skkn sử dụng phương pháp hình học để giải bài toán cân bằng vật rắn

I – PHẦN MỞ ĐẦU Trong chương trình vật lý 10, tĩnh học phần quan trọng Nó giúp học sinh giải toán cân vật thể tương tác chúng Đối với học sinh giỏi, phần tĩnh học quan trọng hơn, dạng toán thường thấy kì thi lớn nhỏ; từ thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia, Olympic 30 – kì thi Olympic khu vực Để giải toán tĩnh học, thông thường sử dụng phương pháp giải tích Phương pháp sử dụng với số lượng lực tác dụng, lập điều kiện cân sau chiếu lên trục toạ độ chọn Ngoài phương pháp giải tích, học sinh biết có phương pháp đặc biệt hữu hiệu có lực tác dụng lên vật rắn, phương pháp hình học Trong đề tài này, xin đề cập đến việc sử dụng phương pháp hình học để giải toán cân vật rắn Tôi hy vọng tài liệu tham khảo có ích cho em học sinh Vì thời gian không nhiều trình độ thân hạn chế, đề tài khó tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô giáo xem xét góp ý thêm II – CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cân hệ lực đồng quy Theo định luật học, ta biết vật thể bị tác dụng lực bên cân đứng yên chuyển động theo quán tính Thí dụ vật chuyển động tịnh tiến thẳng Từ ta có hai kết luận quan trọng: - Các lực tác dụng lên vật đứng yên lên vật chuyển động theo quán tính thoả mãn điều kiện cân tĩnh học - Sự cân lực tác dụng lên vật rắn tự điều kiện cần, chưa đủ cân (đứng yên) thân vật thể Do vật thể đứng yên trước chịu tác dụng lực cân trạng thái đứng yên Để hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn cân điều kiện cần đủ hợp lực lực không Ta biểu diễn điều kiện dạng hình học phần Điều kiện cân dạng hình học Vì hợp lực hệ lực đồng quy cạnh khép kín đa giác lực dựng từ lực nên hợp lực không điểm mút lực cuối đa giác lực trùng với điểm đầu lực đầu tiên, tức đa giác lực tự khép kín Do đó, điều kiện cần đủ để hệ lực đồng quy cân đa giác lực dựng từ lực phải tự khép kín Nhiều để giải toán tĩnh học, ta nên sử dụng định lý sau Định lý ba lực Nếu vật rắn tự mà cân tác dụng ba lực không song song nằm mặt phẳng giá chúng phải cắt điểm Các bước giải toán cân vật rắn phương pháp hình học Như nói trên, phương pháp hình học thường tiện có lực tác dụng lên vật Vì ta xem phạm vi áp dụng hiệu cho toán số lực tác dụng lên vật hay vật hệ lực mà Nếu vật chịu tác dụng nhiều ba lực ta tìm hợp lực số lực trước qui toán vật chịu tác dụng ba lực • Bước 1: Chọn vật khảo sát cân Trước hết ta cần xét cân vật chịu tác dụng lực cho lực chưa biết Nếu lực cho tác dụng lên vật, lực chưa biết tác dụng lên vật khác, ta cần khảo sát cân vật cân vật trung gian • Bước 2: Biểu diễn lực lên vật hệ vật cân Ta cần vẽ riêng rẽ vật cân biểu diễn lực tác dụng lên vật • Bước 3: Lập điện kiện cân Tam giác dựng ba lực tác dụng lên vật vật hệ phải khép kín • Bước 4: Xác định đại lượng cần tìm, kiểm tra lời giải khảo sát kết thu Giải tam giác dựng ta đại lượng cần tìm III – PHÂN TÍCH MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1: Một kim loại dài AB = 1,5m khối lượng m = 3kg giữ nghiêng mặt sàn nằm ngang sợi dây BC hình vẽ Biết BC = 1,5m, đầu A tựa lên mặt sàn Hệ số ma sát mặt sàn Góc nghiêng α phải có giá trị để cân bằng? Giải x Chúng ta so sánh hai cách giải sau: • Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích: Áp dụng điều kiện cân tổng quát vật rắn ta có: ur ur uuur ur r P + Q + Fms + T = (1) y Tổng đại số mômen lực trục qua A không: M ( P ) + M ( Fms ) + M ( N ) + M ( T ) = ⇒ T AB.sin α − P AB cos α = (2) Chiếu (1) lên Ox Oy ta được: Fms − T = − P + Q = Từ điều kiện lực ma sát phải lực ma sát nghỉ Fms ≤ kQ ta có: T ≤ kP ⇒ P cot gα ≤ kP ⇒ cot gα ≤ 2k = ⇒ α ≥ 30 • Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học: Theo định lý lực, phản lực sàn N phải qua D (giao điểm giá P T ) Mặt khác, để cân bằng, N phải nằm nón ma sát tgϕ = k tức là: β ≤ ϕ ; với tgβ = ⇒ AB cos α cot gα = AB sin α cot gα ≤ k ⇒ α ≥ 30 • Nhận xét: Rõ ràng trường hợp có lực tác dụng phương pháp hình học giải ngắn gọn hơn, đơn giản Chúng ta tiếp tục so sánh ví dụ khác Bài toán 2: Một đồng chất BC tựa vào tường thẳng đứng góc B nhờ dây AC dài l hợp với tường góc α Cho BC = d Hỏi hệ số ma sát tường phải thoả điều kiện để cân bằng? Giải • Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích Chọn hệ quy chiếu Bxy hình vẽ Biểu thức cân lực: P + T + f + N = + Chiếu lên Bx: N = T.sinα + Chiếu lên By: f = mg - Tcosα Cân mômen trục qua B: d mgd sin β mg sin β = T.h sin α ⇒ T = (với h = AB) 2h sin α Áp dụng định lý hàm sin tam giác ABC: d h d sin ( α + β) = h= ⇒ sin α sin ( α + β ) sin α mg sin β mg sin α sin β Ta có: T = sin ( α + β) ⇒ N = sin ( α + β)  f = mg1 −  cos α cos β  sin α cos β + cos α sin β  = mg sin ( α + β)  sin ( α + β ) Để có cân ma sát phải ma sát nghỉ: f ≤ kN ⇔ mg sin α cos β + cos α sin β mg sin α sin β ≤k sin ( α + β ) sin ( α + β ) ⇒ k≥ sin α cos β + cos α sin β = + sin α sin β tgβ tgα Mà theo định lý hàm sin cho tam giác ABC, ta có: sin β =  sin α ⇒ cos β = d d − 2 sin α d − 2 sin α + ⇒ k≥ sin α tgα d • Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học: Để cân bằng, phản lực Q phải qua giao điểm D giá hai lực P T , dễ thấy D trung điểm AC Khi Q hợp với phương thẳng đứng góc γ AD sin α sin α Ta có: tgγ = BC cos β + CD cos α = 2d cos β + cos α Để cân phản lực Q phải nằm nón ma sát tgϕ = k, tức π 2d cos β + cos α − ϕ ≥ γ Hay cot gϕ ≥ tgγ ⇒ k ≥ sin α • Nhận xét: Đến ví dụ ta thấy rõ đơn giãn ngắn gọn phương pháp hình học với giải tích Đó toán vật chịu tác dụng ba lực, trường hợp có lực trở lên liệu áp dụng phương pháp có hiệu không Ta xét tiếp ví dụ khác Bài toán 3: Hai cầu đồng chất, tâm O O2 bán kính R1, R2 (R1 > R2), trọng lượng P1, P2 (P1 > P2) tựa vào B treo vào điểm O nhờ hai dây OA1 OA2 Biết OA1 + R1 = OA2 +R2 = R1 + R2 Tìm góc nghiêng θ OA1 với đường thẳng đứng cân Giải: • Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích: Phương trình mômen cầu O1 trục quay O: P1 O1 H1 − N.OH = ⇔ P1 ( R + R ) sin θ − N( R + R ) ⇒ N= 2P1 3 =0 sin θ Tương tự phương trình mômen cầu O2 trục quay O: N' ( R + R ) ( ) − P2 ( R + R ) sin 60 − θ = ⇒ N' = 2P2 ( ) sin 60 − θ Vì N = N’, ta nhận phương trình xác định θ: ( P1 sin θ = P2 sin 60 − θ ) ⇒ P1 sin θ = P2 sin ( 60 − θ) ⇒ ( 2P1 + P2 ) sin θ = P2 cos θ ⇒ tgθ = P2 2P1 + P2 • Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học: Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm: P1 ; P2 ; T1 ; T2 T1 T2 có giá cắt O hợp lực P P1 P2 phải qua O Theo quy tắc hợp lực song P P P +P P ⇒ O' O = P + P ( R + R ) 2 song ta có: O' O = O' O = O O 1 Trong tam giác OO1O’, theo định lý hàm số sin: O O' R1 + R = sin θ sin 120 − θ ( ⇒ ) P1 + P2 sin θ = sin 120 cos θ − cos120 sin θ P2 ⇒ tgθ = P2 2P1 + P2 • Nhận xét: Vậy ta thấy phương pháp hình học áp dụng hệ vật được, chí có nhiều ba lực, nhiên toán lúc không ngắn gọn rõ ràng phương pháp giải tích Do đó, toán có nhiều ngoại lực tác dụng ta nên sử dụng phương pháp giải tích Bây xin đưa thêm số tập cân vật rắn áp dụng phương pháp hình học Bài 4: Một cầu nặng đồng chất treo dây vào điểm cố định đường thẳng đứng Xác định hệ số ma sát tường với cầu cho cân bằng, điểm nối dây với cầu nằm đường thẳng đứng qua tâm cầu Giải Phản lực Q phải qua điểm A, dễ thấy α = 450 Mà để cầu cân Q phải nằm nón ma sát tgϕ = k ⇒ α ≤ ϕ hay tgϕ ≥ tgα = ⇒ k ≥ Bài toán 5: Vật B có trọng lượng P nằm mặt không nhẵn có dạng phần tư cung tròn, vật giữ cân nhờ lực kéo T đặt vào dây BAD Cho hệ số ma sát trượt µ = tgα Tìm lực kéo T Giải Vẽ nón ma sát xBy, để B cân hợp lực Q = P + T phải nằm nón ma sát Hai giá trị giới hạn Q Q1 Q , tương ứng với hai vị trí giới hạn T T1 , T2 Do điều kiện cân trở thành: T2 ≤ T ≤ T1 * Tính T2: ˆ O = π −  π − α  = π + 2α γ = AB     ˆ B=Q B ˆ P = α − ϕ ; PQ ˆ Q2B 2 A ⇒ sin PQˆ B = sin Q BˆA = sin ABˆx ⇒ sin PQˆ B = sin ( γ − ϕ) Theo định lý hàm số sin: ⇒ T2 = T2 P = ˆ B sin Q B ˆ sin PQ P sin ( α − ϕ) P  π + 2α  sin  − ϕ   Hoàn toàn tương tự tính toán T1: T1 = sin ( α + ϕ) P  π + 2α  sin  + ϕ   Vậy lực kéo T xác định khoảng: sin ( α − ϕ) sin ( α + ϕ) P≤T≤ P  π + 2α   π + 2α  sin  − ϕ sin  + ϕ     Bài toán 6: Thanh AD có trọng lượng không đáng kể, nằm ngang hai ổ đỡ B, C không nhẵn, hệ số ma sát trượt k Tại đầu D đặt lực kéo Q nghiêng góc θ với Cho BC = 2CD = 2a Xác định góc θ để có tự hãm (thanh cân dù trị số Q lớn) Giải Vẽ hai nón ma sát tiếp điểm B, C, phần giao zIy Có nghĩa giao điểm phản lực B C phần giao Vì để cân bằng, lực Q phải có giá qua phần giao tức θ ≥ θ (Với θ = CDˆI ) a HI ⇒ θ = arctg tgϕ tgθ = = = 2k HD 2a 2tgϕ Vậy điều kiện cân là: θ ≥ arctg 2k Vì điều kiện cân không phụ thuộc vào trị số Q nên tượng tự hãm xảy Bài toán 7: Thanh đồng chất AB = 2l, trọng lượng P, hai đầu tựa tường không nhẵn hệ số ma sát k Xác định góc nghiêng α để thang cân bằng? Giải Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Vẽ hai nón ma sát xAy, zBt Phần giao nón ma sát IJMK chứa giao điểm phản lực tường sàn Vậy điều kiện để AB cân P phải qua tứ giác IJMK nghĩa là: x G ≥ x k Ta có: x G = AB sin α = sin α Tam giác BKA vuông K: x K = BK cos ϕ = AB sin ( α − ϕ) cos ϕ ⇒ x K = 2sin ( α − ϕ) cos ϕ Thay vào điều kiện: sin α = 2sin ( α − ϕ) cos ϕ ⇒ tgα ≥ 2( sin α cos ϕ − cos α sin ϕ) = 2tgα cos ϕ − cos ϕ sin ϕ ⇔ tgα(1 − cos ϕ) ≥ −2 cos ϕ sin ϕ sin 2ϕ ⇔ tgϕ ≤ cos 2ϕ = tg 2ϕ ⇒ α ≤ 2ϕ Bài toán 8: Thanh sắt OA có khối lượng m1 = 2kg gắn đầu O vào tường thẳng đứng nhờ lề, đầu A treo vật B có khối lượng m = 2kg giữ cân nhờ dây AC nằm ngang, góc nghiêng so với tường α = 450 Hãy xác định lực tác dụng lên thành Lấy g = 10m/s2 Giải Hợp lực P = P1 + P2 có điểm đặt E, P1 = P2 nên dễ thấy E trung điểm GA Để cân bằng, phản lực Q phải qua giao điểm D giá hai lực P T , Q hợp với phương thẳng đứng góc β Dựa vào hình vẽ, ta có: tg β = CD OE sin α = CO CO OA sin α 3sin α = = = CO cos α Vậy: + Lực căng dây: T = Ptgβ = ( P1 + P2 ) tgβ = 30 N + Phản lực lề: Q = T + P = 50 N + Q hợp với phương thẳng đứng góc β = arctg = 37 10 Bài toán 9: Thanh đồng chất AB, đầu A tựa sàn ngang có ma sát, đầu B giữ nhờ lực F vuông góc với AB Thanh AB nằm yên cân Hệ số ma sát trượt AB với sàn µ a Lập biểu thức xác định µ theo α b Với giá trị α hệ số ma sát µ nhỏ Giá trị nhỏ bao nhiêu? Giải a Thanh cân bằng, phản lực Q phải qua giao điểm C Lực ma sát phải lực ma sát nghỉ nên Q phải nằm nón ma sát tgϕ = µ, tức β ≤ ϕ (β góc hợp Q với phương thẳng đứng) Mà ta có: AB cos α sin α cos α tgβ = = = AB AB sin α + tgα + cot gα sin α + 2 sin α ⇒ µ ≥ 2tgα + cot gα b Theo bất đẳng thức côsi ta có: 2tgα + cot gα ≥ 2 Dấu xảy thì: tgα = ⇒ tgα = 0,5 tgα ⇔ α = 35,26 , µ có giá trị nhỏ nhất: µ = 2 = IV - KẾT LUẬN Qua số toán ta nhận thấy ưu điểm phương pháp hình học sử dụng để giải số toán cân vật rắn Đó 11 giải ngắn gọn rõ ràng, hạn chế việc giải hệ phương trình (vốn nhiều phương trình dễ nhầm lẫn) Tuy nhiên phương pháp thực hiệu vật hay hệ vật cân có lực tác dụng Ngoài ra, học sinh cần phải nắm kiến thức hình học vững vàng sử dụng thành thạo hàm số lượng giác tam giác Trên vấn đề nhỏ mà tìm hiểu, mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô giáo em học sinh TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Đức Cường, Các dạng tập từ đề thi quốc gia NXB Đại học Sư phạm, 2011 Tô Giang, Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lý trung học phổ thông (cơ học 1) NXB Giáo Dục, 2009 Trần Trọng Hưng, 400 toán Vật lý 10 NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006 Vũ Thanh Khiết, Bồi dưỡng Học sinh giỏi Vật lý Trung học phổ thông – Bài tập Cơ học – Nhiệt học, NXB Giáo Dục, 2002 Vũ Thanh Khiết, Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp (tập 1) NXB Giáo Dục, 2011 12 MỤC LỤC I Mở đầu……………………………………………………………1 II Cơ sở lý thuyết………………………………………………… 1 Cân hệ lực đồng quy……………………………….1 Điều kiện cân dạng hình học…………………… Định lý ba lực…………………………………………… Các bước giải toán cân vật rắn phương pháp hình học………………………………………………………….2 III Phân tích số toán điển hình…………………………… IV Kết luận……………………………………………………… 11 Tài liệu tham khảo ……………………………………………… 12 Mục lục…………………………………………………………….13 13 ... bước giải toán cân vật rắn phương pháp hình học Như nói trên, phương pháp hình học thường tiện có lực tác dụng lên vật Vì ta xem phạm vi áp dụng hiệu cho toán số lực tác dụng lên vật hay vật hệ... phương pháp hình học áp dụng hệ vật được, chí có nhiều ba lực, nhiên toán lúc không ngắn gọn rõ ràng phương pháp giải tích Do đó, toán có nhiều ngoại lực tác dụng ta nên sử dụng phương pháp giải. .. - KẾT LUẬN Qua số toán ta nhận thấy ưu điểm phương pháp hình học sử dụng để giải số toán cân vật rắn Đó 11 giải ngắn gọn rõ ràng, hạn chế việc giải hệ phương trình (vốn nhiều phương trình dễ nhầm