Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 9 trường THCS quảng thành rèn luyện phương pháp chứng minh bài toán hình học

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD & ĐT TP THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS QUẢNG THÀNH RÈN LUYỆN PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BÀI TỐN HÌNH HỌC Người thực hiện: Hà Văn Thao Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Quảng Thành SKKN thuộc mơn: Tốn Phần 1: MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI THANH HOÁ NĂM 2020 MỤC LỤC TT NỘI DUNG 01 Mở đầu 02 1.1 Lý chọn đề tài 03 1.2 Mục đích nghiên cứu 04 1.3 Đối tượng nghiên cứu 05 1.4 Phương pháp nghiên cứu 06 Nội dung sang kiến kinh nghiệm 07 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh 08 nghiệm Giải pháp tổ chức thực sử dụng để giải 09 vấn đề TRANG 3 4 4 4-5 10 2.3.1 Bài học thứ nhất: Phải coi trọng bước vẽ hình 6-7 11 2.3.2 Bài học thứ hai: Khai thác triệt để giả thiết để phát quan hệ 8-9 12 2.3.2 Bài học thứ ba: Khai thác triệt để giả thiết để phát quan hệ 10 - 11 13 14 15 16 17 2.3.4 Bài học thứ tư: Sử dụng hết kiện toán kết câu 11- 13 phía trước 2.3.5 Bài học thứ năm: Đổi hướng chứng minh vào ngõ cụt 14 - 15 2.3.6 Bài học thứ sáu: Dùng đại số để hỗ trợ hình học 15 2.3.7 Bài học thứ bảy: Hãy tìm cách đưa khó dễ 16 2.3.8 Bài học thứ tám: Đưa lạ quen 17-19 18 2.3.9 Bài học thứ chín: Phương pháp phản chứng toán chứng minh 19 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục,với hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 20 20 20 21 Kết luận - kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị 19-20 21 21 21 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Như biết giải toán cơng việc khó khăn đầy hứng thú, đặc biệt việc giải toán chứng minh hình học u cầu thơng minh sắc sảo người giải tốn nhiều, ngồi cịn địi người giải tốn phải có phương pháp làm việc, tư khoa học vốn kinh nghiệm định Các tốn hình học hấp dẫn nhiều hệ học sinh lời giải hấp dẫn, khám phá sáng tạo sau cách giải hay Nhưng học sinh THCS người bắt đầu tiếp cận với việc chứng minh hình học đứng trước tốn chứng minh hình học khơng học sinh có tâm trạng hoang mang, không xác định phương hướng, phải làm để tìm lời giải cho tốn Vậy có cách để giúp em hình thành rèn luyện kỹ tìm tịi lời giải cho tốn chứng minh hình học hay khơng? Là giáo viên có mười lăm năm giảng dạy mơn tốn trường THCS tham gia ôn luyện bồi dưỡng học sinh mũi nhọn, với kinh nghiệm góp nhặt thân qua học tập trao đổi với thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp, tìm hiểu qua kênh tài liệu, tơi nhận thấy muốn làm điều ngồi việc trang bị cho học sinh hệ thống kiến thức hình học cần giúp học sinh có kỹ quan trọng mà viết tạm gọi “bài học” học áp dụng rút kinh nghiệm nhiều năm qua thu kết khả quan Tôi xin mạnh dạn viết hiểu biết, suy nghĩ, cách làm để trao đổi đồng nghiệp nhằm tìm cách tốt để giúp học sinh THCS Quảng Thành hình thành kỹ tìm lời giải cho tốn chứng minh tốn hình học Sáng kiến mang tên “ Một số giải pháp giúp học sinh lớp THCS Quảng Thành rèn luyện phương pháp chứng minh toán hình học” Tơi mong nhận giúp đỡ, góp ý Hội đồng khoa học, bạn đồng nghiệp để sáng kiến hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Rèn kĩ vận dụng kiến thức giải tốn chứng minh hình học, học sinh nắm vững kiến thức, biết vận dụng vào giải tập - Củng cố hướng dẫn học sinh làm tập nhằm nâng cao chất lượng dạy, nhằm nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ cho thân, thơng qua giới thiệu cho bạn bè đơng nghiệp tham khảo vận dụng vào trình giảng dạy mơn hình học trường THCS Quảng Thành đạt hiệu cao - Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát giải nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt sang tạo kiến thức kỹ thu nhận - Nhằm nắm lại chất lượng mơn Hình học lớp dạy năm học trước, theo dõi kết học tập em đầu năm học 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh có học lực trung bình, khá, giỏi - Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 9C trường THCS Quảng Thành 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp quan sát: Nhằm quan sát mặt tích cực, tiêu cực học sinh trình giải tốn hình học - Phương pháp điều tra: Để biết trạng biện pháp học sinh việc giải tốn hình học - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi nghiên cứu tài liệu có liên quan đến giải tốn hình học - Phương pháp thực nghiệm đối chứng: Để kiểm tra lại trình tiếp thu học sinh - Phương pháp thống kê toán học: Nhằm rút số liệu cụ thể cho đề tài II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: - Thực tế toán chứng minh hình học trường THCS dạng tốn bản, thường gặp chiếm dung lượng lớn chương trình hình học THCS, tốn chứng minh hình học đa dạng, bên cạnh đơn giản có nhiều yêu cầu người học phải có khả tư sáng sủa kỹ giải tốn định, chí có đề thi HSG yêu cầu học sinh phải thơng minh có vốn kinh nghiệm tương đối tốt chứng minh hình học - Hệ thống tập đa dạng phong phú thể nhiều hình thức, phần lớn tập chứng minh, từ địi hỏi HS phải có phương pháp phân tích hợp lí để tìm lời giải cho tốn Vì việc hướng dẫn học sinh cách phân tích tìm lời giải cho tốn quan trọng để khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết tốt 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: - Về phía học sinh: Bắt đầu từ lớp em thức tiếp cận với tốn chứng minh hình học, thực tế cho thấy nhiều học sinh ngại học mơn hình học so với mơn đại số với lý việc chứng minh tốn hình học gây nhiều khó khăn cho em, từ dẫn đến tượng sợ học hình dĩ nhiên dẫn đến việc nhiều học sinh học yếu phân mơn hình học - Về phía giáo viên: Giáo viên Tốn đa phần học sinh học mơn tốn trở lên với lý nói cộng thêm với việc học sinh khơng hứng thú với việc học hình, nên nhiều giáo viên xem nhẹ việc dạy phân mơn hình học mà tập trung nhiều cho số học đại số, điều sai lầm thời lượng chương trình cho đại số hình học gần tương đương đề thi Tốn hình học chiếm khoảng 40% Từ thực tế nêu giáo viên Toán với may mắn thầy truyền cho tình u phân mơn hình học nói chung, tốn chứng minh nói riêng Tơi ln trăn trở tìm cách tốt giúp em học sinh có niềm tin tình u việc chứng minh tốn hình học, nhiều năm qua học sinh tơi giảng dạy có nhiều tiến việc học hình nói chung chứng minh hình học nói riêng nhiều em thực “u” mơn hình học Sự tiến em phần thưởng quý giá mà nhận được, động lực giúp viết sáng kiến với hy vọng góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THCS Quảng Thành 6 2.3 Giải pháp tổ chức thực sử dụng để giải vấn đề: Để giúp học sinh hình thành rèn luyện phương pháp chứng minh tốn Hình học, cần phải tạo cho học sinh có niềm tin vào thân đứng trước tốn chứng minh hình học Muốn giúp em ghi nhớ làm tốt chín học sau đây: 2.3.1 Bài học thứ nhất: Phải coi trọng bước vẽ hình Hình vẽ có vai trị vơ quan trọng chứng minh hình học, hình vẽ xác giúp ta dễ phát quan hệ hình học tốn Tránh vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt để tránh ngộ nhận tính chất mà tốn khơng có Cần vẽ hình thống, rộng, đường nét khơng q sát Nên ký hiệu vào hình vẽ đoạn thẳng góc nhau, góc vng để sử dụng chúng cho tiện tìm cách chứng minh Ví dụ 1: (Lớp - Tam giác cân) Cho tam giác ABC (AB < AC), At tia phân giác góc A Qua trung điểm M BC, kẻ MH vuông góc với At, cắt AB AC theo thứ tự D E Chứng minh BD = CE Hướng dẫn giải: (Hình 1) Kẻ BK//AC BKD =AED (đồng vị) AHD = AHE (g.c.g) nên D = AED Suy BKD = D, BKD cân, BD = BK (1) BK // AC nên KBM = C KBM =ECM (g.c.g) nên BK= CE (2) Từ (1) (2) � BK = CE Bàn luận việc vẽ hình giải tốn: Đối với tốn học sinh gặp khó khăn gì? Hình Đó đề cho AB < AC ta vẽ độ dài AB, AC chênh lệch đường nét vẽ sau sát nhau, hình vẽ khó quan sát, gây khó khăn cho việc chứng minh Vậy vẽ hình phải lưu ý điều 7 Ví dụ 2: (Lớp –Tam giác cân – Bài tốn nguỵ biện hình học) Tìm chỗ sai cách giải toán sau: Chứng minh tam giác tam giác cân Hướng dẫn giải: (Hình 2) Vẽ ABC bất kỳ, gọi O giao điểm phân giác góc A đường trung trực cạnh BC, từ O hạ OEAB O OFAC Xét EAO FAO có: E = F = 900 (cách vẽ); EAO = FAO (cách vẽ) AO (chung) Hình Suy ra: EAO = FAO (cạnh huyền – góc nhọn) � AE = AF (1) Xét EBO FCO có: OE = OF (chứng minh trên); OB = OC (O � đường trung trực cạnh BC) E = F = 900 (cách vẽ) Suy EBO = FCO (cạnh huyền - cạnh góc vng) � BE = CF (2) Từ (1) (2) suy ra; AE + BE = AF + CF hay AB = AC Vậy tam giác tam giác cân Bàn luận việc vẽ hình giải tốn: Rõ ràng kết luận tốn hồn tồn vơ lý, song qúa trình chứng minh tốn nêu lại nghe có lí Vậy vấn đề tốn người giải toán phạm phải sai lầm điểm nào? (đây câu hỏi không dễ học sinh) lúc rà soát lại thật cẩn thận khâu toán, khâu vẽ hình vẽ hình cẩn thận phát sai lầm thuộc khâu vẽ hình, giao điểm đường phân giác góc tam giác đường trung trực cạnh đối diện, nằm miền tam giác, trừ trường hợp tam giác cân hai đường trùng 8 Khi tìm chỗ sai lầm tốn học sinh vơ thích thú nhớ lâu, từ em ln nhớ việc vẽ hình có độ xác cao vơ quan trọng phải ln cẩn thận vẽ hình giải tốn chứng minh hình học 2.3.2 Bài học thứ hai: Khai thác triệt để giả thiết để phát quan hệ Giả thiết toán vật liệu cần thiết để chứng minh thành cơng tốn Giả thiết đề cập đến hình cần khai thác tính chất hình đó, đặc biệt tính chất có liên quan đến kiện Càng phát nhiều quan hệ từ giả thiết có nhiều vật liệu để giải tốn Muốn người giải tốn ngồi việc cần trang bị cho hệ thống kiến thức bản, cần phải ln đặt cho câu hỏi thường trực đứng trước giả thiết tốn, “Bài tốn cho điều ta suy điều gì? có liên quan với kết luận khơng?” từ tìm cách để nối với kết luận Ví dụ 3: (Lớp – Tính chất đường phân giác tam giác) Cho hình bình hành ABCD (AB > CD) Trên cạnh AD lấy điểm E Tia phân giác góc B cắt CE I Gọi F giao điểm AI CD Chứng minh AE = CF Hướng dẫn giải: (Hình 3) Gọi K giao điểm CE BA Theo tính chất đường phân giác BC IC  CBK ta có BK IK (1) BC AE  Do AE // BC nên theo định lí Ta - let BK AK (2) Hình AE IC  Từ (1) (2) suy AK IK (3) IC CF  Do AK // CD nên theo định lý Ta – let IK AK (4) Từ (3) (4) suy AE = CF Bàn luận việc khai thác giả thiết tìm cách giải: Để sử dụng tính chất BI tia phân giác góc B, ta nghĩ đến việc tạo tam giác nhận BI làm phân giác, ta kéo dài CE cắt BA K để sử dụng BC IC  BK IK Sau khai thác tính chất hình bình hành vận dụng Ta –let để gải tốn Ví dụ 4: (Lớp – vị trí tương đối hai đường tròn) Cho hai đường tròn (O) (O,) cắt A B Gọi I trung điểm OO’, gọi C điểm đối xứng B qua I Một đường thẳng qua B cắt đường tròn (O) (O,) lần lược điểm thứ hai D E, chứng minh CD = CE Hướng dẫn giải: (Hình 4) Kẻ OH, IM, O’K vng góc với DE H, K trung điểm BD BE Hình thang OO’KH có IO = IO’, IM // OH // O’K nên MH = MK I thuộc trung trực HK nên IH = IK (1) IH đường trung bình BCD nên CD = HI (2) Hình IH đường trung bình BCE nên CE = IK (3) Từ (1), (2), (3) suy CD = CE Bàn luận việc khai thác giả thiết tìm cách giải: Do I vừa trung điểm OO’ vừa trung điểm BC Nên gọi H, K trung điểm BD BE CD = CE tương ứng với IH = IK 10 tương ứng với I thuộc đường trung trực HK Đến dễ dàng chứng minh toán 2.3.3 Bài học thứ ba: Phân tích kết luận để định hướng chứng minh Với tốn chứng minh hình học cụ thể có nhiều phương án để đến kết luận, song phương án khả thi Phân tích kết luận để định hướng chứng minh giúp ta chọn phương án có nhiều khả đến đích Muốn người giải tốn phải ln đặt cho câu hỏi thường trực trước kết luận tốn “Để chứng minh điều ta phải chứng minh điều gì” câu hỏi đặt liên tục ta nối với giả thiết khai thác Ví dụ 5: (Lớp – trường hợp cạnh – góc cạnh) Cho hai tam giác ABC ADE khơng có điểm chung trong, có hai cặp cạnh AB = AD, AC = AE cặp góc xen bù BAC + DAE = 1800 Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM = DE Hướng dẫn giải (Hình 5) Trên tia đối MA lấy điểm K cho MK = MA Ta có BMK =CMA (c.g.c) suy BK = AC = AE, K = MCA Do K = MCA nên AC // BK, suy BAC = ABK = 1800 Ta lại có BAC + DAE = 1800 nên ABK = DAE ABK = DAE (c.g.c) suy AK = DE, AM = DE Hình 11 Bàn luận việc phân tích kết luận tìm hướng giải: u cầu tốn nói dạng thường gặp chứng minh việc người giải tốn phải nghĩ đến là: Để chứng minh AM = 1/2DE ta phải chứngminh điều gì? Ta tìm cách tạo đoạn thẳng 2AM chứng minh cho DE, ngược lại Ví dụ 6: (Lớp – Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Cho đường tròn (O), bán kính OC vng gốc với dây AB điểm I nằm O C Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt K Gọi N 1 giao điểm OC BK Chứng minh IB  NB  KB Bàn luận việc phân tích kết luận tìm 1 cách giải: Để chứng minh IB  NB  KB ta phải có KB KB KB   CK KB IB NB KB ta phải có  1 (vì từ GT IB NB hai tiếp tuyến cắt K nên KB = CK), ta phải có NK KB  1 (vì IB // CK nên NB NB phải có CK NK  ) hay ta IB NB NK  KB Hình  hay NK + KB = NB (đẳng thức ln có được) NB Suy luận ngược lại ta có điều phải chứng minh (đây cách tư thường dùng chứng minh đặc biệt nhừng tốn chứng ming đẳng thức, bất đẳng thức hình học) 2.3.4 Bài học thứ tư: Sử dụng hết kiện toán kết câu phía trước Trong q trình tìm cách giải tốn cần ý sử dụng hết kiện tốn Nếu cịn kiện chưa sử dụng đến, tìm cách sử 12 Nếu tốn gồm nhiều tốn nhỏ (nhiều câu) phải ý đến kết câu tìm cách chứng minh câu dưới, thơng thường kết câu gợi ý đường dẫn cho câu sau Ví dụ 7: (Lớp – Trường hợp góc cạnh góc) Cho đoạn thẳng AB điểm M trung điểm AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, kẻ tia Ax By vng góc với AB Lấy điểm C thuộc Ax, điểm D thuộc By cho CMD = 900 Chứng minh CD = AC + BD Hướng dẫn giải: (Hình 7a) Gọi E giao điểm CM BD, ta có: AMC = BME (g.c.g) nên AC = BE, MC = ME, AC + BD = BE = BD = DE (1) CMD =EMD (c.g.c) nên CD = DE (2) Từ (1) (2) suy CD = AC + BD Hình 7a Bàn luận việc tìm cách giải: (Hình 7b) Để Chứng minh CD = AC + BD, ta lấy điểm H CD cho CH = CA, chứng minh HD = HB Ta chưa có hướng chứng minh ACM = HCM Chuyển hướng giải: Ta kẻ MH  CD để tạo tam Hình 7b giác vng chưa chứng minh ACM = HCM Các hướng giải đến bế tắc ta chưa sử dụng kiện AM = MB CMD = 900 Để sử dụng nốt kiện đó, ta nghĩ đến việc kéo dài CM cho cắt DB Ví dụ 8: (Lớp – Tam giác đồng dạng) ChoABC Gọi M,N lần lươt trung điểm BC, AC Gọi O, H, G tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm trọng tâm ABC Chứng minh: a) ABH đồng dạng MNO; 13 b) AHG đồng dạng MOG c) H, O, G thẳng hàng Hướng dẫn giải: (Hình 8) Hình a) Ta có OM// AH (vì  BC) ON // BH (vì  AC) MN // AB (đường trung bình ABC) Suy BAH = OMN ABH = ONM (hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song) Vậy ABH đồng dạng MNO theo tỉ số MN  ) (vì AB b) Xét AHG MOG có: HAG = GMO (so le trong); (1) GM OM  (tính chất trọng tâm)  (theo trên) GA AH Do đó: GM OM  (2) GA AH Từ (1) (2) suy MOG đồng dạng AHG c) Ta có MOG đồng dạng AHG nên AGH = MGO Mà A, G, M thẳng hàng nên H, G, O thẳng hàng Chú ý: Đường thẳng qua trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác gọi đường thẳng Euler (Ơ - le) Bàn luận việc tìm cách giải: Để chứng minh ABH đồng dạng MNO ta cần khai thác giả thiết M, N trung điểm BC AC; H trực tâm, O trọng tâm ta suy điều gì? từ ta tìm hướng chứng minh; Khi gải xong câu a) tiếp tục phải chứng minh tam giac đồng dạng câu b) GT khai thác ta cần ý đến kiện G trọng tâm cho ta điều gì? Hãy huy động tính chất trọng tâm tất nhiên cần lưu ý kết câu a) có gợi ý cho câu b) khơng, từ tìm cách chứng minh 14 Nếu tồn khơng có hai câu a,b mà đề yêu cầu câu c) thực khó khăn lớn, song sau giải câu a, b việc chứng minh H, O, G thẳng hàng lại điều đơn giản 2.3.5 Bài học thứ năm: Đổi hướng chứng minh vào ngõ cụt Khi theo hướng chứng minh mà gặp bế tắc, nghĩ đến hướng chứng minh khác tạm thời quên số bước tư hướng chứng minh ban đầu mà phải tìm đường khác Muốn cần trở lại chỗ xuất phát ban đầu bình tĩnh tìm lối theo hướng Ví dụ 9: (Lớp – Tam giác cân) ChoABC có A = 1200 Ở phía ngồi tam giác ABC, vẽ tam giác BCD Chứng minh AD = AB + AC Hướng dẫn giải: (Hình 9a) Lấy E tia phân giác BAC cho AE = AB ABE có BAE = 600, AB = AE nên tam giác đều, suy BE = AB AEB = 600 (1) EBD = ABC ( = 600 - CBE) BED = BAC (c.g.c) nên BED = BAC = 1200 Từ (1) (2) suy Hình 9a AEB + BED = 1800, A, E, D thẳng hàng Từ BED = BAC cịn suy ED = AC Do AD = AE + ED = AB + AC Bàn luận việc tìm cách giải: (Hình9b) Lấy E AD cho AE = AB, ta chứng minh BED = BAC để có 15 ED = AC Đến ta gặp khó khăn hai tam giác có BD = BC cịn yếu tố khác chưa xuất hiện, ta nghĩ đến việc đổi hướng chứng minh Hình 9b Ta đổi hướng chứng minh sau: lấy E tia phân giác góc BAC cho AE = AB, chứng minh cho A, E, D thẳng hàng 2.3.6 Bài học thứ sáu: Dùng đại số để hỗ trợ hình học Các biến đổi đại số giải phương trình nhiều có ích giải tốn hình học Vì giải tốn hình học chứng minh hệ thức số đo tính tốn số đo, nghĩ đến cách đại số hoá số như: số đo góc, độ dài đoạn thẳng, diện tích , ngĩ đến việc lập phương trình để thiết lập mối quan hệ đại lượng chưa biết Ví dụ 10: ( Lớp - định lí Py – ta – go) Cho ABC vuông A, điểm M trung điểm AC Kẻ MH  BC (H � BC) Gọi D điểm thuộc tia đối tia HM Chứng minh độ dài AB, BD, DC dộ dài ba cạnh tam giác vng Hướng dẫn giải: (Hình 10) Ta chứng minh BD2 = AB2 + CD2 Áp dụng định lí Py - ta - go, ta có: AB2 = BM2 – AM2 = BM2 – MC2 = = (BM2 – MH2) – (MC2 – MH2) = BH2 – HC2 (1) CD2 = HC2 + HD2 (2) Hình 10 Từ (1) (2) suy AB2 + CD2 = BH2 – HC2 + HC2 + HD2 = BH2 + HD2 = BD2 Vậy độ dài AB, BD, DC dộ dài ba cạnh tam giác vuông Bàn luận việc tìm cách giải tốn: Trong tốn sử dụng phép biến đổi đại số để biến đổi hệ thức có thành hệ thức cần có để đạt mục tiêu chứng minh, rõ ràng toán kiểu hỗ trợ công cụ đại số cần thiết Đây cách chứng minh phổ biến, sử dụng cách kheo léo phương pháp giúp giải nhiều tốn chứng minh hình học 16 2.3.7 Bài học thứ bảy: Hãy tìm cách đưa khó dễ Một cách đưa tốn khó tốn dễ xét trường hợp đặc biệt toán Tuy việc giải toán trường hợp đặc biệt chưa phải giải toán, nhiều việc xét trường hợp đặc biệt giúp ta “mò” kết định hướng chứng minh, giúp ta đưa trừu trượng cụ thể, giúp ta dễ dàng giải toán trường hợp tổng quát Ví dụ 11 (Lớp – Tứ giác nội tiếp) Cho hai đường tròn (O; R) (O ’; R), tâm đường trịn nằm đường tròn Một đường thẳng d thay đổi vị trí có khoảng cách OH từ O đến d h không đổi (h < R) Gọi B, C giao điểm đường thẳng d với đường trịn (O’) Chứng minh tích OB.OC có giá trị khơng đổi Hướng dẫn giải (Hình.11a) Kẻ đường kính OE (O’) Ta có OBH = OEH nên OBH đồng dạng với OEC (g.g) � OB OH  OE OC Hình 11a Do OB.OC = OE.OH = 2Rh (khơng đổi) Bàn luận việc tìm cách giải:(Hình.11b) Chúng ta đưa khó dễ cách xét trường hợp đặc biệt đường thẳng d qua O ’ (hình 11a) Khi BC đường kính (O’), BOC = 900 nên OB.OC = OH.BC = 2Rh (hệ thức cạnh đường cao tam giác vng) Hình 11b Từ biết trường hợp tổng quát ta phải tìm cách chứng minh OB.OC = 2Rh Giá trị 2R làm nghĩ đến việc vẽ thêm đường kính OE (O’) Từ ta giải tốn 17 2.3.8 Bài học thứ tám: Đưa lạ quen Thao tác đưa lạ quen thao tác tư giải toán, riêng với toán chứng minh hình học thao tác có vai trị vơ quan trọng Nên gặp tốn lạ ta cố gắng chia nhỏ toán thành toán nhỏ quen thuộc (bài toán quen thuộc tính chất, định lý, hệ chứng minh công nhận, hay toán mà giải biết cách giải chúng) Khi giải toán gặp dấu hiệu quen thuộc, từ dấu hiệu cố gắng liên hệ với toán giải, định lý, tính chất chứng minh ta biết cách giải, sử dụng kết quen thuộc biết để giải tốn Muốn ngồi việc trang bị cho kiến thức tảng vững người giải toán cần phải va chạm nhiều với dạng toán chứng minh tập cho khả phân tích, tổng hợp, để “Đưa lạ quen” Ví dụ 12: (Lớp – Tam giác cân) Cho tam giác ABC vuông cân A Vẽ đường thẳng d qua A cho B C thuộc nửa mặt phẳng bờ d Kẻ BH CK vng góc với đường thẳng d (H K thuộc d) Chứng minh: a) BH = AK, AH = CK b) BH + CK = HK c) BH2 + CK2 = AH + AK2 = AB2 Hướng dẫn giải: (Hình 12) a) Ta có: ABH = CAK (cùng phụ với BAH) ABH = CAK (cạnh huyền góc nhọn) nên BH = AK, AH = CK Hình 12 b) Từ BH = AK CK = AH � BH + CK = AK + AH = HK 18 c) Áp dụng định lý Py – ta – go vào AHB vng H ta có: BH2 + AH2 = AB2 Do AH = CK, BH = AK (câu a) nên BH2 + CK2 = AB2, AK2 + AH2 = AB2 Ví dụ 13: (Lớp – Tam giác cân) Cho ABC, phía ngồi tam giác đó, vẽ tam giác vuông cân A ABD ACE Đường thẳng qua A vng góc với BC cắt DE F Chứng minh F trung điểm DE Hướng dẫn giải: (Hình 13) Gọi H giao điểm của FA BC Để áp dụng kết ví dụ 12a, ta kẻ DM  FH, EN  FH Theo kết ví dụ 12a ta có AH = DM; AH = EN � DM = EN Ta có: DM // EN (cùng  với FH) DMF = ENF (g.c.g) � DF = FE Hình 13 Ví dụ 14: (Lớp - Vị trí tương đối hai đường tròn) Cho hai đường tròn (O) (O’) bán kính R cắt A B, OAO’ = 900 Kẻ cát tuyến chung MAN, M �(O) , N �(O’) , A nằm M N Tính tổng AM2 + AN2 theo R Hướng dẫn giải: (Hình 14) Kẻ OI, O’K vng góc với MN Ta có AM2 + AN2 = (2AI)2 + (2AK)2 = 4(AI2 + AK2) = 4OA2(ví dụ 12c) = 4R2 Bàn luận việc đưa lạ Hình 14 quen để tìm cách giải: Trong ví dụ ví dụ sau (lạ) giải cách quy trường hợp ví dụ trước giải (quen) cách vẽ thêm đường phụ, chia nhỏ tốn, ví dụ 13 việc vẽ thêm DM  FH, EN  FH để đưa 19 ví dụ 13 tốn ví dụ 12a, ví dụ 14 việc kẻ OI, O ’K vng góc với MN để đưa ví dụ 14 tốn rong ví dụ 12c Khi chứng minh hình học việc đưa lạ quen có ý nghĩa vơ quan trọng để làm tốt điều cần rèn cho học sinh cách nhìn nhận, phân tích, xếp kiện tốn để tìm trọng vấn đề lạ quen 2.3.9 Bài học thứ chín: Phương pháp phản chứng toán chứng minh Để chứng minh A kéo theo B, nhiều trường hợp ta gặp khó khăn tìm đường nối từ A đến B quy tắc suy luận ta có: B tương đương với phủ định B sai Do thay cho việc chứng minh B đúng, ta chứng minh phủ định B sai (Bằng cách giả sử phủ định B dẫn đến mâu thuẩn điều vô lý) Cách chứng minh gọi chứng minh phản chứng Ba bước chứng minh phản chứng: Bước 1: (phủ định kết luận): Nêu lên trường hợp trái với kết luận toán; Bước 2: (đưa đến mâu thuẫn): Chứng tỏ trường hợp trê dẫn đến mâu thuẫn (mâu thuẫn với giả thiết mâu thuẫn với kiến thức học); Bước 3: (khẳng định kết luận): Vậy kết luận tốn Ví dụ 15: (Lớp – Hình vng- Đề thi HSG) Cho hình vng ABCD, điểm E nằm hình vng cho EAB = EBA = 150 Chứng minh: a) AED = BEC b) AED = 750 Hướng dẫn giải: (Hình 15) a) AED =BEC (c.g.c) nên AED = BEC b) Đặt AD = CD = a, EC = EB = b Ta có EAD = 900 – 150 = 750, AEB = 1500 - Giả sử AED > 75 Hình 15 Tam giác AED có AED > EAD nên AD > ED, tức a > b (1) 20 Mặt khác AED > 750 CED < 3600 – 1500 – 750 = 600 Tam giác cân ECD có CED < 600 nên 2DCE > 1200 , DCE > 600, suy CD < ED, tức a < b (mâu thuẫn với (1)) - Giả sử AED < 750 (chứng minh tương tự dẫn đến mâu thuẫn) - Vậy AED = 750 Bàn luận việc giải toán: Rõ ràng toán ta chứng minh trực tiếp AED = 750 tốn trở nên phức tạp nhiều, buộc phải chứng minh ADE cân D phải vẽ thêm AEI bên ADE việc giải toán phức tạp (như đáp án thi HSG lớp mơn Tốn Như việc sử dụng phương pháp phản chứng đem lại cho thêm lựa chọn tốt cho việc giải số tốn chứng minh hình học, đặc biệt có tốn ngồi đường chứng minh phản chứng khơng cịn đường khác Song tốn sử dụng phương pháp này, tốn mà ta phát biểu mệnh đề phản 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Kết cụ thể: Qua theo dõi đối tượng học sinh năm gần đây, thu kết sau: TT Năm học 2017 – 2018 2018 – 2019 2019 – 2020 Năm học lớp Tổng (Chưa áp dụng sáng kiến) Số HS yếu Số HS khá, số HS kém,TB giỏi mơn mơn Tốn Tốn 45 33 12 45 30 15 44 31 13 Năm học lớp (có áp dụng sáng kiến) Số HS yếu Số HS khá, kém, TB giỏi mơn mơn Tốn Tốn 20 25 15 30 19 25 Như việc giúp học sinh hình thành rèn luyện phương pháp chứng minh tốn hình học, việc làm cần thiết đòi hỏi người thầy phải có phương pháp rèn luyện tốt 21 Phần 3: Kết luận - Kiến nghị 3.1 Kết luận: Trên học ví dụ (minh hoạ) Muốn học sinh nắm vững chín học nêu trên, hai mà cần phải có q trình rèn luyện thường xun, liên tục bắt đầu từ học chứng minh hình học, giáo viên cần ý rèn luyện cho học sinh kỹ thông qua toán chứng minh, theo mức dộ tăng dần từ dễ đến khó 3.2 Kiến nghị: Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng mơn Tốn, xin mạnh dạn nêu số kinh nghiệm nhỏ thân góp nhặt q trình giảng dạy học tập, chắn không tránh khỏi hạn chế khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý Hội đồng khoa học đồng nghiệp để đề tài hồn thiện góp phần tích cực vào việc nâng cao chất lượng giáo dục XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Quảng Thành, ngày 30 tháng 05 năm2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Hà Văn Thao ... để giúp học sinh THCS Quảng Thành hình thành kỹ tìm lời giải cho tốn chứng minh tốn hình học Sáng kiến mang tên “ Một số giải pháp giúp học sinh lớp THCS Quảng Thành rèn luyện phương pháp chứng. .. 13 Năm học lớp (có áp dụng sáng kiến) Số HS yếu Số HS khá, kém, TB giỏi mơn mơn Tốn Tốn 20 25 15 30 19 25 Như việc giúp học sinh hình thành rèn luyện phương pháp chứng minh toán hình học, việc... hình thành rèn luyện phương pháp chứng minh tốn Hình học, cần phải tạo cho học sinh có niềm tin vào thân đứng trước tốn chứng minh hình học Muốn giúp em ghi nhớ làm tốt chín học sau đây: 2.3.1 Bài