Luận văn Chuyên ngành Đại số và lý thuyết số VỀ VÀNH NỘI XẠ BÉ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2 Tổng quan về vành nội xạ bé. Chương 3 Một số mở rộng của vành nội xạ bé Trong chương ba, chúng tôi trình bày mở rộng của vành nội xạ bé qua định nghĩa và một số các tính chất của vành này. Chúng tôi cũng đã trình bày các định lí liên quan đến vành QF, PF từ vành nội xạ bé.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN ĐĂNG BÁU VỀ VÀNH NỘI XẠ BÉ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. Lê Văn Thuyết HUẾ, Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Họ tên tác giả Nguyễn Đăng Báu. i LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, giáo sư tiến sĩ Lê Văn Thuyết, đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt luận văn này. Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tâm truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô giáo và bạn bè trong suốt thời gian tôi làm luận văn. Huế, ngày 15 tháng 09 năm 2013 Học viên thực hiện Nguyễn Đăng Báu. ii MỤC LỤC Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Một số khái niệm cơ bản về vành và môđun . . . . . . . 6 1.2. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và một số vành nội xạ . . 11 1.3. Một số lớp vành liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Tổng quan về vành nội xạ bé . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1. Môđun nội xạ bé và vành nội xạ bé . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Môđun nội xạ bé chính và vành nội xạ bé chính . . 31 2.3. Môđun nội xạ bé hữu hạn và vành nội xạ bé hữu hạn. 34 2.4. Vành FJ-nội xạ đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chương 3. Một số mở rộng của vành nội xạ bé. . . . . . . . . . . 44 3.1. Một số mở rộng của môđun nội xạ bé . . . . . . . . . . . . 44 3.2. Mối liên hệ giữa vành nội xạ bé và vành PF, QF 48 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1 BẢNG KÍ HIỆU M R M là R-môđun phải R M M là R-môđun trái J rad(R R ) = rad( R R) Z(M) môđun con suy biến của môđun M Z r , Z l Z(R R ), Z( R R) S r , S l Soc(R R ), Soc( R R) E(M R ) bao nội xạ của M R r R (X) linh hóa tử phải của X l R (X) linh hóa tử trái của X N ≤ M N là môđun con của M N < M N là môđun con thực sự của M N ≤ e M N là môđun con cốt yếu của M N ≤ ⊕ M N là hạng tử trực tiếp của M N M N là môđun con bé của M N ≤ max N là môđun cực đại của M M (I) Tổng trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M M I Tích trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M End(M) Vành các tự đồng cấu của môđun M 2 MỞ ĐẦU Lý thuyết vành và môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp đã và đang được phát triển khá mạnh mẽ. Việc nghiên cứu sâu về môđun và vành hiện nay của nhiều tác giả đã làm cho hướng nghiên cứu này có điều kiện phát triển hơn. Đặc biệt, với hướng nghiên cứu dùng phạm trù Mod-R để đặc trưng vành, ta chú trọng đến các môđun nội xạ và xạ ảnh. Chính vì thế việc mở rộng nội xạ đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, trong đó phải kể đến Wisbauer R, Faith C, Nicholson W. K. và Yousif M. F Và một trong những hướng mở rộng nội xạ khá phổ biến đó là dựa vào tiêu chuẩn Baer. Từ việc mở rộng đó, người ta đã thu được các kết quả về đặc trưng nhiều lớp vành quan trọng khác, chẳng hạn như vành PF, vành QF. Một trong các mở rộng tự nhiên của môđun nội xạ thông qua tiêu chuẩn Baer là lớp môđun nội xạ bé (small injective module). Trong đó các khái niệm môđun nội xạ bé hữu hạn phải (right small finitely injective, viết gọn là SF-nội xạ) và nội xạ bé chính phải (right small principally injective, viết gọn là SP nội xạ) là rất quan trọng. Môđun M R được gọi là nội xạ bé nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải bé của R vào M R có thể mở rộng được thành một R-đồng cấu từ R R vào M R . Vành R được gọi là nội xạ bé phải nếu môđun phải R R là nội xạ bé. Môđun M R được gọi là nội xạ bé hữu hạn (small finitely injective, viết gọn là SF-nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải bé và hữu hạn sinh vào M R có thể mở rộng thành một R-đồng cấu từ R R vào M R . Môđun M R được gọi là nội xạ bé chính (small principally injective, viết gọn là SP-nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải bé và chính vào M R có thể mở rộng thành một R-đồng cấu từ R R vào M R . Vành R được gọi là SF-nội xạ phải (tương ứng SP-nội xạ) nếu R R là SF-nội xạ (tương ứng SP-nội xạ). Ngoài ra, chúng ta cũng có thể xét đến một lớp các môđun thỏa mãn điều 3 kiện sau: ∀B ∈ Mod − R, ∀A ≤ e B mọi đồng cấu f : A −→ M có thể mở rộng thành đồng cấu từ B vào M. Việc nghiên cứu vành nội xạ bé được biết đến với Shen L. và Chen J. vào năm 2005. Năm 2009, thông qua việc khảo sát một số tính chất của môđun và vành nội xạ bé, Lê Văn Thuyết và Trương Công Quỳnh đã đưa ra một số kết quả, đồng thời cũng đã mở rộng một số kết quả của Chen và Ding. Năm 1966 Faith đã chứng minh R là QF nếu và chỉ nếu R là tự nội xạ phải và thỏa mãn điều kiện dãy tăng đối với các linh hóa tử phải. Năm 1970 Bjork đã chứng minh được rằng R là QF nếu và chỉ nếu R là F-nội xạ phải và thỏa mãn điều kiện dãy tăng đối với linh hóa tử phải. Năm 2009 Lê Văn Thuyết và Trương Công Quỳnh đã chứng minh rằng R là QF nếu và chỉ nếu R là nửa chính quy và SF-nội xạ phải thỏa ACC đới với các linh hóa tử phải cũng như R là vành SF-nội xạ thỏa ACC đối với các linh hóa tử phải và S r ≤ e R R . Trong luận văn này chúng tôi tổng quan lại một cách hệ thống các kết quả liên quan đến vành nội xạ bé, môđun SF-nội xạ cùng với vành SF-nội xạ, môđun SP-nội xạ cùng với vành SP-nội xạ, áp dụng các kết quả trong các trường hợp đặc biệt đồng thời chứng minh tường minh nhiều kết quả mà trong các bài báo [13], [14], [15] được viết ngắn gọn. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương trong đó nội dung chính được trình bày ở chương hai và chương ba. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về vành và môđun nhằm phục vụ cho những chứng minh của các chương sau. Chương 2 Tổng quan về vành nội xạ bé. Trong chương hai, chúng tôi nêu lên các định nghĩa, tính chất đặc trưng của vành nội xạ bé và một số mối liên quan với các lớp vành khác như vành nội xạ cực tiểu, vành linh hóa tử cực tiểu, vành F-nội xạ, vành P-nội xạ 4 Chương 3 Một số mở rộng của vành nội xạ bé. Trong chương ba, chúng tôi trình bày mở rộng của vành nội xạ bé qua định nghĩa và một số các tính chất của vành này. Chúng tôi cũng đã trình bày các định lí liên quan đến vành QF, PF từ vành nội xạ bé. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày khó tránh khỏi các sai sót, mong độc giả góp ý thêm để luận văn được hoàn thiện hơn. 5 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau, bao gồm một số khái niệm và kết quả cơ bản về vành và môđun, về môđun nội xạ và các lớp vành liên quan. 1.1. Một số khái niệm cơ bản về vành và môđun Trong luận văn này, vành được cho là vành có đơn vị và môđun được xét là môđun unita. 1.1.1. Vấn đề linh hóa tử Định nghĩa 1.1. Cho môđun phải M R . (a) Giả sử X ⊆ M. Linh hóa tử phải (right anihilator) của X trong R là r R (X) = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ X}. (b) Giả sử A ⊆ R. Linh hóa tử trái (left anihilator) của A trong M là l M (A) = {x ∈ M | xa = 0, ∀a ∈ A}. Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết gọn r R (x), l M (a). Với những linh hóa tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu l, r cho gọn. Mệnh đề 1.1.1 ([1], MĐ 1.2.3, p.153). Cho R M. X, Y ≤ M, A, B ≤ R R . Lúc đó: i) A ≤ B ⇒ r M (A) ≥ r M (B). ii) X ≤ r M l R (X), A ≤ l R r M (A). iii) l R (X) = l R r M l R (X), r M (A) = r M l R r M (A). 6 Mệnh đề 1.1.2 ([1], MĐ 1.2.4, p.153). Cho R M và (K α ) α∈A , (I α ) α∈A lần lượt là các nhóm con của nhóm cộng M và R tương ứng. Khi đó: i) l R ( A K α ) = A l R (K α ). ii) r M ( A I α ) = A r M (I α ). 1.1.2. Căn và đế của vành Mệnh đề 1.1.3 ([1], MĐ 1.1.1, p.101). Cho M = M R . Khi đó: i) AM A = B≤M B = ϕ∈Hom R (M,N) Kerϕ trong đó B là môđun con cực đại của M, còn N R là môđun nửa đơn tùy ý. ii) A≤ e M A = B≤M B = ϕ∈Hom R (N,M) Imϕ trong đó B là môđun con đơn của M, còn N R là môđun nửa đơn tùy ý. Định nghĩa 1.2. i) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.1.3 (i) được gọi là căn của M, kí hiệu là rad(M). ii) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.1.3 (ii) được gọi là đế của M, kí hiệu là soc(M). Mệnh đề 1.1.4 ([3], Proposition 9.14, p.120). Cho M, N là các R-môđun phải, f : M −→ N là một R-đồng cấu. Khi đó f(RadM) ≤ RadN. Mệnh đề 1.1.5 ([6], Lemma 9.3.1). Cho A ≤ R R . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: i) A R R . ii) A ≤ rad(R R ). iii) ∀a ∈ A[1 − a khả nghịch phải trongR]. iv) ∀a ∈ A[1 − a khả nghịch trong R]. 7 [...]... và nội xạ bé chính, sau đó chuyển qua những tính chất của các vành đó Từ đó sẽ giúp tìm hiểu thêm mối liên hệ với các vành khác ở chương sau 2.1 Môđun nội xạ bé và vành nội xạ bé Định nghĩa 2.1 (Môđun nội xạ bé và vành nội xạ bé) i) Một môđun MR được gọi là nội xạ bé nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải bé đến MR có thể mở rộng thành một R-đồng cấu từ RR đến MR ii) Một vành R được gọi là nội xạ bé phải... (S) là nội xạ bé (iii ⇒ i) Rõ ràng 30 2.2 Môđun nội xạ bé chính và vành nội xạ bé chính Định nghĩa 2.3 (Môđun nội xạ bé chính và vành nội xạ bé chính) i) Môđun MR được gọi là nội xạ bé chính (small principally injective, viết gọn SP -nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải bé và chính đến MR có thể mở rộng thành một R-đồng cấu từ RR vào MR ii) Vành R được gọi là SP -nội xạ phải nếu RR là SP -nội xạ Nhận... nội xạ bé Tức là mọi R-đồng cấu từ một iđêan phải bé đến RR đều có thể mở rộng thành R-đồng cấu từ RR đến RR Nhận xét 5 Từ định nghĩa ta suy ra: i) Mọi vành nửa nguyên thủy (J = 0) đều là vành nội xạ bé phải và trái ii) Mọi vành tự nội xạ phải (trái) đều là vành nội xạ bé phải (trái) Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng Ví dụ 2 Vành Z các số nguyên là vành nội xạ bé phải, nhưng không là vành. .. môđun P -nội xạ thì MR cũng là môđun SP -nội xạ Mọi vành nội xạ bé phải (trái) đều là nội xạ bé chính phải (trái) Ví dụ 4 Vành Z các số nguyên và vành Q các số hữu tỉ đều là vành nội xạ bé chính Mệnh đề 2.2.1 Hạng tử trực tiếp của một môđun SP -nội xạ phải là môđun SP -nội xạ phải Chứng minh Giả sử MR là một môđun SP -nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M Với a ∈ J, gọi f : aR −→ A là R-đồng cấu và i :... môđun nội xạ thì MR cũng là môđun P -nội xạ ii) Mọi vành tự nội xạ phải (trái) đều là vành P -nội xạ phải (trái) iii) Mọi vành P -nội xạ phải (trái) đều là vành nội xạ cực tiểu phải (trái) 14 Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng Ví dụ vành Z các số nguyên là nội xạ cực tiểu phải nhưng không là vành P -nội xạ phải Bổ đề dưới đây sẽ cho chúng ta biết các đặc trưng quan trọng của vành P -nội xạ phải... môđun nội xạ cực tiểu Tức là mọi iđêan đơn phải là mở rộng được Nhận xét 2 Mọi vành R có đế phải bằng 0 (Sr = 0) đều là vành nội xạ cực tiểu phải Ví dụ 1 (i) Vành các số nguyên Z là vành nội xạ cực tiểu phải (Do trong Z không có iđêan phải cực tiểu nào nên soc(ZZ ) = 0) (ii) Mọi vành đa thức R[x] đều là vành nội xạ cực tiểu trái và phải (Do cả đế phải và đế trái của R[x] đều bằng không) Định lý 1.2.3... nếu và chỉ nếu R là tự nội xạ phải và thỏa ACC đối với các linh hóa tử phải Ngoài ra J E Bj¨rk đã chứng minh o được định lí mở rộng hơn sau: Định lý 1.3.17 ([4], Threorem 4.1) Cho R là vành F -nội xạ trái, thỏa ACC đối với các linh hóa tử trái Khi đó R là QF 23 CHƯƠNG 2 TỔNG QUAN VỀ VÀNH NỘI XẠ BÉ Trong chương này, chúng tôi sẽ nêu lên những đặc trưng cơ bản của các vành nội xạ bé, nội xạ bé hữu hạn và. .. Sl 1.2.3 Vành nội xạ chính Một trong các mở rộng tự nhiên của môđun nội xạ thông qua tiêu chuấn Baer là lớp các môđun nội xạ chính (principlally injective module, viết tắt là môđun P -nội xạ) Định nghĩa 1.16 (Môđun P -nội xạ và vành P -nội xạ) i) Môđun MR được gọi là môđun nội xạ chính (principlally injective module, viết tắt môđun P -nội xạ) nếu mọi đồng cấu α : aR −→ M, a ∈ R đều có thể mở rộng thành... đều là vành tự nội xạ phải ii) Nếu R là vành tự nội xạ phải thì E(RR ) = RR Định nghĩa 1.14 (Vành F -nội xạ) Vành R được gọi là vành F -nội xạ phải nếu mọi iđêan phải hữu hạn sinh đều mở rộng được Bổ đề 1.2.2 ([10], Lemma 1.36, p.21) Cho T và T’ là các iđêan phải của vành R Khi đó nếu l(T ∩T ) = l(T )+l(T ) và α : T +T −→ R là R-đồng cấu sao cho α|T : T −→ R và α|T : T −→ R đều có thể mở rộng thành R... Định nghĩa 1.24 (Vành hoàn chỉnh) Vành R được gọi là vành hoàn chỉnh phải (right perfect ring) nếu R/J là nửa đơn và J là T -lũy linh phải Định nghĩa 1.25 (Vành nửa hoàn chỉnh) Vành R được gọi là vành nửa hoàn chỉnh (semiperfect ring) nếu R là vành nửa địa phương và các lũy đẳng nâng lên được môdulô J Nhận xét 4 Từ định nghĩa suy ra: Mọi vành nửa hoàn chỉnh đều là vành nửa chính quy và nửa địa phương . trưng của vành nội xạ bé và một số mối liên quan với các lớp vành khác như vành nội xạ cực tiểu, vành linh hóa tử cực tiểu, vành F -nội xạ, vành P -nội xạ 4 Chương 3 Một số mở rộng của vành nội xạ bé. Trong. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN ĐĂNG BÁU VỀ VÀNH NỘI XẠ BÉ VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN. bao gồm một số khái niệm và kết quả cơ bản về vành và môđun, về môđun nội xạ và các lớp vành liên quan. 1.1. Một số khái niệm cơ bản về vành và môđun Trong luận văn này, vành được cho là vành có