Định lý Sylvester Gallai và một số mở rộng

Bài toán yêu cầu chứng minh rằng không thể sắp xếp hữu hạnđiểm trong mặt phẳng Euclid, không cùng nằm trên một đường thẳng, sao cho mọiđường thẳng đi qua hai điểm sẽ đi qua một điểm thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THANH DANH

ĐỊNH LÝ SYLVESTER – GALLAI

VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THANH DANH

ĐỊNH LÝ SYLVESTER – GALLAI

VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

Chương1 Định lý Sylvester – Gallai 3

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1.1 Mặt phẳng xạ ảnh thực 3

1.1.2 Mặt phẳng affine 5

1.1.3 Nguyên lý cực hạn 6

1.2 Bài toán của Sylvester 6

1.3 Định lý Sylvester – Gallai 8

Chương2 Một số mở rộng của định lý Sylvester – Gallai 13 2.1 Số đường thẳng tầm thường 13

2.1.1 Giả thuyết của Dirac và một số kết quả chính 13

2.1.2 Kết quả của Kelly và Moser 15

2.2 Số đường liên kết 21

2.2.1 Một số vấn đề liên quan đến số đường liên kết 21

2.2.2 Một bài toán tổ hợp của Bruijn và Erd¨os 24

2.2.3 Chứng minh của Kelly và Moser 26

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Ngô Văn Định Qua đây em xinđược gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, TSNgô Văn Định, người đã đưa ra đề tài và dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn, giảiđáp những thắc mắc của em trong suốt quá trình nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến Thầy

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giảng dạy và Phòng Đào tạo thuộc TrườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để em đượctheo học lớp học Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học N khóa06/2013 - 06/2015 và lớp cao học Y khóa 01/2014 - 01/2016 đã động viên giúp đỡ tôitrong quá trình học tập và làm luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh Nam Định, Sở Giáo dục và Đào tạo NamĐịnh, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Quất Lâm đã tạo điều kiệncho tôi học tập và hoàn thành kế hoạch học tập

Tôi cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và làm luận văn

Thái Nguyên, 2015

Bùi Thanh Danh

Mở đầu

Năm 1893, Sylvester [16] đã đưa ra một bài toán mà sau đó đã được rất nhiều nhàtoán học quan tâm Bài toán yêu cầu chứng minh rằng không thể sắp xếp hữu hạnđiểm trong mặt phẳng Euclid, không cùng nằm trên một đường thẳng, sao cho mọiđường thẳng đi qua hai điểm sẽ đi qua một điểm thứ ba Năm 1943, Erd¨os [8] đã đặtlại bài toán này và ngay sau đó Gallai đã tìm được lời giải cho bài toán Cũng đã có rấtnhiều nhà toán học khác đã tìm ra lời giải cho bài toán này, chẳng hạn như Melchior,Steinberg, Buck, Kelly,

Sau này, kết quả của bài toán của Sylvester được phát biểu thành định lý và đượcgọi là định lý Sylvester – Gallai Nội dung và các chứng minh của định lý này hoàntoàn sơ cấp, không sử dụng đến các công cụ của toán học hiện đại Tuy nhiên, có thểnói rằng định lý Sylvester – Gallai là sự khởi đầu cho rất nhiều nghiên cứu toán học,đặc biệt trong lĩnh vực Hình học tổ hợp

Ngoài việc nghiên cứu tìm lời giải cho bài toán của Sylvester, các nhà toán học cònnghiên cứu để mở rộng các kết quả liên quan đến bài toán này Có những nghiên cứunhằm mở rộng số chiều của không gian, tức là không chỉ xét bài toán trong mặt phẳng

mà còn tiếp tục nghiên cứu bài toán tương tự trong không gian ba chiều hay không

gian có số chiều cao hơn nữa; có nhiều nghiên cứu về số đường thẳng tầm thường

xác định bởi một họ hữu hạn điểm không thẳng hàng (đường thẳng đi qua đúng hai

điểm của họ); có nhiều nghiên cứu về số đường thẳng liên kết xác định bởi họ hữu hạn

điểm; có những nghiên cứu mở rộng bài toán cho bài toán tổ hợp, bài toán tô màu; Mục đích của luận văn này là trình bày lại một số nghiên cứu về định lý Sylvester –Gallai và một số mở rộng của nó Cụ thể, luận văn trình bày lại sơ lược lịch sử bài toán

và các chứng minh của Gallai, của Kelly, của Steinberg Sau đó, luận văn trình bày

lại một số kết quả trong các nghiên cứu về số đường thẳng tầm thường và số đườngthẳng liên kết xác định bởi hữu hạn điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng Các tàiliệu tham khảo chính mà chúng tôi sử dụng cho luận văn là [1], [2], [4], [6] và [12].

Cấu trúc luận văn

Nội dung chính của luận văn được trình bày thành 2 chương:

• Chương 1: Định lý Sylvester – Gallai Phần đầu tiên của chương, chúng tôitrình bày một số kiến thức chuẩn bị về mặt phẳng xạ ảnh thực, mặt phẳng affine thực

và nguyên lý cực hạn Sau đó, chúng tôi trình bày sơ lược lịch sử của bài toán củaSylvester và các chứng minh của Gallai, của Kelly và của Steinberg

• Chương 2: Một số mở rộng của định lý Sylvester – Gallai Trong mục đầu tiêncủa chương này, sau khi trình bày sơ lược về lịch sử nghiên cứu vấn đề số đường thẳngtầm thường, chúng tôi trình bày kết quả chính của Kelly và Moser [12] Mục tiếp theocủa chương, chúng tôi trình bày lại một số kết quả nghiên cứu về số đường thẳng liênkết Cụ thể, chúng tôi trình bày lại kết quả của Bruijn và Erd¨os [2] và kết quả củaKelly và Moser [12]

Chương 1

Định lý Sylvester – Gallai

Nội dung của chương đầu tiên này là trình bày một số kiến thức chuẩn bị để sửdụng trong luận văn, đồng thời chúng tôi giới thiệu sơ lược về lịch sử bài toán củaSylvester dẫn đến định lý Sylvester – Gallai và một số chứng minh cho định lý này

Cụ thể chúng tôi trình bày các chứng minh của Gallai (trong mặt phẳng affine), củaKelly (trong mặt phẳng Euclid) và của Steinberg (trong mặt phẳng xạ ảnh thực)

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Toàn bộ nội dung của luận văn này là trình bày lại một số kết quả trong mặt phẳngEuclid, mặt phẳng affine và mặt phẳng xạ ảnh thực Mặt phẳng Euclid là một kháiniệm được nhiều người biết đến do được giảng dạy trong chương trình toán trung học.Trong mục này, chúng tôi trình bày một cách sơ lược về mặt phẳng affine và mặtphẳng xạ ảnh thực theo tài liệu [4] Ngoài ra chúng tôi còn trình bày thêm về nguyên

lý cực hạn Đây là một nguyên lý rất đơn giản nhưng lại được sử dụng rất nhiều trongchứng minh toán học, đặc biệt trong các chứng minh trong luận văn này

1.1.1 Mặt phẳng xạ ảnh thực

Mặt phẳng xạ ảnh thực được xây dựng theo phương pháp tiên đề với hai khái niệm

cơ bản: điểm; đường thẳng và hai quan hệ cơ bản: liên thuộc; tách Ở đó, một điểm

và một đường thẳng có thể liên thuộc nhau, có thể không liên thuộc nhau Nếu chúng

liên thuộc nhau thì ta nói đường thẳng đi qua điểm hay điểm nằm trên đường thẳng Một đường thẳng đi qua hai điểm được gọi là đường thẳng nối hai điểm đó Một điểm

nằm trên hai đường thẳng được gọi là giao điểm của hai đường thẳng đó.

Quan hệ tách được áp dụng cho hai cặp điểm cùng nằm trên một đường thẳnghoặc cho hai cặp đường thẳng cùng đi qua một điểm Cụ thể, nếu bốn điểm (đườngthẳng) A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng và xuất hiện theo thứ tự như vậy

thì ta nói A và C tách B và D và ta viết AC//BD.

Với các khái niệm cơ bản và các quan hệ cơ bản nói trên, mặt phẳng xạ ảnh thựcđược xây dựng dựa trên một hệ các tiên đề Hệ tiên đề của mặt phẳng xạ ảnh thựcđược chia thành ba nhóm: Các tiên đề về liên thuộc; các tiên đề về thứ tự và tiên đềliên tục

I Nhóm các tiên đề về liên thuộc:

I, 1 Tồn tại một điểm và một đường thẳng không liên thuộc nhau;

I, 2 Mọi đường thẳng đều đi qua ít nhất ba điểm;

I, 3 Hai điểm bất kì xác định duy nhất một đường thẳng đi qua chúng;

I, 4 Hai đường thẳng bất kì đều có ít nhất một giao điểm;

I, 5 Nếu ba đường thẳng P P0, QQ0, RR0cùng đi qua một điểm thì các giao điểm của

QR và Q0R0, của QP và Q0P0, của P R và P0R0cùng nằm trên một đường thẳng

Nguyên lý đối ngẫu: Nguyên lý này khẳng định rằng mọi khái niệm còn giá trị

và mọi mệnh đề còn đúng khi chúng ta hoán đổi các khái niệm điểm và đường nối vớicác khái niệm đường thẳng và giao điểm Theo nguyên lý này, tiên đề I,1 đối ngẫu với

chính nó, gọi là tự đối ngẫu Tuy nhiên các tiên đề khác đều thay đổi khi ta lấy đối

ngẫu Chúng ta hoàn toàn có thể xây dựng các tiên đề tự đối ngẫu tương đương vớicác tiên đề I, 1-5

II Nhóm các tiên đề thứ tự:

II, 1 Nếu A, B, C là ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng thì tồn tại một điểm D

sao cho AB//CD;

II, 2 Nếu AB//CD thì bốn điểm A, B, C, D phân biệt;

II, 3 Nếu AB//CD thì AB//DC;

II, 4 Nếu A, B, C, D là bốn điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng thì một

trong ba mối quan hệ sau phải đúng: BC//AD; CA//BD; AB//CD;

II, 5 Nếu AB//CD và AC//BE thì AB//DE;

II, 6 Nếu AB//CD và nếu A0, B0, C0, D0là bốn điểm phân biệt thẳng hàng mà giao điểm của ABCD và A0B0C0D0 luôn nằm trên một đường thẳng cố định thì ta có

A0B0//C0D0;

Định nghĩa 1.1.1 Nếu A, B, C là ba điểm thẳng hàng thì ta định nghĩa đoạn AB/C

là tập hợp tất cả các điểm X sao cho AB//CX Đoạn AB/C cùng với hai điểm A và

B được gọi là một khoảng, kí hiệu AB/C.

Như vậy, đoạn AB/C không chứa điểm C và trong mặt phẳng xạ ảnh thực, haiđiểm A, B xác định hai đoạn khác nhau

Định nghĩa 1.1.2 Ta định nghĩa một phép biến hình là một ánh xạ biến mỗi điểm

trong mặt phẳng thành một điểm trong mặt phẳng Một phép biến hình trong mặt

phẳng xạ ảnh được gọi là bảo toàn thứ tự nếu nó bảo toàn quan hệ tách, tức là nếu bốn

điểm A, B, C, D lần lượt biến thành A0, B0, C0, D0và nếu AB//CD thì A0B0//C0D0

Một điểm M được gọi là điểm bất động đối với một phép biến hình nếu nó biến thành

chính nó qua phép biến hình đó

III Tiên đề liên tục: Nếu một phép biến hình biến khoảng AB/C thành khoảng

A0B0/C thì khoảng A0B0/C chứa một điểm bất động M sao cho không tồn tại một

điểm bất động nào khác nằm giữa A và M trong khoảng AB/C.

1.1.2 Mặt phẳng affine

Mặt phẳng affine có thể được xây dựng từ mặt phẳng xạ ảnh thực bằng cách chọn

ra một đường thẳng o, gọi là đường thẳng tại vô cùng Mỗi điểm nằm trên o được gọi

là điểm tại vô cùng, hai đường thẳng được gọi là song song nếu giao điểm của chúng

là một điểm tại vô cùng Nói một cách khác, trong mặt phẳng affine, chúng ta chỉ xétcác điểm và các đường thẳng thông thường (không phải tại vô cùng) Do vậy, ta có thểnói rằng mặt phẳng affine thu được từ mặt phẳng xạ ảnh bằng cách bỏ đi đường thẳng

o Hai đường thẳng trong mặt phẳng affine được gọi là song song nếu chúng không

có giao điểm (thông thường)

Với ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng, ta nói rằng điểm B nằm

giữa Avà C nếu DB//AC, trong đó D là điểm tại vô cùng thuộc đường thẳng AC.Trong mặt phẳng affine hai điểm A và B xác định duy nhất một đoạn thẳng, kí hiệu

AB, bao gồm tất cả các điểm nằm giữa A và B Điều này có nghĩa là đoạn thẳng ABchính là đoạn AB/C, trong đó C là điểm tại vô cùng nằm trên đường thẳng AB.Ngoài ra, trong mặt phẳng affine chúng ta còn xây dựng thêm khái niệm về khoảng

cách dựa trên quan hệ toàn đẳng Khái niệm này làm cho mặt phẳng affine rất gần với

mặt phẳng Euclid Trong luận văn này, chúng tôi không sử dụng đến khái niệm này

1.1.3 Nguyên lý cực hạn

Nguyên lý cực hạn là nguyên lý nói về sự tồn tại của phần tử bé nhất và phần tửlớn nhất cho tập sắp thứ tự Hai nguyên lý dưới đây là nội dung của nguyên lý cực hạnđối với các tập số thực hữu hạn và tập các số tự nhiên

Nguyên lý 1: Trong tập hợp hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn tồn tại một số bé

nhất và một số lớn nhất

Nguyên lý 2: Trong tập hợp khác rỗng các số tự nhiên luôn tồn tại một số bé nhất.

Hai nguyên lý này tuy rất đơn giản nhưng chúng lại được vận dụng rất hữu íchtrong việc giải nhiều lớp bài toán, đặc biệt là giải các bài toán tổ hợp Nguyên lý cựchạn thường được áp dụng kết hợp với phương pháp chứng minh bằng phản chứng.Trong các chứng minh của luận văn này, rất nhiều kết quả được chứng minh bằngcách sử dụng nguyên lý cực hạn

1.2 Bài toán của Sylvester

Năm 1893, Sylvester1 đã đặt ra một bài toán rất nổi tiếng sau [16]: Chứng minh

rằng không thể sắp xếp hữu hạn điểm trên mặt phẳng Euclid sao cho mọi đường thẳng

1 Sylvester (3/9/1814–15/3/1897), tên đầy đủ là James Joseph Sylvester, là một nhà Toán học người Anh Ông có những công trình nghiên cứu đặt nền móng cho Lý thuyết ma trận (Matrix Theory), Lý thuyết bất biến (Invariant Theory), Lý thuyết số (Number Theory), Lý thuyết phân hoạch (partition Theory) và Tổ hợp (Combinatorics) Ông đã đóng vai trò tiên phong trong nền toán học Mỹ nửa cuối thế kỷ 19 khi ông là Giáo sư tại trường Đại học Jonhs Hopkins và sáng lập ra tap chí American Journal of Mathematics [17].

đi qua hai điểm (trong số các điểm đã cho) sẽ đi qua một điểm thứ ba, trừ khi tất cả

các điểm này cùng nằm trên một đường thẳng.

Hình 1.1: Bài toán của Sylvester [16]

Ngay trong năm 1893, tạp chí Educational Times cũng đăng một lời giải ngắn gọncủa nhà toán học người Anh Woodall Tuy nhiên, ngay tại thời điểm công bố thì người

ta đã phát hiện ra lời giải này chưa đầy đủ

Bài toán của Sylvester có thể được phát biểu bằng cách khác: chứng minh rằng

mọi tập hữu hạn điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng đều tồn tại hai điểm mà

đường thẳng nối chúng không đi qua điểm thứ ba nào khác của tập hợp điểm đó Nói

cách khác, tập hợp điểm đó luôn xác định một đường thẳng đi qua đúng 2 điểm của

nó.

Định nghĩa 1.2.1 Cho P là một tập hợp hữu hạn điểm trên mặt phẳng Mỗi đường

thẳng đi qua ít nhất hai điểm của P được gọi là đường thẳng liên kết xác định bởi P Mỗi đường thẳng đi qua đúng hai điểm của P được gọi là đường thẳng tầm thường

xác định bởi P

Năm 1941, nhà toán học người Đức Melchior [13] đã chứng minh được kết quả

đối ngẫu (xạ ảnh) của bài toán của Sylvester: mọi họ hữu hạn đường thẳng trong mặt

phẳng, không đồng quy tại một điểm, đều có một giao điểm đơn, tức là giao điểm của

đúng hai trong số các đường thẳng của họ đó

Do không biết đến bài toán của Sylvester cũng như kết quả của Melchior, năm

1943, Erd¨os [8] đã đặt lại bài toán này như một giả thuyết trên tạp chí AmericanMathematical Monthly Ngay sau đó, Gallai (còn có tên khác là Gr¨unwald) đã tìmđược một chứng minh ngắn gọn cho bài toán này trong mặt phẳng affine Lời giải này

được đăng năm 1944 [10] Năm 1982, Erd¨os [9] đã kể lại rằng: "Ban đầu ông nghĩrằng đây là một bài toán đơn giản Tuy nhiên, ông thật bất ngờ rằng ông không thể tìm

ra một lời giải nào cho nó Sau đó, ông đã trao đổi bài toàn này với Gallai và Gallai

đã tìm ra lời giải một cách nhanh chóng." Về sau này, cả dạng nguyên bản và dạng đốingẫu của kết quả này được gọi là Định lý Sylvester – Gallai

Sau Gallai, có nhiều nhà toán học khác tìm ra lời giải cho bài toán của Sylvestercũng như cho bài toán đối ngẫu của nó, chẳng hạn như: chứng minh cho bài toán trongmặt phẳng xạ ảnh thực đã được tìm ra bởi Steinberg [15] và một số nhà toán học khácnhư Buck, Steenrod; chứng minh cho bài toán trong mặt phẳng Euclid được tìm rabởi Kelly Ngoài ra, bài toán còn được nhiều nhà toán học khác nghiên cứu, đặc biệt,Coxeter [3] đã chứng minh được rằng khẳng định của bài toán không còn đúng trongmặt phẳng xạ ảnh phức, cũng như trong một số hình học hữu hạn Trong khuôn khổluận văn này chúng tôi chỉ xét bài toán này trong mặt phẳng Euclid, mặt phẳng affine

và mặt phẳng xạ ảnh thực

1.3 Định lý Sylvester – Gallai

Như mục trước đã nêu, nội dung của định lý Sylvester – Gallai chính là khẳngđịnh của bài toán do Sylvester đặt ra từ năm 1893 Cụ thể, định lý này có thể đượcphát biểu như sau:

Định lý 1.3.1 (Sylvester – Gallai) Mọi tập hữu hạn điểm P không thẳng hàng trong

mặt phẳng Euclid đều xác định một đường thẳng tầm thường.

Định lý Sylvester – Gallai không chỉ đúng cho mặt phẳng Euclid mà còn đúng chomặt phẳng xạ ảnh Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày một số chứng minh của định lýnày Đầu tiên là chứng minh của Gallai cho định lý trong mặt phẳng affine

Chứng minh của Gallai trong mặt phẳng affine. Chọn một điểm p1 bất kỳ của tập P Nếu p1 nằm trên một đường thẳng tầm thường thì ta chứng minh xong Vì vậy, ta cóthể giả sử rằng không có đường thẳng tầm thường nào đi qua p1 Trong mặt phẳng,

ta coi p1 là điểm vô cùng và xét các đường thẳng liên kết đi qua p1 Các đường thẳng

này đôi một song song với nhau và mỗi đường đi qua p1và ít nhất hai điểm khác nữacủa P

Chú ý rằng một đường liên kết bất kỳ không đi qua p1 đều tạo với các đường songsong nói trên một góc Do số các đường liên kết (và do đó số các góc được tạo thành)

là hữu hạn nên ta có thể chọn s là đường liên kết (không đi qua p1) tạo với các đườngsong song trên góc bé nhất (Hình 1.2)

Hình 1.2: chọn s tạo với các đường song song góc bé nhất

Ta sẽ chứng minh đường liên kết s đã chọn ở trên là một đường thẳng tầm thườngxác định bởi P Thật vậy, giả sử phản chứng rằng s đi qua ba điểm của P Đánh số bađiểm này là p2, p3, p4sao cho p3 nằm giữa p2 và p4 (Hình 1.3)

Hình 1.3: Giả sử s đi qua ba điểm p2, p3, p4của P

Chú ý rằng đường thẳng liên kết nối p3 và p1sẽ đi qua một điểm thứ ba p5 của P(do không phải là đường thẳng tầm thường) Khi đó, dễ thấy rằng một trong hai đường

thẳng p2p5và p4p5sẽ tạo với các đường song song nói trên một góc nhỏ hơn góc đượctạo bởi s Điều này mâu thuẫn với việc chọn s.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại chứng minh định lý Sylvester – Gallai trong mặtphẳng Euclid của Kelly Chứng minh này được đăng trong [3] Đây là một chứng minhđặc biệt đơn giản và được Erd¨os đánh giá là một "chứng minh bài bản"

Chứng minh của Kelly trong mặt phẳng Euclid. 2 Gọi S là tập tất cả các đường liênkết xác định bởi P Mỗi điểm của P và mỗi đường liên kết không đi qua điểm đó đềuxác định một khoảng cách (vuông góc) Do P và S là hai tập hữu hạn nên tập cáckhoảng cách này cũng hữu hạn Vì vậy, có một khoảng cách bé nhất trong đó Gọi

s∗ ∈ S và p∗ ∈ P là một cặp xác định khoảng cách bé nhất và gọi q là chân đườngvuông góc hạ từ p∗đến s∗

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng rằng s∗ là một đường thẳng tầm thường xácđịnh bởi P Thật vậy, giả sử rằng s∗ đi qua ba điểm của P Khi đó, hai trong ba điểm

đó sẽ nằm cùng phía của điểm q Ký hiệu hai điểm này là p1, p2 sao cho p1 nằm giữa

q và p2 (Hình 1.4)

Hình 1.4: Chứng minh của Kelly (Euclid)

Dễ thấy rằng khoảng cách từ điểm p1đến đường thẳng nối p∗ và p2 nhỏ hơn thực

sự khoảng cách từ p∗ đến s∗ Điều này mâu thuẫn với cách chọn p∗ và s∗

2 Chứng minh này được trình bày trong trong nhiều tài liệu, chẳng hạn trong [3].

Để kết thúc việc chứng minh định lý Sylvester – Gallai, chúng tôi trình bày chứngminh trong mặt phẳng xạ ảnh thực của Steinberg [15].

Chứng minh của Steinberg trong mặt phẳng xạ ảnh thực. 3 Ta vẫn gọi S là tập tất cảcác đường liên kết xác định bởi tập hữu hạn điểm P trên mặt phẳng xạ ảnh thực Lấymột điểm p bất kỳ của P Nếu p nằm trên một đường thẳng tầm thường thì việc chứngminh kết thúc, vì vậy ta có thể giả sử p không nằm trên một đường thẳng tầm thườngnào

Gọi l là một đường thẳng (trong mặt phẳng) đi qua p nhưng không đi qua bất cứđiểm nào khác của P , tức là l là một đường thẳng qua p nhưng không phải là đườngliên kết xác định bởi P Gọi Q là tập tất cả các giao điểm của l và các đường thẳngliên kết xác định bởi P Chọn q ∈ Q liền kề p, tức là đoạn thẳng xác định bởi p và qkhông chứa điểm nào khác của Q Gọi s là đường liên kết xác định bởi P và đi qua q

Ta sẽ chứng minh s là một đường thẳng tầm thường

Thật vậy, giả sử phản chứng rằng s không là đường thẳng tầm thường, tức là có ítnhất ba điểm p1, p2, p3 của P nằm trên s (ba điểm này được đánh số theo thứ tự nhưhình 1.5) Ở đây, chúng ta cũng cần chú ý thêm rằng theo cách chọn đường thẳng l thì

q không phải là điểm của P

Bây giờ, theo giả thiết p không nằm trên một đường thẳng tầm thường nào nênđường liên kết nối p và p2phải chứa thêm một điểm p4khác của P Tuy nhiên, khi đó

ta thấy rằng một trong hai đường liên kết nối p1 với p4 và đường liên kết nối p3 với p4

sẽ cắt l tại giao điểm nằm trên đoạn pq Điều này mâu thuẫn với việc chọn điểm q

3 Chứng minh này được trình bày trong trong nhiều tài liệu, chẳng hạn trong [3].

Hình 1.5: Chứng minh của Steinberg (xạ ảnh)

Chương 2

Một số mở rộng của định lý Sylvester – Gallai

Ở chương trước, chúng tôi đã trình bày nội dung và một số chứng minh của định

lý Sylvester – Gallai Định lý này đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học.Ngoài việc nghiên cứu cách chứng minh định lý này, các nhà toán học còn nghiên cứu

mở rộng định lý Sylvester – Gallai theo nhiều hướng khác nhau, chẳng hạn như: mởrộng về số chiều, nghiên cứu bài toán trong không gian có số chiều lớn hơn hay bằng3; nghiên cứu về số đường thẳng tầm thường xác định bởi n điểm; xác định số đườngthẳng liên kết xác định bởi n điểm;

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả về số đường thẳng tầmthường tối thiểu và số đường thẳng liên kết xác định bởi hữu hạn điểm trong mặtphẳng

2.1 Số đường thẳng tầm thường

2.1.1 Giả thuyết của Dirac và một số kết quả chính

Gọi P là tập hợp hữu hạn điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng Theo định

lý Sylvester – Gallai, P xác định ít nhất một đường thẳng tầm thường Một vấn đềđược đặt ra một cách tự nhiên rằng số đường thẳng tầm thường xác định bởi P là baonhiêu? Nhiều nhà toán học đã nghiên cứu vấn đề này và đã có nhiều kết quả về chặndưới của số đường thẳng tầm thường xác định bởi P , tùy thuộc vào số phần tử của P

Ký hiệu m(P ) là số đường thẳng tầm thường xác định bởi tập điểm P và đặt

m(n) = minm(P ),

trong đó |X| ký hiệu số phần tử của tập hữu hạn X Giá trị m(n) chính là số đườngthẳng tầm thường tối thiểu xác định bởi n điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng.Định lý Sylvester – Gallai có thể được phát biểu bởi

m(n) ≥ 1

Tức là định lý này cho chúng ta một chặn dưới của m(n) Tuy nhiên, chặn dưới này rõràng chưa chặt Chúng ta quan tâm đến việc tìm các chặn dưới tốt hơn

Hình 2.1: Nhận xét của Bruijn và Erd¨os

Năm 1948, Bruijn và Erd¨os [2] đã quan sát và nhận xét rằng m(n) ≥ 3 Đến năm

1951, Dirac [7] đã công bố chứng minh cho nhận xét của Bruijn và Erd¨os, đồng thờiDirac đã phát biểu một giả thuyết cho chặn dưới chặt hơn của m(n)

Giả thuyết 2.1.1 (Dirac [7]) Với mọi n 6= 7, 13, số đường thẳng tầm thường xác định

bởi n điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng ít nhất là d1

2ne, trong đó dre là ký

hiệu trần nguyên1của r.

Cho đến nay, giả thuyết 2.1.1 chưa được chứng minh một cách triệt để Năm 1958,Kelly và Moser [12] đã chứng minh được rằng m(n) ≥ 3

7n với mọi n, đặc biệt haiông đã xác định được giá trị chính xác cho trường hợp n = 7 (xem hình 2.2) Trongtrường hợp này ta có m(7) = 3 Vì lý do này, hai ông đã khẳng định đây là chặn dướitốt nhất cho m(n) với mọi giá trị của n

Năm 1968, Crowe và McKee [5] đã tính toán giá trị cụ thể của m(n) với 3 ≤ n ≤

13(xem bảng 2.1) Tính toán này làm tăng thêm cơ sở cho giả thuyết của Dirac Hình2.3 là ví dụ trong mặt phẳng xạ ảnh thực do Crowe và McKee xây dựng để tính toáncho trường hợp n = 13

1Trần nguyêncủa số thực r là số nguyên bé nhất lớn hơn r.