Nguyên lý biến phân ekeland cho bài toán cân bằng ( Luận văn thạc sĩ)

Nguyên lý biến phân ekeland cho bài toán cân bằng ( Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý biến phân ekeland cho bài toán cân bằng ( Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý biến phân ekeland cho bài toán cân bằng ( Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý biến phân ekeland cho bài toán cân bằng ( Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý biến phân ekeland cho bài toán cân bằng ( Luận văn thạc sĩ)Nguyên lý biến phân ekeland cho bài toán cân bằng ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ THỊ HUYỀN TRANG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ THỊ HUYỀN TRANG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CHO BÀI TỐN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lê Dũng Mưu THÁI NGUYÊN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2014 Người viết Luận văn Hà Thị Huyền Trang i Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình GS Lê Dũng Mưu (Viện Tốn học Việt Nam) Với lòng kính trọng biết ơn sâu sắc xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến thầy, người thầy kính mến hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, ban lãnh đạo phòng sau Đại học Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao học chun ngành Tốn khóa 20 Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2014 Người viết Luận văn Hà Thị Huyền Trang ii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Bài toán cân 1.1 Các kiến thức chuẩn bị 1.2 Bài toán cân trường hợp riêng Nguyên lý biến phân Ekeland cho toán cân 2.1 2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland 2.1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển 2.1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian hữu 14 14 14 hạn chiều 17 Sự tồn nghiệm toán cân 19 2.2.1 2.2.2 Một số định lý tồn nghiệm toán cân 19 Nguyên lý Ekeland cho toán cân 31 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng , ||.|| tương ứng Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H f song hàm từ C × C vào R cho f (x, x) = với x ∈ C Trong Luận văn ta xét tốn cân sau đây, kí hiệu (EP) Tìm x ∈ C cho f (x, y) ≥ với y ∈ C Để chứng minh tồn nghiệm toán cân người ta thường sử dụng định lý điểm bất động Brouwer, Kakutani, Ky Fan, Một phương pháp để chứng minh tồn nghiệm toán cân dựa nguyên lý biến phân Ekeland Từ đời, nguyên lý biến phân Ekeland trở thành cơng cụ mạnh giải tích hiên đại Những ứng dụng nguyên lý bao trùm nhiều lĩnh vực như: Lý thuyết tối ưu, giải tích khơng trơn, lý thuyết điều khiển, lý thuyết điểm bất động, kinh tế, Mục đích Luận văn trình bày kết tồn nghiệm toán cân đặc biệt ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland cho toán cân hệ hữu hạn toán cân Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày số khái niệm liên quan đến luận văn, giới thiệu toán cân trường hợp riêng toán cân Chương gồm nguyên lý biến phân Ekeland (nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển nguyên lý biến phân Ekeland không gian hữu hạn chiều), số định lý tồn nghiệm toán cân nguyên lý biến phân Ekeland cho tốn cân Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Bài tốn cân Chương trình bày khái niệm liên quan đến toán cân trường hợp riêng quan trọng toán cân Các kiến thức chương trích từ tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [10] 1.1 Các kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn thực khơng gian tuyến tính thực X ứng với phần tử x ∈ X ta có số ||x|| gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau : ||x|| > 0, ∀x = 0; ||x|| = ⇔ x = 0; ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||; ||λx|| = |λ|.||x||; với x, y ∈ X λ ∈ R Định nghĩa 1.2 Cho H không gian vectơ R, tích vơ hướng xác định H ánh xạ , : H × H −→ R (x, y) −→ x, y thỏa mãn điều kiện sau : x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H; λx, y = λ x, y , ∀x, y ∈ H, λ ∈ R; Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ x, x ≥ 0, ∀x ∈ H x, x = ⇔ x = Số x, y gọi tích vô hướng hai vectơ x, y H Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa suy x, λy = λ x, y , x, y + z = x, y + x, z , x, = 0, với x, y, z ∈ H λ ∈ R Ví dụ 1.1 Với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , biểu thức n xk yk x, y = k=1 xác định tích vơ hướng Rn Định nghĩa 1.3 Cặp (H, , ) H khơng gian tuyến tính R, , tích vơ hướng H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert H không gian định chuẩn, với chuẩn xác định công thức ||x|| = x, x , ∀x ∈ H (1.1) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Định nghĩa 1.4 Nếu H khơng gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.1) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.2 Rn khơng gian Hilbert thực với tích vô hướng n x, y = xk yk k=1 x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn chuẩn cảm sinh n ||x|| = x, x = n |xk |2 xk xk = k=1 k=1 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ví dụ 1.3 L2[a,b] khơng gian hàm bình phương khả tích [a, b] với b f ∈ L2[a,b] f (x)dx < ∞ không gian Hilbert với tích vơ cho a hướng b f, g = f (x)g(x)dx, f, g ∈ L2[a,b] a chuẩn cảm sinh  21 b  f (x)dx ||f ||L2[a,b] =  a Định nghĩa 1.5 Cho E tập hợp khác rỗng Một ánh xạ d : E ×E → R thỏa mãn: d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ E; d(x, y) = ⇔ x = y; d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ E; d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ E Khi d gọi khoảng cách hay mêtric E cặp (E, d) gọi không gian mêtric Định nghĩa 1.6 Cho không gian mêtric (E, d) Ta nói dãy phần tử {xn } ⊂ E hội tụ phần tử x ∈ E lim d(xn , x) = n→∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ∈ N∗ , n ≥ n0 ⇒ d(xn , x) < ε Định nghĩa 1.7 Cho không gian mêtric (E, d) Dãy {xn } ⊂ E gọi dãy Cauchy lim d(xn , xm ) = n,m→∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.8 Khơng gian mêtric (E, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Nhận xét 1.1 Như không gian Hilbert không gian mêtric đầy đủ Tiếp theo, ta nêu số định nghĩa kết giải tích lồi phát biểu [2], [10] Xét C tập khác rỗng không gian Hilbert thực H Định nghĩa 1.9 Tập C không gian Hilbert thực H gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Định nghĩa 1.10 Cho C ⊂ H tập lồi khác rỗng ánh xạ f : C → R ∪ {+∞}.Khi đó: Hàm f gọi hàm lồi C f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) Hàm f gọi hàm lồi chặt C f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x = y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) Hàm f gọi hàm lồi mạnh C với hệ số η > f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − η λ(1 − λ) ||x − y||2 , ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) Ví dụ 1.4 Hàm affine.f (x) = aT x + b, a ∈ Rn , b ∈ R hàm lồi Nó thỏa mãn đẳng thức f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) Do khơng lồi chặt Ví dụ 1.5 Hàm chỉ.Cho C = ∅ tập lồi Đặt : δC := x ∈ C +∞ x ∈ C Ta nói δC hàm C Do C lồi nên δC hàm lồi Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... 1.2 Bài toán cân trường hợp riêng Nguyên lý biến phân Ekeland cho toán cân 2.1 2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland 2.1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển 2.1.2 Nguyên. .. niệm liên quan đến luận văn, giới thiệu toán cân trường hợp riêng toán cân Chương gồm nguyên lý biến phân Ekeland (nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển nguyên lý biến phân Ekeland không gian hữu... bất động, kinh tế, Mục đích Luận văn trình bày kết tồn nghiệm toán cân đặc biệt ứng dụng nguyên lý biến phân Ekeland cho toán cân hệ hữu hạn toán cân Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương