Định lí điểm cân bằng blum oettli và một số mở rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỒN VĂN SOẠN ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên-2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ➜♦➭♥ ✈➝♥ s♦➵♥ ➤Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❜❧✉♠✲♦❡tt❧✐ ✈➭ ♠ét sè ♠ë ré♥❣ ❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶ ❧✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝ ◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿❚✳❙ ▲➟ ❱➝♥ ❈❤ã♥❣ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✲✷✵✵✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ❚r❛♥❣ ▼ë ➤➬✉ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ✺ ✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ➤Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ĩ♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ✈➭ ♠ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✶✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❇r❡③✐s✲◆✐r❡♥❜❡r❣✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ✷✳✷✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ĩ♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✸✳ ▼ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ♠ë ré♥❣ ✈❡❝t➡ ➤Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ĩ♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✸✳✶✳ ◆ã♥ ✈➭ q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù t❤❡♦ ♥ã♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ t➠♣➠ ✸✳✷✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ĩ♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❝❤♦ ❤➭♠ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ trÞ ✸✳✸✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ĩ♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❝❤♦ ❤➭♠ ✈Ð❝ t➡ ➤❛ trÞ ✹✷ ✳ ✹✺ ✳ ✳ ✺✽ ❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✸ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✹ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ë ➜➬✉ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❑② ❋❛♥ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ➤✐Ĩ♠ ❣➬♥ ♥❤❛✉✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈í✐ ♥❤✐Ị✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tõ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ s➳✉ ♠➢➡✐ ❝đ❛ t❤Õ ❦Ø tr➢í❝✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❑② ❋❛♥ ♥❣❛② s❛✉ ❦❤✐ ➤➢ỵ❝ ❝➠♥❣ ❜è ✭✶✾✼✷✮ ➤➲ t❤✉ ❤ót sù ❝❤ó ý ❝đ❛ ♥❤✐Ị✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❜ë✐ sù ❣➬♥ ❣ị✐ ✈í✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ s➞✉ ré♥❣ ❝đ❛ ♥ã✳ ❱× ✈❐② ♥❣➢ê✐ t❛ t×♠ ❝➳❝❤ ❦Õt ♥è✐ ❤❛✐ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ✈í✐ ♥❤❛✉ tr♦♥❣ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝❤✉♥❣✳ ❑Õt q✉➯ ➤➬✉ t✐➟♥ ❝ñ❛ sù ❦Õt ♥è✐ ♥➭② ❧➭ ❝ñ❛ ❇r❡③✐s✲◆✐r❡♥❜❡r❣✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛✭✶✾✼✷✮✳ ◆➝♠ ✶✾✾✸✱ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❝➠♥❣ ❜è ♠ét ❦Õt q✉➯ t✐Õ♣ t❤❡♦ ✈Ò sù ❦Õt ♥è✐ ♥➭②✳ ➜➞② ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❤ỵ♣ ♥❤✃t ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✱ ➤ã ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➢ỵ❝ ①Ðt ❜ë✐ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐✭✶✾✾✸✮ ❝ã ❞➵♥❣ s❛✉✿ ❚×♠ tr♦♥❣ ➤ã ❤➭♠ C x∈C s❛♦ ❝❤♦ g(x, y) + h(x, y) ≥ ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ C, ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ t➠♣➠ g : C × C −→ R ➤➢ỵ❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ❤➭♠ X ♥➭♦ ➤ã✱ h : C × C −→ R ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❧➭ ❤➭♠ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭R ❧➭ t❐♣ sè t❤ù❝ ✮✳ ◆Õ✉ h = t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭♠ë ré♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✮✳ ◆Õ✉ g = t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❑② ❋❛♥✳ ❙❛✉ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ❝đ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐✱ ♥❤✐Ị✉ ❦Õt q✉➯ ❦❤➳❝ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ❤♦➷❝ ♠ë ré♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝➠♥❣ ❜è✳ ➜ã ❧➭ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ✈➭ ♠ë ré♥❣ ✈❡❝t➡✱ ➤➡♥ trÞ ✈➭ ➤❛ trÞ✱ ➤è✐ ✈í✐ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✳ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ í ủ t ợ trì ột sè ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➡ ❜➯♥ ①✉♥❣ q✉❛♥❤ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✳ ➜ã ❧➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ã ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❦❤ë✐ ♥❣✉å♥ ❝❤♦ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ✈➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ♠ë ré♥❣✳ ◆❣♦➭✐ ♣❤➬♥ ♠ë ➤➬✉✱ ❦Õt ❧✉❐♥ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ë ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ✈➭ ♥➡✐ ❣✐➯♠✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ✈í✐ ♠ơ❝ ➤Ý❝❤ ➤Ĩ t❤✃② râ ❤➡♥ sù ❦Õt ♥è✐ ❝đ❛ ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭② tr♦♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐❬✸❪✱ ❦Õt ♥è✐ ë ❦Õt q✉➯ ✈➭ ❦Õt ♥è✐ ë ý t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ết q ết q ứ ợ trì ❜➭② ë ➤➞② ❝❤đ ②Õ✉ ➤➢ỵ❝ t❐♣ ❤ỵ♣ tõ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ▼♦s❝♦❬✶✶❪✱ ❆❧❧❡♥❬✶❪✱ ❈❤♦♥❣❬✻❪✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ❦Õt q✉➯ tr✉♥❣ t➞♠ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ➜ã ❧➭ ❦Õt q✉➯ ✈Ị sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➢ỵ❝ t❤✐Õt ❧❐♣ ❜ë✐ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✳ ❑Õt q✉➯ ♥➭② ❝ï♥❣ ý t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ♥ã ❧➭ sù ❤ỵ♣ ♥❤✃t ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ï♥❣ ý t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ợ trì r ú t➠✐ ❝ị♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❝➠♥❣ ❜è tr➢í❝ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✱ ➤ã ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ ❇r❡③✐s✲◆✐r❡♥❜❡r❣✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ❬✹❪✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❦Õt q✉➯ ❧➭ ♠ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ➤è✐ ✈í✐ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✱ ➤ã ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ ❈❤❛❞❧✐✲❈❤❜❛♥✐✲❘✐❛❤✐ ❬✼❪✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ➤Ị ❝❐♣ ➤Õ♥ sù ♠ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐❬✸❪ r❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝❤♦ ❤➭♠ ✈❡❝t➡✱ ➤➡♥ trÞ ✈➭ ➤❛ trÞ✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ë ➤➞② ➤➢ỵ❝ t❐♣ ❤ỵ♣ tõ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❇✐❛♥❝❤✐✲❍❛❞❥✐s❛✈✈❛ss✲s❝❤❛✐❜❧❡❬✷❪✱❚✃♥✲❚Ü♥❤❬✶✸❪✱❚✃♥✲▼✐♥❤❬✶✹❪✳ ✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠✲➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✳ ❚r➢í❝ ❤Õt t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚✐Õ♥ sÜ ▲➟ ❱➝♥ ❈❤ã♥❣✱ ♥❣➢ê✐ t❤➬② ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❤➢í♥❣ ❞➱♥✱ ❣✐ó♣ ➤ì ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ➤Ó t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ ❚r➢ê♥❣ ➜❍❙P✲❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❱✐Ö♥ t♦➳♥ ❤ä❝ ❱✐Öt ◆❛♠✱ ❚r➢ê♥❣ ➜❍❙P ❍➭ ◆é✐ ➤➲ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❣✐ó♣ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦❤ã❛ ❤ä❝✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❙ë ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦ ❇➽❝ ●✐❛♥❣✱ ❚r➢ê♥❣ ❚❍P❚ ▲ý ❚❤➢ê♥❣ ❑✐Öt ✈➭ ❚r➢ê♥❣ ❚❍P❚ ❱✐Ưt ❨➟♥ sè ✶ ❇➽❝ ●✐❛♥❣✱ ❣✐❛ ➤×♥❤ ✈➭ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❧✉➠♥ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❣✐ó♣ t➠✐ s✉èt tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❍❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❧➭ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❞ï♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❞ï♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈➭ ý t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ë ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭② ❧➭ ❝➡ së ❝❤♦ ✈✐Ö❝ t❤✐Õt ❧❐♣ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ị í ể tt ợ trì ë ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❱× ✈❐② tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ë ❤❛✐ ứ tr ữ ết q ợ t❐♣ ❤ỵ♣ tõ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❝đ❛ ▼♦s❝♦ ❬✶✶❪✱ ❆❧❧❡♥❬✶❪✱ ❈❤♦♥❣❬✻❪✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➢❛ r❛ ❞➵♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ♠ét sè tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ q✉❡♥ ❜✐Õt ❝ã tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ✶✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➢ỵ❝ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐❬✸❪ ❤✐Ĩ✉ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ s❛✉✿ ❚×♠ tr♦♥❣ ➤ã C x∈C s❛♦ ❝❤♦ f (x, y) ≤ ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ C ✱ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝❤♦ tr➢í❝ ✈➭ ✭❊P✮ f : C × C −→ R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❝❤♦ tr➢í❝✳ ➜è✐ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡ t➠♣➠ X ✱ t❐♣ C t❤➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ ①Ðt ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳ ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❍➭♠ f ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥Õ✉ f (x, y) + f (y, x) ≥ ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ C ✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♥➭② ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝đ❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ❚♦➳♥ tư A : C −→ X ∗ X∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ñ❛ ❍➭♠ sè Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C, ë ➤➞② ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉ X✳ f ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tơ❝ ♥Õ✉ ✈í✐ x, y ∈ C ❝❤♦ tr➢í❝ tï② ý ❤➭♠ f (x + t(y − x), y) ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ t❤❡♦ t tr➟♥ [0; 1]✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♥➭② ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝đ❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ t♦➳♥ tư ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tơ❝✳ ❚♦➳♥ tö A : C −→ X ∗ ❣ä✐ ❧➭ ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tơ❝ ♥Õ✉ ❤➭♠ ❜✃t ❦ú ❝è ➤Þ♥❤ ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ t❤❡♦ A(x + ty), z ✈í✐ x, y, z ∈ C t tr➟♥ [0; 1]✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❜❛♦ ❤➭♠ ♥❤✐Ị✉ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ ❧➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❡♥ ❜✐Õt✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❑② ❋❛♥ ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ q✉❛♥ trä♥❣✳ ❉➢í✐ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ ❦❤➳❝✳ ✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ❈❤♦ ϕ : C −→ R✳ ❚×♠ x ∈ C ❝ị♥❣ ✈✐Õt✿ ❚×♠ ➜➷t s❛♦ ❝❤♦ s❛♦ ❝❤♦ ϕ(x) ≤ ϕ(y) ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ C ✳ ❚❛ min{ϕ(x) | x ∈ C}✳ f (x, y) = ϕ(x)−ϕ(y)✳ ❑❤✐ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ trë t❤➭♥❤✿ ❚×♠ x ∈ C f (x, y) ≤ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ë ➤➞② f ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ C✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧➭ ❤➭♠ sè ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ❈❤♦ ϕ : C1 × C2 → R✳ ❑❤✐ ✃② (x1 , x2 ) ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ❝đ❛ ϕ ♥Õ✉ (x1 , x2 ) ∈ C1 × C2 , ϕ(x1 , y2 ) ≤ ϕ(y1 , x2 ), ∀(y1 , y2 ) ∈ C1 × C2 (1.1) ➜➷t C = C1 × C2 ✈➭ ❝❤♦ ❤➭♠ f : C × C −→ R ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ f ((x1 , x2 ); (y1 , y2 )) = ϕ(x1 , y2 ) − ϕ(y1 , x2 ) ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❑❤✐ ✃②✱ ♥Õ✉ x = (x1 , x2 ) ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✭❊P✮ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø x t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✶✮✳ ❉Ơ t❤✃② f ❧➭ ❤➭♠ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✳ ✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ X = X∗ ❈❤♦ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ T : C → C ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❝❤♦ tr➢í❝✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤é♥❣ ë ➤➞② ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❚×♠ ➜➷t x∈C s❛♦ ❝❤♦ T (x) = x✳ f (x, y) = x − T x, x − y (1.2) ✳ ❚❛ ❝ã ✭❊P✮ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ x ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.2)✳ ❚❤❐t ✈❐② ✭✶✳✷✮ ⇒ ✭❊P✮✿ ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳ ✭❊P✮ ⇒ (1.2)✿ ❈❤ä♥ y = T x t❛ ❝ã ≥ f (x, y) = x − y ❉♦ ≥ ❙✉② r❛ x = T x✳ f (x, y) + f (y, x) = x − T x, x − y + y − T y, y − x = T y − T x, x − y + x − y, x − y ♥➟♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② f = T y − T x, x − y + x−y = − T x−T y, x−y + x−y 2 ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ T x − T y, x − y ≤ x − y ✹✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❈❤♦ T : C −→ X ✳ ❚×♠ x∈C s❛♦ ❝❤♦ T x, x − y ≤ 0, ∀y ∈ C ✳ (1.3) ✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ➜➷t f (x, y) = T x, x − y t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✭❊P✮ ✈➭ f ✳ ❘â r➭♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ (1.3) t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ T ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ✺✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜ï ❈❤♦ C ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ ✈í✐ ♥ã♥ ❝ù❝ ❝đ❛ ♥ã C = {x ∈ X | x , y ≥ 0, ∀y ∈ C} ✈➭ T :C→X ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝❤♦ tr➢í❝✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜ï ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠ x∈X s❛♦ ❝❤♦ x ∈ C, T x ∈ C , T x, x = ❉Ơ t❤✃② (1.4) (1.4) t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ (1.3)✳ ❚❤❐t ✈❐② (1.4) ⇒ (1.3) ❧➭ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳ ◆Õ✉ (1.3) ➤ó♥❣✱ ❧✃② y = 2x ✈➭ y = tõ (1.3) t❛ t❤✉ ➤➢ỵ❝ T x, x = ❉♦ ➤ã ✭✶✳✸✮ ⇒ (1.4)✳ ✻✳ ❈➞♥ ❜➺♥❣ ◆❛s❤ tr♦♥❣ trß ❝❤➡✐ ❈❤♦ tr➢í❝ t❐♣ I ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝❤Ø sè ❤÷✉ ❤➵♥ ✭t❐♣ ❝➳❝ ♥❣➢ê✐ ❝❤➡✐✮✳ ❱í✐ Ki ✭t❐♣ ❝❤✐Õ♥ ❧➢ỵ❝ ♥❣➢ê✐ ❝❤➡✐ t❤ø i✮✳ ➜➷t K = i∈I i I Ki ỗ i I, ❝❤♦ ❤➭♠ fi : K −→ R ✭❤➭♠ tæ♥ t❤✃t ❝đ❛ ♥❣➢ê✐ ❝❤➡✐ t❤ø i✱ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝❤✐Õ♥ ❧➢ỵ❝ ❝đ❛ t✃t ❝➯ ♥❣➢ê✐ ❝❤➡✐✮✳ ❱í✐ xi = (xj )j∈I,j=i ✳ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ i∈I ➜✐Ĩ♠ x = (xi )i∈I ∈ K x = (xi )i∈I ∈ K t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ◆❛s❤ t❛ ❝ã fi (x) ≤ fi (xi , yi ), ∀yi ∈ Ki (1.5) ✭♥❣❤Ü❛ ❧➭ ♥❣➢ê✐ ❝❤➡✐ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❣✐➯♠ tỉ♥ t❤✃t ❝đ❛ ♠×♥❤ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ➤➡♥ ❧❰ t❤❛② ✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn G(xt , y) + (1 − t)H(x, y) ∈ −intC, ∀t ∈ (0, 1] ✳ F (t) = G(xt , y) + (1 − t)H(x, y) ➜➷t ✳ ❉♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ✸✮ ♥➟♥ tô❝ tr➟♥ t❤❡♦ ♥ã♥ C ❤❛② ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ t❤❡♦ ♥ã♥ −C t➵✐ F ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ t=0 ✳ ❉♦ ➤ã F (t) ∈ −intC, ∀t ∈ (0, 1] ✱ ♥➟♥ t❛ ❝ã F (0) ∈ −intC ❤❛② G(x, y) + H(x, y) ∈ −intC ✳ ❱❐② t❛ ❝ã ✶✮ s✉② r❛ ✷✮✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ ❣✐➯ sö x ∈ K, G(x, y) + H(x, y) ∈ −intC G(y, x) − H(x, y) ∈ intC ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tå♥ t➵✐ y∈K s❛♦ ❝❤♦ G(y, x) − H(y, x) ∈ intC ✈í✐ ♠ä✐ ✱ ✈í✐ ♠ä✐ y∈K y∈K ✳ ✳ ●✐➯ sư r➺♥❣ ✳ ❱❐② t❛ ❝ã t❤Ó ✈✐Õt G(y, x) = H(x, x) + ω ▼➷t ❦❤➳❝ G(x, y) + G(y, x ✈í✐ ω ∈ intC ✳ ♥➟♥ G(y, x) = −G(x, y) − ν ✈í✐ ν∈C ✳ ◆❤➢ ✈❐② t❛ ❝ã H(x, y) + G(x, y) = −ω + ν ∈ −intC ✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt✳ ❱❐② ❜ỉ ➤Ị ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✸ ●✐➯ sư D, K t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✶ ✈➭ ϕ ❤➭♠ ❧å✐✱ x0 ∈ coreD K s❛♦ ❝❤♦ ϕ(x0 ) ❑❤✐ ✃② : D → Y ❧➭ ♠ét 0, ϕ(y) ∈ −intC ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ K ✳ ϕ(y) ∈ −intC ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ D✳ ✺✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ●✐➯ sö tr➳✐ ❧➵✐ tå♥ t➵✐ y ∈ D\K αx0 + (1 − α)y, α ∈ [0, 1) ✈í✐ ϕ(y) ∈ −intC ✳ ▲✃② z ∈ (x0 , y], z = t❛ ❝ã ϕ(z) = ϕ(αx0 + (1 − α)y) αϕ(x0 ) + (1 − α)ϕ(y) ✳ ◆❤➢ ✈❐② −ϕ(z) ∈ −αϕ(x0 )−(1−α)ϕ(y)+C ⊆ C +intC = intC ❍❛② ♥ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ❱× x0 ∈ coreD K ♥➭② tr➳✐ ✈í✐ ❣✐➯ t❤Ý➟t ✳ ϕ(z) ∈ −intC, ∀z ∈ (x0 , y] ✳ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ z0 ∈ (x0 , y] ∩ K ϕ(y) ∈ −intC, ∀y ∈ K ✳ ❱❐② ϕ(x0 ) ∈ −intC ✱ ề ổ ề ợ ứ ứ ị ❧Ý ✸✳✶ x∈K ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✶ tå♥ t➵✐ ♠ét ✈❡❝t➡ s❛♦ ❝❤♦ G(y, x) − H(x, y) ∈ intC, ∀y ∈ K ✳ ❙ư ❞ơ♥❣ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✷ t❛ ❝ã G(x, y) + H(x, y) ∈ −intC, ∀y ∈ K ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ ϕ:D→Y ✳ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ϕ(y) = G(x, y) + H(x, y) ✳ ❉♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ✹✮ ✈➭ ✼✮ ✈Ò ♠ä✐ y∈K ë ➤➞② a ✳ ◆Õ✉ G, H x ∈ coreD K t❛ ❝ã t❛ ❝❤ä♥ ϕ ❧➭ ❧å✐✱ t❤❡♦ tr➟♥ x0 = x ϕ(y) ∈ intC ✱ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤➳❝ t❛ ➤➷t t❤♦➯ ♠➲♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ✽✮✳ ◆❤➢ ✈❐② t❛ ❧✉➠♥ ❝ã ϕ(x0 ) ✱ ✈í✐ x0 = a ✱ ❜➞② ❣✐ê sư ❞ơ♥❣ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✸ t❛ ❝ã ϕ(y) ∈ −intC, ∀y ∈ D ✺✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✱ http://www.lrc-tnu.edu.vn ❤❛② G(x, y) + H(x, y) ∈ −intC, ∀y ∈ D ●✐➯ tr♦♥❣ Y sö ♥❣♦➭✐ s❛♦ ❝❤♦ r❛ C t❤♦➯ ♠➲♥ C \ {0} ⊆ intC ➤✐Ị✉ t❤× ❦✐Ư♥ ✭✯✮ ✈➭ C D, K, C, G, H ❧➭ ✳ ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣✱ ♥❤ä♥ t❤♦➯ ♠➲♥ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✶ ❞♦ ➤ã t❛ ❝ã G(x, y) + H(x, y) ∈ −intC, ∀y ∈ D ❚õ −(C \ {0}) ⊂ −intC ✳ t❛ ❝ã G(x, y) + H(x, y) ∈ −(C \ {0}), ∀y ∈ D ✳ ➜Þ♥❤ í ợ ứ ễ t r từ ị í t ợ ị í ết q ủ ❇❧✉♠✲ ❖❡tt❧✐ ❬✸❪✮ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ Y ❧➭ R ✈➭ ♥ã♥ C = [0; +∞) ✳ ▼ét ❦Õt q✉➯ ❦❤➳❝ ❤ỵ♣ ♥❤✃t ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✭❝ã ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ư✉✮ ➤➢ỵ❝ t❤✐Õt ❧❐♣ ❜ë✐ ❇✐❛♥❝❤✐✲❍❛❞❥✐s❛✈❛ss✲s❝❤❛✐❜❧❡ ❬✷❪ ✭✶✾✾✼✮✱ ë ➤ã ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ①Ðt ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❇➺♥❣ (3.1) ✈í✐ ❤➭♠ F ❝ã ❞➵♥❣ (3.2) ✈➭ ❞ï♥❣ ♠ét ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ s✉② ré♥❣✳ X rỗ ó Y KX ột t ❧å✐ ➤ã♥❣ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ♥ã♥ t❤ø tù intC = ∅ ❍➭♠ ♠ä✐ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ ❍❛✉s❞♦r❢❢✱ ✈➭ ❝➳❝ ❤➭♠ G, H : K × K → Y C ⊂Y ♥❤ä♥✱ ❧å✐✱ ✳ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ t❤❡♦ H ✭❤❛② H ✲❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✮ ♥Õ✉ ✈í✐ x, y ∈ K ✱ G(x, y) + H(x, y) ≺ ❦Ð♦ t❤❡♦ G(y, x) − H(x, y) ❉Ô t❤✃②✱ ♥Õ✉ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ❝đ❛ H =0 0✳ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tr➟♥ trë t❤➭♥❤ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ G ✳ ✺✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❇➭✐ t♦➳♥ (3.1) F ✈í✐ (3.2) ó ợ tết tr ị í s ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✷ ✭❬✷❪✱✶✾✾✼✮ ❈❤♦ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ X, Y ✱ t❐♣ K ✱ ♥ã♥ C ✈➭ ❝➳❝ ❤➭♠ G, H ♥❤➢ tr➟♥✳ ●✐➯ sư ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ t❤♦➯ ỗ y K ❤➭♠ G(., y) ❧➭ ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tô❝❀ G ❧➭ H− ❣✐➯ ệ ỗ x K ❀ G(x, x) x ∈ K ✱ ❤➭♠ G(x, ) ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ✈➭ ❧å✐❀ H(x, x) = x K ỗ y K ✱ ❤➭♠ H(., y) ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥❀ ỗ x K H(x, ) ❧➭ ❧å✐❀ ✽✮ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝✿ ❚å♥ t➵✐ t❐♣ ❝♦♠♣➽❝ B ⊂ K ✈➭ y0 ∈ B s❛♦ ❝❤♦ G(x, y0 ) + H(x, y0 ) ≺ ∀x ∈ K \ B ✳ ❑❤✐ ✃② t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ x ∈ K : G(x, y) + H(x, y) y K (3.7) rỗ ỗ yK t t P (y) = {x ∈ K : G(x, y) + H(x, y) ≺ 0} ❀ Q(y) = P (y) ❀ R(y) = {x ∈ K : G(y, x) − H(x, y) 0} ✳ ✺✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ị í tr ợ ứ ❜ë✐ ❇ỉ ➤Ị s❛✉✳ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✹ ◆Õ✉ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✶✮✲✼✮ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✷ t❤♦➯ ♠➲♥✱ ❦❤✐ ✃② P (y) = y∈K Q(y) = y∈K R(y) y∈K ✈➭ ỗ tr ột t ó tr K ứ ♠✐♥❤ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤Ø r❛ R(y) ⊆ y∈K ▲✃② x∈ y∈K P (y) y∈K R(y) ✱ t❛ ❝ã G(y, x) − H(x, y) ❱í✐ y∈K ❜✃t ❦ú ✭❝è ➤Þ♥❤✮ ➤➷t 0, ∀y ∈ K ✳ yt = ty + (1 − t)x, t ∈ (0, 1) ✳ ❑❤✐ ✃② 0, ∀t ∈ (0, 1) G(yt , x)−H(x, yt ) ✱ ❞♦ ➤ã (1 − t)G(yt , x) + tG(yt , y) (1 − t)H(x, yt ) + tG(yt , y) (3.8) tG(yt , y) + (1 − t)G(yt , x) (3.9) ❉♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✶✮ ✈➭ ✹✮ t❛ ❝ã✿ ▲➢✉ ý ❧➭ ✈í✐ G(yt , yt ) a, b ∈ Y, a ✳ b, a t❤× b≺0 ✳ ❉♦ ➤ã✱ tõ (3.8) ✈➭ (3.9) s✉② r❛ tG(yt , y) + (1 − t)H(x, yt ) ≺ ❚õ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✺✮ ✈➭ ✼✮ t❛ ❝ã H(x, yt ) (3.10) ✳ tH(x, y) ✳ ✺✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.10) ❉♦ ➤ã✱ tõ s✉② r❛ G(yt , y) + (1 − t)H(x, y) ≺ ✳ ❱❐② tõ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✷✮ t❛ ❝ã G(x, y)+H(x, y) ≺ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ x∈ y∈K P (y) ❤❛② R(y) ⊆ G ❧➭ P (y) (3.11) y∈K y∈K ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❞♦ ✱ H− ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✭➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✸✮✮ ♥➟♥ P (y) ⊆ R(y), ∀y ∈ K ❉♦ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✹✮ ✈➭ ✻✮✱ R(y) ✳ ❧➭ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ K ✱ s✉② r❛ Q(y) = P (y) ⊆ R(y), ∀y ∈ K ✳ P (y) ⊆ Q(y) ⊆ R(y), ∀y ∈ K ✱ ❞♦ ➤ã ◆❤➢ ✈❐② P (y) ⊆ y∈K ❚õ (3.11) ✈➭ Q(y) ⊆ y∈K (3.12) y∈K Q(y) (3.12) y∈K ❝ã✿ P (y) = ❉♦ R(y) ➤ã♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ Q(y) = yK yK R(y) yK ỗ tr t❐♣ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ K ✳ ❇ỉ ➤Ị ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✷ ❉ï♥❣ ❇ỉ ➤Ị ❑② ❋❛♥ t❛ ❝❤Ø r❛ Q(y) = ∅ y∈K ✺✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚r➢í❝ t✐➟♥ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➳♥❤ ①➵ ❚❤❐t ✈❐②✱ P : K → 2K ♥Õ✉ tr➳✐ ❧➵✐ sÏ ❝ã ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❑❑▼✳ {yi : i ∈ I} ⊂ K ✈➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö y ∈ co{yi : i ∈ I} \ P (yi ), i∈I ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝ã λi ≥ 0, λi = 1, y = i∈I λi yi i∈I s❛♦ ❝❤♦ G(y, yi ) + H(y, yi ) ≺ 0, i ∈ I ❉♦ ➤ã✱ tõ tÝ♥❤ ❧å✐ ❝ñ❛ G(y, G(y, ) ✈➭ H(y, ) ✭➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✹✮✱ ✼✮✮ s✉② r❛ λi yi ) ≺ λi yi ) + H(y, i∈I ✳ i∈I ❤❛② G(y, y) + H(y, y) ≺ ❉♦ H(x, x) = ệ ỗ G(y, y) ≺ ✱ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ➜✐Ị✉ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❑❑▼✳ P (y) ⊆ Q(y) y∈K t❛ ❝ã P ✭➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✺✮✮ ♥➟♥ ✳ ✱ t❛ ❝ã Q(y0 ) ⊂ B ♥➟♥ ❞Ô t❤✃② Q(y) Q : K → 2K ❝ị♥❣ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❑❑▼✳ ❱í✐ ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳ ❍➡♥ ♥÷❛ ❞♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝ ✭➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✽✮✮ ❧➭ ❝♦♠♣➽❝✳ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ❑② ❋❛♥ t❤× Q(y) = ∅ y∈K ◆❤➢ ✈❐②✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✹ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝ t❛ ❝ã t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❇➭✐ t♦➳♥ (3.7) rỗ ị í ợ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✺✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✳✸ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ĩ♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❝❤♦ ❤➭♠ ✈❡❝t➡ ➤❛ trÞ ➜Ĩ ❤♦➭♥ ❝❤Ø♥❤ ❝❤➢➡♥❣ ✸✱ ë ♣❤➬♥ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤Ị ❝❐♣ ➤Õ♥ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪ r❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈❡❝t➡ ❝❤♦ ❤➭♠ trị ết q ợ t ợ từ t ❧✐Ư✉ ❚✃♥✲▼✐♥❤ ❬✶✹❪ X, Y ❈❤♦ C⊂Y ➤ã♥❣ ♠ä✐ ✈í✐ x, y ∈ D ❚×♠ tr♦♥❣ ➤ã ❧➭ ❤❛✐ ❦❤➠♥❣ intC = ∅ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ t➠♣➠✱ ✈➭ ❤➭♠ ➤❛ trÞ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ D ⊂ X ✱ ♥ã♥ F : D × D → 2Y , F (x, y) = ∅ ❧å✐ ✈í✐ ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈❡❝t➡ ➤❛ trị ợ ét t s xD s❛♦ ❝❤♦ F (x, y) ⊆ −intC F (x, y) = G(x, y) + H(x, y) H :D×D →Y ✈í✐ ✈í✐ ♠ä✐ ❝➳❝ ❤➭♠ y∈D ✱ (3.13) G : D × D → 2Y ✈➭ ✳ ➜Ó ➤➢❛ r❛ ❦Õt q✉➯ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❇➭✐ t♦➳♥ (3.13) t❛ ❝➬♥ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠✳ ❍➭♠ G : D × D → 2Y ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉ G(x, y) + G(y, x) ⊆ −C ❍➭♠ ∀x, y ∈ D✳ T : D → 2Y ❣ä✐ ❧➭ C ✲ ❧å✐ tr➟♥ ✭ C ✲❧å✐ ❞➢í✐ ✮ ♥Õ✉ λT (x) + (1 − λ)T (y) ⊂ T (λx + (1 − λ)y) + C (T (λx + (1 − λ)y) ⊂ λT (x) + (1 − λ)T (y) − C,t➢➡♥❣ ø♥❣✮✳ ❍➭♠ T ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ C ✲❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ✭C ✲❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐✮ t➵✐ x0 t➵✐ x0 ∈ D ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❧➞♥ ❝❐♥ V ❝đ❛ tr♦♥❣ Y ➤Ị✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ U ❝ñ❛ x0 tr♦♥❣ X s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ U ∩ domT t❛ ❝ã T (x) ⊂ T (x0 ) + V + C ✭T (x0 ) ⊂ T (x) + V − C ✱ t➢➡♥❣ ø♥❣✮✳ ✺✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn T ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ C− ❧✐➟♥ tô❝ t➵✐ x0 ♥Õ✉ T ✈õ❛ ❧➭ C− ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ✈õ❛ ❧➭ C− ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ t➵✐ x0 ✳ T ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ C− ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ✭C−❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐✱ C−❧✐➟♥ tơ❝✮ tr➟♥ D ♥Õ✉ T ❧➭ C− ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ✭C−❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐✱ C−❧✐➟♥ tơ❝✱ t➢➡♥❣ ø♥❣✮ t➵✐ ♠ä✐ ➤✐Ó♠ t❤✉é❝ D✳ ◆❤❐♥ ①Ðt ✸✳✶ ❛✮ ◆Õ✉ G ➤✐Ö✉ ✭ t❤❡♦ ♥ã♥ ❜✮ ◆Õ✉ ♥❤❛✉ T ế trị tì ♥✐Ö♠ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ tr➟♥ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤➡♥ C T ✮ ❝đ❛ ❤➭♠ ✈❡❝t➡ ➤➡♥ trÞ ✭ë ♠ơ❝ ✸✳✷✮✳ trị tì ệ ợ ọ T ❧➭ ♠ét ✈➭ ❦❤✐ ✃② C− ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ C− H C C− ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ✈➭ tÝ♥❤ C− ❧✐➟♥ tơ❝ ✭❤❛② ❧✐➟♥ tơ❝ t❤❡♦ (3.13) ❧å✐ ❞➢í✐ ❧➭ trï♥❣ ✮✳ C− ❱Ị sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❇➭✐ t♦➳♥ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ✈❡❝t➡ ➤❛ trÞ ✈➭ ❧å✐ tr➟♥ ✈➭ t trị tì tí T C− ✈í✐ C ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ✮✳ F = G+H ✱ tr♦♥❣ ➤ã G ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ✈❡❝t➡ ➤➡♥ trị t ó ết q s ợ t ể ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❚❛♥✲▼✐♥❤ ❬✶✹❪✭✷✵✵✻✮✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✸ ❈❤♦ X, Y ❧➭ ❤❛✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❍❛✉s❞♦r❢❢✱ D X t ó rỗ C ⊂ Y ❧➭ ♥ã♥ ♥❤ä♥✱ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ✈í✐ intC = ∅ ✈➭ G : D × D → 2Y , H : D × D → Y ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉✿ ✶✮ ∈ G(x, x) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ D❀ ✷✮ G ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ G(x, y) ❧➭ ❝♦♠♣➽❝ ✈í✐ ♠ä✐ x, y D ỗ x, y D ố ị g : [0, 1] 2Y ợ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ g(t) = G(ty + (1 − t)x, y) ❧➭ (−C)−❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ t➵✐ t = 0❀ ✹✮ ❱í✐ ỗ x D ố ị G(x, ) : D → 2Y ❧➭ C−❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ✺✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✈➭ C−❧å✐ ❞➢í✐❀ ✺✮ H(x, x) = ✈í✐ ọ x D ỗ y D ❝è ➤Þ♥❤✱ ❤➭♠ H(., y) : D → Y ❧➭ (C) tụ ỗ x D ố ị ❤➭♠ H(x, ) : D → Y ❧➭ C−❧å✐❀ tr➟♥❀ t ột t rỗ K D s ỗ x K \ coreD K ❝ã ♠ét a ∈ coreD K t❤♦➯ ♠➲♥ G(x, a) + H(x, a) ⊂ −C ✳ ❑❤✐ ✃② tå♥ t➵✐ x ∈ K s❛♦ ❝❤♦ G(x, y) + H(x, y) ⊆ −intC, ∀y ∈ D✳ ◆Õ✉ ♥❣♦➭✐ r❛✱ C t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✯✮ t❤× tå♥ t➵✐ x ∈ K s❛♦ ❝❤♦ G(x, y) + H(x, y) ⊆ −(C \ {0}) ∀y ∈ D✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✸ ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ ➤❛ trÞ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✶ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❞ù❛ ✈➭♦ ý t➢➡♥❣ ✈➭ ❦Ü t❤✉❐t ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✶✳ ➤đ ❝đ❛ ị í ợ trì tr ứ ➤➬② ❉♦ ❦❤✉➠♥ ❦❤ỉ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ ë ➤➞② ❝❤ó♥❣ t ỉ trì ữ ý ủ ứ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧Ý ♥➭②✳ ❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ í ị í ợ ứ q ❜ỉ ➤Ị ❞➢í✐ ➤➞②✳ ❚r♦♥❣ ❝➳❝ ❜ỉ ➤Ị ♥➭② t❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tõ ✶✮ ➤Õ♥ ✽✮ ủ ị í ợ t ổ ề ❚å♥ t➵✐ x ∈ K s❛♦ ❝❤♦ (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅ ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ K ể ứ ổ ề ỗ yK t❛ ➤➷t ✻✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn S(y) = {x ∈ K : (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅} ✳ ❚❛ ❝ã S(y) = ✈➭ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ X ✳ ❇➺♥❣ ❧❐♣ ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✶ ✭ ❧➢✉ ý ②Õ✉ tè ➤❛ trÞ ✮ t❛ ❝ã ➳♥❤ ①➵ ❑❑▼✳ ❉♦ K S : K → 2K ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝♦♠♣➽❝ ♥➟♥ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ❑② ❋❛♥ s✉② r❛ ❦Õt ❧✉❐♥ ❝đ❛ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✺✳ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✻ ◆Õ✉ x ∈ K t❤♦➯ ♠➲♥ (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅ ∀y ∈ K, t❤× G(x, y) + H(x, y)) ⊆ −intC, ➜Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜ỉ ➤Ị✱ t❛ ❧✃② x∈K ∀y ∈ K s❛♦ ❝❤♦ (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅ ∀y ∈ K ❱í✐ y∈K ❜✃t ❦×✱ ➤➷t xt = ty + (1 − t)x, t ∈ [0, 1] ✳ ❇➺♥❣ ❧❐♣ ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✷ ✭❧➢✉ ý ②Õ✉ tè ➤❛ trÞ✮ t❛ ❝ã (1 − t)H(x, y) + G(xt , y) ⊆ −intC ❉♦ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ ❝đ❛ G(xt , y) t❤❡♦ t ✈í✐ t=0 ✳ s✉② r❛ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✻✳ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✼ ◆Õ✉ φ : D → 2Y ❧➭ C−❧å✐ ❞➢í✐ ✈➭ ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t✿ ✶✮❚å♥ t➵✐ ✷✮φ(y) x0 ∈ coreD K ✈í✐ φ(x0 ) ⊆ −C ❀ ⊆ −intC ∀y ∈ D, t❤× φ(y) ⊆ −intC ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ D✳ ✻✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ❇ỉ ➤Ị ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ ❧❐♣ ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✸✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✸ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✺ tå♥ t➵✐ x∈K s❛♦ ❝❤♦ (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅ ∀y ∈ K ✳ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✻ t❤× G(x, y) + H(x, y)) ⊆ −intC, ∀y ∈ K ➜➷t φ(y) = G(x, y) + H(x, y), y ∈ D φ : D → 2Y ❱❐♥ ❞ơ♥❣ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✼ ➤è✐ ✈í✐ ❤➭♠ ✳ ✈➭ sư ❞ơ♥❣ ❧❐♣ ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✶ ✭❧➢✉ ý ②Õ✉ tè ➤❛ trÞ✮ t❛ ❝ã ❦Õt ❧✉❐♥ ủ ị í ễ t r tr trờ ợ G ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ trÞ✱ tõ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✸ t ợ ết q t tự ị í ✻✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❑Õt ❧✉❐♥ ❚r♦♥❣ sù ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✈í✐ ❦Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ ❝đ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐❬✸❪✭✶✾✾✸✮ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② trì ã ột số ết q ứ ủ ②Õ✉ ➤➢ỵ❝ t❐♣ ❤ỵ♣ tõ ❝➳❝ ❜➭✐ ❬✶✱✻✱✶✶❪ ✈Ị sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉❀ • ❑Õt q✉➯ ❝đ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❤ỵ♣ ♥❤✃t ♥❤✐Ị✉ ❦Õt q✉➯ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ã ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ư✉❀ • ▼ét ❦Õt q✉➯ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✈➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❧➭ ♠ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ✈➭ ♠ë ré♥❣ ✈❡❝t➡ ✭➤➡♥ trÞ ✈➭ ➤❛ trÞ ✮ ➤è✐ ✈í✐ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝❤đ ②Õ✉ tõ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❬✷✱✹✱✼✱✶✸✱✶✹❪✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➢ỵ❝ t❐♣ ❤ỵ♣ trì tr ợ ự ọ t ể ❝❤♦ ❝➳❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ❝➡ ❜➯♥ ✈í✐ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐❬✸❪✳ ❚❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sù t❐♣ ❤ỵ♣ ♥➭② ❧➭ ♠ét t➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❝➬♥ t❤✐Õt ❝❤♦ ❤➢í♥❣ ➤Ị t➭✐ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ▼➷❝ ❞ï ➤➲ r✃t ❝è ❣➽♥❣✱ ♥❤➢♥❣ ❞♦ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈➭ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❝ß♥ ❤➵♥ ❝❤Õ ♥➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ t❤✐Õ✉ sãt✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ r✃t ♠♦♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ❝❤Ø ❣✐➳♦✳ ✻✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ●✳ ❆❧❧❡♥✱ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡❛q✉❛❧✐t✐❡s✱ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ♣r♦❜❧❡♠s ❛♥❞ ❞✉❛❧✐t② t❤❡♦r❡♠s✱ ❬✷❪ ▼✳ ❏✳▼❛t❤✳❆♥❛❧✳❆♣♣❧✳✺✽✭✶✾✼✼✮✱ ✶✲✶✵✳ ❇✐❛♥❝❤✐✱ ◆✳ ❍❛❞❥✐s❛✈✈❛s ❛♥❞ ❙✳ ❙❝❤❛✐❜❧❡✱ ❱❡❝t♦r ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ Pr♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ▼♦♥♦t♦♥❡ ❇✐❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❏✳ ❖♣t✐♠✳ ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✱❱♦❧✳✾✷✭✶✾✾✼✮✱ ✺✷✼✲✺✹✷✳ ❬✸❪ ❊✳❇❧✉♠ ❛♥❞ ❲✳❖❡tt❧✐✱ ❋r♦♠ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡❛q✉❛❧✐t✐❡s t♦ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ Pr♦❜❧❡♠s✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❙t✉❞❡♥t✱ ❱♦❧✳✻✸✭✶✾✾✸✮✱✶✲✷✸✳ ❬✹❪ ❍✳❇r❡③✐s✱ ▲✳◆✐r❡♥❜❡r❣ ❛♥❞ ●✳❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛✱ Pr✐♥❝✐♣❧❡✳ ❬✺❪ ❍✳❇r❡③✐s✱ ❆ ❘❡♠❛r❦ ♦♥ ❑②❋❛♥✬s ▼✐♥✐♠❛① ❇♦❧❧✳❯♥✳▼❛t✳■t❛❧✳ ❱♦❧✳✻✭✶✾✼✷✮✳✷✾✸✲✸✵✵✳ ❊q✉❛t✐♦♥s ❡t ✐♥Ðq✉❛t✐❡♥s ♥♦♥❧✐♥Ð❛r ❞❛♥s ❧❡s ❡s♣❛❝❡s ✈❡❝t♦r✐❡❧s ❡♥ ❞✉❛❧✐tÐ✱ ❆♥♥✳■♥st✳❏♦✉r✐❡r✭●r❡♥♦❜❧❡✮✳✶✽✭✶✾✻✽✮✱✶✶✺✲✶✼✺✳ ❬✻❪ ▲✳❱✳❈❤♦♥❣✱ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ❖♥ t❤❡ ❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❙♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ❛ ●❡r❡♥❛❧ ❋r♦♠ ♦❢ ❛♥❞ ◗✉❛s✐ ✲ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✱ ❩✳ ❆♥❛❧②s✐s ❆♥✇❡♥❞✉♥❣❡♥ ✸✭✶✾✽✹✮✱ ✺✹✶✲✺✹✽✳ ❬✼❪ ❖✳❈❤❛❞❧✐✱❩✳❈❤❜❛♥✐ ❛♥❞ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ Pr♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❍✳❘✐❛❤✐✱ ▼♦♥♦t♦♥❡ ❇✐❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡❛q✉❛❧✐t✐❡s✱ ❏✳❖♣t✐♠✳ ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳ ❱♦❧✳✶✵✺✭✷✵✵✵✮✱ ✷✾✾✲✸✷✸✳ ✻✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❬✽❪ ❑✳ ❋❛♥✱ ❆ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❚②❝❤♦♥♦❢❢✬s ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r❡♠✱ ▼❛t❤✳ ❆♥♥✳✶✹✷✭✶✾✻✶✮✱ ✸✵✺✲✸✶✵✳ ❬✾❪ ❑✳ ❋❛♥✱ ❆ ▼✐♥✐♠❛① ■♥❡q✉❛❧✐t② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ■♥✿ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ■■■✱ ❡❞✳ ❜② ❖✳❙❤✐s❤❛✱ ❬✶✵❪ P✳❍❛rt♠❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❆ ❝❛❞❡♠✐❝✱ Pr❡ss✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✲▲♦♥❞♦♥ ✭✶✾✼✷✮✱✶✵✸✲✶✶✸✳ ❛♥❞ ●✳❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛✱ ❖♥ s♦♠❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❆❝t❛ ▼❛t❤✳✶✶✺✭✶✾✻✻✮✱ ✷✶✼✲✸✶✵✳ ■♠♣❧✐❝✐t ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ Pr♦❜❧❡♠s ❛♥❞ ◗✉❛s✐✲❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✲ ❬✶✶❪ ❯✳▼♦s❝♦✱ ✐t✐❡s✱ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ❙♣r✐❣❡r✲❱❡r❧❛❣✱ ❱♦❧✳✺✹✸✭✶✾✼✻✮✱✽✸✲ ✶✺✻✳ ❬✶✷❪ ●✳ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛✱ ❋♦r♠❡s ❜✐❧✐♥❡❛✐r❡s ❝♦❡r❝✐t✐✈❡s s✉r ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s✱ ❝♦♥✲ ✈❡❝①❡s✱ ❈✳❘✳❆✳❚✱✷✺✽✭✶✾✻✹✮ ❬✶✸❪ ◆✳❳✳❚✃♥ ❛♥❞ P✳◆✳❚Ü♥❤✱ ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❖♥ t❤❡ ❊①✐tst❡♥❝❡ ♦❢ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❱❡❝t♦r ◆✉♠❡r✳❋✉♥❝t✳❆♥❛❧✳❖Pt✐♠✳❱♦❧✳✶✾✭✶✾✾✽✮✱✶✹✶✲✶✺✻✳ ❬✶✹❪ ◆❣✉②Ô♥ ❳✉➞♥ ❚✃♥ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❇➳ ▼✐♥❤✱ ➢✉ ✈Ð❝t➡ ➤❛ trÞ✱ ◆❳❇ ●✐➳♦ ❞ơ❝✱ ▼ét sè ✈✃♥ ➤Ò tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt tè✐ ✷✵✵✻✳ ✻✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... trÞ✱ ➤è✐ ✈í✐ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✳ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ t❐♣ ợ trì ột số ết q ứ ❜➯♥ ①✉♥❣ q✉❛♥❤ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐... ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✸ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✹ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ë ➜➬✉ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥... sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶ ❧✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝ ◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿❚✳❙ ▲➟ ❱➝♥ ❈❤ã♥❣ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✲✷✵✵✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ❚r❛♥❣ ▼ë ➤➬✉ ❈❤➢➡♥❣