dạng này, khơng thế, việc thành thạo cách giải dạng tốn khó mà lúc đầu thấy khó khăn, khơng có hướng giải làm cho em hứng thú hơn, u thích tốn học Và đặc biệt, qua đề tài này, em tạo thói quen khai thác tốn khác, điều vơ cần thiết để phát huy khả tư em, giúp em có nhiều hội để rèn luyện, phát triển tư lơgic tốn học Như vậy, nói “Khai thác tốn dãy phân số có quy luật chương trình tốn 6” đề tài có hiệu để rèn luyện phát triển tư duy, rèn luyện tính kiên trì, sáng tạo học sinh Kiến nghị: Bài toán dãy phân số có quy luật dạng tập hay khó, quy luật dãy phong phú, tập liên quan đa dạng Đề tài hướng dẫn học sinh biết cách khai thác dạng toán cần thiết quan trọng Việc vận dụng đề tài vào trình giảng dạy dễ dàng hướng khai thác tốn xếp từ dễ đến khó nên học sinh dễ dàng tiếp thu Tuy nhiên, trình trình bày đề tài, có sai sót, kính mong đồng nghiệp chun mơn góp ý để cơng việc chuyên môn ngày tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Nông Cống, ngày 19 tháng năm 2017 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Lâm 22 ... Khai thác toán 1: tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số tích hai số tự nhiên liên tiếp - Khai thác toán 2: tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số lũy thừa số. .. cứu số dãy phân số có quy luật chương trình tốn lớp - Nghiên cứu hướng khai thác tốn dãy phân số có quy luật Cụ thể, đề tài này, nghiên cứu hướng khai thác hai toán tổng dãy phân số có quy luật, ... Lại có : < 20 16 suy - 1000 < 20 16 2017 Vậy A4 < 20 16 (đpcm)  1 Khai thác 5: Từ toán 1, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích số tự nhiên liên tiếp, ta có