Gọi S = S (Rn) là tập tất cả các hàm thử φ(x) ∈ C∞(Rn) cùng với các đạo hàm của nó tiến tới 0 khi |x| → ∞ nhanh hơn mọi lũy thừa của |x|−1.
Một hệ các chuẩn trên S được xác định bởi ||φ||p = sup |k|≤p sup x∈Rn (1 +|x|)pDkφ(x), p = 0,1,2... (1.3.19) trong đó (1 +|x|)p = [1 + ( n P i=1 xi2)12]p.
Với chuẩn này ta có (1 +|x|)m|Dkφ(x)| ≤ Cm,k với mọi x ∈ Rn. Trong S ta định nghĩa sự hội tụ như sau: Một dãy {φi} trong S được gọi là hội tụ tới một hàm φ ∈ S khi và chỉ khi với mỗi k, dãy
Dkφj hội tụ đều trên Rn tới Dkφ khi j → ∞.
Tập S cùng với sự hội tụ trên đây được gọi là không gian các hàm giảm nhanh.
Ta thấy D ⊂ S và tập D là trù mật trong S.
Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(Rn) được ký hiệu bởi S0(Rn). Trong đó phiếm hàm tuyến tính là liên tục khi và chỉ khi với mọi dãy φj → 0 trong S(Rn) ta đều có hf, φji → 0. Không gian S0 = S0(Rn) được gọi là không gian các hàm suy rộng tăng chậm
hay không gian Schwartz. Ta có S0(Rn) ⊂ D0(Rn).
Ví dụ 1.3.10. Nếu f là hàm khả tích địa phương trong Rn, sao cho có một đa thức P(x) với |f(x)| ≤ P(|x|) với ∀x ∈ Rn thì phiếm hàm tích phân
hf, φi =
Z
Rn
f(x)φ(x)dx, φ ∈ S
là một hàm suy rộng tăng chậm và được gọi là hàm suy rộng tăng chậm chính quy.
Định nghĩa 1.3.4. Cho G ⊂ Rn là tập mở, f ∈ S0(Rd). Ta nói phân bốf triệt tiêu trên Gnếu hf, φi = 0với mọi φ ∈ S(Rn) cósuppφ ⊂ G.
Định lí 1.3.11. Giả sử f ∈ S0(Rd), f triệt tiêu trên mỗi tập mở
Gj, j ∈ I. Khi đó f triệt tiêu trên ∪j∈IGj.
Định nghĩa 1.3.5. Cho f ∈ S0(Rn). Gọi W là hợp của tất cả các tập mở trong Rn mà f triệt tiêu trên đó. Khi đó giá của phân bố f được định nghĩa là tập suppf = Wc-phần bù của W trong Rn.
Ví dụ 1.3.12. 1. Dễ thấy suppδa = {a}, với mọi a ∈ Rd.
2. Nếu H là hàm Heaviside thì suppH = [0,∞).
Dễ thấy, mỗi hàm suy rộng có giá compact là một hàm suy rộng tăng chậm. Nói riêng hàm Delta Dirac là hàm suy rộng tăng chậm không chính quy.
Định lí 1.3.13 (Định lý Schwartz). Điều kiện cần và đủ để một hàm suy rộng f ∈ S thuộc S0 là tồn tại các số nguyên, p ≥ 0và một số thực
C > 0 sao cho với mỗi φ ∈ S ta có bất đẳng thức | hf, φi | ≤ C||φ||p, trong đó ||φ||p được xác định bởi (1.3.19).