Một vài mở rộng véctơ của nguyên lý biến phân Ekeland

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN HÀ CHI MỘT VÀI MỞ RỘNG VÉCTƠ CỦA NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÉCTƠ 12 2.1 Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị 12 2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đa trị 17 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÉCTƠ DỰA TRÊN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM CỰC TIỂU CỦA MỘT TẬP TRONG KHÔNG GIAN TÍCH 25 3.1 Quan hệ thứ tự không gian tích 25 3.2 Sự tồn điểm cực tiểu tập không gian tích 27 3.3 Mở rộng Định lý 2.2.8 37 3.4 Ứng dụng: Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 i Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Chúng ta biết hàm f nửa liên tục tập đóng X đạt cực tiểu X compact, điều không bỏ giả thiết compact Năm 1974, Ekeland đưa nguyên lý (được gọi nguyên lý biến phân Ekeland) Nguyên lý phát biểu cho trước hàm nửa liên tục bị chặn f không gian mêtríc đầy đủ, ta tìm hàm nhiễu f cho hàm nhiễu có cực tiểu toàn cục Ngoài ra, f hàm khả vi đạo hàm f làm nhỏ tùy ý Trong 30 năm qua, nguyên lý biến phân Ekeland mở rộng theo nhiều hướng: ánh xạ đơn trị đa trị nhận giá trị không gian lồi địa phương, không gian véctơ, ánh xạ nhiễu hàm trơn, Nguyên lý trở thành công cụ mạnh sử dụng nhiều giải tích không trơn, giải tích phi tuyến, tối ưu, Trong luận văn này, giới thiệu lại cách có hệ thống vài dạng véctơ nguyên lý biến phân Ekeland trình bày báo [3], [10], [12] tác giả Y.Araya, Chr.Tammer, C.Zălinescu T.X.Đ.Ha Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: • Chương 1: Gồm số kết giải tích cổ điển điều kiện để hàm nửa liên tục đạt giá trị cực tiểu; nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trình bày báo [6] cách chứng minh ngắn gọn nguyên lý biến phân Ekeland cho trường hợp không gian hữu hạn chiều có sử dụng điều kiện theo [1] • Chương 2: Một vài mở rộng nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đơn trị đa trị nhận giá trị không gian véctơ từ báo Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [3], [10] • Chương 3: Định lý tồn điểm cực tiểu tập không gian tích vài mở rộng nguyên lý biến phân Ekeland giới thiệu báo [12] Qua cách tiếp cận này, ta có kết trình bày chương Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn PGS.TS Trương Xuân Đức Hà, người tận tình bảo, hướng dẫn tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm I - Hà Nội, Viện Toán học Hà Nội tận tình giảng dạy giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trung tâm Giáo dục thường xuyên Đào tạo cán tỉnh Quảng Ninh, gia đình bạn bè giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN Trong chương này, trình bày lại nguyên lý biến phân I.Ekeland đề xuất năm 1974 báo [6] 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trước hết ta nhắc lại số kiến thức cổ điển hàm nửa liên tục số tính chất Cho X không gian tôpô hàm số f : X → R ∪ { + ∞} Kí hiệu miền hữu hiệu đồ thị hàm f sau: dom f := {x ∈ X | f (x) < +∞} epi f := {(x, a) ∈ X × R | f (x) a} Với a ∈ R, kí hiệu tập mức f tập La f := {x ∈ X | f (x) a} Định nghĩa 1.1.1 Hàm f gọi nửa liên tục x0 ∈ X lim inf f (x) x→x0 f (x0 ) Hàm f gọi nửa liên tục X f nửa liên tục điểm thuộc X Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.1.2 Hàm f nửa liên tục x0 ∀ε > tồn lân cận U x0 cho ∀x ∈ U ta có f (x) f (x0 ) − ε Sau ví dụ minh họa cho tính nửa liên tục hàm số Ví dụ 1.1.3 Cho hàm số f : R → R xác định   x2 , x = f (x) =  −1, x = Khi f hàm nửa liên tục R Ta có số tính chất hàm nửa liên tục sau: Mệnh đề 1.1.4 Cho X không gian tôpô hàm f : X → R ∪ { + ∞} Khi điều kiện sau tương đương: (i) f hàm nửa liên tục X (ii) Trên đồ thị f tập đóng X × R (iii) ∀a ∈ R tập mức La f tập đóng X Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử f hàm nửa liên tục X Ta lấy dãy {(xn , an )} ⊂ epi f cho lim (xn , an ) = (x0 , a0 ) Do lim xn = x0, lim an = n→∞ n→∞ a0 f hàm nửa liên tục x0 nên lim inf f (xn ) n→∞ { (xn , an )} ⊂ epi f nên f (xn ) f (x0 ) lim inf f (xn ) n→∞ n→∞ f (x0 ) Ta lại có an (∀n ∈ N), lim inf(xn ) lim an Vậy n→∞ n→∞ lim an = a0 n→∞ Tức là, (x0 , a0 ) ∈ epi f , hay epi f tập đóng X × R (ii) ⇒(iii) Giả sử epi f tập đóng X × R Với a ∈ R tùy ý, ta chứng minh La f tập đóng X Thật vậy; lấy dãy { xn } ⊂ La f cho lim xn = x0 n→∞ Ta có f (xn ) a, ∀n { xn } ⊂ La f nên (xn , a) ∈ epi f Do lim xn = x0 nên n→∞ lim (xn , a) = (x0 , a) Ta lại có epi f tập đóng kéo theo (x0 , a) ∈ epi f Vậy n→∞ f (x0 ) a Suy x0 ∈ La f , hay La f tập đóng Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii)⇒ (i) Giả sử La f tập đóng X, ∀a ∈ R f không hàm nửa liên tục x0 ∈ X Khi đó, có dãy { xn } ⊂ X cho lim xn = x0 n→∞ mà lim inf f (xn ) < f (x0 ) Ta chọn ε > đủ nhỏ cho tồn k ∈ N để n→∞ f (xn ) f (x0 ) − ε(∀n > k) Xét tập mức L = {x ∈ X | f (x) f (x0 ) − ε } Dễ thấy xn ∈ L, ∀n > k Do L tập đóng theo giả thiết nên x0 ∈ L Tức là, f (x0 ) f (x0 ) − ε(vô lý) Vậy f hàm nửa liên tục X Mệnh đề 1.1.5 [1] Cho hàm f : X → R ∪ { + ∞} hàm nửa liên tục tập compact X Khi f đạt cực tiểu X Chứng minh Đặt α = inf{ f (x) |x ∈ X} Khi có dãy { xn } ⊂ X cho lim f (xn ) = α Do X compact, không tính tổng quát ta giả sử { xn } n→∞ hội tụ tới x0 ∈ X Vì f nửa liên tục nên α = lim inf f (xn ) f (x0 ) Ta có xn →x0 f (x0 ) ∈ R nên α > −∞, x0 ∈ X nên f (x0 ) α Vậy f (x0 ) = α = inf f (x), x∈X hay f (x) đạt cực tiểu X Nếu tập X đóng mà không compact nói chung hàm f nửa liên tục Xcó thể không đạt cực tiểu X Tuy nhiên, trường hợp hữu hạn chiều ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.6 [1] Nếu f : X → R ∪ { + ∞} hàm nửa liên tục tập đóng X không gian hữu hạn chiều mà X f đạt cực tiểu trên tập Nhắc lại hàm f gọi tập X f (x) → +∞ x ∈ X, x → +∞ Chứng minh Lấy a ∈ X Ta có tập mức D = { x ∈ X | f (x) f (a)} đóng theo Mệnh đề 1.1.4 Giả sử D không bị chặn có dãy {xn } ⊂ X, với f (xn ) f (a) xn → +∞ Do f X nên f (xn ) → +∞, mâu thuẫn với f (xn ) f (a) Vậy D compact (vì tập đóng, giới nội không gian hữu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hạn chiều tập compact) Theo Mệnh đề 1.1.5, f có cực tiểu D, cực tiểu cực tiểu X Khi X không compact, f không thỏa mãn điều kiện hàm f không đạt cực tiểu Ta có ví dụ sau: Ví dụ 1.1.7 Xét hàm f : X = R\{ 0} → R với f (x) = 1x Ta có X không compact f không đạt cực tiểu X Ví dụ 1.1.8 Xét hàm số f : R → R với f (x) = ex Ta có f không thỏa mãn điều kiện R f không đạt cực tiểu R 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển Khi X không gian mêtric đầy đủ, ta làm nhiễu hàm f để có hàm đạt giá trị cực tiểu X Điều thể qua định lý sau: Định lý 1.2.1 [10] (Nguyên lý biến phân Eleland cổ điển) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ f : X → R ∪ { + ∞} hàm số nửa liên tục dưới, bị chặn X Cho ε > xε ∈ X thỏa mãn f (xε ) inf f (x) + ε x∈X Khi đó, với số thực λ > cho trước, tồn x∗ ∈ X cho (i) f (x∗ ) f (xε ); (ii) d(x∗ , xε ) λ; (iii) f (x∗ ) < f (x) + λε d(x, x∗ ), ∀x = x∗ Chú ý 1.2.2 Điểm xε định lý gọi ε− xấp xỉ cực tiểu hàm f (x) X Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Để chứng minh định lý 1.2.1 ta xét quan hệ thứ tự " " không gian tích X × R sau: Cho α > 0, (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) ⇔ y2 − y1 + αd(x1 , x2 ) (1.2.1) Hiển nhiên quan hệ " " có tính phản xạ Giả sử ta có (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) (x2 , y2 ) (x1 , y1 ) Theo định nghĩa quan hệ " " ta có y1 − y2 d(x2 , x1 ) α d(x1 , y1 ) Do đó, 2d(x1 , x2 ) y2 − y1 α (1.2.2) Suy x1 = x2 Từ (1.2.2) ta có y1 y2 y2 y1 Vậy (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ), hay quan hệ " " có tính phản đối xứng Tiếp theo, ta chứng minh quan hệ " " có tính chất bắc cầu Giả sử (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) (x2 , y2 ) d(x1 , y1 ) Vậy d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) có: d(x1 , x3 ) y1 −y3 α (x3 , y3 ) Từ (1.2.1) ta có y1 − y2 d(x2 , x3 ) α y1 −y3 α Do d(x1 , x3 ) Suy (x1 , y1 ) y2 − y3 α d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ), nên ta (x3 , y3 ) , tức quan hệ " " có tính chất bắc cầu Ta xét bổ đề sau dùng chứng minh định lý 1.2.1 : Bổ đề 1.2.3 Cho S tập đóng X × R cho ∃m ∈ R : (x, y) ∈ S ⇒ y m Khi đó, với (x1 , y1 ) ∈ S, tồn phần tử (x, y) ∈ S cho (x1 , y1 ) (x, y) (x, y) phần tử cực đại S theo quan hệ thứ tự " " , tức là, (x, y) ∈ S (x, y) (x, y) (x, y) = (x, y) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... phân Ekeland cổ điển Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÉCTƠ 12 2.1 Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị 12 2.2 Nguyên. .. 12 2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đa trị 17 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÉCTƠ DỰA TRÊN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM CỰC TIỂU CỦA MỘT TẬP TRONG KHÔNG GIAN... Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Nguyên lý biến phân