vi. Khi đó, có thể dùng phương pháp tối ưu để giải bài toán VI thông qua việc
giải bài toán trơn (2.8).
Dựa vào cáchxây dựng các hàm chắn ởtrên, với mỗi x ∈ C, đặt y = h(x)
là nghiệm duy nhất của bài toán qui hoạch lồi mạnh
min{1
2hy −x, G(y−x)i+ hF(x), y−xi | y ∈ C}, (2.10) trong đó G là một ma trận đối xứng, xác định dương. Do C khác rỗng, lồi, đóng và hàm mục tiêu của bài toán (2.10) lồi mạnh, nửa liên tục dưới trên C, nên h(x) được xác định và duy nhất.
Kết quả sau đây chỉ ra rằng điểm x∗ là nghiệmcủa bài toán VI khi và chỉ khi x∗ là điểm bất động của ánh xạ h.
Bổ đề 2.1. x∗ là nghiệm của bài toán VI(1.1) khi và chỉ khi x∗ = h(x∗). Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệmcủa bài toán VI. Điều đó có nghĩa rằng
hF(x∗), x −x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C. (2.11)Do h(x∗) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.10), nên h(x∗) ∈ C. Thay thế x Do h(x∗) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.10), nên h(x∗) ∈ C. Thay thế x
bởi h(x∗) trong bất đẳng thức (2.11), ta được
hF(x∗), h(x∗)−x∗i ≥ 0. (2.12)Mặt khác, h(x∗) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.10),theo điều kiện cần và Mặt khác, h(x∗) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.10),theo điều kiện cần và đủ của tối ưu, ta có
hF(x∗) +G(h(x∗)−x∗), y −h(x∗)i ≥ 0 ∀y ∈ C. (2.13)Thay thế y bởi x∗ ∈ C trong bất đẳng thức (2.13), ta có Thay thế y bởi x∗ ∈ C trong bất đẳng thức (2.13), ta có
hF(x∗) +G(h(x∗)−x∗), x∗ −h(x∗)i ≥ 0. (2.14)Từ bất đẳng thức (2.12) và (2.14) suy ra Từ bất đẳng thức (2.12) và (2.14) suy ra
hG(h(x∗)−x∗), x∗ −h(x∗)i ≥ 0. (2.15)Từ bất đẳng thức (2.15) và do ma trận G là đối xứng, xác định dương, ta có Từ bất đẳng thức (2.15) và do ma trận G là đối xứng, xác định dương, ta có
h(x∗) = x∗. Suy ra x∗ = h(x∗).
Bây giờ, ta xét chiềungược lại. Giả sử rằng x∗ = h(x∗).Với mọi x ∈ C, ta luôn có
hF(x) +G(h(x)−x), y−h(x)i ≥ 0 ∀y ∈ C. (2.16)Thay thế x bởi x∗ = h(x∗) trong bất đẳng thức (2.16) ta được Thay thế x bởi x∗ = h(x∗) trong bất đẳng thức (2.16) ta được
hF(x∗), y −x∗i ≥ 0 ∀y ∈ C.
Điều này có nghĩa rằng x∗ là nghiệm của bài toán VI. 2
Hãy trởlại bài toán(2.8) vớiC lồi, đóng.Để tiệncho việctrìnhbày, ta viết bài toán này dưới dạng tương đương là:
g2(x) = −min{1
Vì G là ma trận đối xứng và xác định dương, nên (2.17) là một bài toán quy hoạch lồi mạnh và do đó nó có duy nhất nghiệm.
Dưới đây để đơn giản, ta giả sử G = αI, trong đó α > 0 và I là ma trận đồng nhất. Khi đó, chúng ta sẽ đưa ra cáchđiều chỉnh tham số α phù hợp, sao cho ánh xạ nghiệm h có tính chất co trên C. Tham số α được gọi là tham số chính quy hoá.Định lýdưới đây sẽkhẳngđịnh tính chất co củaánh xạ nghiệm
h trong trường hợp F là ánh xạ đơn điệu mạnh trên C.
Địnhlý2.1. Giả sửrằngF(x) làlồi, đóng,khácrỗngvới mỗix ∈ C, F làmột ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số β > 0và Lipschitz với hằng số L >0 trên C. Khi đó, với α > L2β2, ánh xạ h là co trên C với hệ số δ :=
q
1− 2βα + Lα22 . Cụthể, ta có