chính
Định nghĩa 2.3. (Môđun nội xạ bé chính và vành nội xạ bé chính). i) Môđun MR được gọi là nội xạ bé chính (small principally injective, viết gọn SP-nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải bé và chính đến
MR có thể mở rộng thành một R-đồng cấu từ RR vào MR. ii) Vành R được gọi là SP-nội xạ phải nếu RR là SP-nội xạ.
Nhận xét 6. Nếu MR là môđun P-nội xạ thì MR cũng là môđun SP-nội xạ. Mọi vành nội xạ bé phải (trái) đều là nội xạ bé chính phải (trái).
Ví dụ 4. Vành Z các số nguyên và vành Q các số hữu tỉ đều là vành nội xạ bé chính.
Mệnh đề 2.2.1. Hạng tử trực tiếp của một môđun SP-nội xạ phải là môđun SP-nội xạ phải.
Chứng minh.
Giả sử MR là một môđun SP-nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M. Với
a∈ J, gọi f : aR −→A là R-đồng cấu và i : aR −→ R là phép nhúng.
Vì A là một hạng tử trực tiếp của M nên ta có phép nhúng ϑ : A−→ M. Khi đó ϑf cũng là một R-đồng cấu. Theo giả thiết M là môđun SP-nội xạ phải nên tồn tại đồng cấu g : R −→M sao cho ϑf = gi.
aR f i //R h } } g A π M ϑ O O
Đặt h = πg : R −→ A với π : M −→ A là một phép chiếu. Khi đó với mọi x∈aR, hi(x) =πgi(x) =πϑf(x) =f(x) tức là f =hi. Vậy A là môđun
SP-nội xạ phải.
Bổ đề dưới đây sẽ cho chúng ta biết những đặc trưng quan trọng của vành nội xạ bé chính và được sử dụng nhiều về sau.
Bổ đề 2.2.2. Các khẳng định sau là tương đương đối với vành R: i) R là SP-nội xạ phải.
ii) lr(a) =Ra với mọi a ∈J.
iii) Nếu r(a) ≤r(b) với a∈ J, b∈R suy ra Rb≤ Ra.
iv) l(bR∩r(a)) =l(b) +Ra với mọi a∈ J, b∈R.
v) Nếu γ :aR −→ R, a∈ J là một R-đồng cấu thì γ(a) ∈ Ra.
Chứng minh.
(i ⇒ ii) Ta luôn có Ra≤ lr(a). Ta chứng minh lr(a) ≤ Ra. Thật vậy với mọi b ∈ lr(a) ta có br(a) = 0 nên với mọi x ∈ r(a) thì bx = 0 hay x ∈ r(b), do đó r(a) ≤r(b). Xét tương ứng
α: aR −→ R
ar7−→ α(ar) =br, ∀r∈ R.
Khi đó α là một ánh xạ. Thậy vậy nếu ar = ar0 ∈ aR. Suy ra α(ar) =
br, α(ar0) = ar0. Do ar = ar0 nên r−r0 ∈ r(a) ≤ r(b). Suy ra b(r−r0) = 0
hay br= br0.
Dễ thấy α là R-đồng cấu, với mọi a ∈ J ta có Ra R. Theo (i), R là SP-nội xạ nên α = c· với c ∈ R. Từ đó suy ra α(a) = ca hay b = ca ∈ Ra. Suy ra b∈Ra. Vậy lr(a) ≤ Ra.
(ii ⇒ iii) Với a ∈ J thỏa r(a) ≤ r(b) thì ta có br(a) ≤ br(b) = 0 suy ra
b∈ lr(a) =Ra với mọi a∈ J. Do đó Rb≤ Ra.
(iii ⇒ iv) Với mọi x∈ l(b) +Ra, x = b0+ra trong đó r ∈ R, b0b = 0. Với
bs ∈ bR∩r(a), s ∈ R thì abs = 0. Lúc đó xbs = (b0+ra)bs = b0bs+rabs = 0⇒ x∈l(bR∩r(a)).
Ngược lại, với bất kỳ x ∈ l(bR∩ r(a)) ta có x[bR ∩ r(a)] = 0 và với mọi c ∈ r(ab) ta có abc = 0 do đó bc ∈ bR∩ r(a). Khi đó xbc = 0 hay
c∈ r(xb) ⇒ r(ab)≤ r(xb) với mọi a∈ J, b∈ R. Theo (iii) ta có Rxb≤ Rab. Do đó xb = rab với r ∈ R. Suy ra x−ra ∈ l(b) hay x ∈ Ra+l(b). Như vậy
l(bR∩r(a))≤ l(b) +Ra.
(iv ⇒ v) Do (iiii) đúng với mọi a ∈ J, b ∈ R, với trường hợp b = 1 ta có lr(a) = lr(1) + Ra = Ra với mọi a ∈ J. Để chứng minh γ(a) ∈ Ra ta chứng minh γ(a) ∈ lr(a). Thật vậy với bất kỳ r ∈ r(a) thì ar = 0 do đó
γ(a)r=γ(ar) =γ(0) = 0 suy ra γ(a)r(a) = 0 hay γ(a) ∈lr(a).
(v ⇒ i) Xét đồng cấu γ :aR −→ RR, a∈ J. Vì γ(a) ∈ Ranên γ(a) =ra
với r ∈ R, a ∈ J tức là γ = r· với r ∈ R. Mặt khác aR R. Do đó R là
SP-nội xạ phải.
Mệnh đề 2.2.3. Cho R là vành SP-nội xạ phải. Khi đó i) R là nội xạ cực tiểu phải và linh hóa tử cực tiểu trái. ii) J ≤ Zr.
Chứng minh.
i) Chứng minh tương tự Mệnh đề 2.1.5.
ii) Với mọi a ∈ J ta chứng minh r(a) ≤e RR. Thật vậy, với b ∈ R thỏa
bR∩r(a) = 0. Lúc đó theo Bổ đề 2.2.2 ta có R = l(0) = l(b) +Ra với mọi
a∈ J, B ∈R. Mà ta cóRa R với mọia ∈J suy ra R =l(b). Do đó b = 0. Như vậy bR∩r(a) = 0 ⇒bR = 0 nênr(a) ≤e RR.
Mệnh đề 2.2.4 ([15], Proposition 2.14). Cho R là SP-nội xạ và R/Soc(RR) thỏa điều kiện ACC đối với các linh hóa tử. Khi đó J là lũy linh.
Chứng minh.
Giả sửR/Soc(RR)thỏa ACC đối với các linh hóa tử. ĐặtS =Soc(RR), R =
R/S. Với bất kỳ a1, a2, . . .∈J thỏa rR(a1) ≤rR(a2 a1) ≤. . .. Theo giả thiết, tồn tạim∈ N∗sao cho rR(am. . . a2a1) =rR(am+k. . . a2a1)vớik = 0,1, . . .. Vì
an+1an. . . a1 ∈J ≤Zrnênr(an+1an. . . a1) ≤e RR, do đóS ≤ r(an+1an. . . a1). Tiếp theo chúng ta chứng minh
rR(an. . . a2a1) ≤r(an+1an. . . a1)/S ≤rR(an+1. . . a2a1)
với k = 0,1,2. . ..
Thật vậy giả sử b + S ∈ rR(an. . . a2a1). Suy ra an. . . a1b ∈ S. Mặt khác vì S ≤ r(an+1) nên an+1an. . . a1b = 0 suy ra b ∈ r(an+1. . . a1), do đó b+S ∈ r(an+1an. . . a1)/S. Mặt khác với c+S ∈ r(an+1an. . . a1)/S ta có (an+1. . . a1)c = 0 suy ra (an+1. . . a1)(c+S) ∈S hay c+S ∈ rR(an+1. . . a1). Vậy rR(an. . . a2a1)≤ r(an+1an. . . a1)/S ≤ rR(an+1. . . a2a1) (*). Ta có rR(am. . . a2a1) =rR(am+2. . . a2a1), từ (*) ta suy ra r(am+1am. . . a1)/S =r(am+2am+1. . . a1)/S. Do đó r(am+1am. . . a1) = r(am+2am+1. . . a1). Suy ra (am+1am. . . a1)R ∩ r(am+2) = 0. Mà r(am+2) ≤e RR, suy ra am+1. . . a1 = 0, do đó J là T-lũy linh. Suy ra (J +S)/S của vành R =R/S cũng là T-lũy linh.
Mặt khác theo giả thiết R/S thỏa ACC đối với các linh hóa tử phải nên (J +S)/S là lũy linh. Do đó tồn tại số t ∈ N sao cho Jt ≤ S. Do đó
Jt+1 ≤ SJ = 0. Vậy J là lũy linh.