Gọi D0+(c) là tập tất cả các hàm suy rộng f(t) ∈ D+0 sao cho
e−σtf(t) ∈ S+0 , σ > c, (1.5.1) trong đó c là cận dưới đúng của tất cả các σ sao họ (1.5.1) thỏa mãn, S+0 là đại số tích chập con của đại số D0+.
Ta có một số khẳng định sau; (a) D0+(c1) ⊂ D+0 (c2) nếu c1 ≤ c2; (b) S0
+ ⊂ D0+(0);
(c) Nếu f ∈ D0+(c) thì bf ∈ D+0 (c) với mọi hàm b bị chặn đa thức;
f(kt) ∈ D+0 (kc) với mọi k > 0; eλtf ∈ D0(c+<λ); (d) Nếu f, g ∈ D0+(c) thì f ? g ∈ D+0 (c) và e−σt(f ? g) = e−σtf ? e−σtg, σ > c. (e) Nếu f ∈ D0 +(c) thì f(t− τ) = f ? δ(t− τ) ∈ D0 +(c), với mọi
τ ≥ 0; f(m) = f ? δ(m) ∈ D+0 (c), với mọi m = 1,2,· · · ; và nguyên hàm
f(−m) = H ?· · ·? H
mlần
Định nghĩa 1.5.1. Cho f ∈ D0
+(c). Biến đổi Laplace của f là hàm L{f(t)} = ¯f(s) xác định bởi:
¯
f(s) = F[eσtf(t)](−α) = 2πF−1[eσtf(t)](α) ∈ S0
, σ > c, (1.5.2) trong đó slà biến phức, gọi là biến của biến đổi. Hàm f¯giải tích trong nửa mặt phẳng σ > c, và trong mỗi nửa mặt phẳng σ > σ0 > c đạo hàm của nó xác định bởi: ¯ f(m)(s) = D e−σ0tf(t),(−t)me−(s−σ0)tη(t) E , m = 1,2,· · · . (1.5.3) Hàm f thường gọi là hàm gốc, f¯thường gọi là hàm ảnh.
Hiển nhiên biến đổi Laplace là tuyến tính và L{δ(t− τ)} = e−τ s
với mọi s và τ ≥0. Ngoài ra ta có một số tính chất sau đây: (i) Đạo hàm của biến đổi Laplace: Nếu f ∈ D0+(c) thì
L{(−t)mf(t)} = ¯f(m)(s), σ > c, m = 0,1,2,· · · ; (ii) Biến đổi Laplace của đạo hàm: Nếu f ∈ D+0 (c) thì
L{f(m)(t)} = smf¯(s), σ > c, m = 0,1,2,· · · ; (iii) Tịnh tiến của biến đổi Laplace: Nếu f ∈ D0
+(c) thì L{eλtf(t)}= ¯f(s−λ), σ > c+<λ;
(iv) Co giãn của biến đổi Laplace: Nếu f ∈ D+0 (c) và k > 0 thì L{f(kt)}= 1 k ¯ f s k , σ > kc;
(v) Biến đổi Laplace của tích chập: Nếu f, g ∈ D0+(c) và L{f} = ¯
f ,L{g} = ¯g thì
(vi) Biến đổi Laplace của tịnh tiến: Nếu f ∈ D0+(c) và τ ≥ 0 thì L{f(t−τ)} = e−τ sf¯(s), σ > c;
(vii) Biến đổi Laplace của nguyên hàm: Nếu f ∈ D0+(c) và c ≥ 0 thì
L{f(−m)(t)} = ¯
f(s)
sm , σ > c, m = 0,1,2,· · · .
Chú ý rằng: Hàm f¯(s) giải tích trên nửa mặt phẳng σ > c và thỏa mãn điều kiện độ tăng: Với mọi > 0 và σ0 > c đều tồn tại một số thực C(σ0) ≥ 0 và số nguyên m = m(σ0) ≥ 0 sao cho
|f¯(s)| ≤C(σ0)eσ(1 +|s|)m, σ > σ0. (1.5.4) Định lí 1.5.1. Hàm f ∈ D0+(c) khi và chỉ khi biến đổi Laplace của nó thỏa mãn điều kiện độ tăng (1.5.4). Hơn nữa, với mọi a ≤ c, σ ≥ σ0
và số nguyên k ≥ m(σ0) + 1, ta có f(t) = 1 2πi d dt −a kZ σ+i∞ σ−i∞ ¯ f(s)est (s−a)kds.
Nếu f¯(s) khả tích tuyệt đối theo phần ảo w = =s với σ > c thì ta có: f(t) = L−1{f¯(s)} = 1 2πi Z σ+i∞ σ−i∞ ¯ f(s)estds. Đặt s = σ+iw thì f(t) = L−1{f¯(s)} = e σt 2π Z +∞ −∞ ¯ f(σ+iw)eiwtdw.
Ví dụ 1.5.2. Sau đây là một số kết quả hữu ích:
(a) L−1{sme−τ s}= δ(m)(t−τ) với mọi s, τ ≤ 0 và m = 0,1,2,· · · ; (b) L−1n 1
(s−λ)m
o
= H(Γ(t)mtm−) 1eλt, với mọi σ > <λ và m = 0,1,2,· · · ; (c) Giả sử f ∈ D0+(c), f ∈ C∞(t ≥ 0) và L(f) = ¯f với σ > c. Khi đó Lf(n)(t) = snf¯(s)− n−1 X i=0 f(i)(0)sn−i−1, σ > c.
1.6 Nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính1.6.1 Toán tử tích chập