Nguyên lý biến phân đối với bài toán biên thứ nhất của phương trình elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ DUNG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN THỨ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ, bảo tận tình ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo trường Đại học Khoa Học, Đại Học Thái Nguyên, giáo sư Viện Toán học Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng biết đến thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào tạo khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sau sắc tới P GS.T S Hà Tiến Ngoạn, thầy tận tình hướng dẫn, bảo tác giả suốt thời gian tác giả thực luận văn trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè cảm thông, theo sát động viên, ủng hộ chia sẻ khó khăn suốt thời gian tác giả học tập làm luận văn, giúp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tác giả có điều kiện tốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2012 Tác giả Lương Thị Dung Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số ký hiệu chữ viết tắt Phép tính biến phân 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian Lp (Ω) 1.1.2 Không gian H 1,2 (Ω) 10 1.1.3 Không gian H01,2 (Ω) 10 1.2 Phiếm hàm toàn phương H01,2 (Ω) 19 1.3 Phiếm hàm H01,2 (Ω) 25 1.4 Phiếm hàm lồi 26 Phương pháp biến phân toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 33 2.1 Nghiệm suy rộng toán Dirichlet 33 2.1.1 Bài toán Dirichlet 33 2.1.2 Nghiệm suy rộng 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.3 Sự tồn nghiệm suy rộng 34 2.2 Nguyên lý Dirichlet 35 2.3 Phương pháp Galerkin tìm nghiệm gần 37 2.3.1 Trường hợp g ≡ ∂Ω 37 2.3.2 Trường hợp g = ∂Ω 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Nghiệm suy rộng toán biên Drichlet phương trình elliptic cấp miền Ω định nghĩa không gian H 1,2 (Ω) hàm số gồm hàm số mà đạo hàm riêng đến cấp bình phương khả tích Ω Người ta chứng minh nghiệm suy rộng có liên quan chặt chẽ đến cực tiểu hóa phiếm hàm lượng tương ứng Luận văn trình bày ngun lý biến phân tốn biên thứ cho phương trình elliptic tuyến tính cấp Các vấn đề đề cập luận văn tập hợp từ [1] Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm có hai chương Phần đầu chương Luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian H 1,2 (Ω) H01,2 (Ω) phiếm hàm khơng gian Phần tiếp theo, Luận văn trình bày tồn phần tử cực tiểu hóa phiếm hàm Phần cuối chương 1, Luận văn trình bày điều kiện cần đủ để phần tử cực tiểu hóa Trong chương 2, Luận văn trình bày nguyên lý biến phân tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lý Dirichlet phát biểu sau: Hàm u(x) ∈ H 1,2 (Ω), u(x) = g(x) ∂Ω nghiệm suy rộng toán Dirichlet cực tiểu hóa phiếm hàm lượng tương ứng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu chữ viết tắt R Rn Rd Wd W (Ω) Tập số thực Không gian Euclidean n chiều Không gian Euclidean d chiều Thể tích hình cầu đơn vị Rd Khơng gian sinh tích vơ hướng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phép tính biến phân 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian Lp (Ω) Cho Ω ∈ Rn miền Rn Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ tập hợp tất hàm f (x) đo Ω |f (x)|p khả tích Ω, tức |f (x)|p dx < +∞ Ω Trong Lp (Ω) ta đưa vào chuẩn 1 p p  |f (x)| dx  ||f (x)||Lp (Ω) =  (1.1) Ω Khi Lp (Ω) khơng gian Banach Khơng gian L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng sau (f, g)L2 (Ω) = f (x)g(x)dx (1.2) Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Giả sử số p q thỏa mãn điều kiện p ≥ 1, q ≥ 1, 1 + = p q Khi ta có bất đẳng thức Holder sau |f (x)g(x)|dx ≤ ||f ||Lp (Ω) ||g||Lq (Ω) (1.3) Ω 1.1.2 Không gian H 1,2 (Ω) ¯ không gian tiền Hilbert với tích vơ hướng Khơng gian C (Ω) chuẩn sau  < u, v >C (Ω) ¯ = Dj (u)Dj (v) + u(x)v(x) dx,  Ω  n (1.4) j=1  ||u||2C (Ω) ¯ = n u2 + Ω  (Dj u)2  dx (1.5) j=1 ∂u ∂xj ¯ theo chuẩn (1.5) Ta kí hiệu H 1,2 (Ω) bao đóng C (Ω) Trong Dj u = 1.1.3 Khơng gian H01,2 (Ω) Không gian H01,2 (Ω) không gian không gian H 1,2 (Ω) H01,2 (Ω) = {u(x) ∈ H 1,2 (Ω), u|∂Ω = 0} Ta định nghĩa H01,2 (Ω) bao đóng C0∞ (Ω) chuẩn (1.5), C0∞ (Ω) khơng gian tất hàm số khả vi vô hạn có giá compact Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Bổ đề 1.4.3 Giả sử f Định lý 1.4.1 với (ii) làm yếu thành ii’) f (x, ·) liên tục với ∀x ∈ Ω Và giả thiết (iii) cần k ∈ R, không cần k > Khi hàm J(x) := f (x, v(x))dx Ω hàm nửa liên tục L2 (Ω, Rd ) Chứng minh Nếu v L2 đo được, f (x, v) liên tục, có quan hệ với v , f (x, v(x)) đo kết phép lấy tích phân Giả sử (vn )n∈N hội tụ đến v L2 (Ω, Rd ), chọn dãy (vn ) hội tụ đến v theo điểm tính liên tục f f (x, v(x)) − k|v(x)|2 = lim (f (x, (x)) − k|vn (x)|2 n→∞ f (x, (x)) − k|v(x)|2 ≥ −γ(x) γ khả tích Ứng dụng bổ đề Fatou’s thu (f (x, v(x))−k|v(x)|2 )dx ≤ lim inf (f (x, (x))−|vn (x)|2 )dx n→∞ Ω Ω Vì (vn ) hội tụ đến v L2 f (x, v(x))dx ≤ lim inf f (x, (x))dx n→∞ Ω Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Bổ đề 1.4.4 Giả sử f Định lý 1.4.1 khơng cần giả thiết k (iii) dương Khi J(v) = f (x, v(x))dx Ω lồi L2 (Ω, Rd ) Chứng minh Giả sử v0 , v1 ∈ L2 (Ω, Rd ), ≤ t ≤ ta có J(tv0 + (1 − t)v1 ) = f (x, tv0 (x) + (1 − t)v1 (x)) Ω ≤ (tf (x, v0 (x) + (1 − t)f (x, v1 (x))( (ii) ) Ω = tJ(v0 ) + (1 − t)J(v1 ) Suy J lồi Bổ đề 1.4.3 Bổ đề 1.4.4 kéo theo kết sau Bổ đề 1.4.5 Giả sử f Định lý 1.4.1, song không cần giả thiết k > giả thiết g = Khi I(u) = f (x, Du(x))dx Ω phiếm hàm lồi, nửa liên tục H01,2 (Ω) Bổ đề 1.4.5 Định lý 1.4.1 hệ định lý sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Định lý 1.4.6 Giả sử H không gian Hilbert với chuẩn || · ||, giả sử phiếm hàm I : H → R ∪ {∞} Là lồi, bị chặn dưới, không đồng +∞ nửa liên tục Khi ∀λ > u ∈ H phiếm hàm Iλ (u) := inf (I(y) + λ||u − y||2 ), y∈H (1.22) đạt phần tử uλ ∈ H , tức Iλ (u) = I(uλ ) + λ||u − uλ ||2 Hơn nữa, (uλ )λ>0 bị chặn, λ (1.23) giới hạn u0 := lim uλ λ→0 tồn cực tiểu hóa phiếm hàm I , tức I(u0 ) = inf I(u) u∈H Chứng minh Giả sử (yn )n∈N dãy giảm thiểu cho (1.22) I(yn ) + λ||u − yn ||2 → inf (I(y) + λ||u − y||2 ) y∈H Cho m, n ∈ N ta đặt ym,n := (ym + yn ) Ta có I(ym,n ) + λ||u − ym,n ||2 ≤ (I(ym ) + λ||u − ym ||2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 λ + (I(yn ) − λ||u − yn ||2 ) − ||ym − yn ||2 (1.24) Do tính lồi I không gian Hilbert đầy đủ nên ta có 1 ||x − (y1 + y2 ||2 = ||x − y1 ||2 + ||x − y2 ||2 − ||y1 − y2 ||2 2 (1.25) Cho x, y1 , y2 ∈ H biểu thị đơn giản bình phương chuẩn tích vơ hướng mở rộng khai triển tích vơ hướng Bởi định nghĩa Iλ (u), vế phải (1.24)lớn Iλ (u), cho k = m, n, I(yk ) + λ||u − yk ||2 hội tụ đến Iλ (u), lựa chọn dãy (yk ), cho k → ∞ kéo theo ||ym − yn ||2 → m, n → ∞ Suy (yn )n∈N dãy Cauchy hội tụ đến giới hạn uλ Vì || · ||2 liên tục I nửa liên tục dưới, uλ cận (1.22), cố định (1.23) Nếu uλ bị chặn cho λ → 0, tính chất cực tiểu hóa kéo theo lim J(uλ ) = inf I(y) (1.26) λ→0 cho dãy λn → 0, (uλn ) dãy cực tiểu hóa cho I Giả sử < λ1 < λ2 , từ định nghĩa uλ1 I(uλ2 ) + λ1 ||u − uλ2 ||2 ≥ I(uλ1 ) + λ1 ||u − uλ1 ||2 I(uλ2 ) + λ2 ||u − hλ2 ||2 ≥ I(uλ1 ) + λ2 ||u − uλ1 ||2 + (λ1 − λ2 )(||u − uλ1 ||2 − ||u − uλ2 ||2 ) uλ2 cực tiểu hóa I(y) + λ2 ||u − y||2 λ < λ2 mà ||u − uλ1 ||2 ≥ ||u − uλ2 ||2 , nghĩa ||u − uλ ||2 hàm giảm λ biểu thức bị chặn, giả thiết hội tụ λ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Cho > ta thấy λ0 > 0, cho < λ1 , λ2 < λ0 ||u − uλ1 ||2 − ||u − uλ2 ||2 (1.27) Ta đặt u1,2 := (uλ1 + uλ2 ) Nếu ta giả thiết I(uλ1 ) ≥ I(uλ2 ) tính lồi I kéo theo I(u1,2 ) ≤ I(uλ1 ) (1.28) Ta có I(u1,2 ) + λ1 ||u − u1,2 ||2 1 ||u − uλ1 || + ||u − uλ2 ||2 − ||uλ1 − uλ2 || 2 < I(uλ1 )+λ1 ||u − uλ1 ||2 + − ||uλ1 − uλ2 ||2 4 ≤ I(uλ1 + λ2 Vì uλ1 cực tiểu hóa I(y) + λ1 ||u − y||2 ta kết luận ||uλ1 − uλ2 ||2 < ta có tính chất Cauchy Uλ cho λ ta thu tồn u0 = lim uλ λ→0 Do (1.26) ta thấy I(u0 ) = inf I(y) y∈H Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Chương Phương pháp biến phân tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2.1 2.1.1 Nghiệm suy rộng toán Dirichlet Bài toán Dirichlet Tìm nghiệm u(x) thỏa mãn phương trình n P u := ∂ ∂xj i,j=1 aij (x) ∂u ∂xi + C(x)u = f (2.1) thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet u = ∂Ω (2.2) với giả thiết sau 1) Tính đối xứng aij (x) = aji (x), ∀i, j x ∈ Ω 2) Tính elliptic: Tồn λ > cho n aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2 , ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn i,j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 3) Sự bị chặn: Tồn Λ < ∞ cho |C(x)|, |aij | ≤ Λ, ∀i, j x ∈ Ω 4) Tính không âm C(x) ≥ 0, ∀x ∈ Ω 2.1.2 Nghiệm suy rộng Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm suy rộng phương trình (2.1) hàm số u(x) ∈ H 1,2 (Ω) cho ∀ϕ ∈ H01,2 (Ω) thỏa mãn đẳng thức tích phân sau    n  aij (x)Di uDj ϕ + Cuϕ dx =   Ω i,j=1 f ϕdx (2.3) Ω Hàm số u ∈ H 1,2 (Ω) gọi nghiệm suy rộng tốn (2.1), (2.2) nghiệm suy rộng phương trình (2.1) u − g ∈ H01,2 (Ω), u = ∂(Ω) 2.1.3 Sự tồn nghiệm suy rộng Định lý 2.1.2 Giả sử phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện: tính elliptic, tính đối xứng, bị chặn tính khơng âm Khi tồn nghiệm tốn (2.1), (2.2) Chứng minh Áp dụng Hệ 1.2.4 với   n  A(u, ϕ) = aij (x)Di (u)Dj ϕ + C(x)uϕ dx; i,j=1 Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Lu = f (x)u(x)dx Ω Từ điều kiện (1)-(4) ta suy số hạng A L thỏa mãn điều kiện Định lý 1.2.2; A liên tục, đối xứng, tính elliptic L ánh xạ tuyến tính liên tục Tức tốn (2.1),(2.2) có nghiệm 2.2 Ngun lý Dirichlet Ta xét phiếm hàm J(v) = A(v, v) + L(v);   n  aij (x)Di vDj v + C(x)v dx; A(v, v) = i,j=1 Ω L(v) = f (x)v(x)dx Ω Xét toán J(v) → H01,2 (Ω) (2.4) Theo Định lý 1.2.2 tốn có nghiệm u ∈ H01,2 (Ω) Định lý 2.2.1 (Nguyên lý Dirichlet) Hàm số u(x) ∈ H 1,2 (Ω) nghiệm suy rộng toán (2.1),(2.2) cực tiểu hóa phiếm hàm J(v) = A(v, v) + L(v) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 lớp hàm v ∈ H 1,2 (Ω) với v = g ∂Ω, A(v, ϕ) L(v) định nghĩa   n  A(v, ϕ) = aij (x)Di (v)Dj ϕ + C(x)v(x) dx; i,j=1 Ω L(v) = f (x)v(x)dx Ω Chứng minh Trước hết, ta xét trường hợp g ≡ ∂Ω a) Giả sử u ∈ H01,2 (Ω) nghiệm suy rộng toán (2.1), (2.2) Khi từ (2.3) ta suy (1.19) Từ Hệ 1.2.4 ta suy u cực tiểu hóa phiếm hàm J(v) với v ∈ H01,2 (Ω) b) Giả sử u ∈ H01,2 (Ω) cực tiểu hóa phiếm hàm J(v) với v ∈ H01,2 (Ω) Khi ta có đẳng thức (1.19) Từ suy u thỏa mãn đẳng thức (2.3), tức u nghiệm suy rộng toán (2.1), (2.2) Bây giờ, ta xét trường hợp g = ∂Ω Ta đặt ω = u − g Khi ω ∈ H01,2 (Ω) Ta có u = ω + g, nên suy A(u, u) = A(ω, ω) + 2A(ω, g) + A(g, g); L(u) = L(ω) + L(g) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Do J(u) = J(ω) + L(ω) + J(g), L(ω) = 2A(ω, g) + L(ω) Do J(g) giá trị số cố định, nên để tìm cực tiểu phiếm hàm L(ω) sau L(ω) = J(ω) + L(ω), với ω ∈ H01,2 (Ω) Khi đó, chứng minh suy từ trường hợp g ≡ 2.3 Phương pháp Galerkin tìm nghiệm gần Để tìm nghiệm tốn (2.1), (2.2) ta cần tìm nghiệm tốn biến phân (2.4) Ta xét trường hơp g ≡ 0, trường hợp g = 2.3.1 Trường hợp g ≡ ∂Ω Giả sử sở không gian H01,2 (Ω) gồm số đếm véc tơ ω1 , ω2 , , ωn , Ta kí hiệu Vn bao tuyến tính n véc tơ đầu tiên, tức Vn = [ω1 , ω2 , , ωn ] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Ta có V1 ⊂ V2 ⊂ ⊂ Vn ⊂ ⊂ H01,2 (Ω) Nội dung phương pháp Galerkin áp dụng Hệ 1.3.1 un → u H01,2 (Ω) un nghiệm toán biến phân Vn Ta cách xác định un Ta tìm un dạng n un = C j ωj j=1 J(un ) = A(un , un ) + L(un )   n n = A C j wj , j=1 n Ck ωk  + L( n = A(ωj , ωk )Cj Ck +   n ai,j (x)Di vDj v + C(x)v  dx  i,j=1 Ω  L(ωj )Cj j=1 j,k=1 J(v) = j=1 k=1 n Cj ω j ) J(vn ) = h(C1 , C2 , , Cn )  n n n C j wj , Cj ωj  + L( Cj ωj ) = A j=1 j=1 j=1 Hàm h(C1 , C2 , , Cn ) hàm đa thức bậc hai n biến, với thành phần toàn phương xác định dương Đạo hàm theo C1 , , Cn ta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 phương trình n ẩn n (J(un ))C1 = (J(un ))C2 = ··· A(ω1 , ωk )Ck + Lω1 ; k=1 n A(ω2 , ωk )Ck + Lω2 ; k=1 n (J(un ))Cn = A(ωn , ωk )Ck + Lωn k=1 Để tìm cực tiểu hóa hàm h(C1 , C2 , , Cn ), ta cần tìm điểm cân (C1 , C2 , , Cn ) từ hệ phương trình sau  n −1   Lω1 A(ω1 , ωk )Ck =    k=1   −1  n Lω2 A(ω2 , ωk )Ck = k=1   ···   n  −1    A(ωn , ωk )Ck = Lωn k=1 Do ma trận [A(ωi , ωk )]i,k=1, ,n xác định dương, khơng suy biến, nên hệ phương trình có nghiệm Vì phần tử cực tiểu hóa un ∈ Vn xác định cách Áp dụng Định lý 1.2.6 ta kết luận phần tử un hội tụ tới nghiệm u toán biến phân xét 2.3.2 Trường hợp g = ∂Ω Ta đặt ω = u − g Khi ω thuộc H01,2 (Ω) Ta có u = ω + g Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Suy A(u, u) = A(ω, ω) + 2A(ω, g) + A(g, g); L(u) = L(ω) + L(g) Do J(u) = J(ω) + L(ω) + J(g), L(ω) = 2A(ω, g) + L(ω) Do J(g) giá trị số cố định, nên để tìm cực tiểu J(u) với u = g ∂Ω, ta tìm cực tiểu phiếm hàm J(ω) sau J(ω) = J(ω) + L(ω), với ω ∈ H01,2 (Ω) Như vậy, ta đưa trường hợp g = xét Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: • Phiếm hàm tồn phương H 1,2 (Ω) điều kiện cần đủ để phần tử cực tiểu hóa phiếm hàm • Phát biểu chứng minh nguyên lý Dirichlet Mặc dù có cố gắng nỗ lực khn khổ thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Tài liệu tham khảo [1] Jurgen Jost, (2002), Partial Differential Equations, SpringerVerlag New York [2] D.Gilbarg and N.Trudinger, (1983), Elliptic Partial Differential Equations Of Second Order, Springer-Verlag [3] M.Taylor, (1996), Partial Differential Equations, Vols I-III, Springer-Verlag [4] K.Yosida, (1978), Function analysic, Springer-Verlag Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... quan chặt chẽ đến cực tiểu hóa phiếm hàm lượng tương ứng Luận văn trình bày nguyên lý biến phân toán biên thứ cho phương trình elliptic tuyến tính cấp Các vấn đề đề cập luận văn tập hợp từ [1]... chương 2, Luận văn trình bày nguyên lý biến phân tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp Ngun Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lý Dirichlet phát... liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Chương Phương pháp biến phân toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2.1 2.1.1 Nghiệm suy rộng tốn Dirichlet Bài tốn Dirichlet