Thuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép giải bài toán cân bằng đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ BÍCH THUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ BÍCH THUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn 1 Lời nói đầu 2 Một số ký hiệu và chữ viết tắt 5 1 Bài toán cân bằng 6 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Sự tồn tại nghiệm và các tính chất cơ bản của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng . . . . . . . . . 28 2 Phương pháp đạo hàm tăng cường lai ghép giải bài toán cân bằng 33 2.1 Mô tả thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Tính hội tụ của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉ bảo nghiêm khắc của thầy giáo GS. TSKH. Lê Dũng Mưu (Viện Toán học Việt Nam). Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy. Tác giả cũng xin kính gửi lời cảm ơn đến cô giáo TS. Nguyễn Thị Thu Thủy cùng các thầy, cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2011 - 2013, những người đã tâm huyết giảng dạy và trang bị cho tác giả nhiều kiến thức cơ sở. Xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K5B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp quý báu của Quý thầy, cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013. Tác giả Đoàn Thị Bích Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 LỜI NÓI ĐẦU Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng ., . và chuẩn . tương ứng. Giả sử C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và f là song hàm từ C × C vào R sao cho f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Trong luận văn này ta sẽ xét bài toán cân bằng sau đây, được ký hiệu là EP(C, f): Tìm x ∗ ∈ C sao cho f(x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Bài toán EP(C, f) còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan để ghi nhận sự đóng góp của ông trong lĩnh vực này (xem [2], [5] và các trích dẫn). Một phương pháp cơ bản để giải bài toán cân bằng là phương pháp chiếu và các dạng của nó. Tuy nhiên phương pháp chiếu chỉ hội tụ với điều kiện song hàm có tính đơn điệu mạnh, hay là có tính tự bức (đơn điệu mạnh ngược), ngay cả cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, là một trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng đơn điệu. Để thu được phương pháp chiếu hội tụ cho bài toán cân bằng có tính đơn điệu nhẹ hơn, trong [16] các tác giả đã mở rộng phương pháp đạo hàm tăng cường (hay là chiếu hai lần) do Korpelevich [8] lần đầu tiên đề xuất cho bài toán tối ưu và bài toán điểm yên ngựa. Với phương pháp này sự hội tụ được đảm bảo ngay trong trường hợp song hàm f có tính giả đơn điệu. Bài toán cân bằng đơn điệu có liên quan chặt chẽ với bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn. Về mặt lý thuyết bài toán cân bằng đơn điệu và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn có mối quan hệ tương hỗ lẫn nhau, theo nghĩa, với một vài giả thiết tự nhiên, bài toán này có thể mô tả dưới dạng bài toán kia và ngược lại. Cả hai lớp bài toán này thực chất đều thuộc bài toán chấp nhận lồi, tức là bài toán tìm một điểm chung của các tập lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Phương pháp lặp Halpern là phương pháp cơ bản để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Tuy nhiên phương pháp này chỉ có tính hội tụ yếu. Để đảm bảo tính hội tụ mạnh, phương pháp Halpern và phương pháp cắt đã được kết hợp. Cụ thể Tada và Takahashi [13] đã trình bày một thuật toán kết hợp phương pháp điểm gần kề và siêu phẳng cắt để đảm bảo tính hội tụ mạnh của điểm gần kề, tại đó với mỗi bước lặp k, phép lặp x k+1 được định nghĩa như sau: Tìm z k ∈ C sao cho f(z k , y) + 1 λ k y − z k , z k − x k  ≥ 0, ∀y ∈ C,      ω k = α k x k + (1 − α k )T (z k ), C k =  z ∈ H :   ω k − z   ≤   x k − z    , D k =  z ∈ H :  x k − z, x 0 − x k  ≥ 0  , x k+1 = P C k ∩D k (x 0 ), trong đó λ k > 0 là tham số tại bước lặp k; x 0 ∈ C và P C k ∩D k (x 0 ) là phép chiếu khoảng cách trên C k ∩ D k của điểm x 0 ; T : C → C là ánh xạ không giãn. Với giả thiết song hàm f đơn điệu trên C, các dãy {α k }, {λ k } thỏa mãn các tính chất đề ra thì dãy {x k } hội tụ mạnh đến một nghiệm chung của bài toán cân bằng EP (C, f) và điểm bất động của T. Mục đích của bản luận văn này là giới thiệu những kiến thức cơ bản nhất của bài toán cân bằng và trình bày một thuật toán lai ghép giữa phương pháp đạo hàm tăng cường với phép lặp Halpern cho bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thực. Để bảo đảm tính hội tụ mạnh, kỹ thuật siêu phẳng cắt ở [13] đã được kết hợp trong thuật toán này. Sự hội tụ mạnh của thuật toán đã được chứng minh chi tiết cho trường hợp bài toán cân bằng giả đơn điệu. Các đặc điểm quan trọng của thuật toán trình bày trong luận văn so với các thuật toán trong [4] và [13, 14] là: 1. Sư hội tụ mạnh được bảo đảm mà không cần đến giả thiết chính quy; 2. Trong mỗi bước lặp của thuật toán, bài toán cân bằng đơn điệu mạnh nảy sinh trong thuật toán điểm gần kề trong [13] được thay thế bằng hai bài toán quy hoạch lồi mạnh. Về mặt tính toán các bài toán sau dễ giải hơn nhiều, đồng thời nó lại cho phép giải được bài toán cân bằng giả đơn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 điệu, trong khi thuật toán điểm gần kề chỉ có thể áp dụng cho bài toán cân bằng đơn điệu. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản liên quan đến đề tài. Các vấn đề liên quan đến sự tồn tại nghiệm và các trường hợp riêng của bài toán cân bằng cũng được đề cập đến. Chương 2 trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường lai ghép giải bài toán cân bằng. Các bổ đề cần thiết để chứng minh cho sự hội tụ mạnh của phương pháp cũng như định lý về sự hội tụ mạnh của phương pháp cũng được trình bày ở đây. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT H: Không gian Hilbert thực; X: Không gian Banach thực; R: Tập các số thực; ∅: Tập rỗng; I: Ánh xạ đồng nhất; a, b: Tích vô hướng của 2 véc-tơ a và b; x: Chuẩn của x; ∂f(x): Dưới vi phân của hàm f tại x; ∀x: Với mọi x; x n → x: Dãy {x n } hội tụ mạnh tới x; x n  x: Dãy {x n } hội tụ yếu tới x; x := y: Nghĩa là, x được định nghĩa bằng y; P C (x): Hình chiếu của x lên C. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 Bài toán cân bằng Chương này trình bày các khái niệm liên quan đến bài toán cân bằng, sự tồn tại nghiệm, các tính chất cơ bản và các trường hợp riêng quan trọng của bài toán cân bằng. Các kiến thức trong chương được trích từ tài liệu [1-5], [7], [12], [15]. 1.1 Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn thực là một không gian tuyến tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số x gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau: 1. x > 0, ∀x = 0; x = 0 ⇔ x = 0; 2. x + y  x + y , ∀x, y ∈ X; 3. αx = |α| . x , ∀x ∈ X, α ∈ R. Định nghĩa 1.2. Cặp (H, , ) trong đó H là một không gian tuyến tính thực và ,  : H × H → R (x, y) → x, y thỏa mãn các điều kiện: 1. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H; x, x = 0 ⇔ x = 0; 2. x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 3. λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H; 4. x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H. được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1. L 2 [a,b] , không gian các hàm bình phương khả tích trên [a,b] với f ∈ L 2 [a,b] sao cho b  a f 2 (x) dx < +∞, là một không gian Hilbert với tích vô hướng f, g = b  a f (x) g (x) dx; và chuẩn f L 2 [a,b] =   b  a f 2 (x)dx   1 2 . Trên H có hai kiểu hội tụ chính sau: Định nghĩa 1.3. Xét dãy {x n } n≥0 và x thuộc không gian Hilbert thực H. Khi đó: • Dãy {x n } được gọi là hội tụ mạnh tới x, ký hiệu x n → x, nếu như lim n→+∞ x n − x = 0. • Dãy {x n } được gọi là hội tụ yếu tới x, ký hiệu x n  x, nếu lim n→+∞ ω, x n  = ω, x , ∀ω ∈ H. Ta nhắc lại các kết quả trong giải tích hàm (xem [1]) liên quan đến hai loại hội tụ này. Mệnh đề 1.1. • Nếu {x n } hội tụ mạnh đến x thì cũng hội tụ yếu đến x. • Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) đều bị chặn và giới hạn theo sự hội tụ mạnh (yếu) nếu tồn tại là duy nhất. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... chấp nhận trong thực tế Điểm cân bằng này được gọi là cân bằng Nash vì khái niệm này do nhà kinh tế học F Nash đưa ra đầu tiên Dưới đây bài toán cân bằng Nash sẽ được hiểu là bài toán tìm một điểm cân bằng (Nash) của ϕ trên C Ta sẽ ký hiệu bài toán này là N(ϕ, C) Bài toán cân bằng Nash có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP) Thật vậy, xây dựng hàm f : C × C → R, bằng cách đặt p [ϕj (x) − ϕj... thì u∗ = (x∗ , y ∗ ) là lời giải của bài toán cân bằng được suy ra từ định nghĩa Nhận xét 1.5 Trong tất cả các bài toán vừa kể trên, song hàm f đều có tính chất f (y, y) = 0 với mọi y ∈ C Như vậy f là một song hàm cân bằng trên C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Chương 2 Phương pháp đạo hàm tăng cường lai ghép giải bài toán cân bằng Trong chương này ta... f : C × C → R ∪ {+∞} Khi đó, bài toán cân bằng là bài toán Tìm x ∈ C sao cho f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (EP ) Tập nghiệm của bài toán cân bằng được ký hiệu là Sol(C, f ) Dưới đây ta sẽ luôn giả thiết f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C Một song hàm thỏa mãn điều kiện này được gọi là song hàm cân bằng C được gọi là tập chấp nhận được hay là tập chiến lược và f là hàm cân bằng của bài toán (EP) Số hóa bởi Trung tâm... Theo Hệ quả 1.1, bài toán (EP) có nghiệm Tính duy nhất nghiệm được suy ra từ phần (i) do tính đơn điệu mạnh kéo theo đơn điệu chặt Mệnh đề đã được chứng minh 2 Bài toán cân bằng (EP) có mối liên hệ chặt chẽ với bài toán sau, được gọi là bài toán đối ngẫu của (EP) Tìm y ∗ ∈ C : f (x, y ∗ ) ≤ 0, ∀x ∈ C (DEP ) Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán đối ngẫu là DS Mối quan hệ giữa hai bài toán này được thể... hình thức bài toán cân bằng khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàm được nhiều lớp bài toán quan trọng khác nhau thuộc nhiều lĩnh vực Dưới đây là một số trường hợp riêng của bài toán này 1 Bài toán tối ưu Xét bài toán min {ϕ(x)|x ∈ C} Đặt f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x) Khi đó ϕ(x) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ C ⇔ f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C Vậy bài toán tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài toán (EP) 2 Bài toán điểm bất động... kiểu Lipschitz trên C 1.2 2 Sự tồn tại nghiệm và các tính chất cơ bản của bài toán cân bằng Trong phần này ta nhắc lại một số định lý quen thuộc trong giải tích phi tuyến Các định lý này là công cụ sắc bén để nghiên cứu, đặc biệt là để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng Bài toán cân bằng Ta nhắc lại bài toán cân bằng (còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan): Xét H là không gian Hilbert... của bài toán cân bằng Mệnh đề 1.6 Cho C là tập lồi, đóng khác rỗng và f : C ×C → R ∪{+∞} là song hàm cân bằng Khi đó: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 (i) Nếu f là đơn điệu chặt trên C , thì bài toán cân bằng (EP) có nhiều nhất một nghiệm; (ii) Nếu f (., y) nửa liên tục trên với mỗi y ∈ C và f (x, ) lồi, nửa liên tục dưới với mỗi x ∈ C và f đơn điệu mạnh... 2 Các khái niệm về đơn điệu đối với song hàm có liên quan chặt chẽ với các khái niệm về đơn điệu của ánh xạ (toán tử), rất quen thuộc trong giải tích phi tuyến Định nghĩa 1.12 Ánh xạ F : C → H được gọi là (i) đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu F (x) − F (y), x − y ≥ β x − y 2 , ∀x, y ∈ C; (ii) đơn điệu chặt trên C , nếu F (x) − F (y), x − y > 0, ∀x, y ∈ C, x = y; (iii) đơn điệu trên C , nếu F... Hệ quả 1.1.Cho C là một tập lồi đóng (không cần compact) và song hàm cân bằng f như ở mệnh đề trên Giả sử điều kiện bức (C1) sau đây được thỏa mãn: Tồn tại tập compact B sao cho C ∩ B = ∅, ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C : f (x, y) < 0 Khi đó, bài toán (EP) có nghiệm Chứng minh Theo mệnh đề trên, bài toán cân bằng trên tập compact C ∩ B với hàm cân bằng f có nghiệm, tức là tồn tại x∗ ∈ C ∩ B Từ điều kiện bức (C1)... tức là giá trị tối ưu của bài toán đối ngẫu bằng giá trị của bài toán gốc, thì ta nói hai bài toán này là cặp đối ngẫu chính xác Khi đó sup inf L(x, y) = inf sup L(x, y) y≥0 x∈H x∈H y≥0 Như vậy, trong trường hợp có đối ngẫu chính xác, ta sẽ có định lý minimax cho hàm Lagrange trên tập H × Rm + Tiếp theo, ta xét các kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng Dưới đây ta sẽ chứng . của bài toán cân bằng và trình bày một thuật toán lai ghép giữa phương pháp đạo hàm tăng cường với phép lặp Halpern cho bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toán. song hàm f có tính giả đơn điệu. Bài toán cân bằng đơn điệu có liên quan chặt chẽ với bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ không giãn. Về mặt lý thuyết bài toán cân bằng đơn điệu và bài toán. HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ BÍCH THUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa