Phương pháp dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng và các ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ LÝ PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM CHO BÀI TỐN CÂN BẰNG VÀ CÁC ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun Nghành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã Số: 60 46 0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM NGỌC ANH Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Ngọc Anh Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Nguyên 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Những kí hiệu chữ viết tắt iii Mở đầu Chương Một số khái niệm 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi 1.3 Ánh xạ không giãn 1.4 Bài toán cân 12 1.5 Một số bổ đề 15 Chương Định lý hội tụ mạnh 18 2.1 Thuật toán hội tụ 19 2.2 Các hệ 35 2.3 Một số ví dụ áp dụng 37 Chương Các định lý hội tụ yếu 40 3.1 Thuật toán hội tụ 41 3.2 Phương pháp tìm điểm chung tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ ánh xạ không giãn 47 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu Viễn thơng), người thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn thầy, giáo Bộ mơn Tốn - Tin, Phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, bạn học viên lớp Cao học Toán K4C trường Đại học Khoa học - Đại Học Thái Nguyên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học cao học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Hồng Thị Lý 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Những ký hiệu chữ viết tắt R Rn Rn+ x∈D x∈D ∀x ∃x ∅ ∩ ∪ x := y +∞ : : : : : : : : : : : : Tập hợp số thực Không gian véc tơ thực n chiều Không gian véc tơ thực không âm n chiều x thuộc tập D x không thuộc tập D Với x Tồn x Tập hợp rỗng Phép giao tập hợp Phép hợp tập hợp x định nghĩa y Dương vô −∞ C x, y ∂f (x) xn → x xn x d (x, y) : : : : : : : Âm vơ Bao đóng tập C Tích vơ hướng x y Dưới vi phân f x Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x Dãy {xn } hội tụ yếu tới x Khoảng cách x y I H : Ánh xạ đồng : Khơng gian Hilbert thực 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bài toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân tốn tìm điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn lĩnh vực quan trọng giải tích đại lý thuyết tối ưu Trong năm gần đây, việc nghiên cứu thuật tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán đề tài hấp dẫn nhiều nhà khoa học giới Trong luận văn này, ta trình bày phương pháp xấp xỉ đạo hàm cho tốn cân ánh xạ khơng giãn Luận văn gồm hai phần chính: Phần thứ trình bày thuật tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn báo R Wangkeeree (2008), "An Extragradient Approximation Method for Equilibrium Problems and Fixed Points Problems of Countable Families of Nonexpansive Mapping, Fixed Point Theory and Applications, Vol 2008, Art ID 134148, 17 PP, Doi: 10.1155/2008/134148" Phương pháp giải báo đại diện cho cách tiếp cận phổ biến Trong đó, bước lặp phương pháp lặp việc giải toán cân phụ đơn điệu mạnh, mà song hàm toán cân tương ứng đơn điệu Phần thứ hai đề cập đến phương pháp lặp báo P N Anh, L B Long, N V Quy and L Q Thuy (2012), "Weak Convergence Theorems for an Infinite Family of Nonexpansive Mappings and Equilibrium Problems, JP Journal of Fixed Point Theory and Applications, Vol 7, PP 113-127" Trong báo này, cách kết hợp 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phương pháp đạo hàm cho toán cân kỹ thuật điểm bất động, tác giả đề xuất thuật tốn để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn Ở đây, bước lặp thuật tốn đề xuất việc giải toán lồi mạnh với giả thiết giả đơn điệu tính liên tục kiểu Lipschitz hàm giá Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, kết nghiên cứu luận văn trình bày thành ba chương Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi, tốn cân bằng, ánh xạ khơng giãn kiến thức bổ trợ Chương trình bày thuật tốn tìm nghiệm chung tập nghiệm tốn cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ đếm ánh xạ khơng giãn Chương trình bày sơ đồ lặp tìm nghiệm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn dựa phương pháp đạo hàm kĩ thuật điểm bất động 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số khái niệm Trong luận văn này, ta xét toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ không giãn không gian Hilbert thực H Với véc tơ x ∈ H, chuẩn x, kí hiệu x , xác định bởi: x = x, x ¯ = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} tập số thực mở rộng Kí hiệu R Sau đây, ta nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân, Các kiến thức lấy chủ yếu từ tài liệu [4], [5] 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Cho C tập khác rỗng H Tập C gọi lồi ∀a, b ∈ C, λ ∈ [0, 1] ⇒ (1 − λ) a + λb ∈ C Ví dụ 1.1 Các tập sau tập lồi: 1) Hình cầu B (a, r) = {x ∈ Rn : a − x r} 2) Các nửa khơng gian đóng {x ∈ Rn : a, x α} ; {x ∈ Rn : a, x α} , hay nửa không gian mở {x ∈ Rn : a, x < α} ; {x ∈ Rn : a, x > α} , a ∈ Rn , a = α ∈ R 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2 Một tập C ⊂ H gọi nón ∀ x ∈ C, λ > ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập C ⊂ H nón lồi có tính chất sau: (i) λC ⊂ C, ∀λ > 0; (ii) C + C ⊂ C Ví dụ 1.2 Các tập sau nón lồi: n 1) R+ = {x = (x1 , x2 , , xn ), xi ≥ 0, i = 1, 2, , n} 2) M = {(x, y) ∈ R × R : x y} Trong phần này, tập C ⊂ H giả thiết tập lồi (nếu khơng giải thích thêm) Định nghĩa 1.3 Cho x0 ∈ C, nón pháp tuyến ngồi (hay nón pháp tuyến) C x0 , kí hiệu NC x0 , định nghĩa NC x0 := t ∈ H : x − x0 , t 1.2 0, ∀x ∈ C Hàm lồi ¯ Khi đó, miền hữu hiệu f, kí Định nghĩa 1.4 Cho hàm f : C → R hiệu domf, xác định domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} Hàm f gọi thường domf = φ f (x) > −∞, ∀x ∈ C Định nghĩa 1.5 Cho hàm f : C → R ∪ {+∞} Khi đó, hàm f gọi 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i) lồi C ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] , ta có f ((1 − λ) x + λy) (1 − λ) f (x) + λf (y) ; ii) lồi chặt C ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1) , ta có f ((1 − λ) x + λy) < (1 − λ) f (x) + λf (y) ; iii) tựa lồi C ∀α ∈ R, tập mức Lα = {x ∈ C : f (x) α} tập lồi Ví dụ 1.3 Cho C tập lồi, khác rỗng Rn Hàm C δC x x0 ∈ C, +∞ x0 ∈ / C, = hàm lồi ¯ gọi Định nghĩa 1.6 Cho x0 ∈ C Một hàm f : C → R i) nửa liên tục x0 lim inf f (x) f x0 ; x→x ii) nửa liên tục x0 lim sup f (x) f x0 x→x0 Nếu hàm f vừa nửa liên tục vừa nửa liên tục x0 liên tục điểm Hàm f liên tục (nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới) C liên tục (tương ứng: nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới) điểm thuộc C 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 {αn } , {βn } , {γn } {λn } ⊆ [0, 1] thỏa mãn điều kiện sau: (C1) αn + βn + γn = 1; (C2) lim αn = 0, n→∞ (C3) < lim inf βn n→∞ ∞ n=1 αn = ∞; lim sup βn < 1; n→∞ (C4) lim λn = n→∞ Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh tới PF (S)∩V I(A,C) (u) 2.3 Một số ví dụ áp dụng Trong phần này, ta đưa số ví dụ để minh họa cụ thể cho định lý hội tụ mạnh (2.1) với giả thiết ánh xạ không giãn ánh xạ đồng x+2 , Ví dụ 2.1 Lấy H = R, C = [−1, 6], f (x) = 1 , βn = 100n + 12 , γn = αn = 100n n rn = n+1 , λn = n1 −2 100n A(x) = 2x + 21 , Đặt ϕ (x, y) = y + xy − 2x2 Ta có y − u, u − x 0, ∀y ∈ C r ⇔ y + uy − 2u2 + (y − u) (u − x) 0, ∀y ∈ C r ⇔ ry + (ru + u − x) y − 2ru2 − u (u − x) 0, ∀y ∈ C ϕ (u, y) + ⇔ ∆ (y) = (ru + u − x)2 − 4r −2ru2 − u2 + ux ⇔ x2 − (3ru + u) x + (3r + 1)2 u2 0 ⇔ x = (3r + 1) u 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Khi đó, thuật tốn (2.1) trở thành   x0 = −1,    xn n+1   un = 3rn +1 = 4n+1 xn , yn = arg − n2 un − y : y ∈ C ,    tn = arg un − n2 yn − t : t ∈ C ,     −2 + 12 xn + 100n + 12 tn + 100n , ∀n xn+1 = 200n Ví dụ 2.2 Lấy H = R, C = [0, 6] , A(x) = 2x + 1, f (x) = αn = rn = n+3 , n n+2 , βn = λn = n+7 4(n+3) , 2n γn = x 3n+1 4(n+3) , Đặt ϕ (x, y) = y − x2 Ta có y − u, u − x 0, ∀y ∈ C r ⇔ y − u2 + (y − u) (u − x) 0, ∀y ∈ C r ⇔ ry + (u − x) y − ru2 − u2 + ux, ∀y ∈ C ϕ (u, y) + ⇔ ∆ (y) = (u − x)2 + 4r ru2 + u2 − ux ⇔ x2 − 2x (1 + 2r) u + (1 + 2r)2 u2 ⇔ [x − (2r + 1) u]2 0 ⇔ x = (2r + 1) u Khi đó, thuật tốn (2.1) trở thành   x0 = 1,     xn n+2    un = 2rn +1 = 3n+2 xn , yn = arg − n1 un − 2n −y :y ∈C ,    tn = arg un − n1 yn − 2n −t :t∈C ,      xn+1 = n+9 xn + 3n+1 tn 4(n+3) 4(n+3) Kết luận chương 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Trong chương này, phương pháp xấp xỉ đạo hàm, ta chứng minh dãy lặp sinh thuật toán (2.1.) hội tụ mạnh tới điểm chung tập nghiệm toán cân với hàm giá đơn điệu, tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu liên tục Lipschitz, tập điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert thực 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Chương Các định lý hội tụ yếu Trong phần này, ta trình bày sơ đồ lặp để tìm phần tử chung tập nghiệm toán cân với song hàm f liên tục kiểu Lipchitz, giả đơn điệu tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn (xem [2]) Bài tốn phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ ∞ i=1 F (Si ) ∩ EP (f ), (3.1) đó, song hàm f : C ×C → R ánh xạ không giãn Sn : C → C (n = 1, 2, ) thỏa mãn điều kiện sau: (A1) f liên tục kiểu Lipchitz C; (A2) f giả đơn điệu C; (A3) f liên tục yếu C; (A4) ∞ i=1 F ∞ (Si ) ∩ EP (f ) = ∅; sup { Sn+1 (x) − Sn (x) : x ∈ D} < ∞ với D (A5) n=1 tập bị chặn C Rất nhiều nhà nghiên cứu đưa phương pháp để giải toán (3.1) Những phương pháp đòi hỏi phải giải toán cân với song hàm đơn điệu mạnh đơn điệu liên tục kiểu Lipchitz Để giảm bớt giả thiết cho song hàm, P N Anh nhóm tác giả đề xuất thuật tốn [2] trình bày sau 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 3.1 Thuật toán hội tụ Thuật toán 3.1 Bước Cho x0 ∈ C, dãy λn αn thỏa mãn điều kiện sau: {αn } ⊂ [c, d] ⊂ (0, 1) , {λn } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0, L1 , L := max {2c1 , 2c2 } Bước Giải toán quy hoạch bậc hai lồi mạnh:  yn : = arg λn f (xn , y) + y − xn : y ∈ C , tn : = arg λn f (yn , y) + y − xn (3.2) : y∈C Bước Tính xn+1 = αn xn + (1 − αn ) Sn (tn ) (3.3) Bước Gán n := n + quay trở lại bước Để chứng minh hội tụ thuật toán, ta nhắc lại bổ đề sau: Bổ đề 3.1 [2] Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H, song hàm f : C × C → R giả đơn điệu liên tục kiểu Lipchitz Với x ∈ C, hàm f (x, ) lồi khả vi phân C Giả sử dãy {xn } , {yn } , {tn } sinh (3.2) điểm x∗ ∈ EP (f ) Khi tn − x ∗ xn − x∗ − (1 − 2λn c1 ) xn − yn − (1 − 2λn c2 ) yn − tn , ∀n Kĩ thuật sử dụng để giải toán (3.1) kết hợp phương pháp đạo hàm phương pháp điểm bất động Ta dãy lặp sinh thuật toán (3.1) hội tụ yếu tới phần tử chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert thực H 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Định lý 3.1 Giả sử giả thiết (A1) - (A5) thỏa mãn {λn } , {αn } hai dãy cho {αn } ⊂ [c, d] ⊂ (0, 1) , {λn } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0, L1 , L := max {2c1 , 2c2 } Khi đó, dãy {xn } , {yn } {tn } sinh (3.2) (3.3) hội tụ ∞ i=1 F yếu tới x∗ ∈ (Si ) ∩ EP (f ), x∗ = lim P n→∞ ∞ i=1 F (Si )∩EP (f ) (xn ) Chứng minh Giả sử x∗ ∈ ∞ i=1 F (Si ) ∩ EP (f ) Từ (3.3), ta có xn+1 − x∗ = αn xn + (1 − αn ) Sn (tn ) − αn x∗ − (1 − αn ) Sn (x∗ ) αn xn − x∗ + (1 − αn ) Sn (tn ) − Sn (x∗ ) αn xn − x∗ + (1 − αn ) tn − x∗ Suy xn+1 − x∗ − xn − x∗ (1 − αn ) ( tn − x∗ − xn − x∗ ) tn − x∗ − xn − x∗ Do xn+1 − x∗ tn − x∗ (3.4) xn − x∗ (3.5) Từ bổ đề (3.1) suy tn − x∗ Từ (3.4) (3.5), ta thu xn+1 − x∗ tn − x∗ xn − x∗ , (3.6) tồn c = lim xn − x∗ n→∞ 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.7) http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 {xn } cho Vì {xn } bị chặn Khi đó, tồn dãy xnj xnj x¯ j → ∞ Bước Chứng minh x¯ ∈ ∞ i=1 F (Si ) Kết hợp bổ đề (3.1) với (3.6) (3.7), ta có (1 − d) (1 − 2bc1 ) xn − yn (1 − d) (1 − 2λn c1 ) xn − yn xn − x∗ − tn − x ∗ xn − x∗ − xn+1 − x∗ 2 → n → ∞ Khi lim xn − yn = (3.8) n→∞ Một cách tương tự, ta có lim yn − tn = n→∞ Mặt khác, x n − tn x n − yn + yn − t n , nên lim xn − tn = (3.9) n→∞ Vì x∗ ∈ ∞ i=1 F (Si ) ∩ EP (f ), nên theo (3.6) suy Sn (tn ) − x∗ = Sn (tn ) − S (x∗ ) tn − x∗ xn − x∗ , đó, từ (3.7), ta có lim sup Sn (tn ) − x∗ c n→∞ 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Từ (3.3) (3.7) suy lim αn (xn − x∗ ) + (1 − αn ) (Sn (tn ) − x∗ ) n→∞ = lim αn xn + (1 − αn ) Sn (tn ) − (αn x∗ + (1 − αn ) Sn (x∗ )) n→∞ = lim xn+1 − x∗ = c n→∞ Theo bổ đề (1.6), ta có lim Sn (tn ) − xn = (3.10) n→∞ Kết hợp (3.7) với (3.9) suy dãy {tn } bị chặn Theo giả thiết (A5), ta có ∞ sup { Sn+1 (x) − Sn (x) : x ∈ {tn }} < ∞ n=1 Giả sử ánh xạ S : C → C định nghĩa S (x) = lim Sn (x) , ∀x ∈ C F (S) = n→∞ ∞ i=1 F (Si ) (3.11) Khi đó, sử dụng bổ đề (1.5), (3.9) (3.10), ta S (xn ) − xn S (xn ) − S (tn ) + S (tn ) − Sn (tn ) + Sn (tn ) − xn xn − tn + sup { S (x) − Sn (x) : x ∈ {tn }} + Sn (tn ) − xn → n → ∞ Khi đó, theo bổ đề (1.7) dãy xnj hội tụ yếu tới x¯ nên x¯ ∈ F (S), tức ∞ x¯ ∈ i=1 F (Si ) Bước Giả sử xnj x¯ (j → ∞), ta chứng minh x¯ ∈ EP (f ) Thật vậy, yn nghiệm toán lồi mạnh y − xn 2 + λn f (xn , y) : y ∈ C , 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 nên theo mệnh đề (1.2) có ∈ ∂2 λn f (xn , y) + y − xn 2 (yn ) + NC (yn ) Điều suy = λn w + yn − xn + w, ¯ w ∈ ∂2 f (xn , yn ) w¯ ∈ NC (yn ) Theo định nghĩa nón pháp tuyến NC , ta suy yn − xn , y − yn λn w, yn − y , ∀y ∈ C (3.12) Mặt khác, f (xn , ) khả vi phân C nên tồn w ∈ ∂2 f (xn , yn ) cho f (xn , y) − f (xn , yn ) w, y − yn , ∀y ∈ C Kết hợp điều với (3.12), ta thu λn (f (xn , y) − f (xn , yn )) yn − xn , yn − y , ∀y ∈ C Do λnj f xnj , y − f xnj , ynj ynj − xnj , ynj − y , ∀y ∈ C Khi đó, theo giả thiết {λn } ⊂ [a, b] ⊂ 0, L1 , (3.8), xnj tính liên tục yếu f, ta có f (¯ x, y) x¯ j → ∞ 0, ∀y ∈ C Vậy x¯ ∈ EP (f ) Bước Chứng minh dãy {xn } , {yn } {tn } hội tụ yếu tới x∗ , x∗ = lim PF (S)∩EP (f ) (xn ) n→∞ Ở bước 2, ta điểm tụ yếu x¯ dãy {xn } thỏa mãn x¯ ∈ F (S) ∩ EP (f ) Ta chứng minh dãy {xn } hội tụ yếu tới x¯ Bây giờ, giả sử {xkn } dãy khác xnj {xn } cho xkn x˜ n → ∞, ta nhận x˜ ∈ F (S) ∩ EP (f ) , 50Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 S định nghĩa (3.11) Ta cần chứng tỏ x˜ = x¯ Thật vậy, x˜ = x¯, sử dụng bổ đề (1.1) (3.7), ta có c = lim xn − x¯ = lim inf xnj − x¯ n→∞ n→∞ < lim inf xnj − x˜ = lim inf xn − x˜ = lim inf xkn − x˜ n→∞ n→∞ n→∞ < lim inf xkn − x¯ = lim inf xn − x¯ = c n→∞ n→∞ Điều mâu thuẫn Suy x˜ = x¯ Vậy xn x¯ ∈ F (S) ∩ EP (f ) n → ∞ Kết hợp điều với (3.8) (3.9) suy yn x¯, tn x¯ n → ∞ Đặt zn = PF (S)∩EP (f ) (xn ) Khi đó, x¯ ∈ F (S) ∩ EP (f ) nên theo (1.1), ta có x¯ − zn , zn − xn 0, ∀n xn+1 − x¯ xn − x¯ Từ (3.6) suy Kết hợp điều với bổ đề (1.8), ta thu dãy zn = PF (S)∩EP (f ) (xn ) hội tụ mạnh tới z¯ ∈ F (S) ∩ EP (f ) Do x¯ − z¯, z¯ − x¯ Vậy x¯ = z¯, tức x¯ = lim PF (S)∩EP (f ) (xn ) n→∞ Như vậy, vòng lặp, ta phải giải toán lồi mạnh bậc hai (3.2) với song hàm f giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipchitz tính tốn điểm lặp sơ đồ lặp Mann (3.3) Từ đó, ta tìm phần tử chung tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ khơng giãn tập nghiệm tốn cân (3.1) 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 3.2 Phương pháp tìm điểm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ ánh xạ không giãn Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H hàm F : C → H Ta xét toán bất đẳng thức biến phân: Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ) , x − x∗ 0, ∀x ∈ C Kí hiệu tập nghiệm toán V I(F, C) Giả sử f : C × C → R xác định f (x, y) = F (x) , y − x Khi đó, tốn (3.1) trở thành: Tìm x∗ ∈ ∞ i=1 F (Si ) ∩ V I (F, C), (3.13) đó, hàm F ánh xạ không giãn Sn : C → C (n = 1, 2, ) thỏa mãn điều kiện sau: (B1) F liên tục L-Lipchitz C; (B2) F giả đơn điệu C; (B3) (B4) ∞ i=1 F (Si ) ∩ V I (F, C) = ∅; ∞ n=1 sup { Sn+1 (x) − Sn (x) : x ∈ D} < ∞, D tập bị chặn C Với giả thiết trên, sau ta đưa thuật tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ khơng giãn Thuật tốn 3.2 Bước Cho x0 = u ∈ C, dãy αn λn thỏa mãn điều kiện sau: {αn } ⊂ [c, d] ⊂ (0, 1) , {λn } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0, L1 , L := max {2c1 , 2c2 } Bước Giải toán yn = PC (xn − λn F (xn )) , tn = PC (xn − λn F (yn )) 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.14) http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Bước Tính xn+1 = αn xn + (1 − αn ) Sn (tn ) Bước Gán n := n + quay trở lại bước Định lý sau chứng minh hội tụ thuật toán Định lý 3.2 Giả sử giả thiết (B1)-(B4) thỏa mãn {αn } , {λn } hai dãy cho {αn } ⊂ [c, d] ⊂ (0, 1) , {λn } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0, L1 Khi đó, dãy {xn } , {yn } {tn } sinh   yn = PC (xn − λn F (xn )) , tn = PC (xn − λn F (yn )) ,   xn+1 = αn xn + (1 − αn ) Sn (tn ) , hội tụ yếu tới x∗ ∈ ∞ i=1 F x∗ = lim P n→∞ (Si ) ∩ V I (F, C), ∞ i=1 F (Si )∩V I(F,C) (xn ) Chứng minh Ta có y − xn : y ∈ C = arg λn F (xn ) , y − xn + y − xn : y ∈ C = PC (xn − λn F (xn )) yn = arg λn f (xn , y) + Một cách tương tự, ta có tn = PC (xn − λn F (yn )) Khi đó, theo định lý (3.1), ta suy dãy {xn } , {yn } {tn } hội tụ tới x∗ ∈ ∞ i=1 F (Si ) ∩ V I (F, C) 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Kết luận chương Trong chương này, ta trình bày cách kết hợp phương pháp đạo hàm cho toán cân với kĩ thuật điểm bất động để giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Tại bước lặp chính, ta phải giải toán lồi mạnh với giả thiết giả đơn điệu tính liên tục kiểu Lipchitz hàm giá Tiếp theo đó, cách sử dụng kĩ thuật đường tìm kiểu Armijo, phương pháp đạo hàm kỹ thuật điểm bất động, tính chất hội tụ thiết lập mà không cần tới tính liên tục kiểu Lipchitz song hàm 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Kết luận Bài toán cân tốn tổng qt tiếp cận theo nhiều hướng khác Luận văn trình bày phương pháp đạo hàm để tìm phần tử chung toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân họ đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert thực Nội dung trình bày luận văn bao gồm: Nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân, cực trị, Phát biểu tốn cân bằng, ví dụ minh hoạ tính chất tập nghiệm toán cân Định nghĩa ánh xạ khơng giãn, ví dụ số tính chất ánh xạ khơng giãn Trình bày phương pháp đạo hàm tìm nghiệm chung tập nghiệm toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn với định lý hội tụ mạnh Trình bày hội tụ yếu thuật tốn tìm nghiệm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn Trình bày hội tụ yếu thuật tốn tìm nghiệm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ vơ hạn ánh xạ khơng giãn 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Tài liệu tham khảo [1] R P Agrwal, D O’Regen, D R Sabu (2000), Fixed Point Theory for Lipschitzian - type Mappings with Application, Springer, Vol 6, Doi: 10.1007/978-0-387-75818-3 [2] P N Anh, L B Long, N V Quy and L Q Thuy (2012), Weak Convergence Theorems for an Infinite Family of Nonexpansive Mappings and Equilibrium Problems, JP Journal of Fixed Point Theory and Applications, Vol 7, PP 113-127 [3] V I Konnov (2000), Combined Relaxation Methods for Varitional Inequalities, Springer - Verlag, Berlin [4] L D Muu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [5] H Tuy (1997), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers [6] R Wangkeeree (2008), An Extragradient Approximation Method for Equilibrium Problems and Fixed Points Problems of Countable Families of Nonexpansive Mapping, Fixed Point Theory and Applications, Vol 2008, Art ID 134148, 17 PP, Doi: 10.1155/2008/134148 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... giải toán (3.1) kết hợp phương pháp đạo hàm phương pháp điểm bất động Ta dãy lặp sinh thuật toán (3.1) hội tụ yếu tới phần tử chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn. .. [5] Cho C tập lồi, khác rỗng H x0 ∈ C Hàm f : H → R lồi C Khi x0 ∈ arg {f (x) : x ∈ C} ⇔ ∈ ∂f x0 + NC x0 1.3 Ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.9 Cho C tập khác rỗng H Ánh xạ S : C → H gọi ánh xạ không. .. Doi: 10.1155/2008/134148" Phương pháp giải báo đại diện cho cách tiếp cận phổ biến Trong đó, bước lặp phương pháp lặp việc giải toán cân phụ đơn điệu mạnh, mà song hàm toán cân tương ứng đơn điệu