Định lý sylvester gallai và một số mở rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THANH DANH ĐỊNH LÝ SYLVESTER – GALLAI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THANH DANH ĐỊNH LÝ SYLVESTER – GALLAI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2015 Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Định lý Sylvester – Gallai 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Mặt phẳng xạ ảnh thực 1.1.2 Mặt phẳng affine 1.1.3 Nguyên lý cực hạn 1.2 Bài toán Sylvester 1.3 Định lý Sylvester – Gallai Chương Một số mở rộng định lý Sylvester – Gallai 2.1 2.2 13 Số đường thẳng tầm thường 13 2.1.1 Giả thuyết Dirac số kết 13 2.1.2 Kết Kelly Moser 15 Số đường liên kết 21 2.2.1 Một số vấn đề liên quan đến số đường liên kết 21 2.2.2 Một toán tổ hợp Bruijn v Erdăos 24 2.2.3 Chứng minh Kelly Moser 26 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 i Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Ngô Văn Định Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, TS Ngơ Văn Định, người đưa đề tài dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc em suốt q trình nghiên cứu Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin trân trọng cảm ơn thầy giảng dạy Phịng Đào tạo thuộc Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để em theo học lớp học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học N khóa 06/2013 - 06/2015 lớp cao học Y khóa 01/2014 - 01/2016 động viên giúp đỡ tơi trình học tập làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh Nam Định, Sở Giáo dục Đào tạo Nam Định, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Quất Lâm tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tập Tơi cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, 2015 Bùi Thanh Danh ii Mở đầu Năm 1893, Sylvester [16] đưa tốn mà sau nhiều nhà toán học quan tâm Bài tốn u cầu chứng minh khơng thể xếp hữu hạn điểm mặt phẳng Euclid, không nằm đường thẳng, cho đường thẳng qua hai điểm qua điểm thứ ba Nm 1943, Erdăos [8] ó t li bi toỏn ny sau Gallai tìm lời giải cho tốn Cũng có nhiều nhà tốn học khác tìm lời giải cho tốn này, chẳng hạn Melchior, Steinberg, Buck, Kelly, Sau này, kết toán Sylvester phát biểu thành định lý gọi định lý Sylvester – Gallai Nội dung chứng minh định lý hồn tồn sơ cấp, khơng sử dụng đến cơng cụ tốn học đại Tuy nhiên, nói định lý Sylvester – Gallai khởi đầu cho nhiều nghiên cứu toán học, đặc biệt lĩnh vực Hình học tổ hợp Ngồi việc nghiên cứu tìm lời giải cho tốn Sylvester, nhà tốn học cịn nghiên cứu để mở rộng kết liên quan đến toán Có nghiên cứu nhằm mở rộng số chiều khơng gian, tức khơng xét tốn mặt phẳng mà tiếp tục nghiên cứu tốn tương tự khơng gian ba chiều hay khơng gian có số chiều cao nữa; có nhiều nghiên cứu số đường thẳng tầm thường xác định họ hữu hạn điểm không thẳng hàng (đường thẳng qua hai điểm họ); có nhiều nghiên cứu số đường thẳng liên kết xác định họ hữu hạn điểm; có nghiên cứu mở rộng tốn cho tốn tổ hợp, tốn tơ màu; Mục đích luận văn trình bày lại số nghiên cứu định lý Sylvester – Gallai số mở rộng Cụ thể, luận văn trình bày lại sơ lược lịch sử toán chứng minh Gallai, Kelly, Steinberg Sau đó, luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu số đường thẳng tầm thường số đường thẳng liên kết xác định hữu hạn điểm không thẳng hàng mặt phẳng Các tài liệu tham khảo mà chúng tơi sử dụng cho luận văn [1], [2], [4], [6] [12] Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày thành chương: • Chương 1: Định lý Sylvester – Gallai Phần chương, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị mặt phẳng xạ ảnh thực, mặt phẳng affine thực ngun lý cực hạn Sau đó, chúng tơi trình bày sơ lược lịch sử tốn Sylvester chứng minh Gallai, Kelly Steinberg • Chương 2: Một số mở rộng định lý Sylvester – Gallai Trong mục chương này, sau trình bày sơ lược lịch sử nghiên cứu vấn đề số đường thẳng tầm thường, chúng tơi trình bày kết Kelly Moser [12] Mục chương, chúng tơi trình bày lại số kết nghiên cứu số đường thẳng liên kết Cụ thể, chúng tơi trình bày li kt qu ca Bruijn v Erdăos [2] v kt Kelly Moser [12] Chương Định lý Sylvester – Gallai Nội dung chương trình bày số kiến thức chuẩn bị để sử dụng luận văn, đồng thời giới thiệu sơ lược lịch sử toán Sylvester dẫn đến định lý Sylvester – Gallai số chứng minh cho định lý Cụ thể chúng tơi trình bày chứng minh Gallai (trong mặt phẳng affine), Kelly (trong mặt phẳng Euclid) Steinberg (trong mặt phẳng xạ ảnh thực) 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Toàn nội dung luận văn trình bày lại số kết mặt phẳng Euclid, mặt phẳng affine mặt phẳng xạ ảnh thực Mặt phẳng Euclid khái niệm nhiều người biết đến giảng dạy chương trình tốn trung học Trong mục này, chúng tơi trình bày cách sơ lược mặt phẳng affine mặt phẳng xạ ảnh thực theo tài liệu [4] Ngồi chúng tơi cịn trình bày thêm ngun lý cực hạn Đây nguyên lý đơn giản lại sử dụng nhiều chứng minh toán học, đặc biệt chứng minh luận văn 1.1.1 Mặt phẳng xạ ảnh thực Mặt phẳng xạ ảnh thực xây dựng theo phương pháp tiên đề với hai khái niệm bản: điểm; đường thẳng hai quan hệ bản: liên thuộc; tách Ở đó, điểm đường thẳng liên thuộc nhau, khơng liên thuộc Nếu chúng liên thuộc ta nói đường thẳng qua điểm hay điểm nằm đường thẳng Một đường thẳng qua hai điểm gọi đường thẳng nối hai điểm Một điểm nằm hai đường thẳng gọi giao điểm hai đường thẳng Quan hệ tách áp dụng cho hai cặp điểm nằm đường thẳng cho hai cặp đường thẳng qua điểm Cụ thể, bốn điểm (đường thẳng) A, B, C, D nằm đường thẳng xuất theo thứ tự ta nói A C tách B D ta viết AC//BD Với khái niệm quan hệ nói trên, mặt phẳng xạ ảnh thực xây dựng dựa hệ tiên đề Hệ tiên đề mặt phẳng xạ ảnh thực chia thành ba nhóm: Các tiên đề liên thuộc; tiên đề thứ tự tiên đề liên tục I Nhóm tiên đề liên thuộc: I, Tồn điểm đường thẳng không liên thuộc nhau; I, Mọi đường thẳng qua ba điểm; I, Hai điểm xác định đường thẳng qua chúng; I, Hai đường thẳng có giao điểm; I, Nếu ba đường thẳng P P , QQ , RR qua điểm giao điểm QR Q R , QP Q P , P R P R nằm đường thẳng Nguyên lý đối ngẫu: Nguyên lý khẳng định khái niệm giá trị mệnh đề hoán đổi khái niệm điểm đường nối với khái niệm đường thẳng giao điểm Theo nguyên lý này, tiên đề I,1 đối ngẫu với nó, gọi tự đối ngẫu Tuy nhiên tiên đề khác thay đổi ta lấy đối ngẫu Chúng ta hồn tồn xây dựng tiên đề tự đối ngẫu tương đương với tiên đề I, 1-5 II Nhóm tiên đề thứ tự: II, Nếu A, B, C ba điểm nằm đường thẳng tồn điểm D cho AB//CD; II, Nếu AB//CD bốn điểm A, B, C, D phân biệt; II, Nếu AB//CD AB//DC; II, Nếu A, B, C, D bốn điểm phân biệt nằm đường thẳng ba mối quan hệ sau phải đúng: BC//AD; CA//BD; AB//CD; II, Nếu AB//CD AC//BE AB//DE; II, Nếu AB//CD A , B , C , D bốn điểm phân biệt thẳng hàng mà giao điểm ABCD A B C D nằm đường thẳng cố định ta có A B //C D ; Định nghĩa 1.1.1 Nếu A, B, C ba điểm thẳng hàng ta định nghĩa đoạn AB/C tập hợp tất điểm X cho AB//CX Đoạn AB/C với hai điểm A B gọi khoảng, kí hiệu AB/C Như vậy, đoạn AB/C khơng chứa điểm C mặt phẳng xạ ảnh thực, hai điểm A, B xác định hai đoạn khác Định nghĩa 1.1.2 Ta định nghĩa phép biến hình ánh xạ biến điểm mặt phẳng thành điểm mặt phẳng Một phép biến hình mặt phẳng xạ ảnh gọi bảo toàn thứ tự bảo tồn quan hệ tách, tức bốn điểm A, B, C, D biến thành A , B , C , D AB//CD A B //C D Một điểm M gọi điểm bất động phép biến hình biến thành qua phép biến hình III Tiên đề liên tục: Nếu phép biến hình biến khoảng AB/C thành khoảng A B /C khoảng A B /C chứa điểm bất động M cho không tồn điểm bất động khác nằm A M khoảng AB/C 1.1.2 Mặt phẳng affine Mặt phẳng affine xây dựng từ mặt phẳng xạ ảnh thực cách chọn đường thẳng o, gọi đường thẳng vô Mỗi điểm nằm o gọi điểm vô cùng, hai đường thẳng gọi song song giao điểm chúng điểm vơ Nói cách khác, mặt phẳng affine, xét điểm đường thẳng thông thường (không phải vô cùng) Do vậy, ta nói mặt phẳng affine thu từ mặt phẳng xạ ảnh cách bỏ đường thẳng o Hai đường thẳng mặt phẳng affine gọi song song chúng giao điểm (thơng thường) Với ba điểm A, B, C nằm đường thẳng, ta nói điểm B nằm A C DB//AC, D điểm vơ thuộc đường thẳng AC Trong mặt phẳng affine hai điểm A B xác định đoạn thẳng, kí hiệu AB, bao gồm tất điểm nằm A B Điều có nghĩa đoạn thẳng AB đoạn AB/C, C điểm vơ nằm đường thẳng AB Ngồi ra, mặt phẳng affine xây dựng thêm khái niệm khoảng cách dựa quan hệ toàn đẳng Khái niệm làm cho mặt phẳng affine gần với mặt phẳng Euclid Trong luận văn này, không sử dụng đến khái niệm 1.1.3 Nguyên lý cực hạn Nguyên lý cực hạn nguyên lý nói tồn phần tử bé phần tử lớn cho tập thứ tự Hai nguyên lý nội dung nguyên lý cực hạn tập số thực hữu hạn tập số tự nhiên Nguyên lý 1: Trong tập hợp hữu hạn khác rỗng số thực tồn số bé số lớn Nguyên lý 2: Trong tập hợp khác rỗng số tự nhiên tồn số bé Hai nguyên lý đơn giản chúng lại vận dụng hữu ích việc giải nhiều lớp toán, đặc biệt giải toán tổ hợp Nguyên lý cực hạn thường áp dụng kết hợp với phương pháp chứng minh phản chứng Trong chứng minh luận văn này, nhiều kết chứng minh cách sử dụng nguyên lý cực hạn 1.2 Bài toán Sylvester Năm 1893, Sylvester1 đặt toán tiếng sau [16]: Chứng minh xếp hữu hạn điểm mặt phẳng Euclid cho đường thẳng Sylvester (3/9/1814–15/3/1897), tên đầy đủ James Joseph Sylvester, nhà Toán học người Anh Ơng có cơng trình nghiên cứu đặt móng cho Lý thuyết ma trận (Matrix Theory), Lý thuyết bất biến (Invariant Theory), Lý thuyết số (Number Theory), Lý thuyết phân hoạch (partition Theory) Tổ hợp (Combinatorics) Ông đóng vai trị tiên phong tốn học Mỹ nửa cuối kỷ 19 ông Giáo sư trường Đại học Jonhs Hopkins sáng lập tap chí American Journal of Mathematics [17] giác nên ta có m(n) + 2 = m(P ) + + 2m(P ) ≥ n Định lý 2.1.7 Chỉ số điểm có cấp khác hai P lớn Chứng minh Trước tiên dễ dàng thấy khẳng định định lý trường hợp S tựa chùm Vì vậy, ta chứng minh cho trường hợp mà S không tựa chùm Hơn nữa, rõ ràng cấp điểm p ∈ P lớn hiển nhiên số p lớn Ta cần chứng minh trường hợp sau: Trường hợp 1: Giả sử cấp p khơng Khi đó, S khơng tựa chùm nên p có cạnh Theo định lý 2.1.5, ba cạnh đường thẳng tầm thường Trường hợp 2: Giả sử cấp p Gọi p1 điểm thứ hai đường thẳng tầm thường qua p Lập luận tương tự chứng minh định lý 2.1.5 ta thấy cạnh p không đường thẳng tầm thường cạnh phải qua p1 Do ba cạnh p khơng thể có điểm chung nên p có nhiều cạnh số đường thẳng tầm thường Ta chứng minh p có cạnh hai số cạnh đường thẳng tầm thường Thật vậy, s1 s2 hai cạnh khơng tầm thường p chúng qua p1 p1 đỉnh miền tam giác chứa p Nếu x điểm biên miền p nằm s1 p1 , p2 , p3 ba điểm P nằm s1 Khi tương tự chứng minh định lý 2.1.5 cách đánh số thích hợp đường thẳng pp3 đường thẳng tầm thường Điều mâu thuẫn với giả thiết p có cấp Mâu thuẫn chứng tỏ p có cạnh tối đa có cạnh khơng đường thẳng tầm thường Định lý 2.1.8 Nếu đường liên kết s cạnh ba điểm p1 , p2 , p3 P điểm P s nằm đường liên kết xác định p1 , p2 , p3 Chứng minh Dễ thấy ba điểm có chung cạnh khơng thể thẳng hàng Gọi giao điểm s với đường liên kết pi pj xk , i, j, k hoán vị 1, 2, Giả 19 sử p ∈ P điểm nằm s khác x1 , x2 , x3 Không tính tổng qt ta giả sử thêm p xk tách xi xj Khi đường ppi ppj nên s cạnh pk Điều mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Định lý 2.1.8 cho hệ trực tiếp sau: Hệ 2.1.9 Mỗi đường liên kết cạnh tối đa điểm P Nhận xét thêm s cạnh bốn điểm p1 , p2 , p3 , p4 s đường thẳng tầm thường nối hai số ba giao điểm cặp đường thẳng pi pj pk pl , i, j, k, l hoán vị 1, 2, 3, Định lý 2.1.10 Kí hiệu điểm P pi , với i = 1, 2, , n kí hiệu Ii số điểm pi Khi ta có m(P ) ≥ n Ii i=1 Chứng minh Chúng ta thực phép đếm số đường thẳng tầm thường qua việc quan sát số điểm P Chú ý phép đếm đường thẳng tầm thường đếm tối đa sáu lần: bốn lần cạnh điểm (theo hệ 2.1.9) hai lần đường thẳng chứa điểm xét (vì qua hai điểm) Từ phép đếm suy bất đẳng thức cần chứng minh Định lý 2.1.11 m(n) ≥ n Chứng minh Gọi k số điểm có cấp hai Rõ ràng ta có m(n) ≥ k Từ định lý 2.1.7 định lý 2.1.10 ta có m(n) ≥ 3(n − k) + 2k 3n k 3n m(n) = − ≥ − 6 6 Từ suy điều cần chứng minh 20 2.2 Số đường liên kết Chúng ta kí hiệu P tập gồm n điểm không thẳng hàng mặt phẳng Trong phần chúng tơi trình bày lại số kết số đường thẳng liên kết xác định P 2.2.1 Một số vấn đề liên quan đến số đường liên kết Trong mục này, chúng tơi trình bày tổng quan việc nghiên cứu số đường liên kết theo tài liệu [1] Kí hiệu ti (P ) số đường liên kết qua i điểm P đặt t(P ) = ti (P ) i≥2 Giá trị t(P ) số đường liên kết xác định P Năm 1943, đồng thời với việc t li bi toỏn ca Sylvester, Erdăos ó a giả thuyết t(P ) ≥ n Tức n điểm khơng thẳng hàng mặt phẳng ln xác định n đường liên kết Giả thuyết chng minh bi Steinberg, Erdăos, Buck, Gallai v mt s người khác Năm 1958, Kelly Moser [12] chứng minh t(P ) ≥ kn − (3k + 2)(k − 1) ti (P ) = 0, với i > n − k n ≥ {3(3k − 2)2 + 3k − 1} Kết Kelly Moser bước m i n mt gi thuyt ca Erdăos rng: Tồn số c độc lập với k n cho ≤ k ≤ ti (P ) = với i > n − k ta có ckn < t(P ) < + kn Gi thuyt ny ca Erdăos ó chứng minh Beck năm 1983 21 Cũng năm 1983, Szemerédi Trotter chứng minh tồn √ số c cho k ≤ n ta có ti (P ) < c i≥k n2 k3 Kết dẫn n mt gi thuyt khỏc ca Erdăos v Purdy: Tn số c cho √ i≥ n √ ti (P ) < c n Năm 1987, Sah xây dựng tập P thỏa mãn √ i≥ n √ ti (P ) < n Với k ≥ 3, đặt tk (n) = max{tk (P ) : |P | = n} Nm 1984, Erdăos ó t đề ước lượng giá trị tk (n) Đếm số cặp điểm P ta có đẳng thức i ti (P ) = i≥2 n Từ ta có bất đẳng thức tk (n) ≤ n k (2.1) Giá trị t3 (n) nhiều nhà toán học nghiên cứu Theo bất đẳng thức (2.1) ta có t3 (n) ≤ n Bất đẳng thức dễ dàng cải tiến chút Từ hai bất đẳng thức t2 (P ) + 3t3 (P ) ≤ n n t2 (P ) ≥ , với n = 7, 13, 2 ta có t3 (P ) ≤ n n − 2 = n(n − 2), với n = 7, 13 22 Năm 1974, Burr, Grăunbaum v Sloane ó chng minh c mt chn di t3 (n) là: 1 + n(n − 3) ≤ t3 (n) Với k ≥ 4, bất đẳng thức (2.1) cho ta tk (n) ≤ n2 k(k 1) Erdăos v Croft ó chng minh c k ≥ tồn số ck (phụ thuộc vào k) cho ck n2 < tk (n) Erdăos cng ó t : Nu khơng có đường liên kết qua k điểm P P xác định đường liên kết qua k điểm? Kí hiệu tk (n) = max{tk (P ) : |P | = n, ti (P ) = với i > k} Hiển nhiên ta có tk (n) ≤ tk (n) Năm 1963, Kárteszi chứng minh tk (n) ≥ ck n log n Từ suy ra, với k cố định, ta có tk (n) −→ ∞ n Kt qu ny c Grăunbaum ci tin v thu tk (n) ≥ c.n1+ k−2 Sau đó, Erdăos ó a gi thuyt rng tk (n) = o(n2 ) Grăunbaum ó t xỏc nh cỏc giá trị t(P ) Đầu tiên ta có t(P ) ≤ t(P ) khơng thể nhận giá trị n n − n minh với q thỏa mãn cn < q < − Năm 1972, Erdăos ó chng n < 3, tn ti điểm P 23 cho t(P ) = q Năm 1971, Grăunbaum ó phỏn oỏn rng kt lun cũn ỳng 10 ≤ 2n − ≤ q Năm 1988, Grăunbaum t ó c gii quyt bi Salamon v Erdăos Vi n ln, h ó xỏc nh giá trị số đường liên kết xác định n điểm Ngoài vấn đề nêu trên, cịn nhiều vấn đề khác mà nhà tốn học nghiên cứu liên quan đến đường liên kết xác định họ hữu hạn điểm P mặt phẳng Chẳng hạn, số đường liên kết qua điểm P Năm 1951, Dirac √ có điểm P thuộc nhiều n đường liên kết Ông cho tồn điểm P thuộc cn đường liên kết, c số độc lập với n Năm 1983, phán đoán Dirac chứng minh Szemerédi Trotter đồng thời Beck Tuy nhiên, Dirac đưa giả thuyết mạnh rằng: Tồn điểm P thuộc [ 21 n] − đường liên kết 2.2.2 Mt bi toỏn t hp ca Bruijn v Erdăos Nm 1948, Bruijn v Erdăos [2] ó chng minh c kết tổ hợp đặc biệt hệ kết khẳng định n điểm không thẳng hàng mặt phẳng xác định n đường liên kết Trong mục này, chúng tơi trình bày lại kết Bruijn v Erdăos Cho trc n phn t a1 , a2 , , an Giả sử A1 , A2 , , Am m (m > 1) tổ hợp n phần tử cho thỏa mãn cặp phần tử (ai , aj ) xuất số m tổ hợp Định lý 2.2.1 Với giả thiết trên, ta có m ≥ n dấu xảy m tổ hợp cho có dạng A1 = (a1 , a2 , , an−1 ), A2 = (a1 , an ), A3 = (a2 , an ), , An = (an−1 , an ) n có dạng n = k(k − 1) + 1, tổ hợp có k phần tử phần tử xuất k tổ hợp Nếu ta xét a1 , a2 , , an n điểm mặt phẳng xa ảnh thực định lý 2.2.1 phát biểu dạng sau: 24 Hệ 2.2.2 n điểm không thẳng hàng mặt phẳng xác định n đường liên kết Chúng xác định n đường liên kết số n điểm có n − điểm nằm đường thẳng Hệ 2.2.2 chứng minh trực tiếp từ định lý Sylvester – Gallai sau: Ta sử dụng nguyên lý quy nạp toán học để chứng minh Cụ thể, giả sử số đường thẳng liên kết xác định n − điểm không nằm đường thẳng mặt phẳng lớn hay n − 1, ta chứng minh n điểm không thẳng hàng mặt phẳng xác định n đường liên kết Giả sử a1 , a2 , , an n điểm mặt phẳng không nằm đường thẳng Theo định lý Sylvester – Gallai, n điểm xác định đường thẳng tầm thường Khơng tính tổng quát ta giả sử đường thẳng tầm thường xác định a1 a2 Xét n − điểm a2 , a3 , , an Nếu chúng nằm đường thẳng rõ ràng ta có n đường thẳng liên kết Nếu n − điểm khơng thẳng hàng theo giả thiết quy nạp chúng xác định n − đường liên kết Hiển nhiên, đường a1 a2 không thuộc vào đường liên kết xác định n − điểm a2 , a3 , , an Từ suy số đường liên kết xác định n điểm cho lớn hay n Bằng cách lập luận tương tự ta n điểm không thẳng hàng mặt phẳng xác định n đường liên kết có n − điểm cho nằm đường thẳng Điều kết thúc chứng minh cho hệ 2.2.2 Chứng minh định lý 2.2.1 Để đơn giản ta gọi phần tử a1 , a2 , , an điểm tổ hợp A1 , A2 , , Am đường thẳng Kí hiệu ki số đường thẳng qua điểm sj số điểm nằm đường thẳng Aj Khi ta có n m ki = i=1 sj (2.2) j=1 Hơn nữa, Aj không qua ta có sj ≤ ki (2.3) Bất đẳng thức (2.3) suy từ giả thiết với điểm nằm Aj xác định đường thẳng đường thẳng đơi phân biệt 25 Khơng tính tổng qt giả thiết ν = kn số bé giá trị k1 , k2 , , kn A1 , A2 , , Aν đường thẳng qua an Do giả thiết m > nên ta có ν > Với i = 1, 2, , ν, gọi điểm thuộc Ai khác an Khi đó, ta có = aj i = j, i ≤ ν j ≤ ν Từ bất đẳng thức (2.3) ta suy s2 ≤ k1 , s3 ≤ k2 , , sν ≤ kν−1 , s1 ≤ kν ; sj ≤ kn với j > ν (2.4) Từ (2.2), (2.4) tính nhỏ kn ta suy m ≥ n Bây xét trường hợp m = n Trong trường hợp này, tất bất đẳng thức (2.4) xảy dấu Ta đánh số lại điểm cho s1 = k1 , s2 = k2 , , sn = kn k1 ≥ k2 ≥ · · · ≥ kn > Khi có hai trường hợp sau: a) Trường hợp 1: k1 > k2 Khi s1 = k1 > kj với j = 2, 3, , n Từ (2.3) suy điểm a2 , a3 , , an thuộc đường thẳng A1 Hiển nhiên a1 khơng thuộc A1 ta có trường hợp nêu định lý 2.2.1 b) Trường hợp 2: k1 = k2 Nếu khơng có giá trị ki bé k1 ta có sj = ki với ≤ i, j ≤ n n = k(k − 1) + trường hợp thứ hai nêu định lý 2.2.1 Ta chứng minh khả xay trường hợp Giả sử ngược lại ta có kj < k1 Khi đó, từ (2.3) suy điểm aj thuộc hai đường thẳng A1 A2 Do dó j = n tức kn giá trị bé k1 Xét sn = kn đường thẳng qua an Hiển nhiên đường thẳng qua điểm khác Hơn nữa, k1 = k2 = · · · = kn−1 > kn ≥ nên số kn đường thẳng có kn − đường thẳng chứa hai điểm khác Từ suy kn < n − tức có đường thẳng không chứa an Mặt khác s1 = s2 = · · · = sn−1 > kn nên theo (2.3) đường thẳng A1 , A2 , , An−1 chứa an Mâu thuẫn suy điều cần chứng minh 2.2.3 Chứng minh Kelly Moser Ta xét P tập n điểm không nằm đường thẳng mặt phẳng xạ ảnh thực Kí hiệu ti = ti (P ) số đường thẳng liên kết qua i điểm P 26 kí hiệu t = t(P ) số đường thẳng liên kết xác định P Như trình bày mục 2.2.1, năm 1958, Kelly Moser [12] chứng minh t ≥ kn − (3k + 2)(k − 1) ti = 0, với i > n − k n ≥ {3(3k − 2)2 + 3k − 1} Ở đây, chúng tơi trình bày lại chứng minh Kelly Moser Trong mặt phẳng xạ ảnh thực, đối ngẫu P , kí hiệu P˜ , tập n đường thẳng không đồng quy Các đường thẳng chia mặt phẳng thành đa giác Kí hiệu Fi số đa giác có i cạnh Vi số đỉnh chung i cạnh Gọi V, E F tổng số đỉnh, tổng số cạnh tổng số đa giác Rõ ràng Vi = với i lẻ, V = V4 + V6 + V8 + · · · (2.5) F = F3 + F4 + F5 + · · · (2.6) Do cạnh có hai đỉnh cạnh hai đa giác nên ta có E = 2V4 + 3V6 + 4V8 + · · · 2E = 3F3 + 4F4 + 5F5 + · · · Từ suy 3E = 2V4 + 3V6 + 4V8 + · · · + 3F3 + 4F4 + 5F5 + · · · (2.7) Theo cơng thức Euler ta lại có V − E + F = (2.8) Từ (2.5), (2.6), (2.7) (2.8) suy V4 = + V8 + 2V10 + 3V12 + · · · + F4 + 2F5 + 3F6 + · · · (2.9) 27 Đối ngẫu V2i ti , cơng thức đối ngẫu (2.9) cho ta t2 ≥ + t4 + t5 + t6 + · · · (2.10) Nếu điểm P nằm k đường thẳng liên kết ta gọi điểm k-điểm Kí hiệu vk số k-điểm P Rõ ràng ta có vk = n k≥2 kvk = k≥2 ktk k≥2 Từ (2.10) ta có 3t2 + 3t3 + 3t4 + · · · ≥ + 2t2 + 3t3 + 4t4 + · · · Do 3t ≥ + ktk = + k≥2 kvk (2.11) k≥2 Trước chứng minh kết chính, chứng minh bổ đề kĩ thuật sau: Bổ đề 2.2.3 Nếu P có n − r điểm thẳng hàng n≥ 3r ≥3 ta có t ≥ rn − (3r + 2)(r − 1) Chứng minh Giả sử n − r điểm pr+1 , pr+2 , , pn nằm đường thẳng s r điểm p1 , p2 , , pr không nằm s Khi đó, với bốn số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn ≤ a, c ≤ r r + ≤ c, d ≤ n ta thấy hai đường thẳng pa pb pc pd rời b = d Do đó, số r(n − r) đường thẳng pi pj , với i = 1, 2, , r j = r + 1, , n, có r(n − r) − r(r − 1) 28 đường phần biệt Tính thêm đường thẳng s, ta có 1 t ≥ + r(n − r) − r(r − 1) = rn − (3r + 2)(r − 1) 2 Định lý 2.2.4 Nếu P có nhiều n − k điểm thẳng hàng n ≥ {3(3k − 2)2 + 3k − 1} (2.12) ta có t ≥ kn − (3k + 2)(k − 1) Chứng minh Xét hai trường hợp sau: 3k−1 vi ≥ Gọi p1 , p2 hai điểm P mà điểm thuộc khơng • Trường hợp 1: i=2 q 3k − đường thẳng liên kết Gọi s đường nối p1 p2 Khi đường liên kết qua p1 , p2 khác s tạo thành tối đa (3k − 2)2 giao điểm Do đó, s chứa n − (3k − 2)2 điểm P Giả sử s chứa n − x điểm P , k ≤ x ≤ (3k − 2)2 (2.13) Hai bất đẳng thức (2.12) (2.13) cho ta n ≥ x Áp dụng bổ đề 2.2.3, ta suy có xn − (3x + 2)(x − 1) đường thẳng liên kết xác định Tiếp tục sử dụng hai bất đẳng thức (2.12) (2.13) ta có n ≥ {3(x + k) − 1} hay n(x − k) ≥ (3x2 − 3k − x + k) Suy 1 t ≥ xn − (3x + 2)(x − 1) ≥ kn − (3k + 2)(k − 1) 2 29 3k−1 vi ≤ Từ (2.11) ta có • Trường hợp 1: i=2 3t ≥ + + 3k(n − 1) hay t ≥ kn − k + ≥ kn − (3k + 2)(k − 1) Định lý 2.2.4 hoàn toàn chứng minh Nếu cho k = từ định lý 2.2.4 cho ta hệ sau: Hệ 2.2.5 Nếu P có khơng q n − điểm thẳng hàng n ≥ 27 P xác định 2n − đường thẳng liên kết 30 Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề sau: Định lý Sylvester – Gallai chứng minh Gallai, Kelly Steinberg; Một số kết việc nghiên cứu nhà tốn học số đường thẳng tầm thường xác định hữu hạn điểm không thẳng hàng mặt phẳng Đặc biệt kết Kelly Moser; Sơ lược tổng quan nghiên cứu vấn đề số đường thẳng liên kết xác định hữu hạn điểm mặt phng; kt qu ca Bruijn v Erdăos v ca Kelly Moser vấn đề 31 Tài liệu tham khảo [1] Borwein P., Moser W.O.J (1990), "A survey of Sylvester’s problem and its generalizations", Aequationes Mathematicae 40, pp 111–135 [2] Bruijn N.G.De, Erdăos P (1948), "On a combinatorial problem", Neder Akad Wetensch Proc 51, pp 1277-1279 [3] Coxeter H.S.M (1948), "A problem of collinear points", Amer Math Monthly 55, pp 26-28 [4] Coxeter H.S.M (1949), The Real Projective Plane, Fisrt edition, McGraw-Hill Book Company, INC., New York [5] Crowe D.W., McKee T.A (1968), "Sylvester’s problem on collinear points", Math Mag 41, pp 30-34 [6] Csima J., Sawyer E.T (1993), "There exist 6n/13 ordinary points", Discrete Comput Geom 9, pp 187-202 [7] Dirac G.A (1951), "Collinearity properties of sets of points", Quarterly J Math 2, pp 221-227 [8] Erdăos P., Bellman R., Wall H.S., Singer J., Thébault V (1943), "Problems for solution: 4065–4069", Amer Math Monthly 50, pp 65–66 [9] Erdăos P (1982), "Personal reminiscences and remarks on the mathematical work of Tibor Gallai", Combinatorica 2, pp 207-212 32 [10] Gallai T (1944), "Solution to Problem 4065", Amer Math Monthly 51, pp 169171 [11] Green B., Tao T (2013), "On sets defining few ordinary lines", Discrete Comput Geom 50, no 2, pp 409–468 [12] Kelly L.M., Moser W (1958), "On the number of ordinary lines determined by n points", Canad J Math 10, pp 210-219 ă [13] Melchior E (1941), "Uber Vielseite der Projektive Ebene", Deutsche Mathematik 5, pp 461–475 [14] Nilakantan N (2005), "Problems related to the Sylvester – Gallai theorem", Combinatorial and Computational Geometry, MSRI publications 52, pp 479– 494 [15] Steinberg R (1944), "Three point collinearity", Amer Math Monthly 51, pp 169-171 [16] Sylvester J.J (1893), "Mathematical question 11851", The Educational Times 59, pp 98 [17] Wikipedia – The free encyclopedia, Link: https://en.wikipedia.org 33 ... Steinberg (xạ ảnh) 12 Chương Một số mở rộng định lý Sylvester – Gallai Ở chương trước, chúng tơi trình bày nội dung số chứng minh định lý Sylvester – Gallai Định lý thu hút quan tâm nhiều nhà... Nguyên lý cực hạn 1.2 Bài toán Sylvester 1.3 Định lý Sylvester – Gallai Chương Một số mở rộng định lý Sylvester – Gallai. .. cách chứng minh định lý này, nhà tốn học cịn nghiên cứu mở rộng định lý Sylvester – Gallai theo nhiều hướng khác nhau, chẳng hạn như: mở rộng số chiều, nghiên cứu tốn khơng gian có số chiều lớn