một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ KIM NGA MỘT VÀI THUẬT TOÁN CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Bài toán cân bằng đơn điệu 2 1.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . 5 1.2 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng . . . . . . 17 2 Hai phương pháp giải bài toán cân bằng đơn điệu 23 2.1 Song hàm giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Phép chiếu khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Hai thuật toán chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.1 Phương pháp chiếu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.2 Phương pháp chiếu tổng quát cho bài toán giả đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 i Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và nhiệt tình của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy và kính chúc thầy cùng gia đình luôn mạnh khỏe. Tôi xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giảng dạy tại Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã mang lại cho tôi nhiều kiến thức bổ ích và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này tại trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên. Cuối cùng, con cảm ơn Bố Mẹ đã vất vả tạo mọi điều kiện cho con học tập và được kết quả như ngày hôm nay. Thái Nguyên, tháng 4 - 2014 Người viết Luận văn Lê Thị Kim Nga ii Mở đầu Bài toán cân bằng có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và đời sống như: vật lý (đặc biệt là cơ học), hóa học, sinh học, nông nghiệp, quân sự, kinh tế, viễn thông Bài toán cân bằng là bài toán tổng quát, nó bao gồm nhiều trường hợp riêng như: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bất đẳng thức biến phân Do có ứng dụng rộng rãi trong thực tế nên nghiên cứu về bài toán cân bằng và đưa ra các thuật toán giải là cần thiết. Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng, một số bài toán quy được về bài toán cân bằng và phương pháp chiếu để giải bài toán cân bằng. Luận văn này gồm mục lục, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Nhắc lại các khái niệm, kết quả cơ bản nhất về không gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi, sẽ được sử dụng ở chương sau. Tiếp theo là giới thiệu về bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó. Chương 2: Ta tìm hiểu hai phương pháp chiếu để giải bài toán cân bằng đơn điệu. Trong phần này, trước hết trình bày về song hàm giả đơn điệu tiếp theo là phương pháp chiếu khoảng cách. Trong phương pháp chiếu khoảng cách ta tìm hiểu về hai phương pháp chiếu: phương pháp chiếu cơ bản, phương pháp chiếu tổng quát và thuật toán tương ứng. Trong quá trình viết luận văn cũng như xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. 1 Chương 1 Bài toán cân bằng đơn điệu Trong chương này ta trình bày các khái niệm cơ bản về không gian Hilbert. Ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi. Tiếp theo, ta phát biểu bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của bài toán cân bằng. Kiến thức được trình bày trong chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3]. 1.1 Kiến thức cơ bản 1.1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực R. Một tích vô hướng trong H là một ánh xạ được ký hiệu ., . : H × H → R, và có tính chất sau 1) x, x > 0 nếu x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0, ∀x ∈ H; 2) x, y = y, x, ∀x, y ∈ H; 3) x + y, z = x, z+ y, z, ∀x, y, z ∈ H; 4) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R; 5) x, x = x 2 = x, x 1 2 , ∀x ∈ H. Tích vô hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) của các véc-tơ bởi hệ thức (5). Khi đó, không gian tuyến tính H., . được gọi là không gian tiền Hilbert. Định nghĩa 1.2. Không gian đầy đủ là không gian mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ. 2 Định nghĩa 1.3. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1. Không gian L 2 (E, µ) là không gian Hilbert với tích vô hướng x, y =  E x(t)y(t)dµ. Tích phân này tồn tại và hữu hạn vì  E |xy| ≤   E x 2  1 2 .   E y 2  1 2 < ∞. Ví dụ 1.2. Không gian C L 2 [a,b] gồm tất cả các hàm liên tục trên đoạn [a, b] với phép toán tuyến tính thông thường và với tích vô hướng x, y =  b a x(t)y(t)dt là không gian tiền Hilbert không đủ. Ví dụ 1.3. Không gian l 2 với chuẩn x =  ∞  n=1 |ξ n | 2  1 2 < +∞, x = (ξ 1 , ξ 2 , ξ n , ) là một không gian Hilbert. Nhận xét 1.1. Không gian tiền Hilbert có tính chất sau i) Tính chất hình bình hành x + y 2 + x −y 2 = 2  x 2 + y 2  ; ii) Bất đẳng thức Schwars x, y ≤ x.y; iii) Tích vô hướng x, y là một hàm số liên tục đối với biến x và y. 3 Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động Định nghĩa 1.4. Cho C là tập khác rỗng trong không gian tiền Hilbert thực H. Một hàm f : C → H gọi là ánh xạ co trên, nếu tồn tại θ < 1 sao cho nếu f(x) là phần tử ứng với x trong ánh xạ f thì với mọi x 1 , x 2 ∈ C ta có ρ(f(x 1 ), f(x 2 )) ≤ θρ(x 1 , x 2 ), trong đó ρ(x, y) = x − y được gọi là "khoảng cách giữa x và y". Một phép ánh xạ f có thể có những điểm mà ảnh của nó trùng với chính nó: f(x) = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ. Ví dụ 1.4. Cho hàm f : R → R với mọi x ∈ R ta có f(x) = 1 2 x là ánh xạ co, với θ = 1 2 . Định lý 1.1. (Định lý Banach) Mọi ánh xạ co P từ không gian Hilbert thực H vào bản thân nó đều có một điểm bất động duy nhất. Chứng minh. Lấy một điểm x 0 ∈ H và những điểm x 1 = P x 0 , x 2 = P x 1 , , x n = P x n−1 , Theo định nghĩa ánh xạ co ρ(x n , x n+1 ) = ρ(P x n−1 , P x n ) ≤ θρ(x n−1 , x n ), ρ(x n−1 , x n ) ≤ θρ(x n−2 , x n−1 ), ρ(x 1 , x 2 ) ≤ θρ(x 0 , x 1 ), từ đó suy ra với mọi n ta có ρ(x n , x n+1 ) ≤ θ n ρ(x 0 , x 1 ). Vậy khi m > n, ta có 4 ρ(x n , x m ) ≤ ρ(x n , x n+1 ) + ρ(x n+1 , x n+2 ) + + ρ(x m−1 , x m ) ≤ (θ n + θ n+1 + + θ m−1 )ρ(x 0 , x 1 ) ≤ ∞  k=n (θ k )ρ(x 0 , x 1 ) = θ n 1 −θ ρ(x 0 , x 1 ). Vì θ < 1 nên ρ(x n , x m ) → 0 khi n, m → ∞, tức là {x n } là một dãy Cauchy trong H và vì H là không gian Hilbert nên {x n } phải dần tới một giới hạn x nào đó. Ta có x n = P x n−1 mà x n → x, P x n−1 → P x vì ρ(P x n−1 , P x) ≤ θρ(x n−1 , x) → 0. Vậy Px = x, nghĩa là x là điểm bất động. Đó là điểm bất động duy nhất vì nếu y cũng là một điểm bất động thì ρ(x, y) = ρ(P x, P y) ≤ θρ(x, y). Với θ < 1 điều này chỉ xảy ra nếu ρ(x, y) = 0 tức là x = y. 1.1.2 Kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi Định nghĩa 1.5. Cho dãy {x n } n≥0 và x 0 nằm trong không gian Hilbert thực H. Khi đó i) Dãy {x n } gọi là hội tụ mạnh tới x 0 và ký hiệu là x n → x 0 nếu lim n→+∞ x n − x 0  = 0; ii) Dãy {x n } gọi là hội tụ yếu tới x 0 và ký hiệu là x n  x 0 nếu lim n→+∞ w, x n  = w, x 0 , ∀w ∈ H; iii) Điểm x 0 được gọi là điểm tụ mạnh (yếu) của dãy {x n } nếu từ dãy này có thể lấy ra một dãy hội tụ mạnh (yếu) đến x 0 . Mệnh đề 1.1. i) Nếu một dãy {x n } hội tụ mạnh đến x 0 thì {x n } cũng hội tụ yếu đến x 0 ; ii) Nếu dãy {x n } hội tụ yếu tới x 0 và lim n→+∞ x n  = x 0  thì dãy {x n } hội tụ đến x 0 ; iii) Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) đều bị chặn và giới hạn tồn tại là duy nhất; 5 iv) Nếu không gian Hilbert thực H là hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh, yếu là tương đương; v) Nếu {x n } n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert H thì ta lấy ra được một dãy con từ dãy {x n } và dãy con này hội tụ yếu; vi) Nếu {x n } n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert hữu hạn chiều H thì ta lấy ra được một dãy con hội tụ mạnh. Định nghĩa 1.6. Một đường thẳng đi qua hai điểm (hai véc-tơ) a, b trong không gian Hilbert thực H là tập hợp tất cả véc-tơ x ∈ H có dạng {x ∈ H : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1}. Định nghĩa 1.7. Đoạn thẳng nối hai điểm a và b trong không gian Hilbert thực H là tập hợp các véc-tơ x có dạng {x ∈ H : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}. Định nghĩa 1.8. Cho tập C trong không gian Hilbert thực H, ta xét toán tử F : C → C được gọi là toán tử đơn điệu nếu F (x) −F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C. Ví dụ 1.5. Cho toán tử F được xác định trên R như sau F (x) = x, ∀x ∈ R. Khi đó F là toán tử đơn điệu vì với mọi x, y thuộc R ta có F (x) −F (y), x − y = (x − y) 2 ≥ 0, ∀x, y ∈ R. Định nghĩa 1.9. Trong không gian Hilbert thực H một tập D ⊆ H được gọi là một tập lồi nếu D chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là D lồi khi và chỉ khi ∀x, y ∈ H, λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 −λ)y ∈ D. 6 Hình 1.1: Đa diện lồi. Định nghĩa 1.10. Tập M ⊆ R n gọi là một tập affine (hay đa tạp tuyến tính) nếu (1 − λ)a + λb ∈ M với mọi a ∈ M, b ∈ M với mọi λ ∈ R, tức là M chứa trọn cả đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Nhận xét 1.2. Nếu M là một tập affine và a ∈ R n thì i) a + M = a + x : x ∈ M cũng là một tập affine. ii) M là một tập affine chứa gốc khi và chỉ khi M là một không gian con, nghĩa là nếu a, b ∈ M thì mọi điểm λa + µb cũng thuộc M với λ, µ ∈ R. Định nghĩa 1.11. Điểm x ∈ H có dạng x = λ 1 a 1 +λ 2 a 2 + + λ k a k với a i ∈ R n và λ 1 + λ 2 + + λ k = 1 gọi là một tổ hợp affine của các điểm a 1 , a 2 , , a k . Nhận xét 1.3. i) M là một tập affine khi và chỉ khi M chứa mọi tổ hợp affine các phần tử của nó. ii)Giao của một họ bất kỳ các tập affine cũng là một tập affine. Cho E là một tập bất kỳ trong R n , có ít nhất một tập affine chứa E, cụ thể là R n . Định nghĩa 1.12. Giao của tất cả các tập affine chứa E gọi là bao affine của E và ký hiệu là affE. Đó là tập affine nhỏ nhất chứa E. Ta thấy x ∈ affE khi và chỉ khi x là một tổ hợp affine của các phần tử thuộc E. Định nghĩa 1.13. Một tập D được gọi là nón nếu ∀λ > 0, ∀x ∈ D ⇒ λx ∈ D. 7 [...]... ∈ K(x) 22 Chương 2 Hai phương pháp giải bài toán cân bằng đơn điệu Trong chương này ta tìm hiểu về song hàm giả đơn điệu, phép chiếu khoảng cách, hai thuật toán chiếu để giải bài toán cân bằng đơn điệu và một số ví dụ để minh họa cho thuật toán Các kiến thức trong chương này được tham khảo chủ yếu ở trong các tài liệu [1], [4], [5], [6], [7] 2.1 Song hàm giả đơn điệu Ta giả sử H là không gian Hilbert... p(y), y − x + p(x) − p(y) 2 ≤ 0 ⇒ p(x) − p(y), x − y ≥ p(x) − p(y) 2 2.3 2.3.1 Hai thuật toán chiếu Phương pháp chiếu cơ bản Trong mục này, ta xét một thuật toán chiếu cơ bản để giải một trường hợp riêng quan trọng của bài toán cân bằng đơn điệu mạnh là bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh Cụ thể ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân sau Tìm x∗ ∈ C, sao cho (V I) F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x... biến phân, bài toán cân bằng N ash, bài toán tối ưu Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu về bài toán cân bằng và một số bài toán có thể quy về bài toán cân bằng Ta giả sử H là không gian Hilbert thực với tô pô yếu được định nghĩa bởi , và chuẩn 1.2.1 Phát biểu bài toán Cho C là tập lồi đóng trong không gian Hilbert thực H Đặt f : C × C → R ∪ {+∞} thỏa mãn f (x, x) = 0, ∀x ∈ H Khi đó, ta xét bài toán sau... giả đơn điệu mạnh Thật vậy, hàm f được định nghĩa như Mệnh đề 2.1 là hàm giả đơn điệu mạnh Mà T có dạng (2.4) nên T giả đơn điệu mạnh Ta có một hệ quả sau là kết quả trực tiếp của Mệnh đề 2.1 Hệ quả 2.1 Cho C là lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H Giả sử T là nửa liên tục trên và giả đơn điệu mạnh trên C thì Bài toán (2.2) có một nghiệm duy nhất Bài toán đối ngẫu của Bài toán (EP ) Bài. .. nghiệm của Bài toán (EP ) 16 1.2.2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng Bài toán tối ưu Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và g : C → R là một hàm số xác định trên C Khi đó, bài toán tối ưu được phát biểu như sau Tìm x∗ ∈ C sao cho g(x∗ ) ≤ g(y), y ∈ C (1.2) Nếu ta đặt f (x, y) = g(y) − g(x) với mọi x, y ∈ C thì bài toán tối ưu có thể quy về bài toán cân bằng (EP )... Hilbert thực H và một hàm f : H → R khả vi trên C i) Hàm f lồi trên C khi và chỉ khi f (y) ≥ f (x) + f (x), y − x , ∀x, y ∈ C; ii) Nếu f (y) > f (x) + f (x), y − x , ∀x, y ∈ C, x = y, thì hàm f lồi chặt trên C 1.2 Bài toán cân bằng Bài toán cân bằng có ý nghĩa quan trọng trong kinh tế và nhiều lĩnh vực trong thực tiễn Hơn thế nữa, bài toán còn là sự mở rộng của một số bài toán 12 như: Bài toán bất đẳng... nghiệm duy nhất Bài toán đối ngẫu của Bài toán (EP ) Bài toán cân bằng (EP ) có mối liên quan chặt chẽ với bài toán sau, được gọi là bài toán đối ngẫu của Bài toán (EP ) Tìm y ∗ ∈ C : f (x, y ∗ ) ≤ 0, ∀x ∈ C (2.5) Ta sẽ ký hiệu tập nghiệm của Bài toán (EP ) là S và tập nghiệm của bài toán đối ngẫu là DS Mối quan hệ giữa hai tập nghiệm của hai bài toán này được thể hiện theo mệnh đề dưới đây 27 Mệnh đề... Rõ ràng x∗ là một nghiệm của Bài toán (2.2) nếu và chỉ nếu nó là nghiệm của Bài toán (EP ), với f được định nghĩa bởi (2.3) Thật vậy, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (2.2) tức là T (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C Theo cách đặt ta có f (x∗ , y) := T (x∗ ), y − x∗ , ∀y ∈ C, nên f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Vậy x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) tức... , ∀x, y ∈ C thì Bài toán (V I) có thể quy về δ∈F (x) bài toán cân bằng (EP ) Thật vậy, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của Bài toán (V I) ta có δ ∗ , y − x∗ ≥ 0, y ∈ C, δ ∗ ∈ F (x∗ ) Theo cách đặt ta có f (x∗ , y) = max δ ∗ ∈F (x∗ ) δ ∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C Vậy x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) ta có f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Theo cách đặt... của Bài toán (1.1) nên ta có g(x∗ ) ≤ g(y), ∀y ∈ C Vì f (x, y) = g(y) − g(x), ∀x, y ∈ C Nên f (x∗ , y) = g(y) − g(x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) Ngược lại, nếu x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) thì ta có f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Theo cách đặt ta có f (x∗ , y) = g(y) − g(x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C ⇒ g(y) ≥ g(x∗ ), ∀y ∈ C Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của Bài toán (1.1) Bài toán . về bài toán cân bằng và đưa ra các thuật toán giải là cần thiết. Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng, một số bài toán quy được về bài toán cân bằng và phương pháp chiếu để giải bài. bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng N ash, bài toán tối ưu. Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu về bài toán cân bằng và một số bài toán có thể quy về bài toán cân bằng. Ta giả sử H là không. C. 1.2 Bài toán cân bằng Bài toán cân bằng có ý nghĩa quan trọng trong kinh tế và nhiều lĩnh vực trong thực tiễn. Hơn thế nữa, bài toán còn là sự mở rộng của một số bài toán 12 như: Bài toán bất