Một trong các mở rộng tự nhiên của môđun nội xạ bé thông qua định nghĩa là lớp môđun tựa nội xạ bé. Trong phần này chúng tôi sẽ nêu lên những đặc trưng cơ bản của môđun tựa nội xạ và những tính chất của nó.
3.1.1. Môđun SPQ-nội xạ - Môđun SFQ-nội xạ.
Định nghĩa 3.1. (Môđun SQ-nội xạ - Môđun SPQ-nội xạ - Môđun SFQ-nội xạ)
i) Môđun MR được gọi là tựa nội xạ bé (small quasi injective, viết gọn SQ-nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một môđun con bé của MR đếnMR có thể mở rộng thành một tự đồng cấu của MR.
ii) Môđun MR được gọi là tựa nội xạ bé chính (small principally quasi injective, viết gọn SPQ-nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một môđun con bé, chính của MR đến MR có thể mở rộng thành một tự đồng cấu của
MR.
iii) Môđun MR được gọi là tựa nội xạ bé hữu hạn (small finitely quasi injective, viết gọn SFQ-nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một môđun con bé, hữu hạn sinh của MR đến MR có thể mở rộng thành một tự đồng cấu của MR.
Nhận xét 8. Mọi môđun SP-nội xạ đều là môđun SPQ-nội xạ bé. Mọi môđun SF-nội xạ đều là môđun SFQ-nội xạ.
Bổ đề 3.1.1. Cho R-môđun phải M. Những khẳng định sau là tương đương: i) MR là SPQ-nội xạ phải.
ii) lM(rR(m)) = Sm với mọi m∈Rad(M), S =End(MR).
iii) Nếu rR(m) ≤ rR(n) với m∈Rad(M), n∈M thì Sn ≤Sm.
iv) Nếu γ :mR −→ M, m∈Rad(M) là một R-đồng cấu thì γ(m)∈ Sm.
Chứng minh.
Tương tự Bổ đề 2.2.2.
Định lý 3.1.2. MR là môđun SPQ-nội xạ vớiS = End(MR). Khi đólS(mR∩ rM(α)) =lS(m) +Sα với m∈Rad(M).
Chứng minh.
Với mọi β ∈ lS(m) +Sα thì β = m0+sα trong đó s ∈ S và m0m = 0. Lấy bất kỳ mr ∈ mR∩rM(α), r ∈ R ta có αmr = 0. Khi đó βmr = (m0+
sα)mr =m0mr+sαmr = 0 suy ra β ∈l[mR∩rM(α)]. Do đó lS(m) +Sα ≤ lS(mR∩rM(α)).
Ngược lại lấy β ∈ lS(mR ∩ rM(α)). Nếu r ∈ rM(α(m)) thì α(m)r = 0
do đó mr ∈ rM(α) ∩ mR. Suy ra βmr = 0 tức là β(mr) = 0 từ đó suy ra rM(α(m)) ≤ rR(β(m)). Mặt khác vì m ∈ Rad(M) nên theo Mệnh đề 1.1.4 ta có α(m) ∈ Rad(M). Theo Bổ đề 3.1.1 ta có Sβ(m) ≤ Sα(m) nên
β(m) = γα(m) với γ ∈ S nào đó. Suy ra (β −γα)(m) = 0 hay β − γα ∈ lS(m). Do đó β ∈ Sα+lS(m). Suy ra lS(mR∩rM(α)) ≤ lS(m) +Sα. Vậy
lS(mR∩rM(α))≤lS(m) +Sα.
Định lý 3.1.3. Môđun MR là SFQ-nội xạ phải nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) lS(T ∩T0) = lS(T) +lS(T0) với mọi T và T’ là các môđun con phải bé và hữu hạn sinh.
ii) MR là SPQ-nội xạ phải.
Chứng minh.
Tương tự Bổ đề 2.3.1.
Định nghĩa 3.2. (Vành SPP phải) Vành R được gọi là vành SPP phải
nếu mọi iđêan phải chính, bé là xạ ảnh.
Định lý 3.1.4. Cho vành R, các khẳng định sau là tương đương: i) R là vành SPP phải.
ii) Mọi môđun thương của một môđun SP-nội xạ là SP-nội xạ. iii) Mọi môđun thương của một môđun nội xạ bé là SP-nội xạ.
iv) Mọi môđun thương của một môđun nội xạ là SP-nội xạ.
v) Tổng của hai môđun con nội xạ của một R-môđun phải là SP-nội. vi) Tổng của hai môđun con nội xạ bé của một R-môđun phải là SP-nội. vii) Tổng của hai môđun con SP-nội xạ của một R-môđun là SP-nội xạ.
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii) Giả sử M làR-môđun phải SP-nội xạ, N là môđun con củaM. Giả sử aR là iđêan phải bé và f ∈Hom(aR, M/N). Vì aR là xạ ảnh nên tồn tại g ∈Hom(aR, M) sao cho pg =f với p: M −→M/N là phép chiếu.
aR
g
|
| f
Mặt khác do M là SP-nội xạ nên tồn tại h∈Hom(R, M) sao cho hi =g với i : aR −→ R là ánh xạ bao hàm. R h aR i o o g | | f 0 o o M p //M/N //0.
Khi đó f =phi do đó (ph)|aR = f nên M/N là SP-nội xạ.
(ii) ⇒(iii) ⇒ (iv) và (vii) ⇒ (vi) ⇒(v) là rõ ràng.
(iv) ⇒ (v) Giả sử E, U là hai môđun con nội xạ của R-môđunM. Khi đó
E ⊕U là nội xạ. Do đó ta có một toàn cấu chính tắc ϕ : E ⊕U −→ E +U
suy ra E ⊕U/Kerϕ ∼= E+U. Theo giả thiết E ⊕U/Kerϕ là SP-nội xạ nên E+U là SP-nội xạ.
(ii) ⇒(vii),(iii) ⇒ (vi) tương tự như (iv)⇒ (v).
(v) ⇒ (iv) Giả sử E là môđun nội xạ, N là môđun con của E. Ta chứng minh E/N là SP-nội xạ.
Giả sử U = E ⊕E, V = {(y, y) | y ∈ N}, U = U/V, E1 = {(x,0) | x ∈ E}, E2 = {(0, x) | x ∈ E}. Khi đó U = E1+E2 và Ei ∼= E (i = 1,2). Suy
ra U là SP-nội xạ (theo v). Vì E1 là hạng tử trực tiếp của U nên U /E1 là SP-nội xạ. Mặt khác ta có U /E1 ∼= E/N do đó E/N cũng là SP-nội xạ.
(iv) ⇒ (i) Giả sử E là một R-môđun phải nội xạ, N là một môđun con của E, p : E −→ E/N là toàn cấu. Giả sử aR là iđêan phải bé và
f ∈Hom(R, E/N). Vì E/N là SP-nội xạ nên tồn tại g ∈Hom(E, E/N) sao cho f = gi với i: aR −→ R là ánh xạ bao hàm. Do E làR-môđun nội xạ nên tồn tại h ∈Hom(R, E) sao cho g =ph.
R h g " " aR i o o f 0 o o E p //E/N //0. Khi đó f = (ph)i do đó aR là xạ ảnh.
Định lý 3.1.5 ([17], Theorem 3.6). Cho vành R, nếu mọi R-môđun phải đơn là SP-nội xạ và với bất kỳ iđêan phải cực đại K của iđêan phải bé aR thì luôn tồn tại một iđêan phải cực đại H của R sao cho H ∩aR =K ∩aR.
Chứng minh.
Giả sử K là iđêan phải cực đại của iđêan phải bé aR, khi đó aR/K là
R-môđun phải đơn. Theo giả thiết ta có aR/K là SP-nội xạ. Xét tương ứng:
f :aR −→ aR/K
ar7−→ f(ar) =ar+K với r ∈R
thì f là một R-đồng cấu nên tồn tại g : R −→ aR/K sao cho g|aR = f. Đặt
H = Kerg, vì aR/K là đơn suy ra R/Kerg cũng đơn do đó H là môđun con cực đại của R. Lúc đó Kerf = aR∩K = Ker(g|aR) = aR ∩H. Do đó
aR∩H =aR∩K.
Định lý 3.1.6 ([17], Theorem 3.7). Cho vành R, nếu mọi R-môđun phải đơn là SP-nội xạ thì mọi iđêan phải bé aR của R là lũy đẳng.
Chứng minh.
Giả sử iđêan phải bé aR củaR không là lũy đẳng, suy ra(aR)2 6=aR, khi đó tồn tại một iđêan con cực đạiK củaaR sao cho (aR)2 ≤K. Theo Định lí 3.1.5 tồn tại một iđêan phải cực đạiH củaaR sao choH∩aR = K∩aR. Suy ra H+aR =R. Vì vậy1 = ar+hvới r∈ R, h∈H suy ra ar=arar+har. Mặt khác vì arar ∈ (aR)2 ≤ K nên ar ∈ aR ∩ K = aR ∩ H. Suy ra
ar = arar+har∈ H do đó 1 = ar+h ∈H (mâu thuẩn). Vậy (aR)2 = aR.