Nguyên lí biến phân ekeland và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XN HỊA NGUN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XUÂN HOÀ NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS TRƢƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Trang Lời nói đầu Chƣơng Ngun lí biến phân Ekeland cổ điển 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland khơng gian hữu hạn chiều 1.3 Dạng hình học ngun lí biến phân Ekeland 11 1.3.1 Định lí Bishop-Phelps 11 1.3.2 Định lí cánh hoa (Định lí Flower-Pental) 12 1.3.3 Định lí giọt nước (Định lí Drop) 13 1.4 Một số ứng dụng nguyên lí 15 1.4.1 Nguyên lí biến phân Ekeland tính đầy đủ 16 1.4.2 Các định lí điểm bất động 17 1.4.3 Đạo hàm điểm xấp xỉ cực tiểu 22 Chƣơng Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 25 2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 28 2.3 Định lí điểm bất động Caristi véc tơ 30 2.4 Định lí Takahashi véc tơ 32 2.5 Một vài ví dụ minh hoạ 33 2.6 Sự tương đương định lí 34 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Trong giải tích, tốn tìm điểm cực trị hàm số có nhiều ứng dụng quan trọng Một kết cổ điển hàm f nửa liên tục tập compact X đạt cực tiểu tập Khi tập X khơng compact hàm f khơng có điểm cực trị Tuy vậy, với không gian mêtric đủ X , hàm f bị chặn ta có thơng tin điểm xấp xỉ cực tiểu Cụ thể hàm f bị chặn ta ln tìm điểm  - xấp xỉ cực tiểu x , tức inf X f  f ( x )  inf X f   Hơn nữa, vào năm 1974, I.Ekeland phát biểu ngun lí nói với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn khơng gian mêtric đủ X với điểm  - xấp xỉ cực tiểu x , ta ln tìm điểm x cực tiểu chặt hàm nhiễu hàm ban đầu, đồng thời f ( x)  f ( x ) Khơng thế, cịn đánh giá khoảng cách x x Từ đời, nguyên lí biến phân Ekeland trở thành cơng cụ mạnh giải tích đại Những ứng dụng nguyên lí bao trùm nhiều lĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích khơng trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế, Trong năm gần đây, nguyên lí mở rộng cho trường hợp hàm f ánh xạ đơn trị đa trị nhận giá trị khơng gian véc tơ Mục đích Luận văn tìm hiểu số kết liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển véc tơ) số ứng dụng nguyên lí này, giới thiệu báo [2,5] Luận văn gồm chương: Chương gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển [2], dạng hình học nguyên lí (định lí Bishop -Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), số ứng dụng nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Caristi-Kirk,đạo hàm Gateaux) Đây kết giới thiệu báo I.Ekeland [2] năm1974 báo tác giả khác [1,4] Trong chương chúng tơi trình bày cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí biến phân Ekeland không gian hữu hạn chiều (sử dụng điều kiện bức), cách chứng minh giới thiệu giảng lí thuyết tối ưu Giáo sư Hồng Tuỵ - Viện Tốn học Chương gồm ngun lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị véc tơ, định lí Caristi - Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, số ví dụ minh hoạ tương đương ba định lí Đây kết nhận được, đăng báo Y.Araya [5] năm 2008 Nhân dịp này, Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trƣơng Xuân Đức Hà - cán Viện Tốn học - Viện Khoa học Cơng nghệ quốc gia Luận văn khơng thể hồn thành khơng có bảo, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình Em xin chân thành cảm ơn thầy cô hội đồng phản biện, thầy khoa Tốn khoa Sau đại học - ĐHSP Thái Nguyên, giúp đỡ em hoàn thiện luận văn Xin cảm ơn Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Phú Bình ln tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Xin cảm ơn gia đình bạn Phạm Hùng Linh, Vũ Quang Huy, Nguyễn Hữu Toàn, Hoàng Hữu Quý, Phạm Hồng Nam, quan tâm, động viên, giúp đỡ trình hồn thành luận văn Thái Ngun, ngày 28 tháng 09 năm 2009 Học viên Nguyễn Xn Hồ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN Trong chương này, xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học ngun lí số ứng dụng nguyên lí 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, xét lớp hàm nửa liên tục số tính chất hàm Cho X khơng gian tôpô hàm f : X     Kí hiệu:   domf  x  X f  x    La f   x  X f ( x)  a tập mức f epif   x, a   X    f  x   a tập đồ thị f Định nghĩa 1.1 Cho X không gian tôpô Hàm f : X  u trùng với x T có điểm tới hạn  Chú ý 2.2 Cho Y   , C=    0,   , k  1   \{0} định lí 2.3 ta thu định lí 1.11 (định lí điểm bất động Caristi – Kirk cổ điển) 2.4 Định lí Takahashi véc tơ Định lí 2.4 [5] Cho  X , d  không gian mêtric đủ, Y không gian Banach C  Y nón nhọn, lồi, đóng, có phần khác rỗng, k  int C , cho ánh xạ f : X  Y Giả sử f thoả mãn điều kiện (H) y  Y cho f ( X )  ( y  int C )   Hơn nữa, giả thiết hàm f thoả mãn điều kiện (T1) sau: (T1): Với u  X với f ( X )  ( f (u )  C )  { f (u )} , tồn v  u cho f (v)  d (u, v)k C f (u) Khi x  X cho f ( x ) WMin( f ( X ); C ) Chứng minh Tương tự định lí 2.3, ta chọn x0  X    cho: f ( X )  ( f ( x0 )   k  int C )   Do định lí 2.2 tồn u  X cho f (v)  d (u, v)  C f (u) với v  X \{u} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu u  X thoả mãn f ( X )  ( f (u )  C )  { f (u )} , theo điều kiện (T1) nên v  X \{u} cho f (v)  d (u, v)k C f (u)  Chú ý 2.3 Cho Y   , C=     0,   , k  1   \{0} định lí 2.4 ta thu định lí 2.1 2.5 Một vài ví dụ minh hoạ Sau minh hoạ nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ định lí Takahashi véc tơ số ví dụ  Cho X   0,1 , Y  l , f ( x)   1  , , , ,  quan hệ thứ tự l x  n,   x 1 x  cho C  { y  l | yi  0, i   } Nón C  Y lồi, nhọn, đóng có phần khác rỗng Đặt k   , 1  , , n ,  , y   0, 0,  Ta thấy ánh xạ f thoả mãn  16  f ( X )  ( y  int C )   điều kiện (H) Ta lấy   1, x0  ánh xạ f thoả mãn f ( X )  ( f ( x0 )   k  int C)   Khi tồn x  thoả mãn (i) (iii) định lí 2.1 Với Tx  x2  ta có:   x2  x   x2  x   x2  x   x2  x   f ( x)  f (Tx)  d (Tx, x)k    ,  ,   C ( x  2)( x  4) 16  ( x  1)( x  3)  Suy T có điểm bất động x  Với u   0,1 thoả mãn f ( X )  ( f (u )  C )  { f (u )} v   u,1 cho f (v)  d (u, v)k C f (u) 1 Suy f có điểm cực tiểu yếu  , , ,  x  lời giải 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.6 Sự tƣơng đƣơng nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ định lí Takahashi véc tơ Định lí 2.5 [5] Các định lí 2.2, định lí 2.3 định lí 2.4 tương đương với Chứng minh Định lí 2.2  định lí 2.3 (xem chứng minh định lí 2.3) Định lí 2.3  định lí 2.4 Ta đặt: Sx  { y  X | x  y, f ( y)  d ( y, x)k C f ( x)} x Tx   Sx {x  X | f ( X )  ( f ( x)  C )  { f ( x)}} {x  X | f ( X )  ( f ( x)  C )  { f ( x)}} Từ định nghĩa Sx Tx , ta có : x  Sx , Tx   với x  X T : X  X Ta có x  X , y Tx cho f ( y)  d ( x, y)k C f ( x) Do định lí 2.3, tồn x  X cho x  T x Từ định nghĩa T , ánh xạ f có điểm cực tiểu yếu Định lí 2.4  định lí 2.2 Khơng tính tổng quát, ta giả thiết   đặt: X  {x  X | f ( x)  d ( x, x0 )k C f ( x0 )} Vì x0  X nên X   Hơn nữa, với điều kiện (H), tập X đóng đầy đủ Giả sử không tồn x  X thoả mãn (iii) định lí 2.2 tức x  X w  x cho: f ( w)  d ( x, w) C f ( x) Ta có: d (w, x0 )k C d (w, x)k  d ( x, x0 )k C f ( x)  f (w)  f ( x0 )  f ( x) C f ( x0 )  f (w) Do w  X , tức f ( X )  ( f ( x0 )  C )  { f ( x0 )} Ta đặt y  f ( x0 )  k , theo định lí 2.4, x  X cho f ( X )  ( f ( x)  C )  { f ( x)} Tuy nhiên, w  X cho f ( w) C f ( x) điều mâu thuẫn Bằng cách tương tự định lí 2.2 ta có f ( x) int C f ( x0 ) d ( x, x0 )   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Nguyên lí biến phân Ekeland kết cổ điển có nhiều ứng dụng gần nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu số báo liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland trình bày lại chúng cách hệ thống cụ thể là: Chương luận văn trình bày gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học nguyên lí (định lí Bishop - Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), trình bày cách chứng minh ngắn gọn ngun lí khơng gian hữu hạn chiều, số ứng dụng nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, đạo hàm Gateaux) Chương gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị véc tơ, định lí Caristi – Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, số ví dụ minh hoạ tương đương ba định lí Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M.J Borwein and J Z Qiji, Techniques of Variational Analysis, Springer (2004) [2] I Ekeland, On the variational principle, J.Math.Anal Appl 47(1974) 324-354 [3] I Ekeland, The  - variational principle revisited, Notes by S Tetracini [4] J.P Aubin and I Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley, New York (1984) [5] Y Araya, Ekeland’S variational principle and its equivalent theorems in vecto optimization, J.Math.Anal.App 346(2008), 9-16 [6] J.P Aubin, Optima Equilibria An introduction to Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1993 [7] H Brezis, F.E Browder, A general principle on ordered sets in nonlinear function analysis, Adv Math 21(1976), 355-364 [8] J Caristi, Fixed point theorems for mapping satisfying inwardness conditions, Trans Amer Math Soc 215(1976), 241-251 [9] A Gopfert, H Riahi, C Tammer, C Zalinescu, Variational Methods in Partially Odered Spaces, Springer-Verlag, New York , 2003 [10] A Gopfert, C Tammer, C Zalinescu, On the vectorial Ekeland’s variational principle and minimal point in product spaces, Nonlinear Anal 39(2000), 909-922 [11] G Isac, The Ekeland’s principle and Pareto  - efficien, in:MultiObjective Programming and Goal Programming: Theories and Applications, in:Lecture Notes in Econom and Math System, Vol 243, Springer-Verlag, Berlin, 1986, 148-163 [12] J Jahn, Vecto Optimization: Theory, Applications, and Extentions, Springer-Verlag,Berlin, 2004 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... 1.2 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1.2.2 Ngun lí biến phân Ekeland khơng gian hữu... nước (Định lí Drop) 13 1.4 Một số ứng dụng nguyên lí 15 1.4.1 Nguyên lí biến phân Ekeland tính đầy đủ 16 1.4.2 Các định lí điểm bất... Chƣơng Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 25 2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 28 2.3 Định lí điểm