Luận văn Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số VỀ VÀNH NỘI XẠ 2ĐƠN VÀ MỘT SỐ VÀNH LIÊN QUAN. Lý thuyết vành và môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã và đang được phát triển mạnh mẽ, với sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Một trong các hướng nghiên cứu của lý thuyết này là việc nghiên cứu vành và môđun nội xạ cũng như mở rộng khái niệm nội xạ nhờ tiêu chuẩn Baer.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN QUANG THẠNH VỀ VÀNH NỘI XẠ 2-ĐƠN VÀ MỘT SỐ VÀNH LIÊN QUAN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học GS.TS. Lê Văn Thuyết HUẾ, 2013 MỤC LỤC Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về vành và môđun 1 1.1. Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu - Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Môđun đối ngẫu - Môđun Artin và một số môđun khác 4 1.3. Căn và đế của vành và môđun - Phần tử lũy linh và phần tử lũy đẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Vấn đề linh hóa tử - Vành nửa địa phương - Vành nửa hoàn chỉnh và vành hoàn chỉnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Môđun liên tục - Vành QF - Vành Kasch. . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6. Vành nội xạ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7. Vành nội xạ chính và vành nội xạ đơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8. Mở rộng tầm thường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chương 2. Về vành nội xạ 2-đơn và một số vành liên quan . . . . . . 33 2.1. Định nghĩa và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Vành nội xạ 2-đơn và vành Kasch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4. Một số kết quả liên quan đến các vành khác. . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 i BẢNG KÍ HIỆU M R M là R-môđun phải R M M là R-môđun trái J, J(R) rad(R R ) = rad( R R) Z(M) Môđun con suy biến của môđun M Z r , Z l Z(R R ), Z( R R) S r , S l soc(R R ), soc( R R) E(M R ) Bao nội xạ của M R r R (X) Linh hóa tử phải của X l R (X) Linh hóa tử trái của X N ≤ M N là môđun con của M N < M N là môđun con thực sự của M N ≤ e M N là môđun con cốt yếu (lớn) của M N ≤ ⊕ M N là hạng tử trực tiếp của M N M N là môđun con đối cốt yếu (bé) của M N ≤ max N là môđun cực đại của M M (I) Tổng trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M M I Tích trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M M ∗ Hom R (M R , R) length(M) Độ dài của dãy hợp thành của môđun M End(M) Vành các tự đồng cấu của môđun M c·, ·c Phép nhân trái (phải) bởi phần tử c ii MỞ ĐẦU Lý thuyết vành và môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã và đang được phát triển mạnh mẽ, với sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Một trong các hướng nghiên cứu của lý thuyết này là việc nghiên cứu vành và môđun nội xạ cũng như mở rộng khái niệm nội xạ nhờ tiêu chuẩn Baer. Trước hết, chúng tôi xin đề cập đến vành tựa Frobenius (quasi-Frobenius, viết tắt là QF ). Vành QF được Nakayama giới thiệu vào năm 1939, đến năm 1951, Ikeda đã đặc trưng vành này thông qua vành Artin (hoặc Nơte) phải (hoặc trái), và tự nội xạ phải (hoặc trái). Sở dĩ Ikeda đặc trưng được như vậy, một phần là nhờ vào việc Baer đã giới thiệu khái niệm môđun nội xạ (injective module) vào năm 1940. Tiêu chuẩn Baer về môđun nội xạ phát biểu rằng: “Một R-môđun phải M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi I ⊂ R là iđêan phải, với mọi đồng cấu γ : I → M đều có thể mở rộng thành đồng cấu từ R R → M, nghĩa là γ = c· là phép nhân bởi phần tử c ∈ M”. Từ khái niệm nội xạ ban đầu, nhiều khái niệm mới đã được hình thành và nghiên cứu. Chẳng hạn, nếu R R là môđun nội xạ phải thì vành R được gọi là tự nội xạ phải (right self-injective). Trong tiêu chuẩn Baer, nếu γ(I) là đơn thì vành R được gọi là nội xạ đơn (simple injective). Nếu với mỗi môđun con hữu hạn sinh K của một R-môđun phải tự do F, với mọi đồng cấu từ K → M R đều có thể mở rộng thành đồng cấu từ F R → M R thì M R được gọi là môđun F P -nội xạ phải (right F P-injective). Vành R được gọi là FP -nội xạ phải nếu R R là môđun F P -nội xạ phải. Bây giờ, với n ∈ N ∗ , trong tiêu chuẩn Baer, ta chọn I là iđêan n-sinh thì lúc đó môđun M R được gọi là n-nội xạ phải (right n-injective) và vành R được gọi là vành n-nội xạ; nếu lấy I là những iđêan phải chính thì ta có khái niệm môđun P -nội xạ phải (right principally injective) và vành tương ứng là vành P -nội xạ [5]. Rõ ràng, vành P-nội xạ phải chính là vành 1-nội xạ phải. Tiếp theo, trong [4], S.B. Nam, N.K. Kim và J.Y. Kim đã định nghĩa rằng, vành R được gọi là nội xạ chính suy rộng phải (right general principally injective), gọi tắt là GP-nội xạ phải, nếu với mỗi 0 = a ∈ R, tồn tại một số nguyên dương n sao cho a n = 0 và mỗi R-đồng cấu phải từ a n R vào R đều mở rộng được thành tự đồng cấu của R. Vành GP -nội xạ xác định như trên còn được gọi là vành Y J-nội xạ [8]. Vành iii R được gọi là AGP-nội xạ phải nếu với mỗi 0 = a ∈ R, tồn tại một số nguyên dương n sao cho a n = 0 và Ra n là một hạng tử trực tiếp của l(r(a n )). Vành R được gọi là nội xạ cực tiểu phải nếu với mọi iđêan phải cực tiểu I của R, với mỗi R-đồng cấu từ I vào R đều có thể mở rộng thành tự đồng cấu của R. Liên quan đến các khái niệm vành mở rộng ở trên, chúng ta có một số kết quả chính sau đây: tự nội xạ phải ⇒ nội xạ đơn phải và FP -nội xạ phải. F P -nội xạ phải ⇒ 2-nội xạ phải ⇒ P -nội xạ phải ⇒ GP-nội xạ phải ⇒ AGP -nội xạ phải và nội xạ cực tiểu phải. Chiều ngược lại của các kết quả trên nói chung không đúng. Trong dãy kết quả trên, vành 2-nội xạ và vành nội xạ đơn cũng như các mối quan hệ của chúng với vành QF được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả. Năm 2010, trên tạp chí toán học International Journal of Algebra, số 4, hai nhà toán học Zhu Zhanmin và Chen Jianlong đã đưa ra khái niệm “Vành nội xạ 2-đơn”, được kết hợp từ hai vành nói trên. Lớp vành này rộng hơn lớp các vành nội xạ đơn và 2-nội xạ. Trong bài báo đó, các tác giả đã đưa ra một số đặc điểm, tính chất, điều kiện và mối liên hệ giữa vành này với vành QF. Vì quan tâm đến vành này nên chúng tôi chọn đề tài “Về vành nội xạ 2-đơn và một số vành liên quan” để tiến hành nghiên cứu với hi vọng có thể tìm hiểu sâu hơn về các tính chất của chúng. Mục tiêu của luận văn là hệ thống, tổng hợp, làm rõ một số kết quả liên quan đến vành nội xạ 2-đơn và các vành có liên quan. Đặc biệt, đưa ra thêm những ví dụ để làm rõ hơn một số tính chất. Với nội dung này và mục tiêu như vậy, luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun và vành QF cũng như một số vành có liên quan: vành nửa địa phương, vành nửa hoàn chỉnh, vành hoàn chỉnh, vành QF , vành Kasch, vành nội xạ cực tiểu, vành nội xạ chính, vành nội xạ đơn. . . Chương 2: Trình bày định nghĩa và một số đặc điểm, tính chất, ví dụ của vành nội xạ 2-đơn cũng như một số vành có liên quan. Mối liên hệ giữa vành nội xạ 2-đơn, tựa nội xạ 2-đơn với căn và đế của môđun, với linh hóa tử, vành Kasch, vành có chiều hữu hạn, . iv Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày khó tránh khỏi các sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để luận văn được hoàn thiện hơn. Huế, Ngày 15 tháng 9 năm 2013 Học viên thực hiện Trần Quang Thạnh. v CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN Trong suốt luận văn này, vành được nhắc đến luôn và vành kết hợp có đơn vị và các R-môđun đều unita. 1.1. Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu - Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 1.1.1. Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu Định nghĩa 1.1 (Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu). 1) Một môđun con K của môđun M được gọi là cốt yếu (lớn) trong M, kí hiệu K ≤ e M, nếu K ∩ X = 0 với mỗi môđun con X = 0 của M. 2) Một môđun con K của môđun M được gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M, kí hiệu K M, nếu K + X = M với X là môđun con của M thì X = M. Bổ đề 1.1.1 ([6], Lemma 1.1). Cho M là một môđun. 1) Nếu K ≤ N ≤ M thì K ≤ e M khi và chỉ khi K ≤ e N và N ≤ e M. 2) Nếu K ≤ e N ≤ M và K ≤ e N ≤ M thì K ∩ K ≤ e N ∩ N . 3) Nếu α : M → N là R-đồng cấu và K ≤ e N thì α −1 (K) ≤ e M, trong đó α −1 (K) = {m ∈ M : α(m) ∈ K}. 4) Gọi M ⊕ i∈I M i là tổng trực tiếp các môđun con M i của M và với mỗi i, xét K i ≤ M i . Lúc đó ⊕ i∈I K i ≤ e M khi và chỉ khi K i ≤ e M i với mọi i. 1.1.2. Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh Định nghĩa 1.2 (Môđun nội xạ). Một môđun E R được gọi là nội xạ nếu với mỗi R-đơn cấu α : N → M, với mỗi R-đồng cấu β : N → E đều tồn tại R-đồng cấu 1 γ : M → E sao cho β = γ ◦ α. Tức là, ta có biểu đồ sau giao hoán: 0 // N α // β M γ }} E Bổ đề 1.1.2 ([6], Lemma 1.2). Môđun E là nội xạ khi và chỉ khi với mọi R-đồng cấu β : K → R đều mở rộng được thành R-đồng cấu γ : M → E, trong đó K ≤ M. Chứng minh. (⇒) Hiển nhiên. (⇒) Giả sử α : N → M là R-đơn cấu. Xét đồng cấu α : α(N) → N xác định bởi α (α(N)) = n với n ∈ N. Lúc đó, theo giả thiết, nếu β : N → E thì đồng cấu β ◦ α : α(N) → E có thể mở rộng thành γ : M → E và tất nhiên ta có α ◦ α = β. Bổ đề 1.1.3 (Tiêu chuẩn Baer). Một R-môđun phải E là nội xạ khi và chỉ khi với mọi I ⊂ R là iđêan phải, với mọi đồng cấu γ : I → E đều có thể mở rộng thành đồng cấu từ R R → E, nghĩa là γ = c· là phép nhân bởi phần tử c ∈ E. Chứng minh. “Điều kiện cần” là hiển nhiên. Để chứng minh “điều kiện đủ”, ta xét K là môđun con của M và β : K → E. Đặt F là tập gồm tất cả các cặp (K , β ) sao cho K ≤ K ≤ M và β : K → E là mở rộng của β. Theo Bổ đề Zorn, ta có thể chọn (K , β”) là phần tử cực đại của F. Ta sẽ chứng tỏ rằng K = M, bằng phản chứng. Thật vậy, giả sử K = M, lúc đó tồn tại m ∈ M\K . Đặt T = {r ∈ R|mr ∈ K } là một iđêan phải và xét γ : T → E xác định bởi γ(r) = β (mr). Theo giả thiết, tồn tại ˆγ : R → E là mở rộng của γ và ta xác định được ˆ β : K + mR → E cho bởi ˆ β(y + mr) = β (y)+ ˆγ(r), trong đó y ∈ K và r ∈ R. Ánh xạ này hoàn toàn có nghĩa, bởi vì nếu y + mr = 0 thì mr ∈ K và ˆγ(r) = λ(r) = β (mr) = β (−y) = −β (y). Vì ˆ β là R-đồng cấu và từ cách xây dựng, ta có ˆ β là mở rộng của β , điều này mâu thuẫn với tính cực đại của (K , β ) trong F. Do đó K = M. Bổ đề 1.1.4 ([6], Lemma 1.5). Cho vành R. Lúc đó: 1) Nếu Q là nhóm chia được thì E R = Hom Z (R, Q) là R-môđun nội xạ phải. 2) Mọi môđun M R đều có thể nhúng vào một môđun nội xạ phải. Định nghĩa 1.3 (Môđun tự do). Một môđun F R được gọi là tự do nếu nó đẳng cấu với tổng trực tiếp R (I) của |I| bản sao của R; một cách tương đương, F có một cơ 2 sở {x i |i ∈ I}; nghĩa là F = i∈I x i R và n i=1 x i r i = 0, r i ∈ R cho ta r i = 0, với mọi i = 1, . . . , n. Định nghĩa 1.4 (Môđun xạ ảnh). Một môđun P R được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi R-toàn cấu α : M → N, với mỗi R-đồng cấu β : P → N đều tồn tại R-đồng cấu γ : P → M sao cho β = α ◦ γ. 1.1.3. Bao nội xạ và phủ xạ ảnh Định nghĩa 1.5 (Bao nội xạ - Phủ xạ ảnh). 1) Một R-đơn cấu 0 −→ M σ −→ E được gọi là bao nội xạ của môđun M nếu E nội xạ và Im(σ) ≤ e E. 2) Một toàn cấu P π −→ M −→ 0 được gọi là phủ xạ ảnh của môđun M nếu P là xạ ảnh và Ker(π) P . Bổ đề 1.1.5 (Bổ đề Bass, [6], Lemma B.15). Các điều kiện sau là tương đương đối với các môđun K ≤ P với P xạ ảnh: 1) P/K có một phủ xạ ảnh. 2) P = Q ⊕ P 0 , trong đó Q ≤ K và P 0 ∩ K P 0 . Chứng minh. (1) ⇒ (2). Xét P π → P/K là một phủ xạ ảnh và đặt P φ −→ P/K là toàn cấu chính tắc. Vì P là xạ ảnh nên tồn tại P α → P sao cho π ◦ α = φ. Với φ là toàn cấu thì P = α(P ) + Ker(π), do đó P = α(P ) bởi vì Ker(π) P . Mà P α −→ P là chẻ ra vì P xạ ảnh, do đó tồn tại β : P → P sao cho α ◦ β = 1 P . Suy ra P = Ker(α)⊕β(P ). Hơn nữa, vì π◦α = φ nên Ker(α) ≤ Ker(φ) = K, do đó β(P )∩K là bé trong β(P ). Vì β : P → β(P ) là một đẳng cấu nên ta có β(Ker(π)) β(P ). Mặt khác, φ◦β = π◦α◦β = π◦1 P = π nên β(Ker(π)) = β(P )∩Ker(φ) = β(P )∩K. Để kết thúc chứng minh, ta đặt Q = Ker(α) và P 0 = β(P ). (2) ⇒ (1). Vì P = K + P 0 nên ánh xạ hạn chế của φ từ P 0 → P/K là toàn ánh và có hạt nhân là P 0 ∩ Ker(φ) = P 0 ∩ K, là bé trong P 0 . Do đó P/K có một phủ xạ ảnh. Hệ quả 1.1.6 ([6], Corollary B.18). Nếu K ≤ P là các môđun với P xạ ảnh thì P/K có phủ xạ ảnh khi và chỉ khi K = Q + X, trong đó Q ≤ ⊕ P và X P . 3 Chứng minh. Nếu P/K có một phủ xạ ảnh thì đặt X = K ∩ P 0 như trong Bổ đề Bass, ta có ngay kết quả. Ngược lại, nếu K = Q + X với Q ≤ ⊕ P và X P thì đặt P = Q ⊕ P 1 và xác định φ : P 1 → P/K xác định bởi φ(p 1 ) = p 1 + K, lúc đó φ là toàn ánh bởi vì P = K + P 1 , và Ker(φ) = P 1 ∩ K. Ta chứng minh rằng P 1 ∩ K P 1 . Thật vậy, nếu (P 1 ∩ K) + Y = P 1 thì P = Q + [(P 1 ∩ K) + Y ] ≤ K + Y = Q + X + Y ≤ P . Mà X P nên P = Q ⊕ Y với Y ≤ P 1 ; do vậy Y = P 1 . Trong Hệ quả 1.1.6, lấy P = R, ta có kết quả thường được sử dụng sau đây. Hệ quả 1.1.7 ([6], Corollary B.19). Cho T là iđêan phải của vành R. Lúc đó, R/T có phủ xạ ảnh khi và chỉ khi T = eR + X, trong đó e 2 = e ∈ R và X là iđêan phải chứa trong J. 1.2. Môđun đối ngẫu - Môđun Artin và một số môđun khác 1.2.1. Môđun đối ngẫu Định nghĩa 1.6. Cho hai R-môđun M, N. Một đồng cấu R-môđun từ M vào N là một ánh xạ φ thỏa mãn các điều kiện φ(x + y) = φ(x) + φ(y) φ(rx) = rφ(x) với mọi x, y ∈ M, r ∈ R. Một đồng cấu R-môđun được gọi đơn giản là một đồng cấu nếu không cần thiết phải chỉ rõ vành cơ sở. Định nghĩa 1.7. Đối với một đồng cấu môđun φ : M −→ N, ta kí hiệu Imφ = φ(M), Kerφ = {x ∈ M|φ(x) = 0} = φ −1 (0) và gọi Imφ, Kerφ lần lượt là ảnh và hạt nhân của φ. Cho M R và kí hiệu Hom R (M R , R) là tập gồm tất cả các đồng cấu R-môđun từ M R → R R . 4 [...]... hóa tử phải thì R là vành QF 1.7 Vành nội xạ chính và vành nội xạ đơn 1.7.1 Vành nội xạ chính Định nghĩa 1.28 Cho vành R Một môđun MR được gọi là nội xạ chính phải (P -nội xạ) nếu mọi R-đồng cấu γ : aR −→ M, a ∈ R đều có thể mở rộng từ R → M , tức là γ = c· là phép nhân bởi phần tử c ∈ M Một vành R được gọi là nội xạ chính phải (hoặc P -nội xạ phải) nếu RR là một môđun P -nội xạ, nghĩa là, mọi iđêan... Vành R được gọi là min-CS phải nếu RR là min-CS 7) Vành R được gọi là P-CS nếu mọi iđêan phải xyclic của R đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của RR 1.5.2 Vành QF Định nghĩa 1.20 (Vành QF ) Vành R được gọi là vành tựa Frobenius (quasiFrobenius), viết tắt là vành QF , nếu R là vành Artin trái và phải, tự nội xạ trái và phải Ví dụ 2 1) Mọi vành nửa đơn đều là vành QF 2) Vành thương Z/nZ là vành. .. được chứng minh 1.6.3 Vành nội xạ cực tiểu và vành nửa hoàn chỉnh Nếu R là một vành nửa hoàn chỉnh thì 1 = e1 + + en , trong đó ei là các phần tử lũy đẳng địa phương, trực giao Các định lý trong phần này nói lên mối liên hệ giữa vành nội xạ cực tiểu và vành nửa hoàn chỉnh Đặc biệt, định lý tiếp theo ngay sau đây cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một vành nửa hoàn chỉnh là nội xạ cực tiểu phải Trước... tùy ý nên Zr ≤ J(R) 1.6 Vành nội xạ cực tiểu 1.6.1 Định nghĩa và một số định lý quan trọng Định nghĩa 1.24 (Vành nội xạ cực tiểu) Cho R là một vành Một môđun MR được gọi là nội xạ cực tiểu (mininjective) nếu với mọi iđêan phải đơn K của R, mỗi R-đồng cấu γ : K → MR đều mở rộng được thành γ : R → M ; nghĩa là, γ = m· là một phép nhân bởi phần tử m ∈ M Vành R được gọi là nội xạ cực tiểu phải (right... địa phương và K ≤ Re là iđêan trái đơn Nhận xét 2 Rõ ràng một vành min-P F phải là một vành min-full phải Mệnh đề 1.6.28 ([6], Proposition 3.25) Nếu R là một vành nửa hoàn chỉnh, linh hóa tử cực tiểu trái sao cho Sr ≤e RR và Sl ≤e RR RR thì R là vành min-P F phải và có chiều hữu hạn Chứng minh Theo Hệ quả 1.6.20, R là vành nội xạ cực tiểu phải Do đó R là vành min-P F phải nên min-full phải và Kasch Áp... 2.4) Nếu R là vành có Sr là iđêan trái đơn thì R là nội xạ cực tiểu phải Vào năm 1952, M Ikeda đã chứng minh được kết quả sau, nói lên mối liên hệ giữa vành QF với vành nội xạ cực tiểu Artin Định lý 1.6.6 (Ikeda, [6], Theorem 2.30) Các điều kiện sau là tương đương đối với một vành R: 1) R là tựa-Frobenius 2) R là nội xạ cực tiểu hai phía và Artin hai phía 1.6.2 Điều kiện Kasch Trong Định lý 1.6.4, chúng... một vành nội xạ cực tiểu phải khi và chỉ khi M ∗ là đơn hoặc bằng không với mọi môđun phải đơn MR Theo Mệnh đề 1.5.3, một vành là Kasch phải khi và chỉ khi linh hóa tử trái của mọi iđêan phải cực đại là khác không Kết hợp mệnh đề này với Định lý 1.6.4, chúng ta có kết quả sau đây đối với vành nội xạ cực tiểu phải và Kasch phải Định lý 1.6.7 ([6], Theorem 2.31) Các điều sau là tương đương đối với một. .. là nội xạ cực tiểu phải 1.6.5 Vành min-full Định nghĩa 1.26 Một vành R được gọi là min-full phải (right min-full) nếu nó là nửa hoàn chỉnh, nội xạ cực tiểu phải và soc(eR) = 0 với mọi lũy đẳng địa phương e ∈ R Định lý 1.6.21 ([6], Theorem 3.12) Cho R là một vành min-full phải Nếu {e1 , , en } là tập lũy đẳng cơ sở, trực giao và địa phương thì luôn tồn tại các phần tử k1 , , kn trong R và một. .. ∈ R là nguyên thủy nếu và chỉ nếu vành eRe không chứa 0 và e; điều này tương đương với eR (tương ứng Re) là môđun không phân tích được Ta có bổ đề sau đây nói về mối liên hệ giữa vành nửa hoàn chỉnh và phủ xạ ảnh Bổ đề 1.6.14 ([6], Theorem B.21) Vành R là nửa hoàn chỉnh nếu mọi R-môđun phải đơn đều có một phủ xạ ảnh Chứng minh Trước hết, ta xét vành R = R/J Mọi iđêan phải cực đại của R đều có dạng T... vì r(k) là cực đại Hơn nữa, R là linh hóa tử trái và Rm là đơn nên Rk ≤ lr(Rk) = lr(Rm) = Rm ≤ Rk, do vậy Rk = lr(Rk) = lr(k) Áp dụng Bổ đề 1.6.1, suy ra (1) Từ định lý trên ta có ngay hai hệ quả sau đây: Hệ quả 1.6.19 ([6], Lemma 2.34) Một vành R là nội xạ cực tiểu trái và phải khi và chỉ khi Sr = Sl và R là vành linh hóa tử cực tiểu trái và phải Hệ quả 1.6.20 ([6], Lemma 2.35) Nếu một vành R là linh . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN QUANG THẠNH VỀ VÀNH NỘI XẠ 2-ĐƠN VÀ MỘT SỐ VÀNH LIÊN QUAN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ. đã đưa ra một số đặc điểm, tính chất, điều kiện và mối liên hệ giữa vành này với vành QF. Vì quan tâm đến vành này nên chúng tôi chọn đề tài Về vành nội xạ 2-đơn và một số vành liên quan để. nửa địa phương, vành nửa hoàn chỉnh, vành hoàn chỉnh, vành QF , vành Kasch, vành nội xạ cực tiểu, vành nội xạ chính, vành nội xạ đơn. . . Chương 2: Trình bày định nghĩa và một số đặc điểm, tính