Nguyên lý biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ THỊ HUYỀN TRANG NGUN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CHO BÀI TỐN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ THỊ HUYỀN TRANG NGUN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CHO BÀI TỐN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Lê Dũng Mưu THÁI NGUN - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tơi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và khơng trùng lặp với các đề tài khác. Tơi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Ngun, tháng 4 năm 2014 Người viết Luận văn Hà Thị Huyền Trang i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Để hồn thành được luận văn một cách hồn chỉnh, tơi ln nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS. Lê Dũng Mưu (Viện Tốn học Việt Nam). Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tơi xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến thầy, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt q trình hồn thành luận văn. Tơi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Tốn, ban lãnh đạo phòng sau Đại học của Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Ngun đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ đã tham gia giảng dạy cho lớp Cao học chun ngành Tốn khóa 20. Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã ln động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tơi trong suốt q trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Ngun, tháng 4 năm 2014 Người viết Luận văn Hà Thị Huyền Trang ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Bài tốn cân bằng. 2 1.1 Các kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bài tốn cân bằng và các trường hợp riêng. . . . . . . . . . 8 2 Ngun lý biến phân Ekeland cho bài tốn cân bằng. 14 2.1 Ngun lý biến phân Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Ngun lý biến phân Ekeland cổ điển. . . . . . . . . 14 2.1.2 Ngun lý biến phân Ekeland trong khơng gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng. . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Một số định lý cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Ngun lý Ekeland cho bài tốn cân bằng. . . . . . 31 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Cho H là một khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng ., . và ||.|| tương ứng. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và f là một song hàm từ C × C vào R sao cho f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Trong Luận văn này ta sẽ xét bài tốn cân bằng sau đây, được kí hiệu là (EP) Tìm x ∈ C sao cho f(x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng người ta thường sử dụng các định lý điểm bất động Brouwer, Kakutani, Ky Fan, Một phương pháp cơ bản để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng này là dựa trên ngun lý biến phân Ekeland. Từ khi ra đời, ngun lý biến phân Ekeland đã trở thành cơng cụ mạnh trong giải tích hiên đại. Những ứng dụng của ngun lý này bao trùm nhiều lĩnh vực như: Lý thuyết tối ưu, giải tích khơng trơn, lý thuyết điều khiển, lý thuyết điểm bất động, kinh tế, Mục đích của Luận văn này là trình bày những kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng đặc biệt là ứng dụng của ngun lý biến phân Ekeland cho bài tốn cân bằng và hệ hữu hạn các bài tốn cân bằng. Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản liên quan đến luận văn, giới thiệu về bài tốn cân bằng và các trường hợp riêng của bài tốn cân bằng. Chương 2 gồm ngun lý biến phân Ekeland (ngun lý biến phân Ekeland cổ điển và ngun lý biến phân Ekeland trong khơng gian hữu hạn chiều), một số định lý cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng và ngun lý biến phân Ekeland cho bài tốn cân bằng. 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Bài tốn cân bằng. Chương này trình bày các khái niệm liên quan đến bài tốn cân bằng và các trường hợp riêng quan trọng của bài tốn cân bằng. Các kiến thức trong chương được trích từ tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [10]. 1.1 Các kiến thức chuẩn bị. Định nghĩa 1.1. Khơng gian định chuẩn thực là một khơng gian tuyến tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số ||x|| gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau : 1. ||x|| > 0, ∀x = 0; ||x|| = 0 ⇔ x = 0; 2. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||; 3. ||λx|| = |λ|.||x||; với mọi x, y ∈ X và λ ∈ R. Định nghĩa 1.2. Cho H là một khơng gian vectơ trên R, tích vơ hướng xác định trong H là một ánh xạ ., . : H × H −→ R (x, y) −→ x, y thỏa mãn các điều kiện sau đây : 1. x, y = y, x, ∀x, y ∈ H; 2. x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H; 3. λx, y = λx, y, ∀x, y ∈ H, λ ∈ R; 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0. Số x, y được gọi là tích vơ hướng của hai vectơ x, y trong H. Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa suy ra 1. x, λy = λx, y, 2. x, y + z = x, y + x, z, 3. x, 0 = 0, với mọi x, y, z ∈ H và λ ∈ R. Ví dụ 1.1. Với x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ R n , biểu thức x, y = n  k=1 x k y k xác định một tích vơ hướng trong R n . Định nghĩa 1.3. Cặp (H, , ) trong đó H là một khơng gian tuyến tính trên R, , là tích vơ hướng trên H được gọi là khơng gian tiền Hilbert thực. Định lý 1.1. Mọi khơng gian tiền Hilbert H đều là khơng gian định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi cơng thức ||x|| =  x, x, ∀x ∈ H. (1.1) Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng. Định nghĩa 1.4. Nếu H là khơng gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định bởi (1.1) thì H được gọi là khơng gian Hilbert thực. Ví dụ 1.2. R n là khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng x, y = n  k=1 x k y k trong đó x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ R n và chuẩn cảm sinh ||x|| 2 = x, x = n  k=1 x k x k = n  k=1 |x k | 2 . 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ví dụ 1.3. L 2 [a,b] là khơng gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] với f ∈ L 2 [a,b] sao cho b  a f 2 (x)dx < ∞ là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng f, g = b  a f(x)g(x)dx, f, g ∈ L 2 [a,b] và chuẩn cảm sinh ||f|| L 2 [a,b] =   b  a f 2 (x)dx   1 2 . Định nghĩa 1.5. Cho E là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ d : E ×E → R thỏa mãn: 1. d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ E; 2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y; 3. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ E; 4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ E. Khi đó d được gọi là khoảng cách hay một mêtric trên E và cặp (E, d) được gọi là một khơng gian mêtric. Định nghĩa 1.6. Cho khơng gian mêtric (E, d). Ta nói dãy phần tử {x n } ⊂ E hội tụ về phần tử x ∈ E nếu lim n→∞ d(x n , x) = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n 0 : ∀n ∈ N ∗ , n ≥ n 0 ⇒ d(x n , x) < ε. Định nghĩa 1.7. Cho khơng gian mêtric (E, d). Dãy {x n } ⊂ E được gọi là dãy Cauchy nếu lim n,m→∞ d(x n , x m ) = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n 0 : ∀n, m ≥ n 0 ⇒ d(x n , x m ) < ε. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.8. Khơng gian mêtric (E, d) gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong nó đều là dãy hội tụ. Nhận xét 1.1. Như vậy khơng gian Hilbert là một khơng gian mêtric đầy đủ. Tiếp theo, ta sẽ nêu một số định nghĩa và kết quả cơ bản của giải tích lồi được phát biểu trong [2], [10] Xét C là tập con khác rỗng trong khơng gian Hilbert thực H Định nghĩa 1.9. Tập C trong khơng gian Hilbert thực H được gọi là một tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 −λ)y ∈ C. Định nghĩa 1.10. Cho C ⊂ H là tập lồi khác rỗng và ánh xạ f : C → R ∪ {+∞}.Khi đó: 1. Hàm f được gọi là hàm lồi trên C nếu f(λx + (1 −λ)y) ≤ λf(x) + (1 −λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1). 2. Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên C nếu f(λx + (1 −λ)y) < λf(x) + (1 −λ)f(y), ∀x = y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1). 3. Hàm f được gọi là hàm lồi mạnh trên C với hệ số η > 0 nếu f(λx + (1 −λ)y) ≤ λf(x) + (1 −λ)f(y) − η λ(1 − λ) 2 ||x − y|| 2 , ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1). Ví dụ 1.4. Hàm affine.f(x) = a T x + b, trong đó a ∈ R n , b ∈ R là hàm lồi. Nó thỏa mãn đẳng thức f(λx + (1 −λ)y) = λf(x) + (1 −λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1). Do đó nó khơng lồi chặt. Ví dụ 1.5. Hàm chỉ.Cho C = ∅ là một tập lồi. Đặt : δ C :=  0 khi x ∈ C +∞ khi x ∈ C Ta nói δ C là hàm chỉ của C. Do C lồi nên δ C là hàm lồi. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... nghiệm của bài tốn đối ngẫu (DEP) Mệnh đề đã được chứng minh 2.2.2 Ngun lý Ekeland cho bài tốn cân bằng Trong mục này ta nghiên cứu ứng dụng của ngun lý biến phân Ekeland cho bài tốn cân bằng và hệ hữu hạn các bài tốn cân bằng Các kết quả được lấy từ tài liệu [5], [6], [8], [9] Ta nhắc lại : Bài tốn cân bằng là bài tốn Tìm x ∈ D sao cho f (¯, y) ≥ 0 với mọi y ∈ D ¯ x (EP) trong đó D là một tập cho trước... thua thiệt Đây chính là lý do mà khái niệm cân bằng này được chấp nhận trong thực tế Điểm cân bằng này được gọi là cân bằng Nash vì khái niệm này do nhà kinh tế học F Nash đưa ra đầu tiên Dưới đây bài tốn cân bằng Nash sẽ được hiểu là bài tốn tìm một điểm cân bằng (Nash) của ϕ trên C Ta sẽ kí hiệu bài tốn này là N (ϕ, C) Bài tốn cân bằng Nash có thể mơ tả dưới dạng bài tốn cân bằng (EP) Thật vậy, xây... cả các bài tốn vừa kể trên, song hàm f đều có 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tính chất f (x, y) = 0 với mọi y ∈ C Như vậy f là một song hàm cân bằng trên C 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Ngun lý biến phân Ekeland cho bài tốn cân bằng 2.1 Ngun lý biến phân Ekeland Trong mục này, chúng ta xem xét ngun lý biến phân Ekeland. .. tại nghiệm của bài tốn cân bằng 2.2.1 Một số định lý cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng Trong phần này ta nhắc lại một số định lý quen thuộc trong giải tích phi tuyến Các định lý này là cơng cụ sắc bén để nghiên cứu, đặc biệt là để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng ( xem [5], [8]) Định lý minimax Cho một song hàm f : C × D → R Nhiều vấn đề trong tối ưu hóa, lý thuyết trò... Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2 Bài tốn cân bằng và các trường hợp riêng Ta nhắc lại Bài tốn cân bằng (còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan): Xét H là khơng gian Hilbert thực; C là tập lồi, đóng, khác rỗng của H và f : C × C → R ∪ {∞} Khi đó bài tốn cân bằng là bài tốn Tìm x ∈ C sao cho f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (EP) Tập nghiệm của bài tốn cân bằng được ký hiệu là Sol(C, f ) Dưới đây ta sẽ... tính chất của điểm x với hàm nhiễu, ta có dạng yếu của ngun lý biến phân: ¯ Định lý 2.3 Cho (X, d) là khơng gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại x sao cho: ¯ √ f (x) + εd(x, x) > f (¯), ∀x ∈ X\{¯} ¯ x x 2.1.2 Ngun lý biến phân Ekeland trong khơng gian hữu hạn chiều Định lý 2.4 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới,... hàm thỏa mãn điều kiện này được gọi là song hàm cân bằng C được gọi là tập chấp nhận được hay là tập chiến lược và f là hàm cân bằng của bài tốn (EP) Về mặt hình thức bài tốn cân bằng khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàm được nhiều lớp bài tốn quan trọng khác nhau thuộc nhiều lĩnh vực Dưới đây là một số trường hợp riêng của bài tốn này: 1 Bài tốn tối ưu Xét bài tốn min{ϕ(x)|x ∈ C} Đặt f (x, y) := ϕ(y) −... nghiệm của bài tốn cân bằng, khi song hàm cân bằng khơng cần tựa lõm theo biến thứ nhất, ta cần đến các định lý điểm bất động trong giải tích hàm là Định lý Kakutani và một trường hợp riêng quan trọng của nó là Định lý Brouwer Để tiện theo dõi, ta nhắc lại các định lý này trong khơng gian Euclide hữu hạn chiều, mặc dù các định lý này đã được chứng minh trong khơng gian vơ hạn chiều Định lý (điểm bất... C Vậy bài tốn tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài tốn (EP) 2 Bất đẳng thức biến phân. Xét bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị sau: Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và F : C → H là một ánh xạ đa trị (tức là với mỗi x ∈ C , giá trị F(x) là một tập khác rỗng) Xét bài tốn : Tìm x∗ ∈ C, v ∗ ∈ F (x∗ ) sao cho v ∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C (VI) Ta có thể minh họa bất đẳng thức biến phân (VI)... trường hợp riêng quan trọng của bài tốn (VI) là khi C = Rn và F + đơn trị Khi đó bài tốn (VI) tương đương với bài tốn sau, được gọi là bài tốn bù: Tìm x ≥ 0 sao cho F (x) ≥ 0, xT F (x) = 0 (CP) Ta chỉ ra rằng bài tốn (CP) này tương đương với bất đẳng thức biến phân: Tìm x ≥ 0 sao cho F (x), y − x ≥ 0, ∀y ≥ 0 Sự tương đương ở đây được hiểu theo nghĩa tập nghiệm của hai bài tốn này trùng nhau Thật vậy, . văn, giới thiệu về bài tốn cân bằng và các trường hợp riêng của bài tốn cân bằng. Chương 2 gồm ngun lý biến phân Ekeland (ngun lý biến phân Ekeland cổ điển và ngun lý biến phân Ekeland trong khơng. http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Ngun lý biến phân Ekeland cho bài tốn cân bằng. 2.1 Ngun lý biến phân Ekeland. Trong mục này, chúng ta xem xét ngun lý biến phân Ekeland cổ điển . Ngun lý này sẽ được sử dụng. định lý cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng và ngun lý biến phân Ekeland cho bài tốn cân bằng. 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Bài tốn cân bằng. Chương