Phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình toán tử
C(S,H) ≤L
C(S,H) ≤ L
mkv −wkC(S,H∗)
Do đó toán tử G thoả mãn điều kiện iv). Cho nên các điều kiện i), ii), iii), iv) nêu trong định lý (2.1.2) được thoả mãn. Áp dụng định lý (2.1.2) ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.8. Lý luận tương tự có thể chứng minh về sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào vế phải và điều kiện ban đầu đối với phương trình vi phân giả parabolic loại I và loại II
2.2.2. Phương trình giả parabolic, L2 - lý thuyết Xét các phương trình
Au0 +Bu = f (loại I)
(Au)0 +Bu = f (loại II) trong đó A, B thoả mãn các điều kiện sau:
i) Toán tử A: L2(S,H) → L2(S,H∗) có biểu diễn
(Au) (t) =A(t)u(t),∀u∈ L2(S,H),∀t ∈ S (2.21) trong đó: A(t) : H → H∗
ii) Toán tử A(t) : H →H∗,t ∈ S rađian liên tục và thoả mãn điều kiện tồn tại hằng số C > 0 và hàm g ∈ L2(S) sao cho:
iii) Toán tử A(t) : H →H∗ đơn điệu mạnh, đều theo t nghĩa là tồn tại hằng số m> 0 không phụ thuộc t sao cho:
hA(t)x−A(t)y, x −yi ≥ mkx−yk2∀x,y ∈ H (2.23) iv) Toán tử B : L2(S,H) → L2(S,H∗) là toán tử Volterra thoả mãn điều kiện Lipschitz
kBu−BvkL2(S,H∗) ≤ Lku−vkL2(S,H),L−const (2.24) Khi B là toán tử tuyến tính điều kiện Lipschitz chính là điều kiện sau:
kBu−BvkL2(S,H∗) ≤ kBk.ku−vkL2(S,H)
Nhận xét 2.9. Điều kiện A L2(S,H) → L2(S,H∗) sẽ được thoả mãn nếu họ toán tử A(t) mà qua đó toán tử A thoả mãn điều kiện (2.22), (2.23) với x,y ∈ H đo được trên S.
Bổ đề 2.2.2. Giả sử A thoả mãn các điều kiện từ (2.21) đến (2.23). Khi đó toán tử A rađian liên tục, đơn điệu ngặt và tồn tại toán tử ngược A−1 : L2(S,H∗) →L2(S,H) và toán tử A−1 thoả mãn điều kiện liên tục Lipschitz. Ta có: A−1f(t) = A−1(t)f (t),∀t ∈ S,∀f ∈ L2(S,H∗)
trong đó A−1(t) : (H∗ →H) là toán tử ngược của A(t),t ∈ S.
Chứng minh. Trước tiên ta nhận thấy rằng không gian L2(S,H∗) là không gian liên hợp của không gian L2(S,H), hơn nữa tích vô hướng của f ∈ L2(S,H∗) và u ∈ L2(S,H) được biểu diễn dưới dạng
hf, ui = R
S
hf (t), u(t)idt
Theo điều kiện (2.22) ta có ∀t ∈ S,∀h∈ [0; 1] thì
|hA(t)u(t) +hv(t), v(t)i| = kA(t)u(t) +hv(t)k∗.kv(t)k ≤ C(ku(t) +hv(t)k+ g(t)).kv(t)k ≤ K u(t)2 + kv(t)k2 +|g(t)|2 kv(t)k và
lim
h→0hA(t)u(t) +hv(t), v(t)i = hA(t)u(t), v(t)i
Áp dụng định lý hội tụ chặn Lơbegơ ta có thể chuyển giới hạn qua dấu tích phân lim h→0 R S hA(t) (u(t) +hv(t)), v(t)idt = R S hA(t)u(t), v(t)idt
Do đó toán tử A là rađian liên tục. Điều kiện đơn điệu mạnh của toán tử Ađược suy ra từ điều kiện (2.23). Sự tồn tại và liên tục Lipschitz của A−1 được suy ra từ hệ quả trong phần lý thuyết toán tử đơn điệu.
Cho nên toán tử A−1 thoả mãn điều kiện nêu trong bổ đề. Sự tồn tại toán tử A−1(t),t ∈ S được suy ra từ lập luận trên và từ kết quả trong lý thuyết toán tử đơn điệu.
Bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.2.3. Giả sử các điều kiện từ (2.21) đến (2.24) được thoả mãn. Khi đó ∀f ∈ L2(S,H∗) và a ∈ H thì bài toán Cauchy
Au0+ Bu = f,u (0) =a,u ∈ C (S,H),u0 ∈ L2(S,H) (2.25) có nghiệm duy nhất. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. Xét bài toán tương đương với bài toán (2.25) u0 +Gu = 0,u (0) =a,u ∈ L2(S,H)
trong đó G xác định với ∀u ∈ L2(S,H) theo quy tắc sau: Gu = −A−1(−Bu+f)
Để chứng minh định lý (2.2.3) ta chỉ cần chứng tỏ rằng toán tử G thoả mãn điều kiện định lý (2.1.3). Theo bổ đề (2.2.1) thì toán tử A−1 : L2(S,H∗) → L2(S,H) liên tục Lipschitz và đưa vào biểu diễn nêu ở trên thì G là toán tử Volterra cho nên G : L2(S,H) → L2(S,H). Mặt khác nó là tích của hai toán tử Lipschitz và Volterra nên nó là toán tử
Volterra liên tục Lipschitz Định lý được chứng minh.
Định lý 2.2.4. Giả sử các điều kiện (2.21) đến (2.24) được thoả mãn.