1.7.1. Vành nội xạ chính
Định nghĩa 1.28. Cho vànhR. Một môđunMRđược gọi lànội xạ chính phải (P-nội xạ) nếu mọi R-đồng cấu γ : aR −→ M, a∈R đều có thể mở rộng từ R →M, tức là
γ =c· là phép nhân bởi phần tử c ∈M.
Một vànhR được gọi lànội xạ chính phải (hoặcP-nội xạ phải) nếuRRlà một môđun
P-nội xạ, nghĩa là, mọi iđêan chính phải aR đều mở rộng được.
Bổ đề 1.7.1 ([6], Lemma 5.1). Các điều kiện sau là tương đương đối với một vành
R: 1) R là P-nội xạ phải. 2) lr(a) =Ra với mọi a∈ R. 3) Nếu r(a) ≤ r(b), với a, b∈ R thì Rb≤Ra. 4) l[bR∩r(a)] =l(b) +Ra với a, b∈ R. 5) Nếu γ : aR → R, a∈R là R-đồng cấu vành thì γ(a) ∈ Ra.
Định lý 1.7.2 ([6], Theorem 5.14). Nếu R là vành P-nội xạ phải thì J(R) =Z(RR). Mệnh đề 1.7.3 ([6], Proposition 5.15). Mọi vành P-nội xạ phải có ACC trên các linh hóa tử phải đều là vành Artin trái.
Chứng minh. Trước hết, ta nhận thấy rằng, nếuR là P-nội xạ thì theo Bổ đề 1.6.1
và Định lý 1.7.2, ta có J là lũy linh. Hơn nữa, R có DCC trên các linh hóa tử trái và do đó có DCC trên các iđêan trái xyclic, theo Bổ đề 1.7.1. Áp dụnh Định lý 1.4.5, ta có R là vành hoàn chỉnh phải. Do đó, R là nửa nguyên sơ; đặc biệt Sr ≤e RR. Vì
R là vành P-nội xạ phải nên nó cũng là vành linh hóa tử cực tiểu trái, do vậy nó là min-P F phải. Suy ra Sr = Sl là có chiều trái hữu hạn. Theo Bổ đề 1.4.3, ta có R là
Artin trái.
Bổ đề 1.7.4 ([6], Proposition 5.19). Nếu R là một vànhP-nội xạ phải và Kasch phải thì Sl và l(J(R)) cốt yếu trong RR.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh Sl cốt yếu trong RR. Với 0 6= a ∈ R, đặt
r(a) ≤ T, trong đó T là iđêan phải cực đại của R. Ta có l(T) ≤ lr(a) = Ra. Mà theo Định lý 1.6.7 ta có l(T) đơn nên Sl cốt yếu trong RR.
Bây giờ, ta chứng minh l(J(R)) cốt yếu trong RR. Lấy 0 6=b ∈ R và chọn M là cực đại trong bR, đặtσ : bR/M → RR là đơn ánh. Lúc đó, ta định nghĩaγ : bR→ RR
xác định bởi γ(x) = σ(x+M). Vì R là P-nội xạ và Kasch phải nên γ = c·, c ∈ R. Suy ra cb = σ(b+M) 6= 0 bởi vì b /∈ M và σ đơn ánh. Nhưng cbJ = γ(bJ) = 0 bởi vì bJ ≤M, do vậy 06=cb ∈Rb∩l(J), suy ra l(J) cốt yếu trong RR.
Định nghĩa 1.29. Với số nguyên n ≥ 1, một môđun MR được gọi là n-nội xạ nếu mọi đồng cấu từ một iđêan n-sinh của R đến M đều mở rộng được trên R. Vành R
được gọi là n-nội xạ phải nếu RR là môđun n-nội xạ.
Nhận xét 3. Môđun 1-nội xạ là môđun P-nội xạ.
1.7.2. Vành nội xạ đơn
Định nghĩa 1.30. Vành R được gọi là nội xạ đơn phải nếu với mọi iđêan phải T
của R, với mọi R-đồng cấu γ : T → R với γ(T) đơn, đều mở rộng đến R, nghĩa là