2 Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân phi tuyến
2.2.2Toán tử tựa Hyperbolic:
trong đó r = |x−ξ|, ωn là thể tích khối cầu đơn vị trong Rn.
2.2.2 Toán tử tựa Hyperbolic:
Toán tử tựa Hyperbolic là một toán tử thuần nhất cấp l dạng:
L ∂ ∂t, ∂ ∂x ≡ Pl−m ∂ ∂x ∂m ∂tm +· · ·+Pl ∂ ∂x , (2.2.3) sao cho phương trình đặc trưng tương ứng:
L(λ, ξ) = Pl−m(ξ)λm+· · ·+Pl(ξ) = 0, (2.2.4) trong đó Pk(ξ) là đa thức thuần nhất bậc k, có m nghiệm thực phân biệt λj(ξ) trên mặt cầu đơn vị S(ξ,1) = {|ξ| = 1}. Chúng ta cũng sẽ giả thiết rằng các đa thức Pm−l(ξ) và Pl(ξ) không bị triệt tiêu trên
mặt cầu S(|ξ|,1), nghĩa là cả m và l đều chẵn. Trong trường hợp
l = m toán tử L là Hyperbolic.
Năm 1974, Gal’pern đã chỉ ra được nghiệm cơ bản của toán tử tựa Hyperbolic (2.2.3) (với điểm nguồn tại gốc) cho bởi:
u(x, t) =cmn
Z
S(ξ,1)
(−1)Nfmn(xξ +t)Pl−m(ξ)
|∇S(ξ,1)| ds, (2.2.5) trong đó cmn là các hằng số; N là số các hình oval rời nhau đếm được tính từ gốc ra; dS là phần tử diện tích mặt trên S(ξ,1) và
fmn(s) =
(
sm−n−1sgn (s), nếu m−1≥ n
Luận văn trình bày một cách hệ thống, tổng quan về hàm suy rộng và một số kiến thức liên quan như các phép toán, biến đổi Fourier, biến đổi Laplace của hàm suy rộng. Trên cơ sở đó đi xây dựng khái niệm nghiệm cơ bản của toán tử vi phân và tìm nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên và toán tử vi phân phi tuyến.
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (1999), Phương trình đạo hàm riêng , Nhà xuất bản Giáo dục.
[2] Nguyễn Thừa Hợp (1999), Giáo trình Phương trình đạo hàm
riêng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Nguyễn Mạnh Hùng (2006), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học sư phạm.
[4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật.
[5] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
[6] Trần Đức Vân (2005), Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[7] Gerd Grubb (2008), Graduate Texts in Mathematics, Distribu- tions and Operators, Springer.
[8] Vladimir Maz’ya (2010), Sobolev Spaces with Applications to El- liptic Partial Differential Equations, 2nd, revised and augmented Edition, Springer.
[9] Haim Brezis (2010), Functional Analysis Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer.
[10] J. David Logan (2008), An In troduction to Nonlinear Partial Differential Equations, Second edition, Wiley.
[11] Peter D. Lax (2001), Functional Analysis, Wiley. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[12] Prem K. Kythe (1996), Fundamental solutions for differential operators and applications, Birkh¨auser.
[13] R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider (2001),
Fundamentals of Differential Equations, Fifth Edition, Addison -Wesley.
[14] V.S. Vladimirov (1971),Equation of Mathematical Physics, Mar- cel Dekker, Inc, New York.