Định lý Sylvester Gallai và một số mở rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THANH DANH ĐỊNH LÝ SYLVESTER – GALLAI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THANH DANH ĐỊNH LÝ SYLVESTER – GALLAI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2015 Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Định lý Sylvester – Gallai 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Mặt phẳng xạ ảnh thực 1.1.2 Mặt phẳng affine 1.1.3 Nguyên lý cực hạn 1.2 Bài toán Sylvester 1.3 Định lý Sylvester – Gallai Chương Một số mở rộng định lý Sylvester – Gallai 2.1 2.2 13 Số đường thẳng tầm thường 13 2.1.1 Giả thuyết Dirac số kết 13 2.1.2 Kết Kelly Moser 15 Số đường liên kết 21 2.2.1 Một số vấn đề liên quan đến số đường liên kết 21 2.2.2 Một toán tổ hợp Bruijn Erd¨os 24 2.2.3 Chứng minh Kelly Moser 26 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 i Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Ngô Văn Định Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, TS Ngô Văn Định, người đưa đề tài dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc em suốt trình nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giảng dạy Phòng Đào tạo thuộc Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để em theo học lớp học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học N khóa 06/2013 - 06/2015 lớp cao học Y khóa 01/2014 - 01/2016 động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh Nam Định, Sở Giáo dục Đào tạo Nam Định, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Quất Lâm tạo điều kiện cho học tập hoàn thành kế hoạch học tập Tôi cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, 2015 Bùi Thanh Danh ii Mở đầu Năm 1893, Sylvester [16] đưa toán mà sau nhiều nhà toán học quan tâm Bài toán yêu cầu chứng minh xếp hữu hạn điểm mặt phẳng Euclid, không nằm đường thẳng, cho đường thẳng qua hai điểm qua điểm thứ ba Năm 1943, Erd¨os [8] đặt lại toán sau Gallai tìm lời giải cho toán Cũng có nhiều nhà toán học khác tìm lời giải cho toán này, chẳng hạn Melchior, Steinberg, Buck, Kelly, Sau này, kết toán Sylvester phát biểu thành định lý gọi định lý Sylvester – Gallai Nội dung chứng minh định lý hoàn toàn sơ cấp, không sử dụng đến công cụ toán học đại Tuy nhiên, nói định lý Sylvester – Gallai khởi đầu cho nhiều nghiên cứu toán học, đặc biệt lĩnh vực Hình học tổ hợp Ngoài việc nghiên cứu tìm lời giải cho toán Sylvester, nhà toán học nghiên cứu để mở rộng kết liên quan đến toán Có nghiên cứu nhằm mở rộng số chiều không gian, tức không xét toán mặt phẳng mà tiếp tục nghiên cứu toán tương tự không gian ba chiều hay không gian có số chiều cao nữa; có nhiều nghiên cứu số đường thẳng tầm thường xác định họ hữu hạn điểm không thẳng hàng (đường thẳng qua hai điểm họ); có nhiều nghiên cứu số đường thẳng liên kết xác định họ hữu hạn điểm; có nghiên cứu mở rộng toán cho toán tổ hợp, toán tô màu; Mục đích luận văn trình bày lại số nghiên cứu định lý Sylvester – Gallai số mở rộng Cụ thể, luận văn trình bày lại sơ lược lịch sử toán chứng minh Gallai, Kelly, Steinberg Sau đó, luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu số đường thẳng tầm thường số đường thẳng liên kết xác định hữu hạn điểm không thẳng hàng mặt phẳng Các tài liệu tham khảo mà sử dụng cho luận văn [1], [2], [4], [6] [12] Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày thành chương: • Chương 1: Định lý Sylvester – Gallai Phần chương, trình bày số kiến thức chuẩn bị mặt phẳng xạ ảnh thực, mặt phẳng affine thực nguyên lý cực hạn Sau đó, trình bày sơ lược lịch sử toán Sylvester chứng minh Gallai, Kelly Steinberg • Chương 2: Một số mở rộng định lý Sylvester – Gallai Trong mục chương này, sau trình bày sơ lược lịch sử nghiên cứu vấn đề số đường thẳng tầm thường, trình bày kết Kelly Moser [12] Mục chương, trình bày lại số kết nghiên cứu số đường thẳng liên kết Cụ thể, trình bày lại kết Bruijn Erd¨os [2] kết Kelly Moser [12] Chương Định lý Sylvester – Gallai Nội dung chương trình bày số kiến thức chuẩn bị để sử dụng luận văn, đồng thời giới thiệu sơ lược lịch sử toán Sylvester dẫn đến định lý Sylvester – Gallai số chứng minh cho định lý Cụ thể trình bày chứng minh Gallai (trong mặt phẳng affine), Kelly (trong mặt phẳng Euclid) Steinberg (trong mặt phẳng xạ ảnh thực) 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Toàn nội dung luận văn trình bày lại số kết mặt phẳng Euclid, mặt phẳng affine mặt phẳng xạ ảnh thực Mặt phẳng Euclid khái niệm nhiều người biết đến giảng dạy chương trình toán trung học Trong mục này, trình bày cách sơ lược mặt phẳng affine mặt phẳng xạ ảnh thực theo tài liệu [4] Ngoài trình bày thêm nguyên lý cực hạn Đây nguyên lý đơn giản lại sử dụng nhiều chứng minh toán học, đặc biệt chứng minh luận văn 1.1.1 Mặt phẳng xạ ảnh thực Mặt phẳng xạ ảnh thực xây dựng theo phương pháp tiên đề với hai khái niệm bản: điểm; đường thẳng hai quan hệ bản: liên thuộc; tách Ở đó, điểm đường thẳng liên thuộc nhau, không liên thuộc Nếu chúng liên thuộc ta nói đường thẳng qua điểm hay điểm nằm đường thẳng Một đường thẳng qua hai điểm gọi đường thẳng nối hai điểm Một điểm nằm hai đường thẳng gọi giao điểm hai đường thẳng Quan hệ tách áp dụng cho hai cặp điểm nằm đường thẳng cho hai cặp đường thẳng qua điểm Cụ thể, bốn điểm (đường thẳng) A, B, C, D nằm đường thẳng xuất theo thứ tự ta nói A C tách B D ta viết AC//BD Với khái niệm quan hệ nói trên, mặt phẳng xạ ảnh thực xây dựng dựa hệ tiên đề Hệ tiên đề mặt phẳng xạ ảnh thực chia thành ba nhóm: Các tiên đề liên thuộc; tiên đề thứ tự tiên đề liên tục I Nhóm tiên đề liên thuộc: I, Tồn điểm đường thẳng không liên thuộc nhau; I, Mọi đường thẳng qua ba điểm; I, Hai điểm xác định đường thẳng qua chúng; I, Hai đường thẳng có giao điểm; I, Nếu ba đường thẳng P P , QQ , RR qua điểm giao điểm QR Q R , QP Q P , P R P R nằm đường thẳng Nguyên lý đối ngẫu: Nguyên lý khẳng định khái niệm giá trị mệnh đề hoán đổi khái niệm điểm đường nối với khái niệm đường thẳng giao điểm Theo nguyên lý này, tiên đề I,1 đối ngẫu với nó, gọi tự đối ngẫu Tuy nhiên tiên đề khác thay đổi ta lấy đối ngẫu Chúng ta hoàn toàn xây dựng tiên đề tự đối ngẫu tương đương với tiên đề I, 1-5 II Nhóm tiên đề thứ tự: II, Nếu A, B, C ba điểm nằm đường thẳng tồn điểm D cho AB//CD; II, Nếu AB//CD bốn điểm A, B, C, D phân biệt; II, Nếu AB//CD AB//DC; II, Nếu A, B, C, D bốn điểm phân biệt nằm đường thẳng ba mối quan hệ sau phải đúng: BC//AD; CA//BD; AB//CD; II, Nếu AB//CD AC//BE AB//DE; II, Nếu AB//CD A , B , C , D bốn điểm phân biệt thẳng hàng mà giao điểm ABCD A B C D nằm đường thẳng cố định ta có A B //C D ; Định nghĩa 1.1.1 Nếu A, B, C ba điểm thẳng hàng ta định nghĩa đoạn AB/C tập hợp tất điểm X cho AB//CX Đoạn AB/C với hai điểm A B gọi khoảng, kí hiệu AB/C Như vậy, đoạn AB/C không chứa điểm C mặt phẳng xạ ảnh thực, hai điểm A, B xác định hai đoạn khác Định nghĩa 1.1.2 Ta định nghĩa phép biến hình ánh xạ biến điểm mặt phẳng thành điểm mặt phẳng Một phép biến hình mặt phẳng xạ ảnh gọi bảo toàn thứ tự bảo toàn quan hệ tách, tức bốn điểm A, B, C, D biến thành A , B , C , D AB//CD A B //C D Một điểm M gọi điểm bất động phép biến hình biến thành qua phép biến hình III Tiên đề liên tục: Nếu phép biến hình biến khoảng AB/C thành khoảng A B /C khoảng A B /C chứa điểm bất động M cho không tồn điểm bất động khác nằm A M khoảng AB/C 1.1.2 Mặt phẳng affine Mặt phẳng affine xây dựng từ mặt phẳng xạ ảnh thực cách chọn đường thẳng o, gọi đường thẳng vô Mỗi điểm nằm o gọi điểm vô cùng, hai đường thẳng gọi song song giao điểm chúng điểm vô Nói cách khác, mặt phẳng affine, xét điểm đường thẳng thông thường (không phải vô cùng) Do vậy, ta nói mặt phẳng affine thu từ mặt phẳng xạ ảnh cách bỏ đường thẳng o Hai đường thẳng mặt phẳng affine gọi song song chúng giao điểm (thông thường) Với ba điểm A, B, C nằm đường thẳng, ta nói điểm B nằm A C DB//AC, D điểm vô thuộc đường thẳng AC Trong mặt phẳng affine hai điểm A B xác định đoạn thẳng, kí hiệu AB, bao gồm tất điểm nằm A B Điều có nghĩa đoạn thẳng AB đoạn AB/C, C điểm vô nằm đường thẳng AB Ngoài ra, mặt phẳng affine xây dựng thêm khái niệm khoảng cách dựa quan hệ toàn đẳng Khái niệm làm cho mặt phẳng affine gần với mặt phẳng Euclid Trong luận văn này, không sử dụng đến khái niệm 1.1.3 Nguyên lý cực hạn Nguyên lý cực hạn nguyên lý nói tồn phần tử bé phần tử lớn cho tập thứ tự Hai nguyên lý nội dung nguyên lý cực hạn tập số thực hữu hạn tập số tự nhiên Nguyên lý 1: Trong tập hợp hữu hạn khác rỗng số thực tồn số bé số lớn Nguyên lý 2: Trong tập hợp khác rỗng số tự nhiên tồn số bé Hai nguyên lý đơn giản chúng lại vận dụng hữu ích việc giải nhiều lớp toán, đặc biệt giải toán tổ hợp Nguyên lý cực hạn thường áp dụng kết hợp với phương pháp chứng minh phản chứng Trong chứng minh luận văn này, nhiều kết chứng minh cách sử dụng nguyên lý cực hạn 1.2 Bài toán Sylvester Năm 1893, Sylvester1 đặt toán tiếng sau [16]: Chứng minh xếp hữu hạn điểm mặt phẳng Euclid cho đường thẳng Sylvester (3/9/1814–15/3/1897), tên đầy đủ James Joseph Sylvester, nhà Toán học người Anh Ông có công trình nghiên cứu đặt móng cho Lý thuyết ma trận (Matrix Theory), Lý thuyết bất biến (Invariant Theory), Lý thuyết số (Number Theory), Lý thuyết phân hoạch (partition Theory) Tổ hợp (Combinatorics) Ông đóng vai trò tiên phong toán học Mỹ nửa cuối kỷ 19 ông Giáo sư trường Đại học Jonhs Hopkins sáng lập tap chí American Journal of Mathematics [17] giác nên ta có m(n) + 2 = m(P ) + + 2m(P ) ≥ n Định lý 2.1.7 Chỉ số điểm có cấp khác hai P lớn Chứng minh Trước tiên dễ dàng thấy khẳng định định lý trường hợp S tựa chùm Vì vậy, ta chứng minh cho trường hợp mà S không tựa chùm Hơn nữa, rõ ràng cấp điểm p ∈ P lớn hiển nhiên số p lớn Ta cần chứng minh trường hợp sau: Trường hợp 1: Giả sử cấp p không Khi đó, S không tựa chùm nên p có cạnh Theo định lý 2.1.5, ba cạnh đường thẳng tầm thường Trường hợp 2: Giả sử cấp p Gọi p1 điểm thứ hai đường thẳng tầm thường qua p Lập luận tương tự chứng minh định lý 2.1.5 ta thấy cạnh p không đường thẳng tầm thường cạnh phải qua p1 Do ba cạnh p có điểm chung nên p có nhiều cạnh số đường thẳng tầm thường Ta chứng minh p có cạnh hai số cạnh đường thẳng tầm thường Thật vậy, s1 s2 hai cạnh không tầm thường p chúng qua p1 p1 đỉnh miền tam giác chứa p Nếu x điểm biên miền p nằm s1 p1 , p2 , p3 ba điểm P nằm s1 Khi tương tự chứng minh định lý 2.1.5 cách đánh số thích hợp đường thẳng pp3 đường thẳng tầm thường Điều mâu thuẫn với giả thiết p có cấp Mâu thuẫn chứng tỏ p có cạnh tối đa có cạnh không đường thẳng tầm thường Định lý 2.1.8 Nếu đường liên kết s cạnh ba điểm p1 , p2 , p3 P điểm P s nằm đường liên kết xác định p1 , p2 , p3 Chứng minh Dễ thấy ba điểm có chung cạnh thẳng hàng Gọi giao điểm s với đường liên kết pi pj xk , i, j, k hoán vị 1, 2, Giả 19 sử p ∈ P điểm nằm s khác x1 , x2 , x3 Không tính tổng quát ta giả sử thêm p xk tách xi xj Khi đường ppi ppj nên s cạnh pk Điều mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Định lý 2.1.8 cho hệ trực tiếp sau: Hệ 2.1.9 Mỗi đường liên kết cạnh tối đa điểm P Nhận xét thêm s cạnh bốn điểm p1 , p2 , p3 , p4 s đường thẳng tầm thường nối hai số ba giao điểm cặp đường thẳng pi pj pk pl , i, j, k, l hoán vị 1, 2, 3, Định lý 2.1.10 Kí hiệu điểm P pi , với i = 1, 2, , n kí hiệu Ii số điểm pi Khi ta có m(P ) ≥ n Ii i=1 Chứng minh Chúng ta thực phép đếm số đường thẳng tầm thường qua việc quan sát số điểm P Chú ý phép đếm đường thẳng tầm thường đếm tối đa sáu lần: bốn lần cạnh điểm (theo hệ 2.1.9) hai lần đường thẳng chứa điểm xét (vì qua hai điểm) Từ phép đếm suy bất đẳng thức cần chứng minh Định lý 2.1.11 m(n) ≥ n Chứng minh Gọi k số điểm có cấp hai Rõ ràng ta có m(n) ≥ k Từ định lý 2.1.7 định lý 2.1.10 ta có m(n) ≥ 3(n − k) + 2k 3n k 3n m(n) = − ≥ − 6 6 Từ suy điều cần chứng minh 20 2.2 Số đường liên kết Chúng ta kí hiệu P tập gồm n điểm không thẳng hàng mặt phẳng Trong phần trình bày lại số kết số đường thẳng liên kết xác định P 2.2.1 Một số vấn đề liên quan đến số đường liên kết Trong mục này, trình bày tổng quan việc nghiên cứu số đường liên kết theo tài liệu [1] Kí hiệu ti (P ) số đường liên kết qua i điểm P đặt t(P ) = ti (P ) i≥2 Giá trị t(P ) số đường liên kết xác định P Năm 1943, đồng thời với việc đặt lại toán Sylvester, Erd¨os đưa giả thuyết t(P ) ≥ n Tức n điểm không thẳng hàng mặt phẳng xác định n đường liên kết Giả thuyết chứng minh Steinberg, Erd¨os, Buck, Gallai số người khác Năm 1958, Kelly Moser [12] chứng minh t(P ) ≥ kn − (3k + 2)(k − 1) ti (P ) = 0, với i > n − k n ≥ {3(3k − 2)2 + 3k − 1} Kết Kelly Moser bước đệm để đến giả thuyết Erd¨os rằng: Tồn số c độc lập với k n cho ≤ k ≤ ti (P ) = với i > n − k ta có ckn < t(P ) < + kn Giả thuyết Erd¨os chứng minh Beck năm 1983 21 Cũng năm 1983, Szemerédi Trotter chứng minh tồn √ số c cho k ≤ n ta có ti (P ) < c i≥k n2 k3 Kết dẫn đến giả thuyết khác Erd¨os Purdy: Tồn số c cho √ i≥ n √ ti (P ) < c n Năm 1987, Sah xây dựng tập P thỏa mãn √ i≥ n √ ti (P ) < n Với k ≥ 3, đặt tk (n) = max{tk (P ) : |P | = n} Năm 1984, Erd¨os đặt vấn đề ước lượng giá trị tk (n) Đếm số cặp điểm P ta có đẳng thức i ti (P ) = i≥2 n Từ ta có bất đẳng thức tk (n) ≤ n k (2.1) Giá trị t3 (n) nhiều nhà toán học nghiên cứu Theo bất đẳng thức (2.1) ta có t3 (n) ≤ n Bất đẳng thức dễ dàng cải tiến chút Từ hai bất đẳng thức t2 (P ) + 3t3 (P ) ≤ n n t2 (P ) ≥ , với n = 7, 13, 2 ta có t3 (P ) ≤ n n − 2 = n(n − 2), với n = 7, 13 22 Năm 1974, Burr, Gr¨unbaum Sloane chứng minh chặn t3 (n) là: 1 + n(n − 3) ≤ t3 (n) Với k ≥ 4, bất đẳng thức (2.1) cho ta tk (n) ≤ n2 k(k − 1) Erd¨os Croft chứng minh k ≥ tồn số ck (phụ thuộc vào k) cho ck n2 < tk (n) Erd¨os đặt vấn đề: Nếu đường liên kết qua k điểm P P xác định đường liên kết qua k điểm? Kí hiệu tk (n) = max{tk (P ) : |P | = n, ti (P ) = với i > k} Hiển nhiên ta có tk (n) ≤ tk (n) Năm 1963, Kárteszi chứng minh tk (n) ≥ ck n log n Từ suy ra, với k cố định, ta có tk (n) −→ ∞ n Kết Gr¨unbaum cải tiến thu tk (n) ≥ c.n1+ k−2 Sau đó, Erd¨os đưa giả thuyết tk (n) = o(n2 ) Gr¨unbaum đặt vấn đề xác định giá trị t(P ) Đầu tiên ta có t(P ) ≤ t(P ) nhận giá trị n n − n minh với q thỏa mãn cn < q < − Năm 1972, Erd¨os chứng n < 3, tồn tập điểm P 23 cho t(P ) = q Năm 1971, Gr¨unbaum phán đoán kết luận 10 ≤ 2n − ≤ q Năm 1988, vấn đề Gr¨unbaum đặt giải Salamon Erd¨os Với n lớn, họ xác định giá trị số đường liên kết xác định n điểm Ngoài vấn đề nêu trên, nhiều vấn đề khác mà nhà toán học nghiên cứu liên quan đến đường liên kết xác định họ hữu hạn điểm P mặt phẳng Chẳng hạn, số đường liên kết qua điểm P Năm 1951, Dirac √ có điểm P thuộc nhiều n đường liên kết Ông cho tồn điểm P thuộc cn đường liên kết, c số độc lập với n Năm 1983, phán đoán Dirac chứng minh Szemerédi Trotter đồng thời Beck Tuy nhiên, Dirac đưa giả thuyết mạnh rằng: Tồn điểm P thuộc [ 21 n] − đường liên kết 2.2.2 Một toán tổ hợp Bruijn Erd¨os Năm 1948, Bruijn Erd¨os [2] chứng minh kết tổ hợp đặc biệt hệ kết khẳng định n điểm không thẳng hàng mặt phẳng xác định n đường liên kết Trong mục này, trình bày lại kết Bruijn Erd¨os Cho trước n phần tử a1 , a2 , , an Giả sử A1 , A2 , , Am m (m > 1) tổ hợp n phần tử cho thỏa mãn cặp phần tử (ai , aj ) xuất số m tổ hợp Định lý 2.2.1 Với giả thiết trên, ta có m ≥ n dấu xảy m tổ hợp cho có dạng A1 = (a1 , a2 , , an−1 ), A2 = (a1 , an ), A3 = (a2 , an ), , An = (an−1 , an ) n có dạng n = k(k − 1) + 1, tổ hợp có k phần tử phần tử xuất k tổ hợp Nếu ta xét a1 , a2 , , an n điểm mặt phẳng xa ảnh thực định lý 2.2.1 phát biểu dạng sau: 24 Hệ 2.2.2 n điểm không thẳng hàng mặt phẳng xác định n đường liên kết Chúng xác định n đường liên kết số n điểm có n − điểm nằm đường thẳng Hệ 2.2.2 chứng minh trực tiếp từ định lý Sylvester – Gallai sau: Ta sử dụng nguyên lý quy nạp toán học để chứng minh Cụ thể, giả sử số đường thẳng liên kết xác định n − điểm không nằm đường thẳng mặt phẳng lớn hay n − 1, ta chứng minh n điểm không thẳng hàng mặt phẳng xác định n đường liên kết Giả sử a1 , a2 , , an n điểm mặt phẳng không nằm đường thẳng Theo định lý Sylvester – Gallai, n điểm xác định đường thẳng tầm thường Không tính tổng quát ta giả sử đường thẳng tầm thường xác định a1 a2 Xét n − điểm a2 , a3 , , an Nếu chúng nằm đường thẳng rõ ràng ta có n đường thẳng liên kết Nếu n − điểm không thẳng hàng theo giả thiết quy nạp chúng xác định n − đường liên kết Hiển nhiên, đường a1 a2 không thuộc vào đường liên kết xác định n − điểm a2 , a3 , , an Từ suy số đường liên kết xác định n điểm cho lớn hay n Bằng cách lập luận tương tự ta n điểm không thẳng hàng mặt phẳng xác định n đường liên kết có n − điểm cho nằm đường thẳng Điều kết thúc chứng minh cho hệ 2.2.2 Chứng minh định lý 2.2.1 Để đơn giản ta gọi phần tử a1 , a2 , , an điểm tổ hợp A1 , A2 , , Am đường thẳng Kí hiệu ki số đường thẳng qua điểm sj số điểm nằm đường thẳng Aj Khi ta có n m ki = i=1 sj (2.2) j=1 Hơn nữa, Aj không qua ta có sj ≤ ki (2.3) Bất đẳng thức (2.3) suy từ giả thiết với điểm nằm Aj xác định đường thẳng đường thẳng đôi phân biệt 25 Không tính tổng quát giả thiết ν = kn số bé giá trị k1 , k2 , , kn A1 , A2 , , Aν đường thẳng qua an Do giả thiết m > nên ta có ν > Với i = 1, 2, , ν, gọi điểm thuộc Ai khác an Khi đó, ta có = aj i = j, i ≤ ν j ≤ ν Từ bất đẳng thức (2.3) ta suy s2 ≤ k1 , s3 ≤ k2 , , sν ≤ kν−1 , s1 ≤ kν ; sj ≤ kn với j > ν (2.4) Từ (2.2), (2.4) tính nhỏ kn ta suy m ≥ n Bây xét trường hợp m = n Trong trường hợp này, tất bất đẳng thức (2.4) xảy dấu Ta đánh số lại điểm cho s1 = k1 , s2 = k2 , , sn = kn k1 ≥ k2 ≥ · · · ≥ kn > Khi có hai trường hợp sau: a) Trường hợp 1: k1 > k2 Khi s1 = k1 > kj với j = 2, 3, , n Từ (2.3) suy điểm a2 , a3 , , an thuộc đường thẳng A1 Hiển nhiên a1 không thuộc A1 ta có trường hợp nêu định lý 2.2.1 b) Trường hợp 2: k1 = k2 Nếu giá trị ki bé k1 ta có sj = ki với ≤ i, j ≤ n n = k(k − 1) + trường hợp thứ hai nêu định lý 2.2.1 Ta chứng minh khả xay trường hợp Giả sử ngược lại ta có kj < k1 Khi đó, từ (2.3) suy điểm aj thuộc hai đường thẳng A1 A2 Do dó j = n tức kn giá trị bé k1 Xét sn = kn đường thẳng qua an Hiển nhiên đường thẳng qua điểm khác Hơn nữa, k1 = k2 = · · · = kn−1 > kn ≥ nên số kn đường thẳng có kn − đường thẳng chứa hai điểm khác Từ suy kn < n − tức có đường thẳng không chứa an Mặt khác s1 = s2 = · · · = sn−1 > kn nên theo (2.3) đường thẳng A1 , A2 , , An−1 chứa an Mâu thuẫn suy điều cần chứng minh 2.2.3 Chứng minh Kelly Moser Ta xét P tập n điểm không nằm đường thẳng mặt phẳng xạ ảnh thực Kí hiệu ti = ti (P ) số đường thẳng liên kết qua i điểm P 26 kí hiệu t = t(P ) số đường thẳng liên kết xác định P Như trình bày mục 2.2.1, năm 1958, Kelly Moser [12] chứng minh t ≥ kn − (3k + 2)(k − 1) ti = 0, với i > n − k n ≥ {3(3k − 2)2 + 3k − 1} Ở đây, trình bày lại chứng minh Kelly Moser Trong mặt phẳng xạ ảnh thực, đối ngẫu P , kí hiệu P˜ , tập n đường thẳng không đồng quy Các đường thẳng chia mặt phẳng thành đa giác Kí hiệu Fi số đa giác có i cạnh Vi số đỉnh chung i cạnh Gọi V, E F tổng số đỉnh, tổng số cạnh tổng số đa giác Rõ ràng Vi = với i lẻ, V = V4 + V6 + V8 + · · · (2.5) F = F3 + F4 + F5 + · · · (2.6) Do cạnh có hai đỉnh cạnh hai đa giác nên ta có E = 2V4 + 3V6 + 4V8 + · · · 2E = 3F3 + 4F4 + 5F5 + · · · Từ suy 3E = 2V4 + 3V6 + 4V8 + · · · + 3F3 + 4F4 + 5F5 + · · · (2.7) Theo công thức Euler ta lại có V − E + F = (2.8) Từ (2.5), (2.6), (2.7) (2.8) suy V4 = + V8 + 2V10 + 3V12 + · · · + F4 + 2F5 + 3F6 + · · · (2.9) 27 Đối ngẫu V2i ti , công thức đối ngẫu (2.9) cho ta t2 ≥ + t4 + t5 + t6 + · · · (2.10) Nếu điểm P nằm k đường thẳng liên kết ta gọi điểm k-điểm Kí hiệu vk số k-điểm P Rõ ràng ta có vk = n k≥2 kvk = k≥2 ktk k≥2 Từ (2.10) ta có 3t2 + 3t3 + 3t4 + · · · ≥ + 2t2 + 3t3 + 4t4 + · · · Do 3t ≥ + ktk = + k≥2 kvk (2.11) k≥2 Trước chứng minh kết chính, chứng minh bổ đề kĩ thuật sau: Bổ đề 2.2.3 Nếu P có n − r điểm thẳng hàng n≥ 3r ≥3 ta có t ≥ rn − (3r + 2)(r − 1) Chứng minh Giả sử n − r điểm pr+1 , pr+2 , , pn nằm đường thẳng s r điểm p1 , p2 , , pr không nằm s Khi đó, với bốn số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn ≤ a, c ≤ r r + ≤ c, d ≤ n ta thấy hai đường thẳng pa pb pc pd rời b = d Do đó, số r(n − r) đường thẳng pi pj , với i = 1, 2, , r j = r + 1, , n, có r(n − r) − r(r − 1) 28 đường phần biệt Tính thêm đường thẳng s, ta có 1 t ≥ + r(n − r) − r(r − 1) = rn − (3r + 2)(r − 1) 2 Định lý 2.2.4 Nếu P có nhiều n − k điểm thẳng hàng n ≥ {3(3k − 2)2 + 3k − 1} (2.12) ta có t ≥ kn − (3k + 2)(k − 1) Chứng minh Xét hai trường hợp sau: 3k−1 vi ≥ Gọi p1 , p2 hai điểm P mà điểm thuộc không • Trường hợp 1: i=2 3k − đường thẳng liên kết Gọi s đường nối p1 p2 Khi đường liên kết qua p1 , p2 khác s tạo thành tối đa (3k − 2)2 giao điểm Do đó, s chứa n − (3k − 2)2 điểm P Giả sử s chứa n − x điểm P , k ≤ x ≤ (3k − 2)2 (2.13) Hai bất đẳng thức (2.12) (2.13) cho ta n ≥ x Áp dụng bổ đề 2.2.3, ta suy có xn − (3x + 2)(x − 1) đường thẳng liên kết xác định Tiếp tục sử dụng hai bất đẳng thức (2.12) (2.13) ta có n ≥ {3(x + k) − 1} hay n(x − k) ≥ (3x2 − 3k − x + k) Suy 1 t ≥ xn − (3x + 2)(x − 1) ≥ kn − (3k + 2)(k − 1) 2 29 3k−1 vi ≤ Từ (2.11) ta có • Trường hợp 1: i=2 3t ≥ + + 3k(n − 1) hay t ≥ kn − k + ≥ kn − (3k + 2)(k − 1) Định lý 2.2.4 hoàn toàn chứng minh Nếu cho k = từ định lý 2.2.4 cho ta hệ sau: Hệ 2.2.5 Nếu P có không n − điểm thẳng hàng n ≥ 27 P xác định 2n − đường thẳng liên kết 30 Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề sau: Định lý Sylvester – Gallai chứng minh Gallai, Kelly Steinberg; Một số kết việc nghiên cứu nhà toán học số đường thẳng tầm thường xác định hữu hạn điểm không thẳng hàng mặt phẳng Đặc biệt kết Kelly Moser; Sơ lược tổng quan nghiên cứu vấn đề số đường thẳng liên kết xác định hữu hạn điểm mặt phẳng; kết Bruijn Erd¨os Kelly Moser vấn đề 31 Tài liệu tham khảo [1] Borwein P., Moser W.O.J (1990), "A survey of Sylvester’s problem and its generalizations", Aequationes Mathematicae 40, pp 111–135 [2] Bruijn N.G.De, Erd¨os P (1948), "On a combinatorial problem", Neder Akad Wetensch Proc 51, pp 1277-1279 [3] Coxeter H.S.M (1948), "A problem of collinear points", Amer Math Monthly 55, pp 26-28 [4] Coxeter H.S.M (1949), The Real Projective Plane, Fisrt edition, McGraw-Hill Book Company, INC., New York [5] Crowe D.W., McKee T.A (1968), "Sylvester’s problem on collinear points", Math Mag 41, pp 30-34 [6] Csima J., Sawyer E.T (1993), "There exist 6n/13 ordinary points", Discrete Comput Geom 9, pp 187-202 [7] Dirac G.A (1951), "Collinearity properties of sets of points", Quarterly J Math 2, pp 221-227 [8] Erd¨os P., Bellman R., Wall H.S., Singer J., Thébault V (1943), "Problems for solution: 4065–4069", Amer Math Monthly 50, pp 65–66 [9] Erd¨os P (1982), "Personal reminiscences and remarks on the mathematical work of Tibor Gallai", Combinatorica 2, pp 207-212 32 [10] Gallai T (1944), "Solution to Problem 4065", Amer Math Monthly 51, pp 169171 [11] Green B., Tao T (2013), "On sets defining few ordinary lines", Discrete Comput Geom 50, no 2, pp 409–468 [12] Kelly L.M., Moser W (1958), "On the number of ordinary lines determined by n points", Canad J Math 10, pp 210-219 ¨ [13] Melchior E (1941), "Uber Vielseite der Projektive Ebene", Deutsche Mathematik 5, pp 461–475 [14] Nilakantan N (2005), "Problems related to the Sylvester – Gallai theorem", Combinatorial and Computational Geometry, MSRI publications 52, pp 479– 494 [15] Steinberg R (1944), "Three point collinearity", Amer Math Monthly 51, pp 169-171 [16] Sylvester J.J (1893), "Mathematical question 11851", The Educational Times 59, pp 98 [17] Wikipedia – The free encyclopedia, Link: https://en.wikipedia.org 33 [...]... 12 Chương 2 Một số mở rộng của định lý Sylvester – Gallai Ở chương trước, chúng tôi đã trình bày nội dung và một số chứng minh của định lý Sylvester – Gallai Định lý này đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học Ngoài việc nghiên cứu cách chứng minh định lý này, các nhà toán học còn nghiên cứu mở rộng định lý Sylvester – Gallai theo nhiều hướng khác nhau, chẳng hạn như: mở rộng về số chiều, nghiên... như sau: Định lý 1.3.1 (Sylvester – Gallai) Mọi tập hữu hạn điểm P không thẳng hàng trong mặt phẳng Euclid đều xác định một đường thẳng tầm thường Định lý Sylvester – Gallai không chỉ đúng cho mặt phẳng Euclid mà còn đúng cho mặt phẳng xạ ảnh Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày một số chứng minh của định lý này Đầu tiên là chứng minh của Gallai cho định lý trong mặt phẳng affine Chứng minh của Gallai trong... phẳng Theo định lý Sylvester – Gallai, P xác định ít nhất một đường thẳng tầm thường Một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên rằng số đường thẳng tầm thường xác định bởi P là bao nhiêu? Nhiều nhà toán học đã nghiên cứu vấn đề này và đã có nhiều kết quả về chặn dưới của số đường thẳng tầm thường xác định bởi P , tùy thuộc vào số phần tử của P Ký hiệu m(P ) là số đường thẳng tầm thường xác định bởi tập... (3k + 2)(k − 1) 3 2 Định lý 2.2.4 hoàn toàn được chứng minh Nếu cho k = 2 thì từ định lý 2.2.4 cho ta hệ quả sau: Hệ quả 2.2.5 Nếu P có không quá n − 2 điểm thẳng hàng và nếu n ≥ 27 thì P xác định ít nhất 2n − 4 đường thẳng liên kết 30 Kết luận Luận văn đã trình bày được một số vấn đề sau: 1 Định lý Sylvester – Gallai và các chứng minh của Gallai, của Kelly và của Steinberg; 2 Một số kết quả chính trong... khẳng định của bài toán không còn đúng trong mặt phẳng xạ ảnh phức, cũng như trong một số hình học hữu hạn Trong khuôn khổ luận văn này chúng tôi chỉ xét bài toán này trong mặt phẳng Euclid, mặt phẳng affine và mặt phẳng xạ ảnh thực 1.3 Định lý Sylvester – Gallai Như mục trước đã nêu, nội dung của định lý Sylvester – Gallai chính là khẳng định của bài toán do Sylvester đặt ra từ năm 1893 Cụ thể, định lý. .. không gian có số chiều lớn hơn hay bằng 3; nghiên cứu về số đường thẳng tầm thường xác định bởi n điểm; xác định số đường thẳng liên kết xác định bởi n điểm; Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả về số đường thẳng tầm thường tối thiểu và số đường thẳng liên kết xác định bởi hữu hạn điểm trong mặt phẳng 2.1 2.1.1 Số đường thẳng tầm thường Giả thuyết của Dirac và một số kết quả chính... là một điểm thuộc P Từ định lý 2.1.2 ta dễ dàng có được hệ quả sau: Hệ quả 2.1.3 ([12, Định lý 2.3]) Nếu S không là một tựa chùm thì mỗi điểm của P có ít nhất ba cạnh Định nghĩa 2.1.4 Số đường thẳng tầm thường đi qua điểm p ∈ P được gọi là cấp của p Số cạnh của p là đường thẳng tầm thường được gọi là hạng của p Tổng của cấp của p và hạng của p được gọi là chỉ số của p Định lý 2.1.5 ([12, Định lý 3.1])... định ít nhất n đường liên kết Giả thuyết này đã được chứng minh bởi Steinberg, Erd¨os, Buck, Gallai và một số người khác Năm 1958, Kelly và Moser [12] đã chứng minh được 1 t(P ) ≥ kn − (3k + 2)(k − 1) 2 1 nếu ti (P ) = 0, với mọi i > n − k và nếu n ≥ {3(3k − 2)2 + 3k − 1} Kết quả này 2 của Kelly và Moser là một bước đệm để đi đến một giả thuyết của Erd¨os rằng: Tồn tại một hằng số c độc lập với k và. .. mặt phẳng xác định ít nhất n đường liên kết Chúng xác định đúng n đường liên kết khi và chỉ khi trong số n điểm đó có n − 1 điểm cùng nằm trên một đường thẳng Hệ quả 2.2.2 có thể được chứng minh trực tiếp từ định lý Sylvester – Gallai như sau: Ta sẽ sử dụng nguyên lý quy nạp toán học để chứng minh Cụ thể, giả sử rằng số đường thẳng liên kết xác định bởi n − 1 điểm không cùng nằm trên một đường thẳng... chứng minh 3 Định lý 2.1.11 m(n) ≥ n 7 Chứng minh Gọi k là số điểm có cấp bằng hai Rõ ràng ta có m(n) ≥ k Từ định lý 2.1.7 và định lý 2.1.10 ta có m(n) ≥ 3(n − k) + 2k 3n k 3n m(n) = − ≥ − 6 6 6 6 6 Từ đó suy ra điều cần chứng minh 20 2.2 Số đường liên kết Chúng ta vẫn kí hiệu P là một tập gồm n điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng Trong phần này chúng tôi trình bày lại một số kết quả về số đường thẳng