2 Hai phương pháp giải bài toán cân bằng đơn điệu
2.2 Phép chiếu khoảng cách
Định nghĩa 2.2. Cho C 6= ∅ là một tập lồi đóng thuộc không gian Hilbert
thực H và một véc-tơ bất kỳ y∈H ta đặt
dC(y) := inf
Ta nói dC(y) là khoảng cách từ y đến C. Nếu tồn tại π∈C sao cho
dC(y) =kπ−yk, thì ta nói π là hình chiếu (khoảng cách) của y trên C.
Việc tìm hình chiếu khoảng cách của y trên C có thể đưa về việc tìm cực tiểu của dạng toàn phương kx−yk trên C. Ta biết rằng, nếu C là tập lồi thì
dC là hàm lồi.
Thật vậy, với x, y ∈H và µ∈(0,1) bất kỳ. Ta đặt u= [µx+ (1−µ)y]. Khi đó tồn tại các dãy {xk},{yk} trong C sao cho
lim
k→∞kx−xkk=dC(x), lim
k→∞ky−ykk=dC(y).
Do C lồi nên uk =µxk + (1−µ)yk thuộc C ta có
dC(u)≤ ku−ukk=kµ(x−xk) + (1−µ)(y−yk)k ≤µk(x−xk)k+ (1−µ)ky−ykk.
Chok → ∞, ta códC ≤dC(x)+dC(y).Nếu tồn tạiπ ∈Csao chokx−πk=dC(x)
thì π được gọi là hình chiếu (khoảng cách) của x lên C. Khi đó, π là nghiệm của bài toán tối ưu
min
y∈C
kx−yk2
2 .
Như vậy, theo định nghĩa ta thấy rằng hình chiếu pC(y)của y trên C sẽ là nghiệm của bài toán tối ưu
min
x
1
2kx−yk2 : x∈C .
Ta sẽ ký π =PC(y), hoặc đơn giản hơn là p(y) nếu không cần nhấn mạnh đến tập chiếu C. Chú ý rằng, nếu C 6= ∅ thì dC(y) hữu hạn, vì 0 ≤ dC(y) ≤ ky−xk với mọi x∈C.
Sau đây ta xét tính chất của phép chiếu.
Tính chất 2.1. Cho C là lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H. Khi đó với mọi y ∈Rn, hình chiếu pC(y) của C luôn tồn tại và duy nhất.
Chứng minh. Ta có dC(y) := inf
x∈Ckx−yk, và theo định nghĩa của cận dưới đúng thì tồn tại một dãy xk ∈C sao cho
lim
Nên dãy {xk} bị chặn, do đó có một dãy con {xki} hội tụ yếu đến điểm π nào đó. Do C lồi đóng yếu nên π∈C. Vậy
kπ−yk= lim
i kxki−yk= lim
k kxk−yk=dC(y).
Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C.
Tiếp theo ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy, giả sử tồn tại diểm π và π1 là hình chiếu của y trên C ta có
y−π ∈NC(π), y−π1 ∈NC(π1).
có nghĩa là
hπ−y, π1−πi ≥0
và
hπ1−y, π−π1i ≥0.
Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra kπ−π1k ≤0, do đó π=π1.
Tính chất 2.2. Cho C là lồi đóng khác rỗng. Khi đó với mọi y ∈ Rn, π ∈ C
hai tính chất sau là tương đương i) π=pC(y);
ii) y−π ∈NC(π).
Chứng minh. Giả sử có i), tức là π =pC(y). Ta lấy x∈C và λ∈(0,1). Đặt
xλ :=λx+ (1−λ)π.
Do x, π ∈ C và C lồi, nên xλ ∈ C. Hơn nữa, do π là hình chiếu của y, nên kπ−yk ≤ ky−xλk. Hay
kπ−yk2≤ kλ(x−π) + (π−y)k2.
Khai triển vế phải, ta có
λ2k(x−π)k2+k(π−y)k2+ 2λk(x−π)(π−y)k ≥0.
λ2k(x−π)k2+ 2λhx−π, π−yi ≥0,
và chia hai vế cho λ >0 ta có
λkx−πk2+ 2hx−π, π−yi ≥0.
Điều này đúng với mọi x∈C và λ∈(0,1). Do đó khi cho λ tiến tới 0 ta được hπ−y, x−πi ≥0,∀x∈C. Vậy y−π ∈NC(π). Giả sử có ii) y−π∈NC(π). Với mọi x∈C, có 0≥(y−π)T(x−π) = (y−π)T(x−y+y−π) =ky−πk2+ (y−π)T(y−x). Ta dùng bất đẳng thức Cauchy−Schwart ta có ky−πk2≤(y−π)T(y−x)≤ ky−πkky−xk.
Suy ra ky−πk ≤ ky−xk, với mọi x∈C và do đó π =p(y).
Tính chất 2.3. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H, pC(y) là hình chiếu của y trên C. Ánh xạ y→pC(y) có tính chất sau i) Tính không giãn
kpC(x)−pC(y)k ≤ kx−yk, ∀x, y;
ii) Tính đồng bức
hpC(x)−pC(y), x−yi ≥ kpC(x)−pC(y)k2.
Chứng minh. i) Theo Tính chất 2.1 ánh xạ x→p(x) là luôn tồn tại và duy
nhất. Do z−p(z)∈NC(p(z)) với mọi z, nên áp dụng với z =x và z =y, ta có hx−p(x), p(y)−p(x)i ≤0,
và
Cộng hai bất đẳng thức trên ta được
hp(y)−p(x), p(y)−p(x) +x−yi ≤0.
Từ đây và theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, suy ra
kp(x)−p(y)k ≤ kx−yk.
ii) Vì y−π ∈NC(π), với y∈Rn, π ∈C, lần lượt với p(x), p(y) ta có hp(x)−x, p(x)−p(y)i ≤0,
hy−p(y), p(x)−p(y)i ≤0.
Cộng hai bất đẳng thức trên ta được
hp(x)−p(y) +y−x, p(x)−p(y)i
=hp(x)−p(y), y−xi+kp(x)−p(y)k2≤0.
⇒ hp(x)−p(y), x−yi ≥ kp(x)−p(y)k2.