điểm bất động của một lớp toán tử compak tiệm cận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐOÀN TRỌNG HIẾU ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT LỚP TOÁN TỬ COMPAK TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Phụ Hy Hà Nội-2009 Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích; các thầy, cô Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả 3 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy. Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả 4 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 1. KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ 9 1.1. Nón trong không gian Banach và ví dụ . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3. Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực . . 20 1.2. Không gian E u 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.2. Không gian E u 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3. Một số định lý về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2. Một số định lý về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ U 0 -LÕM 31 2.1. Các định nghĩa và ví dụ về toán tử u 0 - lõm . . . . . . . . . . 31 2.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Một số tính chất về điểm bất động của toán tử u 0 -lõm . . . . 34 Chương 3. TOÁN TỬ PHI TUYẾN COMPAK TIỆM CẬN 39 3.1. Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2. Một số tính chất về điểm bất động của toán tử lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2. Điểm bất động của toán tử Compak tiệm cận . . . . . . . . . 42 3.2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2. Sự tồn tại điểm bất động của toán tử compak tiệm cận 42 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Tài liệu tham khảo 49 6 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Nhiều bài toán quan trọng trong toán học nói riêng và khoa học kỹ thuật nói chung dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ. Chính vì vậy mà lý thuyết điểm bất động được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Nhà toán học Banach Stefan (1892- 1945) là một trong các nhà toán học xuất sắc, người đặt nền móng cho lý thuyết này bằng nguyên lý nổi tiếng: "Nguyên lý ánh xạ co Banach” (1922). Tiếp theo đó, xuất hiện nhiều hướng nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động của các toán tử trong các không gian hàm, trong các công trình của các nhà toán học nổi tiếng như Lipsit, Aylen- bec, Kraxnoxenxky Những năm 60 của thế kỷ XX, nhà toán học nổi tiếng người Nga M. A. Kraxnoxenxky đã nghiên cứu và đã đạt được các kết quả quan trọng về lý thuyết điểm bất động của các toán tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thứ tự. Đặc biệt trong hướng nghiên cứu này là các tác giả đã nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ trên một tập nói chung không đóng, vì vậy đây là một hướng nghiên cứu khá thú vị. Ở nước ta vào những năm 80 của thế kỷ XX, PGS. TS Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng được các định lý quan trọng về điểm bất động của toán tử lõm cho toán tử lõm chính quy. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy tôi đã chọn đề tài: “Điểm bất động của một lớp toán tử phi tuyến Compak tiệm cận” 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu một cách có hệ thống, chi tiết các kết quả đã đạt được về lý thuyết điểm bất động của toán tử lõm và toán tử Compak 7 tiệm cận. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các kiến thức cơ sở cần thiết và các kết quả về điểm bất động của toán tử cực trị. Luận văn được chia làm 3 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo): Chương 1: Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. Chương này xây dựng một không gian định chuẩn nói chung và một không gian Banach nói riêng trở thành một không gian nửa sắp thứ tự bằng cách đưa ra khái niệm nón, sau đó xây dựng không gian E u 0 nhờ đưa ra khái niệm u 0 - chuẩn. Chương 2: Điểm bất động của toán tử U 0 - lõm. Chương này giới thiệu các khái niệm toán tử dương, đơn điệu, u 0 - đo được trên không gian Banach thực E với nón K. Từ đó xây dựng khái niệm toán tử lõm, giới thiệu và chứng minh một số định lý về điểm bất động của toán tử u 0 - lõm. Chương 3: Điểm bất động của toán tử phi tuyến Compak tiệm cận. Trên cơ sở các kết của chương 1, chương 2. Chương 3 tiếp tục giới thiệu khái niệm toán tử lõm chính quy, toán tử Compak tiệm cận. Từ đó đưa ra các định lý về điểm bất động của toán tử lõm chính quy. Cuối cùng, giới thiệu sự tồn tại điểm bất động của toán tử phi tuyến Compak tiệm cận. Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu và tổng hợp các kết quả nghiên cứu theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn và xử lý văn bản chắc không tránh khỏi những thiếu xót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà nội, tháng 08 năm 2009 Tác giả 8 Chương 1 KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ 1.1. Nón trong không gian Banach và ví dụ 1.1.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho không gian Banach thực E. Một tập con khác rỗng K ⊂ E được gọi là một nón nếu: N 1 / Tập K đóng trong E; N 2 / Với ∀x, y ∈ K thì x + y ∈ K; N 3 / Với ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 thì tx ∈ K; N 4 / Với ∀x ∈ K, x = θ thì −x /∈ K. Như vậy, theo định nghĩa thì nón K là một tập lồi trong E. Định lý 1.1. Giả sử tập F là một tập con khác rỗng của không gian Banach thực E thoả mãn các điều kiện lồi, đóng, bị chặn và không chứa phần tử không (θ). Khi đó tập K(F ) = {x ∈ E : x = tz, t ∈ R, t ≥ 0, z ∈ F } là một nón. Chứng minh. Từ giả thiết ta có K(F ) là tập khác rỗng. Từ tính chất của F là tập đóng, bị chặn và không chứa phần tử θ ta luôn tìm được hai số dương m, M : ∀z ∈ F ta có m ≤ z ≤ M. Thật vậy: nếu inf z∈F z = 0 thì ta tìm được một dãy (z n ) ∞ n=1 trong F để lim n→∞ z n  = 0 hay lim n→∞ z n = θ trong E, do F đóng nên θ ∈ F, trái với giả thiết, nghĩa là tồn tại m ≥ 0 để m ≤ z, và F bị chặn nên tồn tại M ≥ 0 để z ≤ M. Ta chứng minh K(F ) là tập đóng. Lấy một dãy bất kỳ (u n ) ∞ n=1 ⊂ K(F ) sao cho lim n→∞ u n = ν trong E. 9 +/ Nếu ν = θ thì đương nhiên ν ∈ K(F ). +/ Nếu ν = θ thì ν > 0. Ta sẽ chỉ ra ν ∈ K(F ). Thật vậy, do lim n→∞ u n = ν nên với số dương 1 2 ν, ∃n 0 ∈ N ∗ , ∀n ≥ n 0 , u n − ν < 1 2 ν ⇒ |u n  −ν| ≤ u n − ν < 1 2 ν ⇒ 1 2 ν < u n  < 3 2 ν ∀n ≥ n 0 (1.1) Mặt khác, vì u n ∈ K(F ) ⇒ u n = t n z n , t n ≥ 0, z n ∈ F, ∀n = 1, 2, theo bất đẳng thức (1.1) thì: 1 2 ν < t n z n  = t n z n  < 3 2 ν ⇒ 1 2M ν < t n < 3 2m ν∀n = 1, 2, suy ra tồn tại dãy con (t n i ) ∞ i=1 ⊂ (t n ) ∞ n=1 sao cho lim i→∞ t n i = t 0 ⇒ 1 2M ν ≤ t 0 ≤ 3 2m ν nghĩa là t 0 > 0. Xét dãy con (u n i ) ∞ i=1 ⊂ (u n ) ∞ i=1 với u n i = t n i z n i , ta có:    z n i − 1 t 0 ν    =    z n i − t n i t 0 z n i + t n i t 0 z n i − 1 t 0 ν    ≤ 1 t 0 |t n i −t 0 |·z n i + 1 t 0 u n i −ν ≤ M t 0 |t n i − t 0 | + 1 t 0 u n i − ν → 0 khi i → ∞ ⇒    z n i − 1 t 0 ν    → 0 khi i → ∞ Do F đóng nên 1 t 0 ν ∈ F ⇒ t 0  1 t 0 ν  = ν ∈ K(F ). Vì vậy K(F ) đóng. Với ∀u, v ∈ K(F ), ∀α, β ∈ R + . Khi đó: u = t 1 z 1 , v = t 2 z 2 với t 1 , t 2 ∈ R + , z 1 , z 2 ∈ F. Nếu t 1 = 0 hoặc t 2 = 0 hoặc α = 0 hoặc β = 0 thì αu + βv ∈ K(F ). Vì vậy, ta chỉ cần xét α > 0, β > 0, t 1 > 0, t 2 > 0, khi đó αu + βv = αt 1 z 1 + βt 2 z 2 = (αt 1 + βt 2 )  αt 1 αt 1 + βt 2 z 1 + βt 2 αt 1 + βt 2 z 2  do F là tập lồi nên αt 1 αt 1 + βt 2 z 1 + βt 2 αt 1 + βt 2 z 2 ∈ F ⇒ αu + βv ∈ K(F ) Giả sử tồn tại u 0 ∈ K, u 0 = θ mà −u 0 /∈ K(F ). ta có u 0 = t 1 z 1 trong đó z 1 ∈ F còn t 1 > 0 và −u 0 = −t 1 z 1 = t 2 z 2 trong đó z 2 ∈ F còn t 2 > 0. Do u 0 + (−u 0 ) = θ nên 10 θ = t 1 z 1 + t 2 z 2 =  t 1 t 1 + t 2 z 1 + t 2 t 1 + t 2 z 2  (t 1 + t 2 ) ∈ K(F ). Điều này không xảy ra vì t 1 t 1 + t 2 z 1 + t 2 t 1 + t 2 z 2 ∈ F ⇒ t 1 t 1 + t 2 z 1 + t 2 t 1 + t 2 z 2 = θ và t 1 + t 2 > 0. Như vậy K(F ) là một nón. 1.1.2. Một số ví dụ Ví dụ 1.1. Tập số thực R là một không gian tuyến tính thực. Đối với mỗi số thực bất kỳ x, ta đặt: x = |x| (1.2) Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, ta có: +/∀x ∈ R, x = |x| > 0 vàx = |x| = 0 ⇔ x = 0 +/ ∀x ∈ R, ∀α ∈ R αx = |αx| = |α||x| = |α|x +/∀x, y ∈ R, x + y = |x + y| ≤ |x|+ |y| = x + y Vậy công thức (1.2) cho một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là R 1 . Không gian R 1 là một không gian Banach, điều này có được là do tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực. Trong không gian Banach R 1 : 1/ Tập K =  x ∈ R 1 , x ≥ 0  ta chứng minh K là một nón. Thật vậy: +/ Ta chỉ ra K là một tập đóng trong R 1 . Lấy tuỳ ý trong K dãy số thực x n → x khi n → ∞, vì x n ∈ R 1 , x n ≥ 0 ∀n ∈ N ∗ khi đó x ≥ 0. Vậy x ∈ K, nên K là tập đóng trong R 1 . +/ ∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ta chỉ ra tx ∈ K. Do x ∈ K nên x ≥ 0, từ đó tx ≥ 0. vậy tx ∈ K. +/ ∀x, y ∈ K ta chỉ ra x + y ∈ K. Do x, y ∈ K nên x ≥ 0, y ≥ 0, từ đó x + y ≥ 0. Vậy x + y ∈ K. +/ ∀x ∈ K, x = 0 ta chỉ ra −x ∈ K. Do x ∈ K, x = 0 nên x > 0 từ đó −x < 0. Vậy −x /∈ K. Vậy K là một nón. 2/ Tập F = {x 0 } ⊂ R 1 \{θ} ta chứng minh K(F ) =  x ∈ R 1 : x = tx 0 , t ∈ R, t ≥ 0, x 0 ∈ F  là một nón. 11 [...]... - lõm 2.2 Một số tính chất về điểm bất động của toán tử u0-lõm Định lý 2.1 Trong không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự với nón K, cho phần tử u0 ∈ K\ {θ} Toán tử A : K(u0 ) → E Nếu toán tử A là toán tử 34 d= u0 - lõm thì nó có trong K(u0 ) không quá một điểm bất động Chứng minh Giả sử có hai phần tử x1 , x2 ∈ K(u0 ), x1 = x2 là hai điểm bất động của toán tử A Do x1 − x2 = θ nên phải có một trong... là toán tử u0 - đo được + ∀x ∈ K, ∀t ∈ (0; 1) thì Atx > tAx Từ đó A2 tx > A(tAx) > tA(Ax) = tA2 x Vậy A2 là toán tử lõm Tương tự ta cũng chứng minh được: Nếu A là toán tử lõm thì An (n ∈ N ∗ , n ≥ 3) là toán tử lõm 3, Nếu A, B là các toán tử lõm sao cho A, B là các toán tử cùng thoả mãn u0 ∈ K\ {θ} thì A + B cũng là toán tử lõm Định nghĩa 2.5 Toán tử A gọi là toán tử u0 -lõm, nếu: i, A là toán tử đơn... về toán tử u0 - lõm 2.1.1 Các định nghĩa Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với nón K, và phần tử u0 ∈ K\ {θ} Toán tử A là toán tử tác dụng trong không gian E M là một tập hợp con nào đó của E Định nghĩa 2.1 Toán tử A gọi là dương trên M , nếu AM ⊂ K Định nghĩa 2.2 Toán tử A gọi là đơn điệu trên M nếu đối với hai phần tử tuỳ ý x, y ∈ M sao cho x ≤ y ta có Ax ≤ Ay Định nghĩa 2.3 Toán. .. là toán tử lõm Điều này được suy ra từ định nghĩa 2, Nếu A là toán tử lõm thì A2 cũng là toán tử lõm Điều này được chứng minh như sau: + Do A là toán tử dương trên nón K nên ∀x ∈ K, Ax ≥ θ ⇒ A2 x ≥ Ax ≥ θ, suy ra A2 là toán tử dương trên nón K 31 + Do Alà toán tử đơn điệu trên nón K, nên ∀x, y ∈ K : x ≤ y ⇒ Ax ≤ Ay ⇒ A(Ax) ≤ A(Ay) hay A2 x ≤ A2 y, suy ra A2 đơn điệu trên nón K + Do A là toán tử u0 -... Ax2 1 ≥ Ax1 − Atx2 do (2.1) 1+η η ≥ Atx2 do toán tử A đơn điệu và x1 ≥ tx2 1+η ≥ ηtAx2 = ηtx2 35 (2.1) Điều này có nghĩa x1 − (1 + η)tx2 ≥ θ, trái với định nghĩa của t vậy toán tử A có không quá một điểm bất động trong K(u0 ) Định lý 2.2 Giả sử toán tử A tác dụng trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với nón K thoả mãn các điều kiện: 1, A là toán tử u0 - lõm; 2, Tồn tại x0 ∈ K\ {θ} sao cho dãy... tơ với một số trong không gian định chuẩn là liên tục, nên ánh xạ g là liên tục Mà K lại là tập đóng nên tập g −1 (K) = {γ ∈ R : x1 − γx2 ≥ θ} là tập đóng trong R Ở hai bước trên ta đã chỉ ra tập này bị chặn, nên ta khẳng định được sự tồn tại của t Vậy t ∈ (0; 1) Từ tính u0 - lõm của toán tử A, suy ra ∃η = η(x2 , t) > 0 sao cho Atx2 ≥ (1 + η)tAx2 Khi đó do x1 , x2 là hai điểm bất động của toán tử A,... Toán tử A gọi là u0 - đo được trên nón K, nếu ∀x ∈ K\ {θ} tồn tại các số thực α = α(x) > 0, β = β(x) > 0 sao cho α · u0 ≤ Ax ≤ β · u0 Theo định nghĩa này, nếu toán tử A là toán tử u0 - đo dược thì Ax ∈ K (u0 ) Định nghĩa 2.4 Toán tử A gọi là lõm, nếu i, A đơn điệu, dương, u0 - đo được trên nón K; ii, ∀x ∈ K, ∀t ∈ (0; 1) thì Atx > tAx Nhận xét 2.1 1, Nếu A là toán tử lõm thì cA (c= const>0) cũng là toán. .. ∞) n=1 Vậy K là một nón chuẩn 25 ∞ x2 n n=1 ⇒ (xn + n=1 Định nghĩa 1.3 Cho không gian Banach thực E với nón K và hai phần tử x, y ∈ K\ {θ} Phần tử y được gọi là thông ước với phần tử x nếu tồn tại các số dương c và d sao cho cx ≤ y ≤ dx Nhận xét 1.1 Với x, y ∈ K\ {θ}, nếu phần tử y thông ước với phần tử x thì phần tử x thông ước với phần tử y Ta kí hiệu K(u0 ) là tập tất cả các phần tử thuộc K\ {θ}... (xi )n , xi ∈ R+ } Giả sử Ai : (0; +∞) → (0; +∞) i = i=1 1, 2, , n là các toán tử u0,i - lõm với u0,i ∈ (0; +∞) Với phần tử u0 = (u0,i )n ∈ K\ {θ} , ta đặt toán tử A : K(u0 ) → Rn xác định bởi Ax = i=1 (A1 x1 , A2 x2 , , An xn ) ∀x = (xi )n ∈ K(u0 ) thế thì toán tử A là một toán tử i=1 u0 - lõm trên Rn Thật vậy: n +/Do K = {x = (xi )n , xi ∈ R+ } nên K = i=1 i=1 n Ta chứng minh K(u0 ) = Ki , Ki = [0;... y = (yi )n ∈ K(u0 ) mà x < y i=1 ⇔ xi ≤ yi ∀i = 1, 2, , n ⇔ Ai xi ≤ Ai yi ∀i = 1, 2, , n (do Ai là các toán tử đơn điệu trên nón (0; +∞)) Điều này chứng tỏ Ax ≤ Ay do đó toán tử A là đơn điệu trên K(u0 ) Bây giờ ta chứng minh toán tử A là u0 - đo được Thật vậy ∀x = (xi )n ∈ i=1 K(u0 ), do các toán tử Ai là u0 - đo được, i = 1, 2, , n nên tồn tại các số dương ai , bi để cho ai ui ≤ Ai xi ≤ bi ui ∀i = . niệm toán tử lõm chính quy, toán tử Compak tiệm cận. Từ đó đưa ra các định lý về điểm bất động của toán tử lõm chính quy. Cuối cùng, giới thiệu sự tồn tại điểm bất động của toán tử phi tuyến Compak. lõm, giới thiệu và chứng minh một số định lý về điểm bất động của toán tử u 0 - lõm. Chương 3: Điểm bất động của toán tử phi tuyến Compak tiệm cận. Trên cơ sở các kết của chương 1, chương 2. Chương. về lý thuyết điểm bất động của toán tử lõm và toán tử Compak 7 tiệm cận. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các kiến thức cơ sở cần thiết và các kết quả về điểm bất động của toán tử cực trị. Luận