Cách khai thác bài toán mới từ một số bài toán hình học trong sách giáo khoa cho học sinh lớp 8 trường THCS bắc sơn

PHẦN I- MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Là giáo viên dạy Tốn nhiều năm, tơi nhận thấy: dạy Tốn đặc biệt dạy mơn Hình học, khơng đơn dạy cho học sinh nắm khái niệm, định lý giải toán đơn lẻ thông thường … mà điều quan trọng dạy cho học sinh thói quen tìm tòi, thói quen tự khám phá phát kiến thức thông qua hướng dẫn giáo viên thông qua hoạt động giáo viên tổ chức Với suy nghĩ đó, q trình giảng dạy nhiều năm tơi tiến hành dạy khai thác tốn hình học từ toán sách giáo khoa đối tượng học sinh nhận thấy hiệu rõ rệt từ cách dạy Vì tơi xin mạnh dạn trình bày kinh nghiệm “Cách khai thác tốn từ số tốn Hình học sách giáo khoa cho học sinh lớp trường Trung học sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn” để trao đổi với đồng nghiệp với mong muốn nâng cao chất lượng dạy học Mục đích nghiên cứu: Khai thác toán từ toán ban đầu giúp cho học sinh thói quen đào sâu suy nghĩ, phát triển lực tư duy, óc tò mò khoa học sức sáng tạo học sinh Giúp học sinh biết xử lí tình Đối tượng nghiên cứu: 3.1 Khách thể nghiên cứu: Hệ thống tập thơng qua nội dung Hình học Qua đó, giúp em rèn tốt khả tư duy, hệ thống kiến thức, thu thập, phân tích thơng tin, làm tập thực hành 3.2 Khách thể khảo sát : Gồm hai nhóm học sinh lớp trường Trung học sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn, năm học 2017 - 2018 3 Đối tượng: Xây dựng thử nghiệm, rút kinh nghiệm chuyên đề cấp trường khối theo đạo Ban giám hiệu trường Trung học sở Bắc SơnBỉm Sơn Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, kiểm tra, thống kê… - Nghiên cứu tài liệu mạng Intenet quan sát, vấn, dạy học sinh PHẦN II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở sáng kiến kinh nghiệm 1.1 Cơ sở lí luận - Mục tiêu giáo dục “Đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ, có kỹ mềm để đáp ứng với yêu cầu thực tế nay” Để thực mục tiêu đó, trước hết phải biết áp dụng phương pháp dạy học bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại vào trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Đồng thời thân giáo viên phải tự tìm phương pháp mới, khắc phục lối truyền thụ chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh môn học, đặc biệt mơn Tốn 1.2 Cơ sở thực tiễn Trong thời đại nay, giáo dục nước ta tiếp cận với khoa học đại Các mơn học đòi hỏi tư sáng tạo đại học sinh Đặc biệt môn Tốn, đòi hỏi tư tích cực học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức cách xác, khoa học đại Vì để giúp em học tập mơn Tốn có kết tốt giáo viên khơng có kiến thức vững vàng, tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh cách dễ hiểu Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Thực trạng tình hình Kỹ phân tích tổng hợp học sinh yếu, mối liên hệ liệu toán, dẫn đến việc học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn giáo viên thay đổi giả thiết tốn bỡ ngỡ, khơng biết cách làm Xuất phát từ thực tế nên kết học tập em chưa cao, đạt mức trung bình Do việc hướng dẫn giúp em có kỹ khai thác, tạo nên tốn từ toán sách giáo khoa việc làm thiết thực Muốn giáo viên phải tích cực quan tâm thường xuyên, không giúp em nắm lý thuyết mà phải tạo cho em có phương pháp học tập cho thân, rèn cho em có khả tư duy, tìm tòi Do giáo viên khơng cố gắng rèn luyện cho học sinh cách giải mà cần khuyến khích học sinh xây dựng toán từ toán ban đầu để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén, tạo lòng say mê, sáng tạo, ngày tự tin cho học sinh học mơn Hình học Với hai nhóm có học sinh nhận thức ngang kết khảo sát trước thực dạy thực nghiệm sau: Nhóm Số HS Kết thu Tỉ lệ Khá khảo Giỏi Khá TB Yếu trở lên sát Nhóm 25 2( 8%) 6(24%) 10(40%) 7(28%) 32% Nhóm 25 1(4%) 7(28%) 11(44%) 6(24%) 32% Tổng 50 3(6%) 13(26%) 21(42%) 13(26%) 32% Thông qua kết kiểm tra, nhận thấy kết chưa mong muốn, lẽ định nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “ Cách khai thác toán từ số tốn Hình học sách giáo khoa cho học sinh lớp trường THCS Bắc Sơn” với mục tiêu nâng cao chất lượng tạo hứng thú tìm tòi cho học sinh học mơn Hình học 2.2 Những thuận lợi khó khăn 2.2.1 Thuận lợi - Trường Trung học sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn ln có quan tâm giúp đỡ Phòng Giáo dục Đào tạo, Ban giám hiệu nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất hoạt động trường, tạo điều kiện để giáo viên làm tốt công tác nghiên cứu - Hầu hết em học sinh ngoan thích học mơn Tốn mà tơi giảng dạy 2.2.2 Khó khăn : - Trường Trung học sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn điểm trường thuộc vùng miền núi, nhiều học sinh khơng thể tự học nhà em phải phụ giúp gia đình - Khả nắm kiến thức em chậm có thói quen giải xong tập sách giáo khoa, khơng tìm tòi, tư thay đổi điều kiện tốn ta có toán hướng giải - Kỹ vận dụng lý thuyết vào tập em hạn chế Giải pháp tổ chức thực 3.1 Giải pháp: Từ khó khăn học sinh yếu tố khách quan khác, tơi cố gắng tìm giải pháp khắc phục nhằm đạt hiệu cao Nắm bắt tình hình học sinh ngại khó học mơn Hình học nên tơi đưa dạng tập khác để phân loại cho phù hợp với khả nhận thức đối tượng Các tập dạng từ thấp đến cao để em nhận thức chậm làm tốt tốn mức độ trung bình, đồng thời kích thích tìm tòi sáng tạo học sinh 3.2 Tổ chức thực Tuy khả nhận thức suy luận học sinh nhóm chưa đồng học tất phải dựa vào quy tắc ba bước sau: Bước 1: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung tốn Trong bước học sinh cần : - Đọc kỹ đề bài, hiểu đề - Khái quát nội dung tốn - Phân tích nội dung tốn: tốn cho biết gì? u cầu chứng minh điều gì? - Vẽ hình xác, trực quan, vẽ trường hợp khác khơng vẽ hình trường hợp đặc biệt Bước 2: Tìm đường lối chứng minh - Tìm liên hệ biết điều chưa biết - Có thể phân tích thành tốn đơn giản tìm tương tác với toán làm - Bài toán liên quan đến nội dung kiến thức học - Ta cần đưa hình phụ Bước 3: Thực chương trình giải kiểm tra lời giải - Trên sở phân tích tìm lời giải trên, tổng hợp lại trình chứng minh - Kiểm tra lại việc vận dụng kiến thức hợp lý chưa ? kết luận tốn có đáp ứng yêu cầu chứng minh không ? - Để khai thác toán từ toán ban đầu hỏi học sinh phải phân tích kỹ tốn nhiều góc độ khác - Đặc biệt hóa khái qt hóa tốn ta tốn nào? Kết luận tốn ban đầu phù hợp không? - Đảo giải thiết kết luận tốn cho ta tốn khơng? 3.3 Các ví dụ minh họa VÍ DỤ 1: ( Bài – Trang 24 – SGK Hình học 8) Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành? B Giải : M MN đường trung bình tam giác ABC A Þ MN // AC MN = AC (1) PQ đường trung bình tam giác ACD Þ PQ//AC PQ = AC (2) N Q Từ (1) (2) => MN = PQ MN // PQ C D P Þ MNPQ hình bình hành Khai thác toán : A Câu hỏi đặt là: Liệu tứ giác ABCD không M B lồi hình tứ giác MNPQ có hình bình hành khơng? N Q Dễ thấy hồn tồn tương tự ta chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Vì ta có C hai tốn sau: P Bài tốn 1.1: D (hình 1) Cho tứ giác ABDC có M, P trung điểm cạnh AB CD Q, N trung điểm đường chéo AD BC Chứng minh tứ giác MNQP hình bình B hành? M N Bài tốn 1.2: Cho tam giác ABD, C điểm nằm tam giác ABD.Gọi M, N, P,Q trung C điểm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA Chứng A P minh tứ giác MNPQ hình bình hành? Q Và từ toán 1.1 toán 1.2 cho ta D toán: Bài toán 1.3 : Cho điểm A, B, C, D phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Các điểm A, B, C, D phải thỏa mãn điều kiện để M, N, P, Q bốn đỉnh của: a) Hình chữ nhật? b) Hình thoi? c) Hình vng? 4 4 Từ ví dụ ta có S BNM = S ABC , SCNP = S BCD , S DPQ = S ACD ,S AQM = S ADB Nên S MNPQ = S ABCD , ta có tốn sau: Bài tốn 1.4 : Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh S MNPQ = S ABCD ? Bài toán 1.5 : Cho tứ giác ABCD gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BD, CD Chứng minh sMNP = S ABCD ? Từ ví dụ ta thấy cạnh BC có điểm E , cạnh AD có điểm F ( E ≠ N , F ≠ Q ) mà tứ giác FPEM hình bình hành có tứ giác FQEN hình bình hành, giúp ta giải toán sau: Bài toán 1.6: C B E N Cho tứ giác ABCD có M, P trung điểm thuộc cạnh AB,CD.Chứng minh tồn M P hai điểm E, F thuộc cạnh BC DA ( EB ≠ EC, FA ≠ FD ) cho tứ giác FPEM hình bình A Q F D hành BC // AD? Hướng dẫn: Nếu I, J trung điểm C N đường chéo AC BD, từ ví dụ tốn ta có IJ NQ qua trung điểm MP giúp ta đến B I P M J với toán Giecgơn sau: Bài tốn 1.7(Bài tốn Giecgơn): A Q D Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối tứ giác đồng quy điểm? B M Hướng dẫn: Hơn ta nhận ví dụ có : A AC ⊥ BD ⇔ MN ⊥ MQ ⇔ MNPQ hình chữ nhật (1) N AC = BD ⇔ MN = MQ ⇔ MNPQ hình thoi (2) Q Từ (1) (2) => AC ⊥ BD AC = BD ⇔ MNPQ hình vng C D P Từ kết giúp ta giải tốn hay khó sau : Bài tốn 1.8: D Cho tam giác OBC Về phía ngồi dựng hình Q vng OBIA, OCKD Gọi Q, N trung A điểm đoạn thẳng AD CB Các điểm M, P P tâm hình vng OBIA; OCKD Chứng M I minh rằng: tứ giác MNPQ hình vng? O Hướng dẫn: Nhận thấy M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác N C B ABCD, chìa khóa toán chứng minh AC = BD, AC ⊥ BD Điều có từ ∆ OAC = ∆ OBD( c.g.c) VÍ DỤ 2: ( Bài 27 - Trang 80 SGk Toán tập ) A B Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, AC Chứng minh K E AB+CD EF ≤ ? F Giải D C Theo giả thiết E, F, K trung điểm AD, BC, AC Nên KF đường trung bình tam giác ABC ⇒ KF = đường trung bình tam giác ADC ⇒ KE = AB EK CD AB + CD KE + KF = 2 AB + CD Mặt khác FE ≤ KE + KF Suy FE ≤ Dấu “=’’ xảy ⇔ E, K, F thẳng hàng ⇔ AB // CD *Khai thác toán : 1.Khi cho G trung điểm AB, H trung điểm CD chứng minh tương tự ta có GH ≤ AD + BC ta có toán: K Bài toán 2.1: Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AD, BC, AB, DC tứ giác ABCD Chứng minh FE + GH không lớn nửa chu vi tứ giác ABCD? Nhận thấy EK// CD KF // AB nên K nằm F E AB// CD ta có tốn sau: Bài toán 2 : Cho tứ giác ABCD, gọi E, F trung điểm cạnh AD BC AB + CD Chứng minh tứ giác ABCD hình thang? AB 3.Trở lại ví dụ cho H trung điểm BD Thì EH = EH//AB Xét ba điểm E,H,K có KH ≥ EK − EH nên có FE = KH ≥ A DC − AB B cho ta tốn: Bài tốn 2.3: Cho tứ giác ABCD Gọi K, H trung điểm AC, BD Chứng minh rằng: KH ≥ E K F H DC − AB ? C D Bài toán 2.4: Cho tứ giác ABCD Gọi K, H trung điểm AC, BD Chứng minh rằng: KH = DC − AB tứ giác ABCD hình thang? VÍ DỤ 3: ( Bài 76 -Trang 106 – SGK Toán tập 1) Cho hình thoi ABCD có AB = BD Tính góc hình thoi ABCD? Giải ABCD hình thoi ( giả thiết ) Þ AB = BC = CD = DA Þ Mà AB = BD ( giả thiết) Þ Nên AB = BD = AD => ∆ ABD => B A C D · BAD = 600 · · Lại có: AD // BC nên BAD + ABC = 1800 (cặp góc phía) Hay 600 + ·ABC = 1800 Þ ·ABC =1200 · · · Mặt khác: ·ADC = ABC , BAD = BCD (t/c hình thoi), · · · = 1200 ; BAD = BCD = 600 nên: ·ADC = ABC * Khai thác toán : Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD 2 ta có AO = CO = AC , BO = DO = BD , AC ^ BD B Áp dụng định lý Pitago vào tam giác OAB vng O ta có: OA2 + OB = AB AB − BD ⇒ OA = AB − OB = AB − BD = 4 2 2 O A C Từ giúp ta có tốn sau: D Bài tốn 3.1: Cho hình thoi ABCD có chu vi 8cm AB = DB Tính độ dài đường chéo AC? Bài tốn 3.2: Cho hình thoi ABCD có chu vi cm AC = cm Tính số đo góc hình thoi ABCD? Bài tốn 3.3: Cho hình thoi ABCD có chu vi cm AB = BD Tính độ dài đường cao hình thoi? Bài tốn 4: Cho hình thoi ABCD có chu vi 16 cm; đường cao AH cm Tính góc hình thoi? Từ ví dụ đặt AB = a M, N nằm cạnh AB; BC cho: AM = BN ∆ BND = ∆ AMD (c.g.c), ta có điều sau: + DN = DM ⇒ trung trực MN qua B điểm D cố định N M · · Þ + BDN = ADM · · · · BDN + BDM = ·ADM + MDB = ADB = 600 Þ DMND Từ AB = a ∆ ABD ta a a2 có BD = a AO = nên S ABCD = 2 ∈ Kẻ ME // BD NF // BD ( E AD, F ∈ O A E C F D CD ) AD//MF FE = MN, mà MN=MD nên FE = MD nên FDEM hình thang cân Vì có tốn sau : Bài tốn 3.5: Cho hình thoi ABCD có AB = BD Gọi M , N cạnh AB, BC cho AM = BN Tính số đo góc tam giác DMN? Bài tốn 3.6: Cho hình thoi ABCD có góc A 60 Gọi M, N di động cạnh AB, BC cho AM = BN Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng MN qua điểm cố định? Kẻ ME // BD NF//BD (E ∈ AD, F ∈ CD chứng minh FDEM hình thang cân? VÍ DỤ 4: ( Bài 126 trang 73 – SBT ) A Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển cạnh BC Hỏi trung điểm I AM di chuyển đường nào? Hướng dẫn: I P Q Cách 1: Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB AC theo thứ tự P Q ∆ AMB có: AI = IM, B H K M C IP // BM nên P trung điểm AB Chứng minh tương tự Q trung điểm AC Các điểm P Q cố định nên I di chuyển đoạn thẳng PQ ( P, Q theo thứ tự trung điểm AB, AC) Cách : Từ A I kẻ AH IK vng góc với BC, D AMH có: IA = IM (gt), IK//AH (cùng ⊥ BC), IK đường trung bình ∆ AMH nên IK = AH , AH không đổi AH không đổi, BC cố định nên I nằm đường thẳng song song với BC K cách BC khoảng AH không đổi A Nếu M ≡ B => I ≡ P ( P trung điểm AB ) D Nếu M ≡ C => I ≡ Q ( Q trung điểm AC ) => Vậy M di chuyển BC I di chuyển I E ∆ đường trung bình PQ ABC * Khai thác tốn : M C B Ở ví dụ kẻ MD // AC, ME // AB tứ giác A ADME hình bình hành, trung điểm AM D trung điểm DE nên ta có tốn sau: I Bài tốn 4.1: Cho ∆ ABC, M điểm thuộc E cạnh BC, kẻ MD // AC, ME // AB ( D ∈ AB, E ∈ AC ) , gọi I trung điểm DE.Khi M di chuyển cạnh BC M B C A I di chuyển đường nào? µ = 900 ta 2.Đặc biệt tốn 4.1 cách cho A D có tốn sau: I µ = 900 , M điểm Bài tốn 4.2: Cho ∆ ABC có A E thuộc cạnh BC, gọi MD đường vng góc kẻ từ M đến AB, ME đường vng góc kẻ từ M đến M B C AC, I trung điểm DE Khi M di chuyển BC I di chuyển đường ? Đặc biệt tốn 4.1 cách cho ∆ ABC tam giác BMD CME đều.Vì ta có tốn: Bài tốn 4.3: Cho đoạn thẳng BC cố định, điểm M di chuyển đoạn thẳng ấy, vẽ phía BC tam giác BMD CME Khi điểm M di chuyển đoạn thẳng BC trung điểm I đoạn P K thẳng DE di chuyển đường ? A Nếu ∆ ABC vuông cân A, qua điểm M kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt đường thẳng D Q I AB, AC K I tam giác BMK CMI E B M 9C vuông cân M Gọi D, E trung điểm BK CI ADME hình chữ nhật, trung điểm DE trung điểm AM nên ta có tốn: Bài tốn 4.4: Cho tam giác ABC vng cân A, điểm M chuyển động cạnh huyền BC Đường thẳng qua M vng góc với BC, cắt đường thẳng BA, CA theo thứ tự K I Gọi E trung điểm CI, D trung điểm BK Tìm tập hợp trung điểm O DE? Từ toán 4.4 ta lấy P đối xứng với M qua D, Q đối xứng với M qua E tứ giác BMKP CMIQ hình vng có tâm D E, ta tiếp tục có toán: Bài toán 4.5: Cho đoạn thẳng BC = a, gọi M điểm nằm B C.Vẽ phía BC hình vng BMKP, CMIQ có tâm theo thứ tự D E Gọi O trung điểm DE, M di chuyển đoạn thẳng AB điểm I di chuyển đường nào? Khai thác dạng toán với điểm di động đoạn thẳng cố định ta có tốn sau hay khó Thật vậy! + Nếu ∆ ABC cân A, điểm D, E thuộc cạnh AB, AC cho AD = CE tứ giác ADME ln hình bình hành, trung điểm AM trung điểm DE nên ta có tốn sau: Bài tốn 4.6: Cho tam giác ABC cố định có AB = AC, hai điểm D E theo thứ tự di chuyển cạnh bên AB, AC cho AD = CE Tìm tập hợp trung điểm O DE? + Nếu ∆ ABC cân A, điểm D, E thuộc cạnh AB, AC cho AD CE = BD AE AD DB AD + DB AB = = = = ⇒ AD = CE , ta lại quay CE AE CE + AE CA tốn 4.6 Do ta có toán tiếp theo: Bài toán 4.7: Cho tam giác ABC cố định có AB = AC, hai điểm D E theo thứ tự di chuyển cạnh bên AB, AC cho AD CE = Tìm tập hợp trung BD AE điểm O DE? Khai thác: Vấn đề đặt với toán 4.6 là: Nếu ∆ ABC không cân BD + CE = a khơng đổi có tìm qũy tích trung điểm M DE không? Hướng dẫn: Ta xét trường hợp đặc biệt sau: - Khi E ≡ C D ≡ G (BG = a) M vị trí I trung điểm CG 10 - Khi D ≡ B E ≡ H ( CH = a) M vị trí K trung điểm BH ta chứng minh K, M, I thẳng hàng Thật vậy! Gọi O trung điểm CB Ta có I, N,O thẳng hàng, 2OK = CH ; 2OI = BG ; CH = BG = a nên ∆ IOK cân O; 2MN = CE ; 2NI = DG ; CE = DG nên ∆ INM cân N Các tam giác cân: IOK INM có góc đỉnh nên · · I, M, K thẳng hàng NIM = OIK VÍ DỤ 5: ( Bài 37 – Sách tập Toán , tập 1) Chứng minh đường thẳng B A E qua trung điểm đường trung bình hình thang cắt hai đáy hình thang, chia hình thang thành hai N M I hình thang có diện tích nhau? Giải : Giả sử hình thang ABCD ( AB //CD), D F H C MN đường trung bình hình thang, I trung điểm NM Đường thẳng qua I cắt đáy AB; CD E; F Kẻ AH ⊥ DC ( H ∈ CD) ( AE + DF ) HA = MI AH Ta có SAEFD = SEBCF = Mà MI = NI nên SAEFD = SEBCF *Khai thác tốn : Từ kết ví dụ S AEFD Ta có S EBCF = MI nên MI = k NI SAEFD = k.SEBCF? NI Ta có tốn sau : Bài tốn 5.1: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có MN đường trung bình ( M ∈ AD; N ∈ BC ), K điểm đoạn thẳng MN cho MK = k.NK ( k > 0) Đường thẳng qua I cắt hai đáy AB CD theo thứ tự E F Chứng minh : SAEFD = SEBCF? Bài toán 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Nêu cách xác định điểm P, Q cạnh AB CD để có : SAPQD = SABCD? Từ lời giải ví dụ giúp ta nhận thấy S AEFD = SEBCF EF qua trung điểm I MN, nên ta có tiếp tốn sau: Bài tốn 5.3: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Các điểm E, F cạnh AB, CD cho SAEFD = SEBCF, chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định? 11 VÍ DỤ : ( Bài tập 9- SGK hình lớp 8) Tứ giác ABCD hình vuông cạnh 12 cm ; AE = x cm ( hình vẽ ) Tính x cho diện tích tam giác ADE diện tích hình vng? Giải : SABCD = AD2 = 122 = 144 (cm2) SADE = AD AE = 6x SADE = SABCD 6x = 144 => x = ( cm) * Khai thác tốn: Từ kết ví dụ ta thấy: SADE = SABCD SDEBC = SABCD nên SADE = SDEBC Ta có tốn sau : Bài tốn 6.1 : Cho hình vng ABCD cạnh 12 cm, E thuộc AB, AE = x cm Tính x cho : SADE = SDEBC ? Nếu nối E với C ta có SEDC = SABCD nên ta có tốn: Bài tốn 2: Cho hình vng ABCD ; E điểm thuộc cạnh AB chứng minh rằng: SAED + SBCE không đổi? Ta lại có SADE SBCE = AD.AE BC.BE = AD.BC.AE.BE AD.BC ( AB ) Ta có tốn sau: Bài tốn 6.3 : Cho hình vng ABCD cạnh 12cm, E điểm thuộc cạnh AB; AE = x Tính x cho tích SADE SBCE đạt giá trị lớn ? VÍ DỤ 7: ( Bài 10 – SGK Tốn – Trang 63) Cho tam giác ABC có đường cao AH A Đường thẳng d song song với BC cắt cạnh AB, AC đường cao AH theo thứ tự B' C' điểm B’, C’, H’ H' a) Chứng minh : b) Áp dụng biết AH = 3AH’ diện tích tam giác ABC 67,5 cm2 Tính diện tích tam giác B C H AB’C’? Giải : AB / AH / = ( Định lí Ta lét) AB AH AB / B / C / = B’C’ // BC ( gt) nên ( Định lí Ta lét) AB BC a Do B’H’//BH ( gt) nên 12 AH / B / C / = AH BC AH ' B ' C '  AH '  AH ' B ' C ' S AB 'C ' S AB 'C ' = ⇒ = = b Từ ÷ = AH BC AH BC 2S ABC S ABC  AH  Suy A ổAH / ữ ỗ ữ ỗ ữ ç ÷ ç èAH ø B' Suy SAB’C’= H' SABC Khi AH = 3AH’ SABC = 67,5 cm M SAB’C’ = 7,5 cm2 K *Khai thác toán: AH’ = H’K = KH ( hình vẽ ) B H SMNC’B’ = ? Khi SABC = a cm2, B’C’ = ? MN = ? Khi BC = cm Từ ta có toán: Bài toán 7.1: Cho tam giác ABC; AH ┴ BC ; B’C’ // BC ; MN // BC ; AH’ = KH’ = KH ( hình vẽ ) a) Biết SABC = a cm2.Tính SMNC’B’? F b) Biết BC = cm Tính B’C’ MN? A Từ ví dụ 7, tia đối tia AB lấy điểm E, B' tia đối tia AC lấy điểm F, cho B’ trung điểm BE C’ trung điểm CF, B’C’ = n cm B Ta tính B’C’; EF B’C’ = Từ ta có tốn sau: C' N C E C' C Bài toán 2: Cho hình thang EFBC Gọi B’; C’ trung điểm đường chéo BE CF, A giao điểm đường chéo Cho biết BB’ = AB’; BC = n cm a) Chứng minh AC’.AE = AB’.AF? b) Tính độ dài B’C’ EF? c) So sánh B’C’ với ? Từ toán ta tịnh tiến B’C’ cho B’C’// BC B’C’ qua A, cắt BF, CE M, N Ta dễ dàng chứng minh AM = AN nên ta có tốn: Bài tốn 3: Cho hình thang EFBC ( EF // BC) Hai đường chéo CF BE cắt A Đường thẳng qua A song song với đáy BC cắt cạnh bên BE; CF M N Chứng minh: AM = AN? Từ ta có: AN AE AM AB AN AM AE AB = , = ⇒ + = + =1 BC BE EF BE BC EF BE BE 13 Hay AM AM 1 1 2 + = (do AM = AN) ⇒ + = ⇒ + = = BC EF BC EF AM BC EF AM MN Từ ta có tốn sau: Bài tốn 4: Cho hình thang EFBC ( EF // BC ) Hai đường chéo CF BE cắt A Đường thẳng qua A song song với đáy BC cắt cạnh bên BF; CE M N Chứng minh 1 ? + = BC EF MN VÍ DỤ 8: ( Bài 18 – SBT – Trang 69 ) Tam giác ABC có đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh rằng: A DB EC FA =1 ? DC EA FB Giải: Cách 1: Áp dụng tính chất đường phân giác ta có : E F DB AB EC BC FA CA = = ( 1) ; ( 2) ; = ( 3) DC AC EA BA FB CB Nhân vế với đẳng thức (1); (2) (3) Ta được: DB EC FA AB BC CA = = ( đpcm ) DC EA FB AC BA CB D B C Ta tìm lời giải khác toán Cách 2: Giao điểm đường thẳng AD, BE, CF M, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng CF I Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng BE K theo định lý Talet ta có : DB MB = ( 4) DC MK MB BI = ( 5) ΔMKC có BI // CK suy MK CK DB BI = ( 6) Từ (4) (5) suy DC CK EC CK = ( 7) ΔEMA có CK // MA suy EK MA FA MA = ( 8) ΔFBI có AM // BI suy FB BI ΔBCK có MD // CK suy Nhân vế với vế đẳng thức (6) , (7), ( 8) ta có: DB EC FA BI CK MA = = ( đpcm) DC EK FB CK MA BI Qua cách giải thứ hai toán ta nhận thấy cần giả thiết AD, BE,CF cắt điểm tam giác A ABC ta có kết tốn 8.1, từ K ta nhận toán tổng quát E P sau: F H G M B I D Q 14 C Bài tốn ( định lí Xê – Va ): Cho tam giác ABC điểm M tam giác Qua M kẻ đường thẳng MA, MB, MC cắt cạnh BC, AC, D, E, F Chứng minh rằng: DB EC FA =1 ? DC EA FB (9) Phân tích kết tốn 8.2 ta thấy qua M ta kẻ GH//BC, IK//AB, PQ//AC (hình vẽ) Ta có GM HM  AM  GM DB = = (10) = ÷⇒ DB DC  AD  HM DC KM FA QM EC = ; = Tương tự: (11) IM FB PM EA GM KM QM DB FA EC = =1 Từ (9), (10) (11) suy HM IM PM DC FB EA Do ta có tốn mới: Bài tốn 8.3: Cho tam giác ABC điểm M tam giác Qua M kẻ đường thẳng HG//BC, IK // AB, PQ // AC ( I,Q ∈ BC ; P,G ∈ AB, K,H ∈ AC) Chứng minh rằng: GM KM QM = 1? HM IM PM Tiếp tục khai thác tốn khía cạnh diện tích ta thấy tam giác S BD MBD MBD tam giác MDC có chung đường cao hạ từ M nên suy S = DC MDC (12) S EC S FA MCE MAF Tương tự ta có S = EA (13), S = FB MEA MFB Từ (12) ; (13) ; (14) suy : S S MBD MDC S MCE S MAF = S MEA S MFB (14) DB EC FA DC EA FB S MBD S MCE S MFA Kết hợp với kết 8.2 ta có: S S S = MDC MEA MFB Từ ta có toán sau: Bài toán 8.4: Cho tam giácABC điểm M tam giác ,các đường thẳng MA, MB, MC cắt cạnh tam giác theo thứ tự D, E, F Chứng minh S S S MCE MBD MFA rằng: S S S = MDC MEA MFB Từ S MBD SMCE SMFA = ⇒ SMBD S MCE = S MFB nên ta có tốn tếp theo: S MDC S MEA S MFB S MDC S MEA S MFA Bài toán 5: Cho tam giác ABC điểm M tam giác, đường thẳng MA, MB, MC cắt cạnh tam giác theo thứ tự D, E, F Chứng minh S MBD S MCE S MFB rằng: S S = S ? MDC MEA MFA Hiệu sáng kiến 15 Qua tiến hành dạy thực nghiệm nhóm học sinh cách xây dựng toán từ việc khai thác toán đơn giản sách giáo khoa, đem kiểm tra đối chứng với nhóm khơng dạy phương pháp mà dạy cách thông thường, nhận thấy thay đổi tích cực từ học sinh nhóm dạy thực nghiệm sau: + Có hứng thú học Tốn khơng ngại học Hình; + Phản ứng nhanh có độ xác cao dạng tập; + Chủ động việc tiếp thu tìm kiến thức thơng qua hướng dẫn giáo viên; + Biết vận dụng việc khai thác vào Đại số số môn học khác; + Có thói quen suy xét, nghiên cứu kĩ để hiểu sâu vấn đề Và tiến hành dạy thực nghiệm: - Nhóm I: Dạy nội dung sách giáo khoa, song khai thác toán sách giáo khoa để có tốn - Nhóm II: Dạy nội dung sách giáo khoa, song dạy theo cách thơng thường tức tìm lời giải cho toán Qua hai tiết dạy, sau tiết dạy cho kiểm tra đối chứng 45 phút tơi thu kết trung bình sau: Bài -Tiết 27 : Luyện tập Đề : Cho D ABC, D Gọi E F điểm thuộc cạnh BC Kẻ DE //AC, DF//AB ( E ∈ AB, F ∈ AC ) a) Tứ giác AEDF hình ? Vì sao? b) Tìm điều kiện ABC để tứ giác AEDF hình chữ nhật? c) Tìm điều kiện ABC để tứ giác AEDF hình thoi ? d) Tìm điều kiện ABC để tứ giác AEDF hình vng? e) Hãy phát triển tốn cho thành toán mới? Bài - Tiết 39 : Luyện tập định lí Talet Đề : Cho hình thang ABCD, ( AB // CD ) có đường chéo cắt O đường thẳng qua O vng góc với AB; CD I; K a) Chứng minh rằng: OI CD = OK AB? b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác OAB OCD AB = CD b) Khai thác toán thành toán mới? Kết quả: Kết thu Nhóm Số HS khảo sát Giỏi Khá TB Yếu Tỉ lệ tăng so với Tỉ lệ chưa áp dụng đề trở lên tài 16 Nhóm Nhóm Tổng 25 25 50 12(48%) 7(28%) 19(38%) 9(36%) 8(32%) 17(34%) 4(16%) 10(40%) 14(28%) 0(0%) 0(0%) 0(0%) 84% 60% 72% 52% 28% 40% Kết thu động viên thân tôi.Tôi không dám chắn biện pháp mà đưa tối ưu nhất, hiệu nhất, kết mà học sinh đạt qua q trình tơi giảng dạy thật niềm vui, niềm hứng thú công tác giảng dạy Qua kết khảo sát tơi thấy cố gắng em thấy tiến học sinh qua việc giải tập Phần lớn học sinh có hứng thú giải tốn Hình học Các em khơng lúng túng làm tập Hình Nhiều em biết khai thác tập từ tập cho sẵn có cách giải hay ngắn gọn PHẦN III- KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Khai thác toán chứng minh hình học, từ xây dựng tập có mục đích đáp ứng u cầu môn yêu cầu đổi phương pháp dạy học - Khai thác toán nhiều khía cạnh khác khơng giúp học sinh thấy liên hệ kiến thức, hiểu sâu nội dung kiến thức học, khong thấy tương quan cách giải tập mà thấy lơ gích mơn hình học - Giúp giáo viên dễ dàng phát học sinh giỏi, dễ dàng lôi học sinh vào học tập Với học sinh học phương pháp nhận thấy : - Học sinh hứng thú học tập hơn, em tích cực suy nghĩ sáng tạo học tập - Học sinh có kỹ vận dụng, có thói quen tìm tòi lời giải độc đáo, phát triển toán từ toán ban đầu, qua học em yêu thích môn *Hướng phổ biến áp dụng sáng kiến: - Đề tài áp dụng với đối tượng học sinh lớp Song hiệu áp dụng học sinh khá, giỏi - Để áp dụng sáng kiến cần có điều kiện sau: - Giáo viên giảng dạy phải có chun mơn vững, có kinh nghiệm giảng dạy xâu chuỗi kiến thức phát nhanh mối liên hệ tập liên quan - Có thời gian thực thực thường xuyên giúp học sinh có thói quen học tập theo phương pháp 17 Kiến nghị Xây dựng tập từ việc khai thác tốn hình học sách giáo khoa dạy hình học nội dung thiết thực dạy học tốn, phát huy tính tích cực phát triển lực tư logic học sinh, song việc làm không dừng lại lớp hay khối đó, xin mạnh dạn đề nghị sau: + Đối với giáo viên: cần bồi dưỡng nâng cao chuyên môn nghiệp vụ + Đối với tổ chuyên môn nhà trường: tiếp tục cho áp dụng khối lớp lại với nội dung chuyên đề tương tự + Đối với phòng Giáo dục: tiếp tục cử giáo viên có kinh nghiệm giảng dạy tiếp tục nghiên cứu triển khai chuyên đề quy mô rộng Trên số kinh nghiệm thân tơi q trình giảng dạy Cùng với giúp đỡ tận tình Ban giám hiệu nhà trường, tổ chuyên môn, đồng nghiệp học sinh tơi hồn thành sáng kiến “Cách khai thác tốn từ số tốn Hình học sách giáo khoa cho học sinh lớp trường Trung học sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn” Tuy tơi có nhiều cố gắng chắn nhiều thiếu sót Tơi xin trân trọng tất ý kiến phê bình, đóng góp cấp đồng nghiệp để sáng kiến ngày hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Bỉm Sơn, ngày 22 tháng 03 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Thị Hằng 18 ... mang tên: “ Cách khai thác tốn từ số tốn Hình học sách giáo khoa cho học sinh lớp trường THCS Bắc Sơn với mục tiêu nâng cao chất lượng tạo hứng thú tìm tòi cho học sinh học mơn Hình học 2.2 Những... tổ chuyên môn, đồng nghiệp học sinh tơi hồn thành sáng kiến Cách khai thác toán từ số tốn Hình học sách giáo khoa cho học sinh lớp trường Trung học sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn Tuy tơi có nhiều cố gắng... dựng tập từ việc khai thác tốn hình học sách giáo khoa dạy hình học nội dung thiết thực dạy học toán, phát huy tính tích cực phát triển lực tư logic học sinh, song việc làm không dừng lại lớp hay