một vài mở rộng của nguyên lý biến phân ekeland

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Vũ Minh Thư MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn: PGS.TS. Trương Xuân Đức Hà Hà Nội - 2012 Mục lục Mở đầu 4 1 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển 6 1.1. Một vài tính chất của hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . 6 1.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric 10 1.2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Một số ứng dụng của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . 17 1.3.1. Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . 18 2 Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke 21 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke . . . . . . . . . . . 27 2 2.3. Điều kiện đủ để tồn tại cực tiểu yếu và cực tiểu thực sự dương của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 3 Lời mở đầu Một kết quả cổ điển trong giải tích chỉ ra rằng, một hàm f nửa liên tục dưới trên một tập compact X thì đạt cực tiểu trên tập đó. Nếu bỏ giả thiết X compact thì kết luận trên có thể không còn đúng nữa. Năm 1974, I.Ekeland phát biểu một nguyên lý gọi là nguyên lý biến phân Ekeland chỉ ra rằng nếu hàm f là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới trong không gian metric đủ ta luôn tìm được một hàm nhiễu của hàm ban đầu sao cho hàm nhiễu này có cực tiểu toàn cục. Nếu hàm f là khả vi Gateaux và bị chặn dưới trong không gian Banach thì đạo hàm của f có thể làm nhỏ tùy ý. Hơn nữa, nếu f thỏa mãn điều kiện Palais-Smale thì f có cực tiểu. Nguyên lý biến phân Ekeland mở ra hướng nghiên cứu mới cho toán học và là một công cụ mạnh được ứng dụng hiệu quả trong các lĩnh vực: lý thuyết tối ưu, giải tích phi tuyến, giải tích đa trị, Ngày nay, nguyên lý vẫn được rất nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng: các ánh xạ đơn trị hoặc đa trị trong không gian lồi địa phương, trong không gian vectơ, trong không gian Banach Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách có hệ thống một số kết quả liên quan tới nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trong [2], [4], [10] và một vài mở rộng của nguyên lý này cho ánh xạ đa trị theo [5]. Đối với ánh xạ đa trị chúng ta sẽ dùng đối đạo hàm Clarke định nghĩa thông qua nón pháp tuyến Clarke được giới thiệu trong bài báo [8]. 4 Luận văn gồm 2 chương Chương 1. Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển. Chương này bao gồm một số kết quả cổ điển của giải tích về các điều kiện để hàm nửa liên tục dưới đạt cực tiểu, nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển và một số ứng dụng của nguyên lý này. Chương 2. Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke. Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị trong không gian Banach có sử dụng nón pháp tuyến, đối đạo hàm Clarke và một số điều kiện đủ để ánh xạ đa trị có cực tiểu yếu, cực tiểu thực sự dương. Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của PGS.TS Trương Xuân Đức Hà. Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo Viện Toán học, các thầy cô và Trung tâm đào tạo sau đại học của Viện đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp khoa Khoa học cơ bản - Cao đẳng công nghệ Hà Nội, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập của mình. Hà Nội, tháng 8 năm 2011 Tác giả 5 Chương 1 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển Trong chương này, chúng ta cùng xem xét nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển được giới thiệu trong bài báo [4], nguyên lý Ekeland trong không gian hữu hạn chiều theo [10] và một số ứng dụng của nguyên lý theo [2]. 1.1. Một vài tính chất của hàm nửa liên tục dưới Trong mục này, chúng ta sẽ nhắc lại về lớp hàm nửa liên tục dưới và một số tính chất của nó. Cho X là không gian topo và hàm f : X → R∪{+∞} Kí hiệu : domf = {x ∈ X|f(x) < +∞}, epif = {(x, a) ∈ X × R|f(x) ≤ a}. Với mỗi a ∈ R, kí hiệu tập mức của f là L a f = {x ∈ X|f(x) ≤ a}. Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian topo, hàm f : X → R ∪{+∞} được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x 0 khi và chỉ khi lim inf x→x 0 f(x) ≥ f(x 0 ). Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X. Nhận xét 1.1.1. Hàm f là nửa liên tục dưới tại x 0 khi và chỉ khi ∀ε > 0 tồn tại lân cận U của x 0 sao cho ∀x ∈ U ta đều có f(x) ≥ f(x 0 ) − ε. Ta xét ví dụ sau để minh họa cho định nghĩa trên. Ví dụ 1.1.1. Cho hàm số f : R → R xác định bởi f(x) =  6x 2 − 1 nếu x = 1 0 nếu x = 1 Ta thấy f liên tục trên R \ {1} và gián đoạn tại x = 1. Nhưng f nửa liên tục dưới tại x = 1 vì lim inf x→1 f(x) = 5 ≥ f(1). Vậy f nửa liên tục dưới trên R. Sau đây là một số tính chất của hàm nửa liên tục dưới. Mệnh đề 1.1.1. Cho X là không gian topo và hàm f : X → R ∪{+∞}. Các khẳng định sau là tương đương (i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X. (ii) epif là tập đóng trong X ×R. (iii) ∀a ∈ R thì tập mức L a f là tập đóng trong X. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử f là nửa liên tục dưới trên X. Ta lấy dãy {(x n , a n )} ⊂ epif sao cho lim n→∞ (x n , a n ) = (x 0 , a 0 ). Ta cần chỉ ra (x 0 , a 0 ) ∈ epif. Thật vậy, lim n→∞ x n = x 0 , lim n→∞ a n = a 0 và hàm f là nửa 7 liên tục dưới tại x 0 nên lim n→∞ inf f(x n ) ≥ f(x 0 ). Mà {(x n , a n )} ⊂ epif nên f(x n ) ≤ a n , n ∈ N. Do đó lim n→∞ inf f(x n ) ≤ lim n→∞ a n . Suy ra f(x 0 ) ≤ lim n→∞ inf f(x n ) ≤ lim n→∞ a n = a 0 . Điều này chứng tỏ (x 0 , a 0 ) ∈ epif. (ii) ⇒ (iii). Giả sử epif là tập đóng trong X × R.∀a ∈ R giả sử L a f = {x ∈ X|f(x) ≤ a} là tập mức bất kì của f. Ta sẽ chứng minh L a f đóng trong X. Lấy dãy {x n } ⊂ L a f thỏa mãn lim n→∞ x n = x 0 . Ta có f(x n ) ≤ a do {x n } ⊂ L a f . Suy ra (x n , a) ∈ epif, ∀n ∈ N. Hơn nữa, lim n→∞ x n = x 0 nên lim n→∞ (x n , a) = (x 0 , a). Mặt khác, epif đóng trong X ×R nên (x 0 , a) ∈ epif vì vậy x 0 ∈ L a f hay L a f là tập đóng ∀a ∈ R. (iii) ⇒ (i). Giả sử L a f đóng trong X, ∀a ∈ R. Ta phải chứng minh f là hàm nửa liên tục dưới trên X. Giả sử phản chứng f không là nửa liên tục dưới tại x 0 ∈ X khi đó tồn tại dãy x n ⊂ X sao cho lim n→∞ x n = x 0 và lim n→∞ inf f(x n ) < f(x 0 ). Chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho có k ∈ N để f(x n ) ≤ f(x 0 ) − ε(∀n > k). Xét tập mức L = {x ∈ X|f(x) ≤ f(x 0 ) − ε}. Ta thấy x n ∈ N, ∀n > k. Mặt khác, do L đóng và lim n→∞ x n = x 0 nên x 0 ∈ L do đó f(x 0 ) ≤ f(x 0 ) − ε (vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên X. Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại hai định lý trong giải tích về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm nửa liên tục dưới. Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm f : X → R∪{+∞} đạt cực tiểu trên X, tức là tồn tại x ∈ X sao cho f(x) ≥ f(x), ∀x ∈ X. Sau đây, ta cùng xem lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X. 8 Mệnh đề 1.1.2. [10] Cho hàm f : X → R ∪{+ ∞} là hàm nửa liên tục dưới trên tập compact X trong không gian topo. Khi đó f đạt cực tiểu trên X. Chứng minh. Đặt a = inf{f(x)|x ∈ X}. Khi đó có một dãy x n ⊂ X sao cho lim n→∞ f(x n ) = a. Do X là tập compact, không mất tính tổng quát ta có thể coi x n là dãy hội tụ đến x ∈ X. Ta sẽ chứng minh f(x) = a. Thật vậy, do f là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nên lim n→∞ inf f(x n ) ≥ f(x) kết hợp với lim n→∞ f(x n ) = a ta suy ra f(x) ≤ a. Mặt khác theo định nghĩa của a thì f(x) ≥ a. Vậy f(x) = a và x là điểm cực tiểu của f trên X. Nhận xét 1.1.2. Khi X không compact thì hàm f có thể không đạt cực tiểu. Ta xét ví dụ sau để minh họa cho nhận xét trên. Ví dụ 1.1.2. Cho hàm số f : X = R × R\{(0, 1)} → R x = (x 1 , x 2 ) → f(x) = x 2 1 + (x 2 − 1) 4 . Ta thấy f là liên tục trên X và f(x) ≥ 0, ∀x ∈ X. Hơn nữa inf X f = 0. Tuy nhiên không tồn tại x ∈ X để f(x) = 0. Thật vậy, giả sử rằng có x 0 ∈ X sao cho f(x 0 ) = 0 thì ta suy ra x 0 = (0, 1) ∈ X (mâu thuẫn với cách xác định X). Vậy hàm f không đạt cực tiểu trên X. Khi giả thiết compact của X không còn thì hàm f có thể không đạt cực trị. Dưới đây là một điều kiện để hàm nửa liên tục dưới đạt cực trị trên tập đóng. Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là bức trên tập X khác rỗng nếu f(x) → +∞ khi x ∈ X, x → +∞. 9 [...]... chứng minh các định lý mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland được trình bày trong phần sau của luận văn 2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke Trong mục này, trình bày khái niệm điểm ε -xấp xỉ cực tiểu của ánh xạ đa trị và trên cơ sở các kiến thức chuẩn bị, chúng tôi sẽ chứng minh hai 27 định lý mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ... minh trên và định nghĩa của xε thì inf f (x) + n R ε x − xε λp p ≤ f (x) + ε x − xε λp p Nghĩa là x − xε < λ, ta chứng minh được (i) 16 ≤ f (xε ) ≤ inf f (x) + ε n R 1.3 Một số ứng dụng của nguyên lý biến phân Ekeland Trong phần này, chúng ta chỉ ra nguyên lý biến phân Ekeland là tương đương với tính đủ của không gian metric Tiếp theo, chúng ta vận dụng nguyên lý biến phân Ekeland để đánh giá đạo hàm... của f 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển Trong mục này, chúng ta cùng xem xét nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trong không gian metric đủ và không gian hữu hạn chiều 1.2.1 Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric Nếu X không compact và f không là bức trên X thì hàm f có thể không đạt cực tiểu trên X Khi đó, ta xét khái niệm điểm ε−xấp xỉ cực tiểu như sau: Với ε > 0 cho trước, một. .. cực tiểu của f (x) trên X nếu inf f ≤ f (xε ) ≤ inf f + ε X X Điểm ε− xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới Hơn nữa, khi X là không gian metric đủ thì nguyên lý Ekeland phát biểu rằng ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên X Sau 10 đây ta xét nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trên không gian metric đủ (X, d) Định lý 1.2.1 [4] [Nguyên lý biến phân Ekeland. .. Ta nói (i) (x, y) là một εk0 -cực tiểu của F nếu y ∈ M inF (x) và y + εk0 y, ∀y ∈ F (X) (ii) (x, y) là một εk0 -cực tiểu thực sự dương của F nếu tồn tại ϕ ∈ K +i , ϕ(k0 ) = 1 thỏa mãn ϕ(y) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ F (x) và ϕ(y) + ε > ϕ(y), ∀y ∈ F (X) Sau đây, chúng tôi phát biểu mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị F trong trường hợp nghiệm ε - xấp xỉ cực tiểu Định lý 2.2.6 [5] Giả sử rằng... Như vậy, có thể nói chuẩn của đạo hàm tại những điểm ε - xấp xỉ cực tiểu có thể làm bé tùy ý theo ε Người ta đã chứng minh rằng nếu ánh xạ đơn trị thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.3.5 và thỏa mãn thêm điều kiện Palais - Smale luôn có cực trị Chúng tôi sẽ trình bày mở rộng của kết quả này cho ánh xạ đa trị trong chương sau của luận văn 20 Chương 2 Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử... để đánh giá đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu 1.3.1 Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian metric Định lý sau đây chỉ ra một đặc trưng của không gian metric đầy đủ Định lý 1.3.4 [2] Cho (X, d) là không gian metric Khi đó X là đầy đủ khi và chỉ khi với mọi hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới f : X → R ∪{+∞} và với mọi ε > 0, tồn tại một điểm x ∈ X thỏa mãn (i) f (x)) < inf f + ε X (ii)... bày hai dạng của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị có sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke và từ đó chứng minh điều kiện đủ để ánh xạ này có cực tiểu yếu và cực tiểu thực sự dương khi nó thỏa mãn điều kiện Palais - Smale Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa, tính chất, định lý có liên quan về nón pháp tuyến Clarke, đối đạo hàm Clarke và một vài kết quả của tối ưu vectơ... không gian hữu hạn chiều Trong mục trên, ta đã phát biểu và chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland cho một không gian metric đủ tổng quát với hàm f là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Trong không gian hữu hạn chiều, ta có một cách chứng minh ngắn gọn Định lý trên sử dụng điều kiện bức được trình bày trong [10] của GS.Hoàng Tụy Định lý 1.2.3 [10] Cho f : Rn → R ∪ { + ∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn... có 0 ∈ ∂g(xε , yε ) Lấy dưới vi phân 2 vế của hàm g tại (xε , yε ) ta có: ∗ ∂g(xε , yε ) ⊆ {0} × ∂∆−K (0) + εBX × {0} + N ((xε , yε ) , grF ) ∗ ∗ = {0} × K + ∩ BY \ {0} + εBX × {0} + N ((xε , yε ) , grF ) ∗ ∗ ∗ Ta suy ra tồn tại x∗ ∈ εBX , yε ∈ (K + ∩ BY ) \ {0} sao cho ε ∗ (x∗ , −yε ) ∈ N ((xε , yε ), grF ) ε 30 Tiếp theo, chúng tôi xét mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị trong . Thư MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn: PGS.TS. Trương Xuân Đức Hà Hà Nội - 2012 Mục lục Mở đầu 4 1 Nguyên lý biến phân. 10 1.2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Một số ứng dụng của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . 17 1.3.1. Nguyên lý biến. Banach Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách có hệ thống một số kết quả liên quan tới nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trong [2], [4], [10] và một vài mở rộng của nguyên lý này cho ánh