Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 18 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
18
Dung lượng
122 KB
Nội dung
Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc PhẦn I: SƠ YẾU LÍ LỊCH Họ tên : Lê Thị Hằng Chức vụ : Giáo viên Đơn vị: Trường THCS Tam Đa – Phù Cừ- Hưng Yên Tên đề tài SKKN: Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc PHẦN II NỘI DUNG BÀI VIẾT GV: Lê Hằng Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc I ĐẶT VẤN ĐỀ THỰC TRẠNG LIÊN QUAN TỚI VẤN ĐỀ ĐANG NGHIÊN CỨU Trước đưa vào thực sáng kiến tiến hành điều tra hiểu có kỹ giải toán hình có lời giảivẽ thêm đườngphụhọcsinh sau: - Đối tượng điều tra: Họcsinh lớp 8A, 8B THCS Tam Đa năm học 2013-2014 - Thời gian điều tra: Bắt đầu từ ngày : 8/9/2014 - Tổng số họcsinh điều tra: 85 - Thống kê điều tra sau: + Số họcsinh nắm sơ lược loại đườngphụ thường sử dụng giải Toán THCS có: em chiếm % + Số họcsinh nắm phép dựng hình thường sử dụng giải toán THCS có: 10 em chiếm 12% + Số họcsinh dựng đường kẻ phụ hợp lý giải số toán chương trình toán lớp gồm có: em chiếm % + Số họcsinh lúng túng, chưa giải toán hìnhhọc có vẽ thêm đườngphụgiải Toán THCS có: 63 em chiếm 74 % + Số họcsinh thành thạo dạng toán, có kỹ tốt giải toán tương đối khó : em chiếm 0% Phạm vi nghiên cứu: Họcsinh lớp 8A, B Trường THCS Tam Đa II Phương pháp tiến hành GV: Lê Hằng Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc 1- Cơ sở lý luận: Trong nhà trường THCS nói môn toán môn học giữ vị trí quan trọng Bởi lẽ Toán học môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logíc đồng thời môn toán môn công cụ hỗ trợ cho môn học khác, có tính thực tiễn phổ dụng Những tri thức kỹ toán học cùng với phương pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập môn khoa học khác Môn toán có khả tư lôgic , phát huy tính linh hoạt , sáng tạo học tập môn toán môn học khó Trong chương trình toán THCS, môn hìnhhọc rất quan trọng rất cần thiết cấu thành nên chương trình toán học ở THCS cùng với môn số học đại số Hìnhhọc phận đặc biệt của toán học Phân môn hìnhhọc có tính trừu tượng cao, họcsinh coi môn học khó Với môn hìnhhọc môn khoa học rèn luyện cho họcsinh khả đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư sáng tạo cho họcsinh Đặc biệt toán hìnhhọc có lời giải phải vẽ thêm đườngphụ toán khó với họcsinh THCS Bởi để giải toán dạng không yêu cầu họcsinh nắm vững kiến thức mà đòi hỏi họcsinh cần có kỹ giải toán nhất định, có sáng tạo nhất định Để tạo đườngphụ liên kết tường minh mối quan hệ toán học điều kiện cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải toán phải kẻ thêm đườngphụ sáng tạo nhỏ Kẻ thêm đườngphụ để giải toán hình mặt phương pháp biểu ở mức độ cao của kỹ năng, thể tình hìnhhọc phù hợp với định nghĩa, định lý hay gọi quy lạ quen Ở khoảng cách từ lạ đến quen xa mức độ sáng tạo lớn Do việc học tốt toán hình có lời giải phải kẻ thêm đườngphụ có tác dụng rất lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học của họcsinh GV: Lê Hằng Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc 2- Cơ sở thực tiễn: Giải toán hình có vẽ thêm đườngphụ đòi hỏi phải thực nhiều thao tác tư Vì vậy đòi hỏi ở họcsinh phải rèn luyện mặt tư hìnhhọc phát triển Do định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽđườngphụ sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm ví dụ toán ở lớp rất có loại toán dạng Tuy nhiên tập SGK đưa nhiều dạng toán nhất ở tập nâng cao toán khó hay lại toán giải cần phải kẻ thêm đườngphụ Trên thực tế, họcsinhgiải toán dạng cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu Do việc sâu vào nghiên cứu tìm tòi cách giải toán có vẽ thêm đườngphụhọcsinh rất ít Còn đa số họcsinh việc nắm vững mục đích, yêu cầu vẽđường kẻ phụ kiến thức số loại đườngphụ rất hạn chế Các tài liệu viết riêng loại toán rất ít, việc tham khảo họcsinh gặp nhiều khó khăn Vì vậy với trình bày của đề tài “Hướng dẫnhọcsinh phương pháp vẽ thêm đường phụ” nội dung tham khảo cho giáo viên , họcsinh để góp phần tạo nên sở cho giáo viên, họcsinh dạy, học tốt loại toán hình có vẽ thêm đườngphụ III NỘI DUNG GV: Lê Hằng Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm: Việc gợi mở lại cho họcsinh nội dung kiến thức giải toán có vẽ thêm đườngphụ rất cần thiết, sở giáo viên cung cấp đầy đủ kiến thức cho họcsinh Với việc phân dạng toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời sâu vào hướngdẫn số toán cụ thể tạo điều kiện để họcsinh bổ sung cho trình độ kiến thức, góp phần gợi phương pháp giải toán cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp của việc kẻ thêm đườngphụ Trước hết giáo viên cần giúp họcsinh thấy nắm vững yêu cầu vẽ (dựng) đườngphụ 1/ Các yêu cầu vẽđườngphụ - Vẽđườngphụ phải có mục đích: Đường kẻ phụ, phải giúp cho việc chứng minh toán Muốn vậy phải kết của phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo mục đích xác định gắn kết mối quan hệ của kiến thức có với điều kiện cho của toán kết luận phải tìm Do không vẽđườngphụ cách tuỳ tiện (cho dù mày mò, dự đoán) đườngphụ không giúp ích cho việc chứng minh làm cho vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm lời giải Vì vậy vẽđườngphụ phải tự trả lời câu hỏi "Vẽ đườngphụ có đạt mục đích muốn không?" Nếu "không" nên loại bỏ - Đườngphụ phải đường có phép dựng hình phải xác định -Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ: Đườngphụ thường thỏa mãn tính chất , việc lựa chọn đườngphụ rất quan trọng.Tuy cùng đườngphụvẽ thêm cách dựng khác nên dẫn đến cách chứng minh khác GV: Lê Hằng Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc -Một số loại đườngphụ thường sử dụng giải toán hình ở chương trình THCS a) Đườngphụ điểm: Vẽ điểm chia hay chia đoạn thẳng cho trước theo tỷ số thích hợp Xác định giao điểm của đường thẳng hoặc đường thẳng với đường tròn b) Đườngphụđường thẳng, đoạn thẳng: Kéo dài đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm xác định Từ điểm cho trước dựng đường song song với đường thẳng xác định Từ điểm cho trước dựng đường vuông góc với đường thẳng xác định Dựng đường phân giác của góc cho trước Dựng đường thẳng qua điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác góc góc cho trước Từ điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước Hai đường tròn giao dựng dây cung chung Hai đường tròn tiếp xúc ta kẻ tiếp tuyến chung hoặc đường nối tâm Vẽ tia đối của tia Dựng đường đặc biệt tam giác ( Trung tuyến , trung bình, phân giác , đường cao ) c) Đườngphụđường tròn: GV: Lê Hằng Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc *Vẽ thêm đường tròn hoặc cung chứa góc dựa điểm có *Vẽ đường tròn tiếp xúc với đường tròn hoặc đường thẳng có *Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác Trên sở, yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ, giáo viên cần phân dạng toán hình mà lời giải có sử dụng đườngphụ 2/ Các sở để xác định đườngphụ : Ta đưa dựa sở sau để xác định đườngphụ vễ đường ? vẽ từ đâu ? - Kẻ thêm đườngphụ tạo nên hình sử dụng định nghĩa hoặc tính chất hình để giải toán - Kẻ thêm đườngphụ để tạo nên tình phù hợp với định lý để giải toán - Kẻ thêm đườngphụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán - Kẻ thêm đườngphụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng - Kẻ thêm đườngphụ để biến đổi kết luận tạo thành mệnh đề tương đương để giải toán 3/ Các biện pháp phân tích tìm cách vẽđường phụ: a Dựa vào toán biết: Dựa vào toán quen thuộc, định lý tính chất học , họcsinh nghiên cứu giả thiết kết luận của toán, tìm điểm tương đồng từ vẽđườngphụ thích hợp để đưa toán cần giải toán quen thuộc Ví dụ1: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy AB kéo dài đoạn BD = AB Gọi CE trung tuyến của tam giác ABC GV: Lê Hằng Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc A E B C M Chứng minh rằng: CE = CD D Ta phân tích phần nội dung: Kẻ đườngphụ Phân tích: Từ kết luận của toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD Muốn chứng tỏ đoạn thẳng nửa đoạn thẳng khác cách làm chia đôi đoan thẳng chuyển toán chứng minh hai đoạn thẳng Gọi M trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE = CM hoặc CE = DM Chọn CE = CM Từ phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy chứng minh ∆ EBC = ∆ MBC ta có CE = CM điều phải chứng minh Đến điều cần chứng minh rõ ràng phải chứng minh ∆ EBC = ∆ MBC( c.g.c) Việc hướngdẫnhọcsinh kẻ đườngphụ ta dựa vào phân tích trên, ta đưa cho họcsinh câu hỏi gợi mở, chẳng hạn: - Với M trung điểm của CD, em cho biết CE CM cạnh của tam giác nào? - Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đườngphụ chứng minh điều gì? - Hoặc với họcsinh khá, giỏi ta hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì? Ví dụ 2: GV: Lê Hằng Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc Cho hình vuông ABCD, gọi M trung điểm cạnh AB; kẻ AH ⊥ DM ( H∈ DM) Chứng minh tam giác CDH cân Phân tích: M A B H N I D C -Để chứng minh tam giác CDH cân ta cần vẽ thêm đườngphụ nào? -Kẻ CI ⊥ DM ( I ∈DM), CI cắt AD N , từ suy N trung điểm của AD -I trung điểm của DH, CI đường cao đường trung tuyến b Vẽ thêm đườngphụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán: Đối với dạng thường toán chứng minh đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của tam giác, tam giác cân có đường cao đồng thời đường trung tuyến Ví dụ 3: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N điểm đường chéo AC cho ∠BNM =900 Gọi F điểm đối xứng của A qua E N, chứng minh:FB ⊥ AC B C I K GV: Lê Hằng M Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc A F N D Ta phân tích nội dung kẻ đườngphụ gợi ý chứng minh Phân tích: Ta thấy góc BFC góc của ∆BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng góc của tam giác 180O có , FBC + BCF + BFC = 180O ta chưa thể tính BFC + BCF độ nên suy số đo góc BFC Vậy vận dụng định lý để chứng minh - Nhưng toán cho ta giả thiết liên quan đến góc vuông trung điểm của đoạn thẳng , ta liên kết giả thiết lại với để chứng minh toán cách nào? Đó câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt cho họcsinhhướngdẫn em tự đặt câu hỏi vậy Liệu BF có đường cao của ∆ BNC không? Để chứng minh BF đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF qua điểm đặc biệt tam giác? Dựa vào ta hiểu phải chứng minh BF qua trực tâm của ∆BNC Do phân tích - tổng hợp ta đến việc dựng NE ⊥ BC E Gọi giao điểm của NE với BF I Ta suy chứng minh CI // MN suy CI vuông góc với BN (Vì MN⊥BN) tức CI đường cao của ∆ BNC Vậy I trực tâm của ∆ BNC (Vì I ≡ NE ∩ CK) Do suy điều phải chứng minh là: BF ⊥ AC GV: Lê Hằng 10 Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc Tóm lại việc kể thêm NE⊥ BC E nhằm tạo điểm I ≡ NE ∩ BF để chứng minh I trực tâm của ∆ BNC Từ phân tích ta dựa vào đề hệ thống câu hỏi gợi mở cho họcsinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn sử dụng câu hỏi như: - Để chứng minh BF vuông góc với AC ta chứng minh BF đường của ∆ BNC? - Để chứng minh BF qua trực tâm của ∆BCN ta phải có điểm nào? - Ta phải kẻ thêm đườngphụ để có điểm giao của BF với đường cao của ∆ BNC? - Với NE đường cao của ∆ BNC NE ∩ BF I, ta phải chứng minh I điểm có tính chất gì? Ví dụ 4: Cho ∆ ABC M điểm bất kỳ ∆ Nối M với đỉnh A, B, C cắt cạnh đối diện A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ K H Chứng minh rằng: MK = MH Đây toán tương đối khó với họcsinh ? Sau tìm nhiều cách chứng minh kết Ta ý đến giả thiết của toán cho tacác yếu tố đồng quy song song Giả thiết của định lý gần với nhất? Câu trả lời mong ở đâylà định lý Talet - Ở KH // BC Đoạn thẳng BC chia thành mấy đoạn nhỏ ? - Thiết lập quan hệ MH, MK với đoạn BA’ CA’,BC - Cần phải xác định thêm điểm nào? GV: Lê Hằng 11 Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc - Điểm P Q giao của KH với AB AC A B' C' P M K H B Q A' C Ta có lời giải sau Giả sử HK cắt AB, AC P, Q Ta có: Theo định lý Talét MH CA ' MQ BC MP BA ' = ; = ; = MP CB MK BA ' MQ CA ' MH MQ MP CA ' CB BA ' MH => = => = => MH = MK MP MK MQ CB BA ' CA ' MK c Dựa vào biến đổi đại số để xác định đườngphụ Ví dụ 5: Cho ∆ ABC có A =2B Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AC.AB Hướng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất giúp ta công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ? Câu trả lời định lý Pitago công thức của rất gần với công thức , ở GV cần hướngdẫnhọc sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago không tạo góc vuông có liên quan đến độ dài của ba cạnh - Ngoài định lý Pitago cách khác không? Câu trả lời mong đội ở định lý ta lét tam giác đồng dạng - Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa dạng tỷ số để gắn 2 vào tam giác đồng dạng BC = AC + AC AB ⇐ BC = AC ( AC + AB ) GV: Lê Hằng 12 Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc Đến GV yêu cầu họcsinh đưa toán quen thuộc của việc chứng minh hệ thức ab= cd dự vào tam giác đồng dạng cách tạo đoạn thẳng AB+AC -Từ họcsinh đưa hai cách vẽđườngphụ đặt liên tiếp cạnh AB doạn AC hoặc đặt cạnh AC đoạn AB ? Nên đặt dựa điểm ? Chọn đặt kề cạnh đẻ vận dụng giả thiết A = B ? Câu trả lời mong đợi lấy tia đối của tia AC đoạn AB Từ ta có lời giải D A B C Giải: Trên tia đối của tia AC lấy D cho AD = AB Khi ∆ ABC cân A nên: BAC = ABD = ADB Xét ∆ ABC ∆ BDC có: BDC = ABC = BAC : C chung nên ∆ ABC đồng dạng với ∆ BD C (g.g) ⇒ BC AC = = > BC = AC.CD = AC ( AC + AD) = AC ( AC + AB) = AC + AC AB CD BC Như vậy việc dạy cho họcsinh biết cách giải toán mà lời giải có kẻ thêm đườngphụ không đơn đưa số giải mẫu cho họcsinh mà phải giúp họcsinh nắm vững yêu cầu vẽđường phụ, sau phân dạng toán đưa vào gợi mở họcsinh tìm lời giải cho toán cụ thể Trong trình hình thành cho họcsinh kỹ vẽđườngphụgiải toán hìnhhọc GV: Lê Hằng 13 Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc 4/ Một số tậphướngdẫnhọcsinhgiảiBài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac tam giác ABC ABD Bài : Cho tam giác nhọn ABC cân A Đường cao BH AB AC = Chứng minh : ÷ 2CH BC Bài 3: Cho tam giác ABCcân A có A = 20O AB BC + =3 Chứng minh : BC AB Bài : Cho góc nhọn xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm M N cho OM +ON = 2a không đổi a ) Chứng minh : Khi M ,N chạy Ox , Oy trung điểm của MN nằm đoạn thẳng cố định A b ) Xác định vị trí của M N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất Bài 5: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) gọi D;E;F thứ tự trọng điểm của BC;AC AB Kẻ đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC Chứng minh đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy Bài 6: Cho đường tròn (O) điểm A bên đường tròn kẻ cát tuyến BAC bất kỳ Gọi (P) đường tròn qua A tiếp xúc với (O) B (Q) đường tròn qua A tiếp xúc với (O) C a) Tứ giác APOQ hình ? b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) (Q) E; (E ≠ A) Tìm tập hợp điểm E cát tuyến BAC quay quanh A KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : GV: Lê Hằng 14 Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc Qua thời gian áp dụng kiến thức phương pháp dạy vừa trình bày ở (Từ 8/9/2014 đến nay) 85 em họcsinh lớp 8A,B trường THCS Tam Đa thu kết sau: + Số họcsinh nắm loại đườngphụ thường sử dụng giải toán THCS có: 20 em chiếm 23% + Số họcsinh nắm phép dựng hình thường sử dụng giải toán THCS có: 25 em chiếm 29% + Số họcsinhvẽ (dựng) đườngphụ hợp lý giải số toán hình chương trình Toán lớp có: 20 em chiếm 23 % + Số họcsinh thành thạo dạng toán, có kỹ tốt giải toán tương đối khó : 20 em chiếm 25% Trong trình dạy họcsinh theo phương pháp , thu nhiều kết tốt IV KẾT LUẬN KINH NGHIỆM RÚT RA Các toán hìnhhọc có lời giải cần phải vẽ thêm đườngphụ toán khó lại toán hay, giúp cho tư logic của họcsinh phát triển, giúp rèn luyện cùng lúc nhiều thao tác tư cho họcsinh Khi áp dụng đề tài giáo viên cần phải lưu ý trước hết phải giúp họcsinh nắm vững yêu cầu vẽ (dựng) đườngphụ sau phân dạng toán đưa hướngdẫn số toán cụ thể theo dạng chia Việc củng cố kỹ cho họcsinh phép dựng hình rất cần thiết nội dung thực GV: Lê Hằng 15 Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu ở phạm vi rộng chưa thể trình bày hết phương pháp dạy dạng toán nêu Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm của thân viết , không chép nội dung của người khác Rất mong đồng nghiệp nghiên cứu tiếp đề tài với nội dung phong phú Tam Đa, ngày 20 tháng năm 2014 Người viết Lê Thị Hằng TÀI LIỆU TAM KHẢO Sách giáo khoa Toán tập 1,2 Nhà xuất giáo dục GV: Lê Hằng 16 Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc Sách giáo viên Toán tập 1,2 Nhà xuất giáo dục Ôn tập hìnhhọc Nhà xuất giáo dục MỤC LỤC Nội dung Phần I Lí lịch GV: Lê Hằng Trang 17 Hướngdẫnhọcsinhvẽđườngphụgiảitậphìnhhọc Phần II Nội dung I Đặt vấn đề II Phương pháp tiến hành 3-4 III Nội dung 5-15 IV Kết luận kinh nghiệm rút 15-16 GV: Lê Hằng 18 ... sinh tìm lời giải cho toán cụ thể Trong trình hình thành cho học sinh kỹ vẽ đường phụ giải toán hình học GV: Lê Hằng 13 Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học 4/ Một số tập hướng dẫn. .. giác , đường cao ) c) Đường phụ đường tròn: GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học *Vẽ thêm đường tròn hoặc cung chứa góc dựa điểm có *Vẽ đường tròn tiếp xúc với đường. .. việc học tốt toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học của học sinh GV: Lê Hằng Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ giải tập hình học