Bài toán HIT đối với đại số đa thức năm biến và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KHẮC TÍN BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ ĐA THỨC NĂM BIẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KHẮC TÍN BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ ĐA THỨC NĂM BIẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 62.46.01.04 Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN SUM BÌNH ĐỊNH, NĂM 2017 Mục lục Lời cam đoan iv Lời cảm ơn v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 10 1.1 Đại số Steenrod 10 1.2 Cấu trúc A-môđun đại số đa thức 11 1.3 Hàm µ véctơ trọng đơn thức 11 1.4 Đơn thức chấp nhận đơn thức hit 16 1.5 Một số đồng cấu ký hiệu 18 Chương Một số vấn đề toán hit đại số đa thức 21 2.1 Tính đẳng cấu đồng cấu Kameko lặp 21 2.2 Bài toán hit đại số đa thức năm biến số dạng bậc 24 2.2.1 Trường hợp d = 25 2.2.2 Trường hợp d = 30 2.2.3 Trường hợp d = 40 Chương Ứng dụng toán hit cho đồng cấu chuyển đại số thứ năm Singer 43 3.1 Giả thuyết Singer đồng cấu chuyển đại số 43 3.2 Chứng minh Định lý 3.1.3 45 3.2.1 Trường hợp d = 45 3.2.2 Trường hợp d = 50 ii 3.2.3 Trường hợp d = 57 3.3 Chứng minh Hệ 3.1.4 59 Kết luận 61 Danh mục công trình tác giả liên quan đến Luận án 62 Tài liệu tham khảo 63 Phụ lục 69 iii Lời cam đoan Luận án hoàn thành trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Sum Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết Luận án trung thực đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước Tác giả, Nguyễn Khắc Tín iv Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn Sum Thầy tận tình hướng dẫn từ bước nghiên cứu, làm luận văn thạc sỹ luận án tiến sĩ, thầy tạo cho môi trường làm việc cởi mở, chân tình đầy ấm cúng Hơn nữa, người cha, thầy động viên, uốn nắn để hoàn thiện sống nghiên cứu khoa học đặc biệt quan tâm giúp đỡ mặt vật chất lẫn tinh thần an tâm suốt trình học tập nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu; Phòng Đào tạo sau đại học; Khoa Toán-Trường Đại học Quy Nhơn, Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập nghiên cứu trường Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu-Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho học Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến đồng nghiệp Bộ môn Toán, Khoa Khoa học Ứng dụng gánh vác công việc suốt thời gian làm nghiên cứu sinh trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin chân thành cảm ơn NCS Liên Vương Lâm bạn bè gần xa thăm hỏi, giúp đỡ nhiều ba năm qua Xin cảm ơn Cô Kim Phụng dành cho lời khuyên chân tình, lời động viên, khích lệ tinh thần suốt thời gian thực luận án Cuối cùng, xin dành tình cảm đặc biệt gửi đến tất người thân thương gia đình tôi, người bên cạnh động viên, an ủi, chia sẻ khó nhọc tôi; đặc biệt vất vả, hy sinh to lớn vợ gái gánh vác công việc gia đình, tạo điều kiện tốt để chuyên tâm học tập Tác giả Nguyễn Khắc Tín v Mở đầu Một công cụ sử dụng để nghiên cứu toán phân loại đồng luân không gian tôpô toán tử đối đồng điều Steenrod xây dựng Các toán tử đối đồng điều sinh phép biến đổi tự nhiên bậc i Sq i : H n (X, F2 ) −→ H n+i (X, F2 ), X không gian tôpô H ∗ (X, F2 ) đối đồng điều kì dị X với hệ số trường F2 có phần tử n, i số nguyên không âm tùy ý Các toán tử Sq i Steenrod xây dựng [38] gọi bình phương Steenrod bậc i hay toán tử Steenrod bậc i Cấu trúc tập hợp toán tử đối đồng điều Serre [58] làm rõ vào năm 1952 Serre chứng minh rằng, với phép cộng thông thường phép hợp thành ánh xạ, toán tử Steenrod sinh tất toán tử đối đồng điều ổn định Đại số toán tử đối đồng điều ổn định với hệ số trường F2 gọi đại số Steenrod modulo kí hiệu A Khi đó, với không gian tôpô X , H ∗ (X, F2 ) A-môđun Như vậy, đại số Steenrod định nghĩa cách túy đại số đại số thương F2 -đại số phân bậc, kết hợp, tự sinh ký hiệu Sq i bậc i với i số nguyên không âm, theo iđêan hai phía sinh quan hệ Sq = quan hệ Adem [a/2] a b Sq Sq = j=0 b−1−j Sq a+b−j Sq j , < a < 2b a − 2j Ký hiệu Pk = H ∗ ((RP ∞ )k ) đại số đối đồng điều modulo tích trực tiếp k không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều RP ∞ Khi đó, Pk đẳng cấu với đại số đa thức phân bậc F2 [x1 , x2 , , xk ] với k biến, biến xj có bậc Cấu trúc A-môđun Pk xác định tường minh công thức     xj , i = 0, Sq i (xj ) = x2 , i = 1, j    0, i > 1, công thức Cartan n Sq i (x)Sq n−i (y), n Sq (xy) = i=0 với x, y ∈ Pk Một toán mà quan tâm toán tìm tập sinh cực tiểu đại số đa thức Pk xét môđun đại số Steenrod A Bài toán gọi toán hit đại số đa thức Nếu xét F2 A-môđun tầm thường toán hit tương đương với toán tìm sở F2 -không gian véctơ phân bậc F2 ⊗A Pk ∼ = Pk /A+ Pk A+ iđêan A sinh tất toán tử Steenrod bậc dương Bài toán nghiên cứu Peterson [27, 28], Singer [36], Wood [54], Priddy [30] người mối liên hệ toán hit với số toán cổ điển lý thuyết đồng luân lý thuyết đồng biên đa tạp, lý thuyết biểu diễn modular nhóm tuyến tính, dãy phổ Adams đồng luân ổn định mặt cầu toán phân tích ổn định không gian phân loại nhóm hữu hạn Trong [27], Peterson đưa giả thuyết rằng, môđun đại số Steenrod, đại số đa thức Pk sinh đơn thức bậc n thỏa mãn α(n + k) k, α(n) số hệ số khai triển nhị phân n chứng minh điều với k Giả thuyết Wood [54] chứng minh cách tổng quát vào năm 1989 Đây công cụ toán xác định tập sinh cực tiểu A-môđun Pk Sau kết phát triển xa Singer [36] Silverman [33, 34] Đến nay, tích tenxơ F2 ⊗A Pk xác định tường minh với k = 1, Peterson, với k = Kameko [22, 23] Trường hợp k = xác định hoàn toàn N Sum [39, 42, 44] Trong trường hợp tổng quát số dạng bậc đó, toán quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả nước (chẳng hạn như: Boardman [2], Bruner-Hà-Hưng [3], Carlisle-Wood [4], Crabb-Hubbuck [5], Giambalvo-Peterson [11], Hưng-Nam [15, 16], HưngPeterson [17], Janfada-Wood [20, 21], Mothebe [25], T N Nam [56], Phúc-Sum [29], Repka-Selick [32], Silverman [33], Silverman-Singer [35], Singer [37], N Sum [40, 41, 44], Walker-Wood [51, 52, 53], Wood [54, 55] số tác giả khác) Tuy nhiên, kết đạt hạn chế, trường hợp k = với hỗ trợ máy tính điện tử Ký hiệu GLk nhóm tuyến tính tổng quát cấp k trường F2 Nhóm tác động tự nhiên lên đại số đa thức Pk phép biến tuyến tính (xem Dickson [10]) Vì tác động A GLk Pk giao hoán với nên có tác động cảm sinh GLk F2 ⊗A Pk Một công cụ khác sử dụng để nghiên cứu toán hit đồng cấu Kameko Sq ∗ : F2 ⊗A Pk −→ F2 ⊗A Pk Đồng cấu đồng cấu GLk môđun cảm sinh ánh xạ F2 -tuyến tính φ : Pk −→ Pk xác định sau: φ(x) =  y, x = x1 x2 xk y , 0, trường hợp khác , với đơn thức x ∈ Pk Tuy φ đồng cấu A-môđun ta có hệ thức sau: φSq 2j = Sq j φ, φSq 2j+1 = với số nguyên không âm j Với n số nguyên dương, ta ký hiệu µ(n) = min{u ∈ Z : α(n + u) ≤ u} Kameko chứng minh [22] kết sau (định lý đánh số Định lý 2.1.1) Định lý (Kameko [22]) Cho m số nguyên dương Nếu µ(2m+k) = k (Sq ∗ )(k,m) : (F2 ⊗A Pk )2m+k −→ (F2 ⊗A Pk )m đẳng cấu GLk -môđun Kết hợp kết kết Wood, toán hit rút gọn việc tính toán bậc n thỏa mãn µ(n) = s < k Tuy vậy, việc tính toán tường minh không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n khó, người ta thường quan tâm đến việc đánh giá số chiều không gian véctơ Trong [4], Carlisle-Wood chứng minh số chiều không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n bị chặn số phụ thuộc vào k Vào năm 1990, luận án tiến sĩ trường Đại học Johns Hopkins, Kameko [22] đưa giả thuyết sau chặn số chiều (F2 ⊗A Pk )n , chứng minh giả thuyết với k Giả thuyết (Kameko [22]) Với số nguyên không âm n, (2i − 1) dim(F2 ⊗A Pk )n i k Sau xác định tường minh F2 ⊗A P4 phương pháp Kameko, N Sum [41] giả thuyết Kameko với k = Hơn nữa, N Sum [44] thiết lập công thức quy nạp theo k số chiều không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n với n bậc có dạng tổng quát Định lý (Sum [44]) Cho n = (k − 1)(2d − 1) + 2d m, d, m số nguyên dương cho k−3 k − Nếu d µ(m) k − dim(F2 ⊗A Pk )n = (2k − 1) dim(F2 ⊗A Pk−1 )m Với d k µ(m) = k − 2, định lý chứng minh T N Nam [56] Bằng cách quy nạp theo k sử dụng tính chất toàn cấu đồng cấu Kameko, có kết sau Hệ (Sum [41]) Cho n = i k−2 (2 dương ký hiệu dk−1 = 1, nr = Nếu d1 − d2 4, di−2 − di−1 i k Ở ta quy ước i r+1 i k (2 −1), di số nguyên di −dr−1 i r−2 (2 i với i (2i − 1) + dim(F2 ⊗A Pk )n = di k k ( 5, (2i − 1)) dim Ker(Sq ∗ )(r,nr ) r k r+1 i k − 1) = 1, với r = k − 1) − với r = 5, , k |B50 (11)| = 240, |ψ(B5 (3))| = 25 với ψ : P5 → P5 , ψ(x) = X∅ x2 , B5+ (11) ∩ Ker(Sq ∗ )(5,3) tập hợp gồm 50 đơn thức chấp nhận sau: x1 x2 x3 x24 x65 x1 x2 x3 x64 x25 x1 x2 x23 x4 x65 x1 x2 x23 x24 x55 x1 x2 x23 x34 x45 x1 x2 x23 x44 x35 x1 x2 x23 x54 x25 x1 x2 x23 x64 x5 x1 x2 x33 x24 x45 10 x1 x2 x33 x44 x25 11 x1 x2 x63 x4 x25 12 x1 x2 x63 x24 x5 13 x1 x22 x3 x4 x65 14 x1 x22 x3 x24 x55 15 x1 x22 x3 x34 x45 16 x1 x22 x3 x44 x35 17 x1 x22 x3 x54 x25 18 x1 x22 x3 x64 x5 19 x1 x22 x33 x4 x45 20 x1 x22 x33 x44 x5 21 x1 x22 x43 x4 x35 22 x1 x22 x43 x34 x5 23 x1 x22 x53 x4 x25 24 x1 x22 x53 x24 x5 25 x1 x32 x3 x24 x45 26 x1 x32 x3 x44 x25 27 x1 x32 x23 x4 x45 28 x1 x32 x23 x44 x5 29 x1 x32 x43 x4 x25 30 x1 x32 x43 x24 x5 31 x1 x62 x3 x4 x25 32 x1 x62 x3 x24 x5 33 x31 x2 x3 x24 x45 34 x31 x2 x3 x44 x25 35 x31 x2 x23 x4 x45 36 x31 x2 x23 x44 x5 37 x31 x2 x43 x4 x25 38 x31 x2 x43 x24 x5 39 x31 x42 x3 x4 x25 40 x31 x42 x3 x24 x5 41 x1 x22 x23 x34 x35 42 x1 x22 x33 x24 x35 43 x1 x22 x33 x34 x25 44 x1 x32 x23 x24 x35 45 x1 x32 x23 x34 x25 46 x1 x32 x33 x24 x25 47 x31 x2 x23 x24 x35 48 x31 x2 x23 x34 x25 49 x31 x2 x33 x24 x25 50 x31 x32 x3 x24 x25 P.9 Các đơn thức chấp nhận bậc 19 P4 x2 x33 x15 x2 x73 x11 3 x2 x15 x4 x32 x3 x15 x32 x33 x13 x32 x53 x11 x32 x73 x94 x32 x13 x4 x32 x15 x4 10 x72 x3 x11 11 x72 x33 x94 12 x72 x93 x34 13 x72 x11 x4 14 x15 x3 x4 15 x15 x3 x4 16 x1 x33 x15 17 x1 x73 x11 18 x1 x15 x4 20 x1 x2 x33 x14 19 x1 x2 x23 x15 4 15 23 x1 x2 x14 21 x1 x2 x63 x11 22 x1 x2 x73 x10 x4 24 x1 x2 x3 x4 26 x1 x22 x33 x13 27 x1 x22 x53 x11 28 x1 x22 x73 x94 25 x1 x22 x3 x15 4 15 15 29 x1 x22 x13 x4 30 x1 x2 x3 x4 31 x1 x2 x4 32 x1 x32 x3 x14 33 x1 x32 x23 x13 34 x1 x32 x33 x12 35 x1 x32 x43 x11 36 x1 x32 x53 x10 4 4 37 x1 x32 x63 x94 38 x1 x32 x73 x84 3 13 39 x1 x32 x12 x4 40 x1 x2 x3 x4 15 41 x1 x32 x14 x4 42 x1 x2 x3 45 x1 x62 x93 x34 43 x1 x62 x3 x11 44 x1 x62 x33 x94 11 46 x1 x62 x11 x4 47 x1 x2 x4 74 48 x1 x72 x3 x10 49 x1 x72 x23 x94 50 x1 x72 x33 x84 51 x1 x72 x83 x34 52 x1 x72 x93 x24 53 x1 x72 x10 x4 54 x1 x72 x11 3 55 x1 x14 x3 x4 56 x1 x14 x3 x4 57 x1 x15 x4 58 x1 x15 x3 x4 59 x1 x15 x3 x4 60 x1 x15 x3 61 x31 x3 x15 62 x31 x33 x13 63 x31 x53 x11 64 x31 x73 x94 65 x31 x13 x4 66 x31 x15 x4 67 x31 x2 x15 68 x31 x2 x3 x14 69 x31 x2 x23 x13 70 x31 x2 x33 x12 71 x31 x2 x43 x11 72 x31 x2 x53 x10 73 x31 x2 x63 x94 74 x31 x2 x73 x84 75 x31 x2 x12 x4 76 x31 x2 x13 x4 77 x31 x2 x14 x4 78 x31 x2 x15 79 x31 x32 x13 80 x31 x32 x3 x12 81 x31 x32 x43 x94 82 x31 x32 x53 x84 83 x31 x32 x12 x4 84 x31 x32 x13 85 x31 x42 x3 x11 86 x31 x42 x33 x94 87 x31 x42 x93 x34 88 x31 x42 x11 x4 89 x31 x52 x11 90 x31 x52 x3 x10 91 x31 x52 x23 x94 92 x31 x52 x33 x84 93 x31 x52 x83 x34 94 x31 x52 x93 x24 95 x31 x52 x10 x4 96 x31 x52 x11 97 x31 x72 x94 98 x31 x72 x3 x84 99 x31 x72 x83 x4 100 x31 x72 x93 13 3 12 3 101 x31 x12 x3 x4 102 x1 x2 x3 x4 103 x1 x2 x4 13 105 x31 x13 x3 x4 106 x1 x2 x3 104 x31 x13 x3 x4 107 x31 x15 x4 108 x31 x15 x3 111 x71 x93 x34 112 x71 x11 x4 109 x71 x3 x11 110 x71 x33 x94 113 x71 x2 x11 115 x71 x2 x23 x94 114 x71 x2 x3 x10 117 x71 x2 x83 x34 118 x71 x2 x93 x24 11 119 x71 x2 x10 x4 120 x1 x2 x3 121 x71 x32 x94 122 x71 x32 x3 x84 123 x71 x32 x83 x4 124 x71 x32 x93 125 x71 x82 x3 x34 126 x71 x82 x33 x4 127 x71 x92 x34 128 x71 x92 x3 x24 129 x71 x92 x23 x4 130 x71 x92 x33 131 x71 x11 x4 132 x71 x11 x3 133 x15 x3 x4 134 x15 x3 x4 135 x15 x2 x4 136 x15 x2 x3 x4 15 137 x15 x2 x3 x4 138 x1 x2 x3 139 x15 x2 x4 140 x15 x2 x3 116 x71 x2 x33 x84 P.10 Các đơn thức chấp nhận bậc 19 P5 Ta có B5 (19) = B50 (19) ∪ ψ(B5 (7)) ∪ B5+ (19) ∩ Ker(Sq ∗ )(5,7) , |B50 (19)| = 550, |ψ(B5 (7))| = 110 với ψ : P5 → P5 , ψ(x) = X∅ x2 , B5+ (19) ∩ Ker(Sq ∗ )(5,7) = B5+ (3, 2, 1, 1) ∪ B5+ (3, 2, 3) ∪ B5+ (3, 4, 2) P.10.1 B5+ (3, 2, 2, 1) tập hợp gồm 150 đơn thức chấp nhận sau: 75 x1 x2 x3 x24 x14 x1 x2 x3 x64 x10 x1 x2 x3 x14 x5 x1 x2 x23 x4 x14 5 x1 x2 x23 x24 x13 x1 x2 x23 x34 x12 x1 x2 x23 x44 x11 x1 x2 x23 x54 x10 x1 x2 x23 x64 x95 10 x1 x2 x23 x74 x85 13 11 x1 x2 x23 x12 x5 12 x1 x2 x3 x4 x5 12 13 x1 x2 x23 x14 15 x1 x2 x33 x44 x10 x5 14 x1 x2 x3 x4 x5 16 x1 x2 x33 x64 x85 10 17 x1 x2 x33 x12 x5 18 x1 x2 x3 x4 x5 19 x1 x2 x63 x24 x95 20 x1 x2 x63 x34 x85 22 x1 x2 x63 x94 x25 23 x1 x2 x63 x10 x5 24 x1 x2 x3 x4 x5 25 x1 x2 x73 x84 x25 14 26 x1 x2 x14 x4 x5 27 x1 x2 x3 x4 x5 21 x1 x2 x63 x84 x35 29 x1 x22 x3 x24 x13 30 x1 x22 x3 x34 x12 28 x1 x22 x3 x4 x14 5 32 x1 x22 x3 x54 x10 33 x1 x22 x3 x64 x95 31 x1 x22 x3 x44 x11 5 34 x1 x22 x3 x74 x85 13 35 x1 x22 x3 x12 x5 36 x1 x2 x3 x4 x5 12 39 x1 x22 x33 x44 x95 37 x1 x22 x3 x14 x5 38 x1 x2 x3 x4 x5 40 x1 x22 x33 x54 x85 11 41 x1 x22 x33 x12 x5 42 x1 x2 x3 x4 x5 43 x1 x22 x43 x34 x95 44 x1 x22 x43 x94 x35 47 x1 x22 x53 x24 x95 46 x1 x22 x53 x4 x10 45 x1 x22 x43 x11 x5 48 x1 x22 x53 x34 x85 49 x1 x22 x53 x84 x35 50 x1 x22 x53 x94 x25 51 x1 x22 x53 x10 x5 52 x1 x22 x73 x4 x85 53 x1 x22 x73 x84 x5 54 x1 x22 x12 x4 x5 13 2 13 55 x1 x22 x12 x4 x5 56 x1 x2 x3 x4 x5 57 x1 x2 x3 x4 x5 60 x1 x32 x3 x64 x85 59 x1 x32 x3 x44 x10 58 x1 x32 x3 x24 x12 5 12 63 x1 x32 x23 x44 x95 61 x1 x32 x3 x12 x5 62 x1 x2 x3 x4 x5 64 x1 x32 x23 x54 x85 3 65 x1 x32 x23 x12 x5 66 x1 x2 x3 x4 x5 68 x1 x32 x43 x24 x95 67 x1 x32 x43 x4 x10 69 x1 x32 x43 x34 x85 70 x1 x32 x43 x84 x35 71 x1 x32 x43 x94 x25 72 x1 x32 x43 x10 x5 73 x1 x32 x53 x24 x85 74 x1 x32 x53 x84 x25 75 x1 x32 x63 x4 x85 76 x1 x32 x63 x84 x5 12 77 x1 x32 x12 x4 x5 78 x1 x2 x3 x4 x5 79 x1 x62 x3 x4 x10 80 x1 x62 x3 x24 x95 81 x1 x62 x3 x34 x85 82 x1 x62 x3 x84 x35 83 x1 x62 x3 x94 x25 84 x1 x62 x3 x10 x5 85 x1 x62 x33 x4 x85 86 x1 x62 x33 x84 x5 87 x1 x62 x83 x4 x35 88 x1 x62 x83 x34 x5 89 x1 x62 x93 x4 x25 90 x1 x62 x93 x24 x5 76 91 x1 x72 x3 x24 x85 92 x1 x72 x3 x84 x25 93 x1 x72 x23 x4 x85 94 x1 x72 x23 x84 x5 95 x1 x72 x83 x4 x25 96 x1 x72 x83 x24 x5 97 x1 x14 x3 x4 x5 98 x1 x14 x3 x4 x5 99 x31 x2 x3 x24 x12 101 x31 x2 x3 x64 x85 100 x31 x2 x3 x44 x10 102 x31 x2 x3 x12 x5 104 x31 x2 x23 x44 x95 103 x31 x2 x23 x4 x12 105 x31 x2 x23 x54 x85 3 106 x31 x2 x23 x12 x5 107 x1 x2 x3 x4 x5 108 x31 x2 x43 x4 x10 109 x31 x2 x43 x24 x95 110 x31 x2 x43 x34 x85 111 x31 x2 x43 x84 x35 112 x31 x2 x43 x94 x25 113 x31 x2 x43 x10 x5 114 x1 x2 x3 x4 x5 115 x31 x2 x53 x84 x25 116 x31 x2 x63 x4 x85 117 x31 x2 x63 x84 x5 12 3 118 x31 x2 x12 x4 x5 119 x1 x2 x3 x4 x5 120 x1 x2 x3 x4 x5 121 x31 x32 x43 x4 x85 122 x31 x32 x43 x84 x5 123 x31 x42 x3 x4 x10 124 x31 x42 x3 x24 x95 125 x31 x42 x3 x34 x85 126 x31 x42 x3 x84 x35 127 x31 x42 x3 x94 x25 128 x31 x42 x3 x10 x5 129 x1 x2 x3 x4 x5 130 x31 x42 x33 x84 x5 131 x31 x42 x83 x4 x35 132 x31 x42 x83 x34 x5 133 x31 x42 x93 x4 x25 134 x31 x42 x93 x24 x5 135 x31 x52 x3 x24 x85 136 x31 x52 x3 x84 x25 137 x31 x52 x23 x4 x85 138 x31 x52 x23 x84 x5 139 x31 x52 x83 x4 x25 140 x31 x52 x83 x24 x5 141 x31 x12 x3 x4 x5 142 x31 x12 x3 x4 x5 143 x1 x2 x3 x4 x5 144 x71 x2 x3 x84 x25 145 x71 x2 x23 x4 x85 146 x71 x2 x23 x84 x5 147 x71 x2 x83 x4 x25 148 x71 x2 x83 x24 x5 149 x71 x82 x3 x4 x25 150 x71 x82 x3 x24 x5 P.10.2 B5+ (3, 2, 3) tập hợp gồm 40 đơn thức chấp nhận sau: 151 x1 x22 x43 x54 x75 152 x1 x22 x43 x74 x55 153 x1 x22 x53 x44 x75 154 x1 x22 x53 x54 x65 155 x1 x22 x53 x64 x55 156 x1 x22 x53 x74 x45 157 x1 x22 x73 x44 x55 158 x1 x22 x73 x54 x45 159 x1 x32 x43 x44 x75 160 x1 x32 x43 x54 x65 161 x1 x32 x43 x64 x55 162 x1 x32 x43 x74 x45 163 x1 x32 x53 x44 x65 164 x1 x32 x53 x64 x45 165 x1 x32 x63 x44 x55 166 x1 x32 x63 x54 x45 167 x1 x32 x73 x44 x45 168 x1 x72 x23 x44 x55 169 x1 x72 x23 x54 x45 170 x1 x72 x33 x44 x45 171 x31 x2 x43 x44 x75 172 x31 x2 x43 x54 x65 173 x31 x2 x43 x64 x55 174 x31 x2 x43 x74 x45 175 x31 x2 x53 x44 x65 176 x31 x2 x53 x64 x45 177 x31 x2 x63 x44 x55 77 178 x31 x2 x63 x54 x45 179 x31 x2 x73 x44 x45 180 x31 x32 x43 x44 x55 181 x31 x32 x43 x54 x45 182 x31 x32 x53 x44 x45 183 x31 x52 x23 x44 x55 184 x31 x52 x23 x54 x45 185 x31 x52 x33 x44 x45 186 x31 x72 x3 x44 x45 187 x71 x2 x23 x44 x55 188 x71 x2 x23 x54 x45 189 x71 x2 x33 x44 x45 190 x71 x32 x3 x44 x45 P.10.3 B5+ (3, 4, 2) tập hợp gồm 55 đơn thức chấp nhận sau: 191 x1 x22 x23 x74 x75 192 x1 x22 x33 x64 x75 193 x1 x22 x33 x74 x65 194 x1 x22 x73 x24 x75 195 x1 x22 x73 x34 x65 196 x1 x22 x73 x74 x25 197 x1 x32 x23 x64 x75 198 x1 x32 x23 x74 x65 199 x1 x32 x33 x64 x65 200 x1 x32 x63 x24 x75 201 x1 x32 x63 x34 x65 202 x1 x32 x63 x64 x35 203 x1 x32 x63 x74 x25 204 x1 x32 x73 x24 x65 205 x1 x32 x73 x64 x25 206 x1 x72 x23 x24 x75 207 x1 x72 x23 x34 x65 208 x1 x72 x23 x74 x25 209 x1 x72 x33 x24 x65 210 x1 x72 x33 x64 x25 211 x1 x72 x73 x24 x25 212 x31 x2 x23 x64 x75 213 x31 x2 x23 x74 x65 214 x31 x2 x33 x64 x65 215 x31 x2 x63 x24 x75 216 x31 x2 x63 x34 x65 217 x31 x2 x63 x64 x35 218 x31 x2 x63 x74 x25 219 x31 x2 x73 x24 x65 220 x31 x2 x73 x64 x25 221 x31 x32 x3 x64 x65 222 x31 x32 x53 x24 x65 223 x31 x32 x53 x64 x25 224 x31 x52 x23 x24 x75 225 x31 x52 x23 x34 x65 226 x31 x52 x23 x64 x35 227 x31 x52 x23 x74 x25 228 x31 x52 x33 x24 x65 229 x31 x52 x33 x64 x25 230 x31 x52 x63 x24 x35 231 x31 x52 x63 x34 x25 232 x31 x52 x73 x24 x25 233 x31 x72 x3 x24 x65 234 x31 x72 x3 x64 x25 235 x31 x72 x53 x24 x25 236 x71 x2 x23 x24 x75 237 x71 x2 x23 x34 x65 238 x71 x2 x23 x74 x25 239 x71 x2 x33 x24 x65 240 x71 x2 x33 x64 x25 241 x71 x2 x73 x24 x25 242 x71 x32 x3 x24 x65 243 x71 x32 x3 x64 x25 244 x71 x32 x53 x24 x25 245 x71 x72 x3 x24 x25 P.11 Các đơn thức chấp nhận bậc 23 P4 B4 (23) tập hợp gồm 155 đơn thức chấp nhận sau: x1 x2 x73 x14 x1 x2 x14 x4 x1 x22 x73 x13 x1 x22 x13 x4 x1 x32 x53 x14 x1 x32 x63 x13 4 x1 x32 x73 x12 x1 x32 x12 x4 14 13 x1 x32 x13 12 x1 x62 x73 x94 x4 10 x1 x2 x3 x4 11 x1 x2 x3 x4 78 13 x1 x62 x11 x4 14 x1 x72 x3 x14 15 x1 x72 x23 x13 16 x1 x72 x33 x12 17 x1 x72 x63 x94 18 x1 x72 x73 x84 19 x1 x72 x10 x4 20 x1 x72 x11 x4 21 x1 x72 x14 x4 22 x1 x14 x3 x4 23 x1 x14 x3 x4 24 x1 x14 x3 x4 25 x31 x2 x53 x14 26 x31 x2 x63 x13 27 x31 x2 x73 x12 28 x31 x2 x12 x4 29 x31 x2 x13 x4 30 x31 x2 x14 x4 31 x31 x32 x43 x13 32 x31 x32 x53 x12 33 x31 x32 x12 x4 34 x31 x32 x13 x4 35 x31 x42 x33 x13 36 x31 x42 x73 x94 37 x31 x42 x11 x4 38 x31 x52 x3 x14 39 x31 x52 x23 x13 40 x31 x52 x33 x12 41 x31 x52 x63 x94 42 x31 x52 x73 x84 43 x31 x52 x10 x4 44 x31 x52 x11 x4 45 x31 x52 x14 x4 46 x31 x72 x3 x12 47 x31 x72 x43 x94 48 x31 x72 x53 x84 49 x31 x72 x83 x54 50 x31 x72 x93 x44 51 x31 x72 x12 x4 52 x31 x13 x3 x4 53 x31 x13 x3 x4 54 x31 x13 x3 x4 55 x31 x13 x3 x4 56 x71 x2 x3 x14 57 x71 x2 x23 x13 58 x71 x2 x33 x12 59 x71 x2 x63 x94 60 x71 x2 x73 x84 61 x71 x2 x10 x4 62 x71 x2 x11 x4 63 x71 x2 x14 x4 64 x71 x32 x3 x12 65 x71 x32 x43 x94 66 x71 x32 x53 x84 67 x71 x32 x83 x54 68 x71 x32 x93 x44 69 x71 x32 x12 x4 70 x71 x72 x3 x84 71 x71 x72 x83 x4 72 x71 x92 x23 x54 73 x71 x92 x33 x44 74 x71 x11 x3 x4 75 x71 x11 x3 x4 76 x2 x73 x15 77 x2 x15 x4 78 x32 x53 x15 79 x32 x73 x13 80 x32 x13 x4 81 x32 x15 x4 82 x72 x3 x15 83 x72 x33 x13 84 x72 x73 x94 85 x72 x11 x4 86 x72 x15 x4 87 x15 x3 x4 88 x15 x3 x4 89 x15 x3 x4 90 x1 x73 x15 91 x1 x15 x4 92 x1 x2 x63 x15 93 x1 x2 x15 x4 94 x1 x22 x53 x15 95 x1 x22 x15 x4 96 x1 x32 x43 x15 4 97 x1 x32 x15 x4 98 x1 x62 x3 x15 99 x1 x62 x15 x4 100 x1 x72 x15 101 x1 x72 x15 102 x1 x15 x4 15 103 x1 x15 x3 x4 104 x1 x2 x3 x4 15 15 105 x1 x15 x3 x4 106 x1 x2 x3 x4 107 x1 x2 x3 108 x31 x53 x15 109 x31 x73 x13 112 x31 x2 x43 x15 110 x31 x13 x4 111 x31 x15 x4 4 15 15 113 x31 x2 x15 115 x31 x42 x15 x4 114 x1 x2 x3 x4 x4 116 x1 x2 x4 117 x31 x52 x15 118 x31 x72 x13 119 x31 x72 x13 121 x31 x13 x3 122 x31 x15 x4 15 123 x31 x15 x3 x4 124 x1 x2 x3 x4 125 x31 x15 x3 126 x71 x3 x15 127 x71 x33 x13 128 x71 x73 x94 129 x71 x11 x4 130 x71 x15 x4 131 x71 x2 x15 132 x71 x2 x15 133 x71 x32 x13 134 x71 x32 x13 135 x71 x72 x94 136 x71 x72 x93 79 120 x31 x13 x4 137 x71 x11 x4 138 x71 x11 x3 139 x71 x15 x4 140 x71 x15 x3 141 x15 x3 x4 142 x15 x3 x4 143 x15 x3 x4 144 x15 x2 x4 15 15 15 145 x15 x2 x3 x4 146 x1 x2 x3 x4 147 x1 x2 x3 x4 148 x1 x2 x3 x4 149 x15 x2 x3 150 x15 x2 x4 15 151 x15 x2 x3 x4 152 x1 x2 x3 x4 153 x15 x2 x3 154 x15 x2 x4 155 x15 x2 x3 P.12 Các đơn thức chấp nhận bậc 23 P5 Ta có B5 (23) = B50 (23) ∪ ψ(B5 (9)) ∪ B5+ (23) ∩ Ker(Sq ∗ )(5,9) , |B50 (23)| = 635, |ψ(B5 (9))| = 191 với ψ : P5 → P5 , ψ(x) = X∅ x2 , B5+ (23) ∩ Ker(Sq ∗ )(5,9) = B5+ (3, 2, 2, 1) ∪ B5+ (3, 4, 1, 1) ∪ B5+ (3, 4, 3) P.12.1 B5+ (3, 2, 2, 1) tập hợp gồm 290 đơn thức chấp nhận sau: x1 x2 x3 x64 x14 x1 x2 x3 x14 x5 x1 x2 x23 x44 x15 x1 x2 x23 x54 x14 5 x1 x2 x23 x64 x13 x1 x2 x23 x74 x12 7 x1 x2 x23 x12 x5 x1 x2 x23 x13 x5 x1 x2 x23 x14 x5 4 14 12 x1 x2 x33 x64 x12 10 x1 x2 x23 x15 x5 11 x1 x2 x3 x4 x5 14 6 14 13 x1 x2 x33 x12 x5 14 x1 x2 x3 x4 x5 15 x1 x2 x3 x4 x5 18 x1 x2 x63 x64 x95 17 x1 x2 x63 x34 x12 16 x1 x2 x63 x24 x13 5 19 x1 x2 x63 x74 x85 11 20 x1 x2 x63 x10 x5 21 x1 x2 x3 x4 x5 12 24 x1 x2 x73 x64 x85 22 x1 x2 x63 x14 x5 23 x1 x2 x3 x4 x5 14 14 25 x1 x2 x73 x10 x5 26 x1 x2 x3 x4 x5 27 x1 x2 x3 x4 x5 14 15 4 28 x1 x2 x14 x4 x5 29 x1 x2 x3 x4 x5 30 x1 x2 x3 x4 x5 31 x1 x22 x3 x44 x15 32 x1 x22 x3 x54 x14 33 x1 x22 x3 x64 x13 5 13 34 x1 x22 x3 x74 x12 35 x1 x22 x3 x12 x5 36 x1 x2 x3 x4 x5 15 4 13 37 x1 x22 x3 x14 x5 38 x1 x2 x3 x4 x5 39 x1 x2 x3 x4 x5 13 40 x1 x22 x33 x54 x12 41 x1 x22 x33 x12 x5 42 x1 x2 x3 x4 x5 43 x1 x22 x43 x4 x15 44 x1 x22 x43 x34 x13 45 x1 x22 x43 x74 x95 5 46 x1 x22 x43 x94 x75 15 47 x1 x22 x43 x11 x5 48 x1 x2 x3 x4 x5 49 x1 x22 x53 x4 x14 50 x1 x22 x53 x24 x13 51 x1 x22 x53 x34 x12 5 52 x1 x22 x53 x64 x95 53 x1 x22 x53 x74 x85 55 x1 x22 x53 x94 x65 5 11 56 x1 x22 x53 x10 x5 57 x1 x2 x3 x4 x5 80 54 x1 x22 x53 x84 x75 58 x1 x22 x53 x14 x5 59 x1 x22 x73 x4 x12 60 x1 x22 x73 x44 x95 61 x1 x22 x73 x54 x85 62 x1 x22 x73 x84 x55 63 x1 x22 x73 x94 x45 64 x1 x22 x73 x12 x5 65 x1 x22 x12 x4 x5 66 x1 x22 x12 x4 x5 67 x1 x22 x12 x4 x5 68 x1 x22 x13 x4 x5 69 x1 x22 x13 x4 x5 70 x1 x22 x13 x4 x5 71 x1 x22 x13 x4 x5 72 x1 x22 x15 x4 x5 73 x1 x22 x15 x4 x5 74 x1 x32 x3 x44 x14 75 x1 x32 x3 x64 x12 76 x1 x32 x3 x12 x5 77 x1 x32 x3 x14 x5 78 x1 x32 x23 x44 x13 79 x1 x32 x23 x54 x12 5 80 x1 x32 x23 x12 x5 81 x1 x32 x23 x13 x5 82 x1 x32 x33 x44 x12 83 x1 x32 x33 x12 x5 84 x1 x32 x43 x4 x14 85 x1 x32 x43 x24 x13 86 x1 x32 x43 x34 x12 87 x1 x32 x43 x64 x95 88 x1 x32 x43 x74 x85 89 x1 x32 x43 x84 x75 90 x1 x32 x43 x94 x65 91 x1 x32 x43 x10 x5 92 x1 x32 x43 x11 x5 93 x1 x32 x43 x14 x5 94 x1 x32 x53 x24 x12 95 x1 x32 x53 x64 x85 96 x1 x32 x53 x84 x65 97 x1 x32 x53 x10 x5 98 x1 x32 x63 x4 x12 99 x1 x32 x63 x44 x95 100 x1 x32 x63 x54 x85 101 x1 x32 x63 x84 x55 102 x1 x32 x63 x94 x45 103 x1 x32 x63 x12 x5 104 x1 x2 x3 x4 x5 105 x1 x32 x73 x84 x45 12 12 106 x1 x32 x12 x4 x5 107 x1 x2 x3 x4 x5 108 x1 x2 x3 x4 x5 14 13 109 x1 x32 x12 x4 x5 110 x1 x2 x3 x4 x5 111 x1 x2 x3 x4 x5 14 114 x1 x62 x3 x24 x13 112 x1 x32 x14 x4 x5 113 x1 x2 x3 x4 x5 116 x1 x62 x3 x64 x95 115 x1 x62 x3 x34 x12 117 x1 x62 x3 x74 x85 14 11 118 x1 x62 x3 x10 x5 119 x1 x2 x3 x4 x5 120 x1 x2 x3 x4 x5 121 x1 x62 x33 x4 x12 122 x1 x62 x33 x44 x95 123 x1 x62 x33 x54 x85 124 x1 x62 x33 x84 x55 125 x1 x62 x33 x94 x45 126 x1 x62 x33 x12 x5 127 x1 x62 x73 x4 x85 128 x1 x62 x73 x84 x5 129 x1 x62 x93 x24 x55 130 x1 x62 x93 x34 x45 11 131 x1 x62 x11 x4 x5 132 x1 x2 x3 x4 x5 133 x1 x72 x3 x24 x12 134 x1 x72 x3 x64 x85 135 x1 x72 x3 x10 x5 136 x1 x72 x23 x4 x12 137 x1 x72 x23 x44 x95 138 x1 x72 x23 x54 x85 139 x1 x72 x23 x84 x55 140 x1 x72 x23 x94 x45 141 x1 x72 x23 x12 x5 142 x1 x72 x33 x44 x85 143 x1 x72 x33 x84 x45 144 x1 x72 x63 x4 x85 145 x1 x72 x63 x84 x5 146 x1 x72 x83 x24 x55 147 x1 x72 x83 x34 x45 148 x1 x72 x93 x24 x45 10 149 x1 x72 x10 x4 x5 150 x1 x2 x3 x4 x5 81 14 14 151 x1 x14 x3 x4 x5 152 x1 x2 x3 x4 x5 153 x1 x2 x3 x4 x5 14 14 154 x1 x14 x3 x4 x5 155 x1 x2 x3 x4 x5 156 x1 x2 x3 x4 x5 15 15 157 x1 x15 x3 x4 x5 158 x1 x2 x3 x4 x5 159 x1 x2 x3 x4 x5 161 x31 x2 x3 x64 x12 162 x31 x2 x3 x12 160 x31 x2 x3 x44 x14 5 x5 4 13 165 x31 x2 x23 x54 x12 163 x31 x2 x3 x14 x5 164 x1 x2 x3 x4 x5 5 13 3 12 166 x31 x2 x23 x12 x5 167 x1 x2 x3 x4 x5 168 x1 x2 x3 x4 x5 4 14 171 x31 x2 x43 x24 x13 169 x31 x2 x33 x12 x5 170 x1 x2 x3 x4 x5 173 x31 x2 x43 x64 x95 172 x31 x2 x43 x34 x12 174 x31 x2 x43 x74 x85 175 x31 x2 x43 x84 x75 177 x31 x2 x43 x10 x5 176 x31 x2 x43 x94 x65 4 14 12 178 x31 x2 x43 x11 x5 179 x1 x2 x3 x4 x5 180 x1 x2 x3 x4 x5 181 x31 x2 x53 x64 x85 182 x31 x2 x53 x84 x65 185 x31 x2 x63 x44 x95 184 x31 x2 x63 x4 x12 183 x31 x2 x53 x10 x5 186 x31 x2 x63 x54 x85 187 x31 x2 x63 x84 x55 188 x31 x2 x63 x94 x45 189 x31 x2 x63 x12 x5 190 x31 x2 x73 x44 x85 191 x31 x2 x73 x84 x45 192 x31 x2 x12 x4 x5 12 12 193 x31 x2 x12 x4 x5 194 x1 x2 x3 x4 x5 195 x1 x2 x3 x4 x5 14 4 14 196 x31 x2 x13 x4 x5 197 x1 x2 x3 x4 x5 198 x1 x2 x3 x4 x5 12 3 4 200 x31 x32 x3 x12 199 x31 x32 x3 x44 x12 x5 201 x1 x2 x3 x4 x5 204 x31 x32 x43 x84 x55 202 x31 x32 x43 x44 x95 203 x31 x32 x43 x54 x85 205 x31 x32 x43 x94 x45 3 206 x31 x32 x43 x12 x5 207 x1 x2 x3 x4 x5 208 x31 x32 x53 x84 x45 3 12 4 209 x31 x32 x12 x4 x5 210 x1 x2 x3 x4 x5 213 x31 x42 x3 x34 x12 211 x31 x42 x3 x4 x14 212 x31 x42 x3 x24 x13 5 214 x31 x42 x3 x64 x95 215 x31 x42 x3 x74 x85 216 x31 x42 x3 x10 x5 12 3 14 217 x31 x42 x3 x11 x5 218 x1 x2 x3 x4 x5 219 x1 x2 x3 x4 x5 220 x31 x42 x33 x54 x85 221 x31 x42 x33 x84 x55 222 x31 x42 x33 x94 x45 223 x31 x42 x73 x4 x85 224 x31 x42 x73 x84 x5 225 x31 x42 x93 x24 x55 226 x31 x42 x93 x34 x45 12 227 x31 x42 x11 x4 x5 228 x1 x2 x3 x4 x5 229 x31 x52 x3 x64 x85 12 230 x31 x52 x3 x10 x5 231 x1 x2 x3 x4 x5 232 x31 x52 x23 x44 x95 233 x31 x52 x23 x54 x85 235 x31 x52 x23 x94 x45 236 x31 x52 x23 x12 x5 237 x1 x2 x3 x4 x5 238 x31 x52 x33 x84 x45 239 x31 x52 x63 x4 x85 240 x31 x52 x63 x84 x5 241 x31 x52 x83 x24 x55 242 x31 x52 x83 x34 x45 243 x31 x52 x93 x24 x45 82 234 x31 x52 x23 x84 x55 10 244 x31 x52 x10 x4 x5 245 x1 x2 x3 x4 x5 246 x1 x2 x3 x4 x5 247 x31 x72 x3 x84 x45 248 x31 x72 x43 x4 x85 249 x31 x72 x43 x84 x5 250 x31 x72 x83 x4 x45 251 x31 x72 x83 x44 x5 252 x31 x12 x3 x4 x5 12 13 253 x31 x12 x3 x4 x5 254 x1 x2 x3 x4 x5 255 x1 x2 x3 x4 x5 13 12 256 x31 x13 x3 x4 x5 257 x1 x2 x3 x4 x5 258 x1 x2 x3 x4 x5 259 x71 x2 x3 x64 x85 12 260 x71 x2 x3 x10 x5 261 x1 x2 x3 x4 x5 262 x71 x2 x23 x44 x95 263 x71 x2 x23 x54 x85 265 x71 x2 x23 x94 x45 266 x71 x2 x23 x12 x5 267 x1 x2 x3 x4 x5 268 x71 x2 x33 x84 x45 269 x71 x2 x63 x4 x85 270 x71 x2 x63 x84 x5 271 x71 x2 x83 x24 x55 272 x71 x2 x83 x34 x45 273 x71 x2 x93 x24 x45 264 x71 x2 x23 x84 x55 10 274 x71 x2 x10 x4 x5 275 x1 x2 x3 x4 x5 276 x1 x2 x3 x4 x5 277 x71 x32 x3 x84 x45 278 x71 x32 x43 x4 x85 279 x71 x32 x43 x84 x5 280 x71 x32 x83 x4 x45 281 x71 x32 x83 x44 x5 282 x71 x82 x3 x24 x55 283 x71 x82 x3 x34 x45 284 x71 x82 x33 x4 x45 285 x71 x92 x3 x24 x45 286 x71 x92 x23 x4 x45 287 x71 x92 x23 x44 x5 288 x15 x2 x3 x4 x5 15 289 x15 x2 x3 x4 x5 290 x1 x2 x3 x4 x5 P.12.2 B5+ (3, 4, 1, 1) tập hợp gồm 105 đơn thức chấp nhận sau: 293 x1 x22 x23 x15 292 x1 x22 x23 x74 x11 291 x1 x22 x23 x34 x15 x5 5 296 x1 x22 x33 x64 x11 295 x1 x22 x33 x34 x14 294 x1 x22 x33 x24 x15 5 15 298 x1 x22 x33 x14 297 x1 x22 x33 x74 x10 x5 299 x1 x2 x3 x4 x5 302 x1 x22 x73 x10 301 x1 x22 x73 x34 x10 300 x1 x22 x73 x24 x11 x5 5 15 2 15 303 x1 x22 x73 x11 x5 304 x1 x2 x3 x4 x5 305 x1 x2 x3 x4 x5 308 x1 x32 x23 x64 x11 307 x1 x32 x23 x34 x14 306 x1 x32 x23 x24 x15 5 3 15 309 x1 x32 x23 x74 x10 310 x1 x32 x23 x14 x5 311 x1 x2 x3 x4 x5 312 x1 x32 x33 x24 x14 313 x1 x32 x33 x64 x10 314 x1 x32 x33 x14 5 x5 315 x1 x32 x63 x24 x11 316 x1 x32 x63 x34 x10 317 x1 x32 x63 x10 5 x5 10 318 x1 x32 x63 x11 320 x1 x32 x73 x10 x5 319 x1 x2 x3 x4 x5 x5 3 14 3 15 2 321 x1 x32 x14 x4 x5 322 x1 x2 x3 x4 x5 323 x1 x2 x3 x4 x5 324 x1 x72 x23 x24 x11 325 x1 x72 x23 x34 x10 326 x1 x72 x23 x10 5 x5 10 329 x1 x72 x33 x10 327 x1 x72 x23 x11 x5 328 x1 x2 x3 x4 x5 x5 10 11 2 330 x1 x72 x10 x4 x5 331 x1 x2 x3 x4 x5 332 x1 x2 x3 x4 x5 83 2 15 15 2 333 x1 x15 x3 x4 x5 334 x1 x2 x3 x4 x5 335 x1 x2 x3 x4 x5 337 x31 x2 x23 x34 x14 338 x31 x2 x23 x64 x11 336 x31 x2 x23 x24 x15 5 3 15 340 x31 x2 x23 x14 339 x31 x2 x23 x74 x10 x5 341 x1 x2 x3 x4 x5 343 x31 x2 x33 x64 x10 344 x31 x2 x33 x14 342 x31 x2 x33 x24 x14 5 x5 346 x31 x2 x63 x34 x10 347 x31 x2 x63 x10 345 x31 x2 x63 x24 x11 5 x5 10 350 x31 x2 x73 x10 348 x31 x2 x63 x11 x5 349 x1 x2 x3 x4 x5 x5 3 14 3 15 2 351 x31 x2 x14 x4 x5 352 x1 x2 x3 x4 x5 353 x1 x2 x3 x4 x5 355 x31 x32 x3 x64 x10 356 x31 x32 x3 x14 354 x31 x32 x3 x24 x14 5 x5 3 13 2 358 x31 x32 x53 x10 357 x31 x32 x53 x24 x10 x5 359 x1 x2 x3 x4 x5 361 x31 x52 x23 x34 x10 362 x31 x52 x23 x10 360 x31 x52 x23 x24 x11 5 x5 10 365 x31 x52 x33 x10 363 x31 x52 x23 x11 x5 364 x1 x2 x3 x4 x5 x5 3 10 3 11 2 366 x31 x52 x10 x4 x5 367 x1 x2 x3 x4 x5 368 x1 x2 x3 x4 x5 2 370 x31 x72 x3 x10 369 x31 x72 x3 x24 x10 x5 371 x1 x2 x3 x4 x5 13 2 13 2 372 x31 x13 x3 x4 x5 373 x1 x2 x3 x4 x5 374 x1 x2 x3 x4 x5 2 11 2 377 x71 x2 x23 x34 x10 375 x31 x15 x3 x4 x5 376 x1 x2 x3 x4 x5 10 11 378 x71 x2 x23 x10 x5 379 x1 x2 x3 x4 x5 380 x1 x2 x3 x4 x5 10 10 381 x71 x2 x33 x10 x5 382 x1 x2 x3 x4 x5 383 x1 x2 x3 x4 x5 2 10 2 386 x71 x32 x3 x10 384 x71 x2 x11 x5 x4 x5 385 x1 x2 x3 x4 x5 389 x71 x92 x23 x34 x25 387 x71 x32 x93 x24 x25 388 x71 x92 x23 x24 x35 390 x71 x92 x33 x24 x25 2 15 2 391 x71 x11 x3 x4 x5 392 x1 x2 x3 x4 x5 2 15 3 2 15 393 x15 x2 x3 x4 x5 394 x1 x2 x3 x4 x5 395 x1 x2 x3 x4 x5 P.12.3 B5+ (3, 4, 3) tập hợp gồm 24 đơn thức chấp nhận sau: 396 x1 x32 x63 x64 x75 397 x1 x32 x63 x74 x65 398 x1 x32 x73 x64 x65 399 x1 x72 x33 x64 x65 400 x31 x2 x63 x64 x75 401 x31 x2 x63 x74 x65 402 x31 x2 x73 x64 x65 403 x31 x32 x53 x64 x65 404 x31 x52 x23 x64 x75 405 x31 x52 x23 x74 x65 406 x31 x52 x33 x64 x65 407 x31 x52 x63 x24 x75 408 x31 x52 x63 x34 x65 409 x31 x52 x63 x64 x35 410 x31 x52 x63 x74 x25 411 x31 x52 x73 x24 x65 412 x31 x52 x73 x64 x25 413 x31 x72 x3 x64 x65 414 x31 x72 x53 x24 x65 415 x31 x72 x53 x64 x25 416 x71 x2 x33 x64 x65 417 x71 x32 x3 x64 x65 418 x71 x32 x53 x24 x65 419 x71 x32 x53 x64 x25 84 P13.3 Lớp Σ5 -bất biến bậc 19 P5 Chúng liệt kê đơn thức biểu diễn qua lớp Σ5 -bất biến bậc 19 QP5 10 10 p(6,ω) = x1 x2 x3 x64 x10 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 10 10 12 + x1 x2 x63 x10 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 9 10 + x1 x32 x12 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 10 10 + x31 x2 x43 x10 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x32 x63 x84 x5 + x31 x2 x63 x4 x85 + x31 x2 x63 x84 x5 + x31 x42 x93 x4 x25 + x31 x42 x93 x24 x5 + x1 x32 x53 x24 x85 + x1 x32 x53 x84 x25 + x31 x52 x3 x24 x85 + x31 x52 x3 x84 x25 + x31 x52 x23 x4 x85 + x31 x52 x23 x84 x5 + x31 x52 x83 x4 x25 + x31 x52 x83 x24 x5 10 12 2 10 p(7,ω) = x1 x2 x63 x4 x10 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 8 + x1 x22 x3 x54 x10 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 12 + x1 x22 x53 x24 x95 + x1 x22 x53 x94 x25 + x1 x2 x23 x34 x12 + x1 x2 x3 x4 x5 9 + x1 x2 x33 x24 x12 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 10 10 + x1 x32 x3 x44 x10 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x32 x63 x4 x85 + x1 x32 x63 x84 x5 + x1 x32 x33 x44 x85 + x1 x32 x43 x34 x85 + x1 x32 x43 x84 x35 + x31 x2 x33 x44 x85 + x31 x2 x43 x34 x85 + x31 x2 x43 x84 x35 + x31 x32 x3 x44 x85 + x31 x32 x43 x4 x85 + x31 x32 x43 x84 x5 + x1 x22 x3 x34 x12 3 12 12 12 + x1 x22 x3 x12 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 8 + x1 x22 x12 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x62 x33 x84 x5 + x1 x62 x83 x4 x35 + x1 x62 x83 x34 x5 + x1 x22 x33 x44 x95 + x1 x22 x43 x34 x95 + x1 x22 x43 x94 x35 + x1 x22 x33 x54 x85 + x1 x22 x53 x34 x85 + x1 x22 x53 x84 x35 + x31 x42 x3 x34 x85 + x31 x42 x3 x84 x35 + x31 x42 x33 x4 x85 + x31 x42 x33 x84 x5 + x31 x42 x83 x4 x35 + x31 x42 x83 x34 x5 85 P.14 Lớp Σ5 -bất biến bậc 23 P5 Chúng liệt kê đơn thức biểu diễn qua lớp Σ5 -bất biến bậc 23 QP5 14 10 10 3 14 p4 = x1 x22 x33 x34 x14 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 3 14 3 14 14 3 14 + x1 x32 x23 x14 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 10 10 10 10 + x1 x72 x23 x34 x10 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 3 14 14 3 14 3 14 + x1 x72 x10 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 3 14 3 14 3 14 3 13 2 + x31 x2 x14 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 2 3 13 3 13 2 10 10 + x31 x13 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 10 10 10 10 + x71 x2 x33 x24 x10 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 2 2 9 2 + x71 x32 x3 x10 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 + x1 x2 x3 x4 x5 14 14 14 14 p5 = x2 x3 x74 x14 + x2 x3 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 14 14 14 14 + x1 x3 x74 x14 + x1 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 14 14 14 14 + x1 x2 x73 x14 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 14 14 14 14 + x1 x72 x14 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 14 14 14 14 + x71 x2 x14 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 13 13 13 13 + x2 x33 x13 x5 + x2 x3 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 13 13 13 13 + x1 x32 x13 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 13 13 13 13 + x31 x13 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x4 x5 13 13 13 13 + x31 x13 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 11 11 11 11 + x72 x11 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 11 11 11 11 + x71 x11 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x2 x63 x74 x95 + x1 x63 x74 x95 + x1 x62 x74 x95 + x1 x62 x73 x95 + x1 x62 x73 x94 + x32 x43 x74 x95 + x31 x43 x74 x95 + x31 x42 x74 x95 + x31 x42 x73 x95 + x31 x42 x73 x94 86 p6 = x2 x73 x74 x85 + x72 x3 x74 x85 + x72 x73 x4 x85 + x72 x73 x84 x5 + x1 x73 x74 x85 + x1 x72 x74 x85 + x1 x72 x73 x85 + x1 x72 x73 x84 + x71 x3 x74 x85 + x71 x73 x4 x85 + x71 x73 x84 x5 + x71 x2 x74 x85 + x71 x2 x73 x85 + x71 x2 x73 x84 + x71 x72 x4 x85 + x71 x72 x84 x5 + x71 x72 x3 x85 + x71 x72 x3 x84 + x71 x72 x83 x5 + x71 x72 x83 x4 12 12 12 12 + x2 x33 x74 x12 + x2 x3 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 12 12 12 12 + x1 x32 x73 x12 + x1 x2 x3 x4 + x1 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 12 12 12 12 + x71 x32 x12 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x2 x73 x64 x95 + x72 x3 x64 x95 + x1 x73 x64 x95 + x1 x72 x64 x95 + x1 x72 x63 x95 + x1 x72 x63 x94 + x71 x3 x64 x95 + x71 x2 x64 x95 + x71 x2 x63 x95 + x71 x2 x63 x94 + x32 x73 x44 x95 + x32 x73 x94 x45 + x72 x33 x44 x95 + x72 x33 x94 x45 + x31 x73 x44 x95 + x31 x73 x94 x45 + x31 x72 x44 x95 + x31 x72 x94 x45 + x31 x72 x43 x95 + x31 x72 x43 x94 + x31 x72 x93 x45 + x31 x72 x93 x44 + x71 x33 x44 x95 + x71 x33 x94 x45 + x71 x32 x44 x95 + x71 x32 x94 x45 + x71 x32 x43 x95 + x71 x32 x43 x94 + x71 x32 x93 x45 + x71 x32 x93 x44 14 5 14 14 14 p7 = x2 x33 x54 x14 + x2 x3 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 14 5 14 14 5 14 + x1 x33 x54 x14 + x1 x3 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 14 14 5 14 14 + x1 x32 x53 x14 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 14 14 14 14 + x31 x53 x14 x5 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x4 x5 14 14 14 14 + x31 x52 x14 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 13 13 13 13 + x2 x33 x64 x13 + x2 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 13 13 13 13 + x1 x32 x63 x13 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 12 12 12 12 + x32 x3 x74 x12 + x2 x3 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 12 12 12 12 + x31 x73 x12 x5 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x4 x5 12 12 12 12 + x31 x72 x12 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 87 11 11 11 11 + x2 x63 x11 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 3 13 4 13 3 13 3 13 + x32 x33 x44 x13 + x2 x3 x4 x5 + x2 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 3 13 3 13 3 13 3 13 + x31 x43 x34 x13 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 3 13 4 13 13 13 + x31 x32 x13 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 11 11 11 11 + x32 x43 x11 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 3 12 3 12 3 12 3 12 + x32 x33 x54 x12 + x2 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 3 12 3 12 3 12 3 12 + x31 x32 x12 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 88 ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KHẮC TÍN BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ ĐA THỨC NĂM BIẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 62.46.01.04... nhận đại số đa thức năm biến số dạng bậc tương ứng Chương Ứng dụng toán hit cho đồng cấu chuyển đại số Singer Trong chương này, chứng tỏ Giả thuyết Singer đồng cấu chuyển đại số thứ năm số dạng... toán tìm tập sinh cực tiểu đại số đa thức Pk xét môđun đại số Steenrod A Bài toán gọi toán hit đại số đa thức Nếu xét F2 A-môđun tầm thường toán hit tương đương với toán tìm sở F2 -không gian véctơ