Phương pháp dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng và ánh xạ giả co chặt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ LINH PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT Chuyên nghành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM NGỌC ANH Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Những kí hiệu chữ viết tắt iii Lời nói đầu Chương Một số Khái niệm Cơ 1.1 Tập lồi phép toán 1.2 Hàm lồi 1.3 Bài toán cân 1.4 Ánh xạ giả co chặt tính chất 12 Chương Phương pháp đạo hàm cho toán cân ánh xạ giả co chặt 20 2.1 Cách tiếp cận 20 2.2 Thuật toán 2.1 21 2.3 Định lý hội tụ mạnh 2.1 22 Chương Ứng dụng phương pháp đạo hàm cho toán cân 32 3.1 Thuật toán 3.1 32 3.2 Định lý hội tụ mạnh 3.1 33 3.3 Ví dụ minh họa kết tính tốn 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy PGS.TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn quý thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K4C, bạn học viên, bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Phạm Thị Linh 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Những ký hiệu chữ viết tắt R R+ Rn Rn+ x∈C x∈C ∀x ∃x ∅ ∩ ∪ x := y x, y xk x k x →x : : : : : : : : : : : : : : : I : Ánh xạ đồng : Chuẩn véc tơ x : Đoạn thẳng nối hai điểm x y x [x, y] Tập hợp số thực Tập hợp số thực không âm Không gian số thực n - chiều Không gian số thực không âm n - chiều x thuộc tập C x không thuộc tập C Với x Tồn x Tập hợp rỗng Phép giao tập hợp Phép hợp tập hợp x định nghĩa y Tích vơ hướng x v Kết hợp với bước 2, ta có x0 − xk x0 − x , ∀x ∈ Sol (f, C) Thay x = x∗ vào bất đẳng thức trên, ta có x0 − xk x0 − x∗ Bổ đề 2.1 dãy xk hội tụ mạnh x∗ j → ∞, x∗ = P rSol(f,C) x0 Từ bước 3, ta thấy dãy y k tk hội tụ mạnh x∗ Để minh họa cho thuật toán 3.1, ta xét ví dụ cụ thể sau: 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 3.3 Ví dụ minh họa kết tính tốn Ví dụ 3.1 Cho C tập lồi đa diện không gian Rn Xét song hàm f : C × C → R xác định f (x, y) = B (x + y) + q, y − x , B ∈ Rn×n ma trận đối xứng, nửa xác định dương q ∈ Rn Chẳng hạn, ta chọn    1 3 0 0       ; q =0; B=     1 0 0  3 19   x ∈ R5+ ;    C := x1 + 2x2 + x3 + 3x5 12;    xi 15 6  i=1 Song hàm f giả đơn diệu, liên tục, lồi, khả vi phân, liên tục kiểu Lipschitz với hai số c1 , c2 > Áp dụng thuật toán 3.1, chọn λk = 0.686, x0 = (1, 1, 1, 1, 2)T ∈ C • Bước Giải tốn quy hoạch bậc hai lồi mạnh y k := argmin 0.686 B xk + y + q, y − xk + 0.5 y − xk :y∈C tk := argmin 0.686 B y k + y + q, y − y k + 0.5 y − xk :y∈C • Bước Tính P k : = x ∈ C : tk − x xk − x Qk : = x ∈ C : xk − x, x0 − xk 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ; http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 • Bước Tính xk+1 : = P rPk ∩Qk x0 Gán k := k + quay lại bước Q trình giải tốn giải cách hiệu phần mềm Matlap R2009a Nếu xk − x0 ε xk ε− nghiệm toán EP (f, C) Chọn ε = 0.01, ta đạt kết tính toán cụ thể cho bảng sau : Bước k xk1 1.6152 1.8021 1.8157 1.8146 10 1.8288 12 1.8232 14 1.8186 16 1.8174 xk2 0.8031 0.6983 0.9831 0.9152 0.8216 0.8418 0.8275 0.8196 xk3 0.9318 0.9004 0.9063 0.8873 0.9108 1.0234 1.0112 1.0047 xk4 2.1028 2.4279 2.3571 2.3735 2.3953 2.3487 2.3512 2.3554 xk5 0.5471 0.1713 0.0061 0.0189 0.0436 0.0008 0.0038 Bảng 3.1 Như vậy, nghiệm xấp xỉ đạt sau 16 bước x16 = (1.8174, 0.8196, 1.0047, 2.3554, 0.0038)T Ví dụ 3.2 Cho C tập lồi đa diện không gian Rn Xét song hàm f : C × C → R xác định f (x, y) = M x + By, y − x , ma trận M, B ∈ Rn×n chọn cho B ma trận đối xứng, nửa xác định dương B − M nửa xác định âm [4] Chẳng hạn, ta chọn 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39    3.1 0 1.6 0  3.6 0  1.6 0 0     ; M=  0 3.5 0 1.5 B=     0 3.3  0 1.5 0 0 0 0 0   x ∈ R5+ ;    C := 9.8 x1 + 2x2 + x3 + 3x5 10.1;    xi 6  0  0 ; 0 i=1 Song hàm f giả đơn điệu, liên tục, lồi, khả vi phân liên tục kiểu Lipschitz với hai số c1 = c2 = B − M = 1.4525 Áp dụng thuật toán 3.1, chọn λk = 0.3 x0 = (1, 1, 1, 1, 2)T ∈ C • Bước Giải tốn quy hoạch bậc hai lồi mạnh y k := argmin 0.3 M xk + By, y − xk + 0.5 y − xk :y∈C tk := argmin 0.3 M y k + By, y − y k + 0.5 y − xk :y∈C • Bước Tính P k : = x ∈ C : tk − x xk − x Qk : = x ∈ C : xk − x, x0 − xk ; • Bước Tính xk+1 : = P rPk ∩Qk x0 Gán k := k + quay lại bước Q trình giải tốn giải cách hiệu phần mềm Matlap R2009a Nếu xk − x0 ε xk ε− nghiệm toán EP (f, C) Chọn ε = 0.01, ta đạt kết tính tốn cụ thể cho bảng sau : 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Bước k xk1 1 1.0277 1.0443 1.0568 1.0580 1.0591 1.0614 1.0608 1.0581 xk2 1.0134 1.0316 1.0294 1.0451 1.0335 1.0433 1.0361 1.0473 xk3 1.0159 1.0371 1.0443 1.0440 1.0444 1.0411 1.0421 1.0458 xk4 1.0001 0.9739 0.9874 0.9630 0.9842 0.9711 0.9836 0.9666 xk5 1.9429 1.9131 1.8829 1.8899 1.8788 1.8831 1.8774 1.8822 Bảng 3.2 Như vậy, nghiệm xấp xỉ đạt sau bước x8 = (1.0581, 1.0473, 1.0458, 0.9666, 1.8822)T Kết luận chương Chương trình bày trường hợp đặc biệt thuật tốn 2.1 Đây phương pháp tiếp cận để giải toán cân Định lý hội tụ mạnh 3.1 dãy lặp hội tụ mạnh tới hình chiếu điểm ban đầu lên tập nghiệm tốn cân Khi đó, chúng tơi chạy thuật tốn với ví dụ, để minh họa tính hữu hiệu thuật tốn đề xuất 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Kết luận chung Luận văn "Phương pháp đạo hàm cho toán cân ánh xạ giả co chặt" trình bày đạt số kết sau: Nhắc lại số khái niệm giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân Phát biểu toán cân bằng, ví dụ minh hoạ Ánh xạ giả co chặt, phép chiếu trực giao tính chất tương ứng Trình bày phương pháp đạo hàm để giải tốn tìm nghiệm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt Ứng dụng phương pháp đạo hàm cho toán cân với ví dụ minh họa cụ thể Đây cách tiếp cận để giải toán cân đề xuất 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Tài liệu tham khảo [1] G.L Acedo, H.K Xu (2007), Iterative methods for strict pseudocontractions in Hilbert spaces, Nonl Anal., 67, 2258-2271 [2] P.N Anh, and D.X Son (2011), A new method for a finite family of pseudocontractions and equilibrium problems, J Appl Math., 29, 1179-1191 [3] H.H Bauschke, and P.L Combettes (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [4] T.Q Dinh, L.D Muu, and N.V.Hien (2008), Extragradient algorithms extended to equilibrium problems, Optim., 57, 749-776 [5] G Marino, H.K Xu (2007), Weak and strong convergence theorems for strict pseudocontractions in Hilbert spaces, J Math Anal Appl., 329, 336-346 [6] H Tuy (1997), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... phép toán 1.2 Hàm lồi 1.3 Bài toán cân 1.4 Ánh xạ giả co chặt tính chất 12 Chương Phương pháp đạo hàm cho toán cân ánh xạ. .. văn "Phương pháp đạo hàm cho toán cân ánh xạ giả co chặt" trình bày đạt số kết sau: Nhắc lại số khái niệm giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân Phát biểu tốn cân bằng, ví dụ minh hoạ Ánh. .. Ánh xạ giả co chặt, phép chiếu trực giao tính chất tương ứng Trình bày phương pháp đạo hàm để giải tốn tìm nghiệm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt Ứng