Một vài mở rộng véctơ của nguyên lý biến phân ekeland

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN HÀ CHI MỘT VÀI MỞ RỘNG VÉCTƠ CỦA NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TỐN HỌC Chun ngành : Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÉCTƠ 12 2.1 Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị 12 2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đa trị 17 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÉCTƠ DỰA TRÊN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM CỰC TIỂU CỦA MỘT TẬP TRONG KHƠNG GIAN TÍCH 25 3.1 Quan hệ thứ tự khơng gian tích 25 3.2 Sự tồn điểm cực tiểu tập khơng gian tích 27 3.3 Mở rộng Định lý 2.2.8 37 3.4 Ứng dụng: Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 i Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Chúng ta biết hàm f nửa liên tục tập đóng X đạt cực tiểu X compact, điều khơng cịn bỏ giả thiết compact Năm 1974, Ekeland đưa nguyên lý (được gọi nguyên lý biến phân Ekeland) Nguyên lý phát biểu cho trước hàm nửa liên tục bị chặn f không gian mêtríc đầy đủ, ta tìm hàm nhiễu f cho hàm nhiễu có cực tiểu toàn cục Ngoài ra, f hàm khả vi đạo hàm f làm nhỏ tùy ý Trong 30 năm qua, nguyên lý biến phân Ekeland mở rộng theo nhiều hướng: ánh xạ đơn trị đa trị nhận giá trị không gian lồi địa phương, không gian véctơ, ánh xạ nhiễu hàm trơn, Nguyên lý trở thành công cụ mạnh sử dụng nhiều giải tích khơng trơn, giải tích phi tuyến, tối ưu, Trong luận văn này, chúng tơi giới thiệu lại cách có hệ thống vài dạng véctơ nguyên lý biến phân Ekeland trình bày báo [3], [10], [12] tác giả Y.Araya, Chr.Tammer, C.Zălinescu T.X.Đ.Ha Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: • Chương 1: Gồm số kết giải tích cổ điển điều kiện để hàm nửa liên tục đạt giá trị cực tiểu; nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trình bày báo [6] cách chứng minh ngắn gọn nguyên lý biến phân Ekeland cho trường hợp không gian hữu hạn chiều có sử dụng điều kiện theo [1] • Chương 2: Một vài mở rộng nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đơn trị đa trị nhận giá trị không gian véctơ từ báo Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [3], [10] • Chương 3: Định lý tồn điểm cực tiểu tập không gian tích vài mở rộng nguyên lý biến phân Ekeland giới thiệu báo [12] Qua cách tiếp cận này, ta có kết trình bày chương Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn PGS.TS Trương Xuân Đức Hà, người tận tình bảo, hướng dẫn tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm I - Hà Nội, Viện Tốn học Hà Nội tận tình giảng dạy giúp đỡ tác giả hồn thành khóa học Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trung tâm Giáo dục thường xuyên Đào tạo cán tỉnh Quảng Ninh, gia đình bạn bè giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN Trong chương này, chúng tơi trình bày lại nguyên lý biến phân I.Ekeland đề xuất năm 1974 báo [6] 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trước hết ta nhắc lại số kiến thức cổ điển hàm nửa liên tục số tính chất Cho X không gian tôpô hàm số f : X → R ∪ { + ∞} Kí hiệu miền hữu hiệu đồ thị hàm f sau: dom f := {x ∈ X | f (x) < +∞} epi f := {(x, a) ∈ X × R | f (x) a} Với a ∈ R, kí hiệu tập mức f tập La f := {x ∈ X | f (x) a} Định nghĩa 1.1.1 Hàm f gọi nửa liên tục x0 ∈ X lim inf f (x) x→x0 f (x0 ) Hàm f gọi nửa liên tục X f nửa liên tục điểm thuộc X Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.1.2 Hàm f nửa liên tục x0 ∀ε > tồn lân cận U x0 cho ∀x ∈ U ta có f (x) f (x0 ) − ε Sau ví dụ minh họa cho tính nửa liên tục hàm số Ví dụ 1.1.3 Cho hàm số f : R → R xác định   x2 , x = f (x) =  −1, x = Khi f hàm nửa liên tục R Ta có số tính chất hàm nửa liên tục sau: Mệnh đề 1.1.4 Cho X không gian tôpô hàm f : X → R ∪ { + ∞} Khi điều kiện sau tương đương: (i) f hàm nửa liên tục X (ii) Trên đồ thị f tập đóng X × R (iii) ∀a ∈ R tập mức La f tập đóng X Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử f hàm nửa liên tục X Ta lấy dãy {(xn , an )} ⊂ epi f cho lim (xn , an ) = (x0 , a0 ) Do lim xn = x0, lim an = n→∞ n→∞ a0 f hàm nửa liên tục x0 nên lim inf f (xn ) n→∞ { (xn , an )} ⊂ epi f nên f (xn ) f (x0 ) lim inf f (xn ) n→∞ n→∞ f (x0 ) Ta lại có an (∀n ∈ N), lim inf(xn ) lim an Vậy n→∞ n→∞ lim an = a0 n→∞ Tức là, (x0 , a0 ) ∈ epi f , hay epi f tập đóng X × R (ii) ⇒(iii) Giả sử epi f tập đóng X × R Với a ∈ R tùy ý, ta chứng minh La f tập đóng X Thật vậy; lấy dãy { xn } ⊂ La f cho lim xn = x0 n→∞ Ta có f (xn ) a, ∀n { xn } ⊂ La f nên (xn , a) ∈ epi f Do lim xn = x0 nên n→∞ lim (xn , a) = (x0 , a) Ta lại có epi f tập đóng kéo theo (x0 , a) ∈ epi f Vậy n→∞ f (x0 ) a Suy x0 ∈ La f , hay La f tập đóng Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii)⇒ (i) Giả sử La f tập đóng X, ∀a ∈ R f không hàm nửa liên tục x0 ∈ X Khi đó, có dãy { xn } ⊂ X cho lim xn = x0 n→∞ mà lim inf f (xn ) < f (x0 ) Ta chọn ε > đủ nhỏ cho tồn k ∈ N để n→∞ f (xn ) f (x0 ) − ε(∀n > k) Xét tập mức L = {x ∈ X | f (x) f (x0 ) − ε } Dễ thấy xn ∈ L, ∀n > k Do L tập đóng theo giả thiết nên x0 ∈ L Tức là, f (x0 ) f (x0 ) − ε(vô lý) Vậy f hàm nửa liên tục X Mệnh đề 1.1.5 [1] Cho hàm f : X → R ∪ { + ∞} hàm nửa liên tục tập compact X Khi f đạt cực tiểu X Chứng minh Đặt α = inf{ f (x) |x ∈ X} Khi có dãy { xn } ⊂ X cho lim f (xn ) = α Do X compact, khơng tính tổng quát ta giả sử { xn } n→∞ hội tụ tới x0 ∈ X Vì f nửa liên tục nên α = lim inf f (xn ) f (x0 ) Ta có xn →x0 f (x0 ) ∈ R nên α > −∞, x0 ∈ X nên f (x0 ) α Vậy f (x0 ) = α = inf f (x), x∈X hay f (x) đạt cực tiểu X Nếu tập X đóng mà khơng compact nói chung hàm f nửa liên tục Xcó thể khơng đạt cực tiểu X Tuy nhiên, trường hợp hữu hạn chiều ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.6 [1] Nếu f : X → R ∪ { + ∞} hàm nửa liên tục tập đóng X khơng gian hữu hạn chiều mà X f đạt cực tiểu trên tập Nhắc lại hàm f gọi tập X f (x) → +∞ x ∈ X, x → +∞ Chứng minh Lấy a ∈ X Ta có tập mức D = { x ∈ X | f (x) f (a)} đóng theo Mệnh đề 1.1.4 Giả sử D khơng bị chặn có dãy {xn } ⊂ X, với f (xn ) f (a) xn → +∞ Do f X nên f (xn ) → +∞, mâu thuẫn với f (xn ) f (a) Vậy D compact (vì tập đóng, giới nội khơng gian hữu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hạn chiều tập compact) Theo Mệnh đề 1.1.5, f có cực tiểu D, cực tiểu cực tiểu X Khi X không compact, f khơng thỏa mãn điều kiện hàm f khơng đạt cực tiểu Ta có ví dụ sau: Ví dụ 1.1.7 Xét hàm f : X = R\{ 0} → R với f (x) = 1x Ta có X khơng compact f khơng đạt cực tiểu X Ví dụ 1.1.8 Xét hàm số f : R → R với f (x) = ex Ta có f khơng thỏa mãn điều kiện R f không đạt cực tiểu R 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển Khi X khơng gian mêtric đầy đủ, ta làm nhiễu hàm f để có hàm đạt giá trị cực tiểu X Điều thể qua định lý sau: Định lý 1.2.1 [10] (Nguyên lý biến phân Eleland cổ điển) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ f : X → R ∪ { + ∞} hàm số nửa liên tục dưới, bị chặn X Cho ε > xε ∈ X thỏa mãn f (xε ) inf f (x) + ε x∈X Khi đó, với số thực λ > cho trước, tồn x∗ ∈ X cho (i) f (x∗ ) f (xε ); (ii) d(x∗ , xε ) λ; (iii) f (x∗ ) < f (x) + λε d(x, x∗ ), ∀x = x∗ Chú ý 1.2.2 Điểm xε định lý gọi ε− xấp xỉ cực tiểu hàm f (x) X Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Để chứng minh định lý 1.2.1 ta xét quan hệ thứ tự " " khơng gian tích X × R sau: Cho α > 0, (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) ⇔ y2 − y1 + αd(x1 , x2 ) (1.2.1) Hiển nhiên quan hệ " " có tính phản xạ Giả sử ta có (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) (x2 , y2 ) (x1 , y1 ) Theo định nghĩa quan hệ " " ta có y1 − y2 d(x2 , x1 ) α d(x1 , y1 ) Do đó, 2d(x1 , x2 ) y2 − y1 α (1.2.2) Suy x1 = x2 Từ (1.2.2) ta có y1 y2 y2 y1 Vậy (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ), hay quan hệ " " có tính phản đối xứng Tiếp theo, ta chứng minh quan hệ " " có tính chất bắc cầu Giả sử (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) (x2 , y2 ) d(x1 , y1 ) Vậy d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) có: d(x1 , x3 ) y1 −y3 α (x3 , y3 ) Từ (1.2.1) ta có y1 − y2 d(x2 , x3 ) α y1 −y3 α Do d(x1 , x3 ) Suy (x1 , y1 ) y2 − y3 α d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ), nên ta (x3 , y3 ) , tức quan hệ " " có tính chất bắc cầu Ta xét bổ đề sau dùng chứng minh định lý 1.2.1 : Bổ đề 1.2.3 Cho S tập đóng X × R cho ∃m ∈ R : (x, y) ∈ S ⇒ y m Khi đó, với (x1 , y1 ) ∈ S, tồn phần tử (x, y) ∈ S cho (x1 , y1 ) (x, y) (x, y) phần tử cực đại S theo quan hệ thứ tự " " , tức là, (x, y) ∈ S (x, y) (x, y) (x, y) = (x, y) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Các điều kiện (H1) (H2) có liên quan đến thể qua ý sau: Chú ý 3.2.5 Ta có (H2) A đóng PrY (A) ⊂ y0 + K dãy giảm theo quan hệ K K hội tụ Vì thay cho điều kiện A đóng ta giả sử ∀{(xn , yn )}n ⊂ A : [xn → x, yn → y, { yn } giảm theo quan hệ K ⇒ (x, y) ∈ A] Chú ý 3.2.6 Ta có (H1) A thỏa mãn (H2) ∀u ∈ X, ∀X ⊃ (xn ) → x ∈ X : (F(xn , u) + K) ⊂ F(x, u) + K n∈N Thật vậy, lấy {(xn , yn )} ⊂ A dãy giảm theo quan hệ nhiên ta có {yn } dãy giảm theo y K yn F với xn → x Hiển K Theo (H2), tồn y ∈ Y cho (x, y) ∈ A với n ∈ N Do yn ∈ yn+p + F(xn+p , xn ) + K ⊂ y + F(xn+p , xn ) + K, ∀n, p ∈ N Cố định n yn − y ∈ F(xn+p , xn ) + K, ∀p ∈ N Theo giả thiết, yn − y ∈ F(x, xn ) + K lim xn+p = x Do (x, y) p→∞ F (xn , yn ) Chú ý 3.2.7 Trong trường hợp F = FH , (H1) thỏa mãn A thỏa mãn (H2) A + K đóng Thật vậy, giả sử {(xn , yn )} ⊂ A dãy giảm theo quan hệ nhiên ta có { yn } dãy giảm theo quan hệ cho (x, y) ∈ A y K yn K F với xn → x Hiển Theo (H2), tồn y ∈ Y với n ∈ N Cố định n; xn = x dễ thấy (x, y) = (xn , y) H (xn , yn ) Nếu xn = x d(xn+p , xn ) → d(x, xn ) p → ∞, ta có d(xn+p , xn ) > với p đủ lớn Do yn ∈ yn+p + d(xn+p , xn )H ⊂ y + d(xn+p , xn )H + K = y + d(xn+p , xn )(H + K) 31 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với p đủ lớn Do H + K đóng nên ta có yn ∈ y + d(xn , x)(H + K) = y + d(xn , x)H + K, nghĩa là, (x, y) H (xn , yn ) Từ (H2) ta suy (H1) nhờ vào định nghĩa tập cs−đầy đủ Định nghĩa 3.2.8 ([14]) Ta gọi tập C ⊂ Y cs−đầy đủ với dãy {λn }n n ⊂ [0,∞) dãy {yn } ⊂ C cho ∑ λn = dãy ∑ λm ym n m=1 n dãy Cauchy chuỗi ∑ λn yn hội tụ có tổng thuộc C n Mệnh đề 3.2.9 ([12]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, Y không gian véctơ thực K ⊂ Y nón lồi Hơn nữa, giả sử H ⊂ K tập khác rỗng bị chặn cs−đầy đủ với ∈ / cl(H + K) Khi A thỏa mãn (H2) A thỏa mãn (H1) Chứng minh Lấy {(xn , yn )}n ⊂ A dãy giảm theo quan hệ ta có { yn } dãy giảm theo quan hệ (x, y) ∈ A y K yn Do {(xn , yn )}n K H với xn → x Theo (H2), tồn y ∈ Y cho với n ∈ N dãy giảm theo quan hệ H, ta có yn = yn+1 + d(xn , xn+1 )hn + kn với hn ∈ H, kn ∈ K, n Nếu xn = xn với n n ta lấy x := xn ; (x, y) (3.2.1) H (xn , yn ) với n ∈ N Thật vậy, với n n ta có (xn , yn ) (x, y) (x, y) H (xn , yn ); y K yn , theo (3.1.4) ta có H (x, yn ) = (xn , yn ), H (xn , yn ) Nếu n > n, lại sử dụng (3.1.4) ta có (x, y) = (xn , y) Giả sử {xn } số với n lớn Cố định n Từ (3.2.1), 32 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên H (xn , yn ) http://www.lrc-tnu.edu.vn với p 0, ta có n+p n+p yn = yn+p+1 + ∑ d(xl , xl+1)hl + ∑ kl l=n l=n n+p = yn+p+1 + n+p ∑ d(xl , xl+1) hn,p + (3.2.2) l=n l=n n+p = y + kn,p + ∑ kl ∑ d(xl , xl+1) hn,p l=n với hn,p ∈ H, kn,p ∈ K Giả sử ∑ d(xl , xl+1 ) = ∞, từ l n −1 n+p ∑ d(xl , xl+1) −1 n+p (yn − y) = hn,p + l=n kn,p ∈ H + K ∑ d(xl , xl+1) l=n ta có ∈ cl(H + K) với p → ∞ Điều mâu thuẫn với giả thiết Do < µ := ∑ d(xl , xl+1 ) < ∞ Đặt λl := µ −1 d(xl , xl+1 ) với l n Do H cs−đầy l n đủ conv{hl |l n} (⊂ H) bị chặn nên chuỗi ∑ λl hl hội tụ có tổng l n hn ∈ H Vậy ∑ d(xl , xl+1 )hl = µhn l n kn := lim k p = yn − y − µhn ∈ K p→∞ n+p−1 K đóng Từ d(xn , xn+p ) ∑ d(xl , xl+1 ) ta có d(xn , x) µ, l=n yn = y + d(xn , x)hn + kn + (µ − d(xn , x))hn ∈ y + d(xn , x)H + K Vậy (x, y) H (xn , yn ) với n ∈ N Từ bổ đề ta có định lý tồn điểm cực tiểu khơng gian tích sau Định lý 3.2.10 ([12]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, Y không gian véctơ thực K ⊂ Y nón lồi đóng thật H ⊂ K tập khác rỗng bị chặn cs−đầy đủ với ∈ / cl(H + K) Giả sử A ⊂ X × Y 33 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thỏa mãn (H2) PrY (A) K− bị chặn Khi với (x0 , y0 ) ∈ A tồn (x, y) ∈ A cho (x, y) H (x0 , y0 ) (x, y) ∈ A, (x, y) H (x, y) kéo theo x = x Chứng minh Theo Mệnh đề 3.2.9, ta có A thỏa mãn điều kiện (H1) Hơn nữa, PrY (A) K− bị chặn nên tồn tập bị chặn B ⊂ Y cho PrY (A) ⊂ B+K Chú ý với (x, y) ∈ A tập PrX (A(x, y)) bị chặn, A(x, y) := { (x , y ) ∈ A (x , y ) H (x, y)} Nếu PrX (A(x, y)) khơng bị chặn, tồn dãy {(xn , yn )}n ⊂ A(x, y) với d(xn , x) → ∞ Do y = yn + d(xn , x)hn + kn = bn + d(xn , x)hn + kn với hn ∈ H, bn ∈ B, kn , kn ∈ K Suy d(xn , x)−1 (y − bn ) ∈ H + K Vậy ∈ cl(H + K) Điều mâu thuẫn với giả thiết Ta xây dựng dãy {(xn , yn )}n ⊂ A sau: Giả sử có (xn , yn ) ∈ A với n ∈ N, Dn := PrX (A(xn , yn )) bị chặn nên tồn (xn+1 , yn+1 ) ∈ A(xn , yn ) cho sup{d(x, xn ) |x ∈ Dn } d(xn+1 , xn ) Theo cách xây dựng ta có dãy {(xn , yn )}n hệ H 1 diamDn ⊂ A dãy giảm theo quan Do A(xn+1 , yn+1 ) ⊂ A(xn , yn ) nên ta có Dn+1 ⊂ Dn , ∀n ∈ N Dễ thấy xn ∈ Dn Ta có diamDn → Vì diamDn khơng dần tới tồn δ > δ , ∀n ∈ N Theo chứng minh Mệnh cho DiamDn > 4δ d(xn+1 , xn ) đề (3.2.9), với p ∈ N ta có p y0 = y p+1 + p ∑ d(xl , xl+1) h p + ∑ kl l=0 l=0 p = bp + ∑ d(xl , xl+1) h p + k p = b p + (p + 1)δ h p + k p l=0 34 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn , h p ∈ H, b p ∈ B, kl , k p , k p ∈ K Do [(p + 1)δ ]−1 (y0 − b p ) ∈ H + K, ∀p ∈ N Vì (b p ) bị chặn nên ∈ cl(H + K) Điều trái với giả thiết Vậy ta có dãy (clDn ) dãy giảm tập đóng khác rỗng khơng gian mêtric đầy đủ (X, d) có bán kính dần tới Theo Nguyên lý Cantor, ta có clDn = { x} ,x ∈ X n∈N Dễ thấy xn → x Do {(xn , yn )}n (H1) ta có y ∈ Y cho (x, y) Thật vậy, (x, y) H (x0 , y0 ) ⊂ A dãy giảm theo quan hệ H (xn , yn ), ∀n H nên theo ∈ N; (x, y) phần tử cần tìm Lấy (x , y ) ∈ A(x, y) , ta có (x , y ) ∈ A(xn , yn ), x ∈ Dn ⊂ clDn , ∀n Vậy x = x Nếu Y không gian lồi địa phương tách, định lý 3.2.10 suy trực tiếp từ hệ 3.2.4 Dễ thấy, tập A ⊂ X ×Y xem đồ thị ánh xạ đa trị Γ : X ⇒ Y ; PrX (A) = domΓ PrY (A) = Im Γ Ánh xạ Γ gọi đóng theo tập mức L(b) := {x ∈ X |∃y ∈ Γ(x) : y K b} = {x ∈ X |b ∈ Γ(x) + K} = {x ∈ X |Γ(x) ∩ (b − K) = 0} đóng với b ∈ Y Với tập khác rỗng E ⊂ Y ta đặt BMMinE := { y ∈ E |E ∩ (y − K) = { y} } Chú ý tập khác tập MinE := { y ∈ E |E ∩ (y − K) ⊂ y + K} Nhưng hai tập trùng K nhọn, nghĩa là, K ∩ (−K) = { 0} Giống [[5], mệnh đề 3.2], ta nói ánh xạ Γ : X ⇒ Y thỏa mãn điều kiện giới hạn đơn điệu x ∈ domΓ với dãy ((xn , yn ))n ⊂ gphΓ với xn → x 35 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (yn ) dãy giảm theo K, tồn y ∈ BMMinΓ(x) cho y K yn , ∀n Theo [5], Γ thỏa mãn điều kiện giới hạn đơn điệu x ∈ domΓ Γ(x) ⊂ BMMinΓ(x) + K, nghĩa là, Γ(x) thỏa mãn tính chất domination Khi X Y khơng gian Banach H có phần tử kết sau suy từ [[5], định lý 3.5] Hệ 3.2.11 ([12]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, Y không gian véctơ thực K ⊂ Y nón lồi đóng thật H ⊂ K tập khác rỗng bị chặn cs−đầy đủ với ∈ / cl(H + K) Giả sử ánh xạ Γ : X ⇒ Y đóng theo tập mức, thỏa mãn điều kiện giới hạn đơn điệu domΓ Im Γ K− bị chặn Khi với (x0 , y0 ) ∈ gphΓ tồn x ∈ domΓ y ∈ BMMinΓ(x) cho (x, y) H (x0 , y0 ) (x, y) ∈ gphΓ, (x, y) H (x, y) kéo theo x = x Chứng minh Ta áp dụng định lý 3.2.10 với A := gphΓ Trước hết ta chứng minh A thỏa mãn điều kiện (H2) Thật vậy, xét dãy {(xn , yn )} ⊂ A cho { yn } dãy giảm theo quan hệ K xn → x Dễ thấy xn ∈ L(y1 ), ∀n; Γ đóng theo tập mức nên ta có x ∈ L(y1 ) ⊂ domΓ Do Γ thỏa mãn điều kiện giới hạn đơn điệu x nên ta tìm y ∈ BMMin ∈ Γ(x) ⊂ Γ(x) cho y K yn , ∀n Do (H2) Vậy theo định lý 3.2.10, tồn (x, y) ∈ A cho (x, y) gphΓ, (x , y ) y K y H (x, y) kéo theo x Theo (3.1.4) ta có (x, y) với (x , y ) H (x, y) H (x0 , y0 ) (x ,y ) ∈ = x Đặt x := x lấy y ∈ BMMinΓ(x) cho H (x0 , y0 ) Từ (x, y) = (x, y) Bây ta lấy (x , y ) ∈ gphΓ = A H (x, y) ta có (x , y ) H (x, y), x = x = x Ta có điều phải chứng minh Trong trường hợp H có phần tử hệ sau suy từ [[4], định lý 1] với giả thiết MinΓ(x) compact với x ∈ X 36 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 3.2.12 ([12]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, Y không gian véctơ thực K ⊂ Y nón lồi đóng thật H ⊂ K tập khác rỗng bị chặn cs−đầy đủ với ∈ / cl(H + K) Giả sử ánh xạ Γ : X ⇒ Y đóng theo tập mức, MinΓ(x) compact Γ(x) ⊂ K + MinΓ(x) với x ∈ domΓ, Im Γ K− bị chặn Khi với (x0 , y0 ) ∈ gphΓ tồn x ∈ domΓ y ∈ MinΓ(x) cho (x, y) H (x0 , y0 ) (x, y) ∈ gphΓ, (x, y) H (x, y) kéo theo x = x Chứng minh Ta áp dụng Định lý 3.2.10 với A := gphΓ Trước hết ta chứng minh A thỏa mãn điều kiện (H2) Thật vậy, ta xét dãy {(xn , yn )}n ⊂ A cho {yn } dãy giảm theo quan hệ K xn → x Theo chứng minh Hệ 3.2.11, x ∈ L(yn ), ∀n ∈ N Do Γ(x) ⊂ K + MinΓ(x) nên với n ∈ N tồn yn ∈ MinΓ(x) cho yn yn Do MinΓ(x) compact nên { yn } có dãy { yψ(i) } i∈I hội tụ tới y ∈ MinΓ(x) ; ψ : (I, ) → N thỏa mãn điều kiện: với n tồn in ∈ I cho ψ(i) Do yψ(i) yψ(i) yn với i in , y n với i in yn K đóng Suy (H2) Vậy theo Định lý 3.2.10, với (x0 , y0 ) ∈ gphΓ , tồn (x, y) ∈ A cho (x, y) H (x0 , y0 ) (x , y ) ∈ gphΓ, (x , y ) lấy y ∈ MinΓ(x) cho y K y H (x, y) kéo theo x = x Đặt x := x Theo chứng minh Hệ 3.2.11 ta có (x, y) phần tử cần tìm 3.3 Mở rộng Định lý 2.2.8 Theo cách tiếp cận mới, từ định lý tồn điểm cực tiểu tập khơng gian tích, Chr.Tammer C.Zălinescu mở rộng Định lý 2.2.8 sau: Định lý 3.3.1 [12] Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, Y không gian véctơ tôpô thực K ⊂ Y nón lồi thật Cho F : X × X ⇒ Y 37 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thỏa mãn điều kiện (F1) − (F3) ánh xạ Γ : X ⇒ Y cho z∗ (trong (F3)) bị chặn Γ(X) Nếu {x ∈ X |Γ(u) ⊂ Γ(x) + F(x, u) + K } đóng ∀u ∈ X, với x0 ∈ domΓ tồn x ∈ X cho Γ(x0 ) ⊂ Γ(x) + F(x, x0 ) + K Γ(x) ⊂ Γ(x) + F(x, x) + K kéo theo x = x Chứng minh Ta xét quan hệ x X xác định x Γ(x) ⊂ Γ(x ) + F(x , x) + K Theo giả thiết, ta có S(x) = x ∈ X x x đóng với x ∈ X Chú ý rằng, với x ∈ X\domΓ ta có S(x) = X , cịn với x ∈ domΓ ta có S(x) ⊂ domΓ Hiển nhiên Lấy x có tính phản xạ x x x Khi đó, ta có Γ(x) ⊂ Γ(x ) + F(x , x) + K Γ(x ) ⊂ Γ(x ) + F(x , x ) + K Sử dụng (F2) ta có Γ(x) ⊂ Γ(x ) + F(x , x ) + K + F(x , x) + K ⊂ Γ(x ) + F(x , x) + K, nghĩa là, x x Vậy có tính bắc cầu Xét ϕ : X → R, ϕ(x) = inf z∗ (Γ(x)), với quy ước inf0/ = +∞ Dễ thấy ϕ(x) x m = inf z∗ (Γ(X)) > −∞ Hơn nữa, x ∈ domΓ z∗ (Γ(x)) ⊂ z∗ (Γ(x )) + z∗ (F(x , x)) + z∗ (K); đó, ϕ(x) ϕ(x ) + inf z∗ (F(x , x)) ϕ(x ) Cố định x0 ∈ domΓ Ta chứng minh tồn x ∈ X cho x ∈ S(x0 ) S(x) = { x} Do (X, d) không gian mêtric đầy đủ S(x) đóng với x ∈ X, ta giả sử domΓ = X (nếu không ta thay X S(x0 )) Ta 38 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phải chứng minh d(xn , xn+1 ) → (xn )n ⊂ X dãy giảm theo Giả sử d(xn , xn+1 ) không tiến tới Khi đó, tồn δ > dãy giảm (n p ) p ⊂ N∗ cho d(xn , xn+1 ) ϕ(xn ) δ , ∀p Theo chứng minh trên, ta có ϕ(xn+1 ) + inf z∗ (F(xn+1 , xn )), np đó, ϕ(xn+1 ) ϕ(xn p+1 ) + ∑ inf z∗ (F(xl+1 , xl )) m + p.η(δ ) với η(δ ) > l=n1 (F3) Cho p → ∞ ta có điều mâu thuẫn Vậy d(xn , xn+1 ) → Áp dụng [[11], Định lý 2.2] ta có điều phải chứng minh Nhận xét 3.3.2 Lấy Y không gian lồi địa phương tách, K ⊂ Y nón nhọn, lồi, đóng thật F(x, x ) = { d(x, x } k0 với k0 ∈ K\{ 0} , ta suy Định lý 2.2.8 Ở đây, ta giả sử Γ(X) K− bị chặn, Γ(X) + K đóng với x ∈ X Γ đóng theo tập mức Dễ thấy z∗ bị chặn Im Γ nên để áp dụng Định lý 3.3.1 ta phải có S(u) đóng với u ∈ X ; điều chứng minh Bổ đề 2.2.10 Nếu ta giả sử Γ(x0 ) ⊂ Γ(x) + k0 + K, ∀x ∈ X, x chứng minh định lý thỏa mãn d(x, x0 ) < Thật vậy, giả sử ngược lại, Γ(x0 ) ⊂ Γ(x) + d(x, x0 )k0 + K d(x, x0 )k0 + K ⊂ k0 + K, ta có điều mâu thuẫn Γ(x0 ) ⊂ Γ(x) + k0 + K Thay k0 εk0 d λ −1 d với ε, λ > ta phát biểu xác Định lý 2.2.8 Trong trường hợp Y khơng gian véctơ tơpơ ta có dạng sau Định lý 3.3.1 với điều kiện tương tự định lý 3.2.10 Định lý 3.3.3 Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, Y không gian véctơ thực K ⊂ Y nón lồi đóng thật Cho H ⊂ K tập khác rỗng bị chặn cs−đầy đủ với ∈ / cl(H + K) Γ : X ⇒ Y Nếu { x ∈ X |Γ(u) ⊂ Γ(x) + d(x, u)H + K} đóng với u ∈ X Γ(X) bị 39 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chặn với x0 ∈ domΓ tồn x ∈ X cho Γ(x0 ) ⊂ Γ(x) + d(x, x0 )H + K Γ(x) ⊂ Γ(x) + d(x, x)H + K kéo theo x = x Chứng minh Lấy B ⊂ Y tập bị chặn cho Γ(X) ⊂ B + K Xét F(x, x ) := d(x, x )H với x, x ∈ X Ta có F thỏa mãn điều kiện (F1) (F2), quan hệ xác định chứng minh Định lý 3.3.1 có tình phản xạ bắc cầu; nữa, theo giả thiết, S(x) := { x ∈ X x x} đóng với x ∈ X Như chứng minh Định lý 3.3.1 ta giả sử X = domΓ điều kiện đủ để có d(xn , xn+1 ) → dẫn đến (xn )n dãy giảm theo Trong trường hợp ngược lại tồn δ > (n p ) p δ , ∀p dãy tăng cho d(xn p , xn p+1 ) ⊂ X ⊂ N∗ ⊂ H Cố định y1 ∈ Γ(x1 ), quy nạp ta có dãy (yn )n (kn )n ⊂ K cho yn = yn+1 + d(xn , xn+1 )hn + kn , ∀n ⊂ Y, (hn )n Sử dụng tính lồi H, H ⊂ K, Γ(X) ⊂ B + K với p ∈ N ta có h p ∈ H, b p ∈ B k p , k p ∈ K cho np p y1 = yn p+1 + ∑ d(xl , xl+1 )hl + ∑ kl = b p +δ (hn1 + +hn p )+k p = b p + pδ h p +k p l=1 l=0 Suy (pδ )−1 (y0 − b p ) ∈ H + K, ∀p Do (bn ) bị chặn nên ta có điều mâu thuẫn với giả thiết ∈ cl(H + K) Ta có điều phải chứng minh 3.4 Ứng dụng: Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị Sử dụng định lý điểm cực tiểu khơng gian tích ta nhận nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị theo báo [12] Ta bổ sung vào Y phần tử ∞ không thuộc không gian Y để khơng gian Y • := Y ∪ { ∞} Ta xét y K ∞, ∀y ∈ Y Bây ta xét hàm f : X → Y • Miền xác định f dom f = { x ∈ X | f (x) = ∞} ; đồ thị f epi f = 40 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn { (x, y) ∈ X ×Y | f (x) K y}; đồ thị f gph f = { (x, f (x)) |x ∈ dom f } Ta nói f khơng tầm thường (proper) dom f = / Với y∗ ∈ K + ta đặt (y∗ ◦ f )(x) := +∞ với x ∈ X\dom f Định lý 3.4.1 Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, Y không gian véctơ thực K ⊂ Y nón lồi thật Cho F thỏa mãn điều kiện (F1) − (F3) f : X → Y • có giá trị hữu hạn ( proper) Giả sử z∗ ◦ f (với z∗ thỏa mãn (F3)) bị chặn điều kiện sau thỏa mãn (H3) Với dãy {xn } ⊂ dom f mà xn → x ∈ X f (xn ) ∈ f (xn+1 ) + F(xn+1 , xn ) + K với n ∈ N có f (xn ) ∈ f (x) + F(x, xn ) + K với n ∈ N Khi đó, với x0 ∈ dom f tồn x ∈ dom f cho f (x0 ) ∈ f (x)+F(x, x0 )+ K ∀x ∈ dom f : f (x) ∈ f (x) + F(x, x) + K ⇒ x = x Chứng minh Đặt A := gph f := { (x, f (x)) |x ∈ dom f } Lấy dãy {(xn , yn )} ⊂ A mà xn → x ∈ X Ta có, x ∈ dom f yn = f (xn ) Từ (H3), ta có yn = f (xn ) ∈ f (x) + F(x, xn ) + K, ∀n Đặt f (x) = y, ta có yn ∈ y + F(x, xn ) + K, ∀n Suy ra, (x, y) Vậy ∃y = f (x) ∈ Y cho (x, y) K (xn , yn ), ∀n K (xn , yn ), ∀n Hay (H1) thỏa mãn Áp dụng Định lý 3.2.8, với (x0 , y0 ) ∈ A tồn phần tử cực tiểu (x, y) A cho (x, y) Vì (x, y) F,z∗ (x0 , y0 ) F,z∗ (x0 , y0 ) Ta có x ∈ dom f nên (x, y) F (x0 , y0 ) Suy ra, y0 ∈ y + F(x, x0 ) + K hay f (x0 ) ∈ f (x) + F(x, x0 ) + K Giả sử f (x) ∈ f (x) + F(x, x) + K với x ∈ dom f , tức y ∈ y + F(x, x) + K, 41 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hay (x, y) F (x, y) Suy (x, y) F,z∗ (x, y) Mà (x, y) phần tử cực tiểu nên (x, y) = (x, y) Vậy với x ∈ dom f mà f (x) ∈ f (x)+F(x, x)+K x = x Nhận xét 3.4.2 Như với Định lý 3.2.8, định lý ta giả sử z∗ bị chặn tập B0 := { f (x) |x ∈ dom f , f (x0 ) ∈ f (x) + F(x, x0 ) + K} 42 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Nguyên lý biến phân Ekeland nhiều nhà toán học nghiên cứu mở rộng Trong luận văn này, chúng tơi trình bầy lại số mở rộng ngun lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đơn trị đa trị từ không gian mêtric X vào không gian véctơ Y tác giả Ch.Tammer, C.Zălinescu, Y.Araya, Trương Xuân Đức Hà nghiên cứu báo [3], [10], [12] qua chương • Chương trình bày Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển (1974) • Chương trình bày mở rộng Ngun lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đơn trị sử dụng vơ hướng hóa cho ánh xạ đa trị sử dụng quan hệ thứ tự phận không gian 2Y • Chương trình bày số mở rộng nguyên lý biến phân Ekeland véctơ thông qua định lý tồn điểm cực tiểu tập khơng gian tích X ×Y 43 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Hồng Tụy, Bài giảng lý thuyết tối ưu, Viện tốn học Việt Nam (2003) [2] Nguyễn Đông Yên , Giáo trình giải tích đa trị, Nhà xuất Khoa học tự nhiên công nghệ (2007) [3] Y Araya, Ekeland’s variational principle and its equivalent theorems in vector optimization, J Math Anal Appl 346 (2008), 9-16 [4] T Q Bao, B S Mordukhovich, Variational principles for set-valued mappings with applications to multiobjective optimization, Control Cybernet 36 (2007), 531-562 [5] T Q Bao, B S Mordukhovich, Relative Pareto minimizers for multiobjective problems: existence and optimality conditions, Math Program 122 (2010), no 2, Ser A, 301-347 [6] I Ekeland, On the variational principle, J Math Anal Appl 47 (1974), 324-353 [7] A Gopfert, ă H.Riahi, Chr Tammer, C Zlinescu, Variational Methods in Partially Ordered Spaces, CMS Books in Mathematics 17, Springer, New York, 2003 44 Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn [8] A Gopfert, ă Chr Tammer, C Zălinescu, On the vectorial Ekeland’s variational principle and minimal points in product spaces, Nonlinear Anal 39 (2000), 909-922 [9] C Gutiérrez, B Jiménez, V Novo, A set-valued Ekeland’s variational principle in vector opitimization, SIAM J Control Optim 47 (2008), 883903 [10] T X D Ha, Some variants of the Ekeland variational principle for a setvalued map, J.Optim Theory Appl 124 (2005), 187-206 [11] A H Hamel, Chr Tammer, Minimal elements for product orders, Optimization 57 (2008), 263-275 [12] Chr Tammer, C Zălinescu, Vector variational principle for set-valued functions, Martin - Luther Universitat, ă Halle - Wittenberg Institut fur ă Mathematik, Report No.17 (2009) [13] M Turinici, Maximal elements in a class of order complete metric spaces, Math Japonica 25 (1980), 511-517 [14] C Zălinescu, Convex Analysis in General Vector Spaces, World Scientific, Singapore, 2002 45 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... { 0} ta định lý 1.2.1 2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đa trị Đã có nhiều tác giả mở rộng nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị F với giá trị khơng gian véctơ Trong mục... tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÉCTƠ Trong chương này, chúng tơi trình bày vài mở rộng nguyên lý biến phân cho lớp ánh xạ đơn trị... phân Ekeland cổ điển Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÉCTƠ 12 2.1 Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị 12 2.2 Nguyên