Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán Cauchy

Phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình toán tử

2.3. Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán Cauchy

(Au)0 +Bu = f

(Au) (0) = b,u ∈ L2(S,H),Au ∈ C (S,H∗),(Au)0 ∈ L2(S,H∗) (2.26)

có nghiệm duy nhất.

Chứng minh. Xét bài toán tương đương với bài toán (2.26) v0+Gv = f

v(0) = b,v ∈ L2(S,H) (2.27)

với G= BA−1 ∈ L2(S,H∗) →L2(S,H∗). Ta nhận thấy v là nghiệm của (2.27) u = A−1v là nghiệm của (2.26).

Do G là tích của hai toán tử liên tục Lipschitz và đều là toán tử Volterra nên nó thoả mãn điều kiện định lý (2.1.3). Áp dụng định lý (2.1.3) ta có điều phải chứng minh.

2.3. Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toánCauchy Cauchy

Ở đây ta sử dụng phương pháp sai phân với lưới đều và ta luôn giả thiết x0 là một trong các điểm chia.

Xét bài toán Cauchy

y(n) +p1(x)y(n−1) +p2(x)y(n−2) +...+ pn−1(x)y0 +pn(x)y = f(x)

với điều kiện ban đầu

ở đây x0 ∈ [a;b].

Ta chia [a;b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia a = x1 < x2 < x3 < ... < xn+1 = b

khoảng cách giữa các điểm chia h = b−a n

Khi h đủ nhỏ ta có công thức tính gần đúng y(n)(x) ≈ ∆

ny(x)

hn . Để cho thuận tiện giả sử x0 = x1.

Tại điểm chia xi ta có:

y(n)(xi) ≈ ∆

ny(xi)

hn = ∆

nyihn hn

Do đó phương trình trên được thay bởi một hệ phương trình sai phân                                    y1 = y0; y2−y1 h = y00 .... ∆n−1y1 hn−1 = y0(n−1) ∆ny1 hn +p1(x1).∆n−1y1 hn−1 + ...+pn(x1)y1 = f (x1) ∆ny2 hn +p1(x2).∆n−1y2 hn−1 + ...+pn(x2)y2 = f (x2) ... ∆nyn+1 hn +p1(xn+1).∆n−1yn+1 hn−1 +...+pn(xn+1)yn+1 = f (xn+1)

Giải hệ phương trình sai phân trên ta tìm được nghiệm gần đúng của phương trình ban đầu dưới dạng bảng số.

Chương 3