Hướng dẫn học sinh lớp 8 vẽ thêm đường phụ để giải bài tập hình chương tam giác đồng dạng

II - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 8 vẽ thêm đường phụ để giải bài tập hình chương tam giác đồng dạng" nhằm mục đích: Giúp học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức,

MỤC LỤC

14 2 Kết quả kiểm nghiệm thực tiễn và so sánh đối chiếu 17

A PHẦN MỞ ĐẦU

I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Môn Toán là một môn khoa học tự nhiên quan trọng trong nhà trường Cùng với sự phát triển của khoa học công nghệ, Đảng và Nhà nước đã xác định

phát triển bền vững của mỗi quốc gia; nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá - hiện đại hoá đất nước

Hiện nay, chương trình cải cách giáo dục đang hoàn thiện dần với nội dung kiến thức ngày càng cao đòi hỏi mỗi học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản và thực hành một cách nhuần nhuyễn Để được như vậy, mỗi giáo viên với vai trò dẫn dắt học sinh, phải đào tạo học sinh thành những người có năng lực thực sự, có đầu óc tư duy sáng tạo và là những người lao động tự chủ Môn Toán, với đầy đủ tính khoa học, tính lôgic, tính thực tế phần nào giúp học sinh

có đựơc khả năng phân tích tổng hợp, sáng tạo, trang bị cho học sinh kỹ năng phát hiện và nắm bắt vấn đề Từ đó tìm ra phương pháp giải toán và ứng dụng toán học vào thực tế một cách tốt nhất

Là giáo viên dạy toán, với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài và ngày càng yêu thích môn Toán, tôi đã cố gắng giúp các em tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạng bài, làm sao các em tiếp thu bài tốt nhất, dễ hiểu nhất, từ đó các em có lòng đam mê với Toán học

II - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 8 vẽ thêm đường phụ để giải bài tập hình chương tam giác đồng dạng" nhằm mục đích: Giúp học sinh dễ dàng tiếp

thu kiến thức, từ học sinh khá, giỏi đến học sinh trung bình hay yếu kém đều thấy dễ hiểu và vận dụng theo sự hướng dẫn đó để suy nghĩ và tìm lời giải cho các dạng bài tập khác nhau Đồng thời tạo ra động lực để học sinh yêu thích môn học, say mê trong học tập

III - ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

a Đối tượng nghiên cứu: Dùng phương pháp vẽ thêm đường phụ để hướng dẫn

học sinh lớp 8 trường THCS Thăng Long giải một số dạng toán chứng minh hình học phần tam giác đồng dạng

b Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trường THCS Thăng Long

Để thực hiện đề tài này bản thân tôi sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

- Nghiên cứu tài liệu

- Tìm hiểu thực tiễn các tiết dạy, dự giờ

- Trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

- Thực nghiệm sư phạm

B PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÍ LUẬN :

Với độ tuổi cấp THCS, đa số môn hình học vẫn là môn học khó khăn đối với các em học sinh

Ở nội dung kiến thức hình học 8, chương "Tam giác đồng dạng" là một

vật lí Chứng minh một bài toán hình học là cả một sự lúng túng đối với phần lớn học sinh Từ các bài tập trong hình học 8, qua một số tiết dạy, tôi nhận thấy

sự khó khăn của học sinh đứng trước việc xác định hướng để giải quyết bài toán

Khi giải bài toán hình học, nhiều bài không thể giải trực tiếp được mà phải vẽ thêm đường phụ Việc vẽ thêm đường phụ để tạo "cầu nối" giữa giả thiết

và kết luận là công việc phổ biến Có nhiều cách tạo ra yếu tố phụ, song trong chương tam giác đồng dạng, chủ yếu là chúng ta vẽ đường phụ để tạo ra các đường thẳng song song hoặc các tam giác đồng dạng Tùy thuộc vào mỗi bài toán, dạng toán mà chúng ta chọn đường phụ cho thích hợp

Qua một số giờ dạy định hướng cho học sinh, tôi đã giúp học sinh nhanh chóng tìm ra con đường cho việc giải một số bài toán như: chứng minh một tích không đổi, chứng minh một tỉ lệ thức hay chứng minh đẳng thức "a.b

= c.d" trong hình học cũng như chứng minh 3 điểm thẳng hàng hay chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau… Đối diện với đề bài toán, các em đã thấy tự tin hơn và mạnh dạn vạch ra hướng đi cho bài toán đó Các em đã thấy hứng thú hơn với môn hình học

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:

Thực tiễn học sinh có những đặc điểm cả về chủ quan lẫn khách quan mà người dạy cần nắm là:

- Các em còn ở lứa tuổi thiếu niên, khả năng tư duy, đặc biệt là khả năng khái quát hoá còn yếu

- Môn Toán là môn khoa học tự nhiên đòi hỏi tư duy logic, tư duy sáng tạo, do vậy về tâm lý người học còn sợ, nhất là học sinh nhỏ tuổi chưa xác định được ý chí quyết tâm, học bài nào biết bài đó, làm bài tập nào biết bài tập đó nên khả năng tái tạo, tương tự… để nâng cao còn nhiều hạn chế

- Phương pháp học tập, nghiên cứu của các em học sinh còn nhiều bất cập

mà chương trình học tập lại được nâng cao hơn

- Kiến thức thực tế, kiến thức xã hội của các em học sinh còn nghèo nàn,

vì vậy khả năng tiếp thu, khả năng tư duy, phân tích tổng hợp, khả năng vận dụng vào thực tế cuộc sống đôi khi còn nhiều lúng túng

Từ những nguyên nhân trên, việc dạy học theo phương pháp lấy học sinh làm trung tâm, dạy học theo hướng phát huy tính tự lực của học sinh là cần thiết trong việc nâng cao chất lượng dạy và học Toán

Đối với trường THCS Thăng Long, ba mục tiêu trọng tâm dạy và học của nhà trường là chú trọng chất lượng mũi nhọn, nâng cao chất lượng đại trà, giảm học sinh yếu kém Do đó đòi hỏi đội ngũ giáo viên phải có sự say mê, có tính sáng tạo trong công việc Là một giáo viên của trường bản thân tôi luôn cố gắng học hỏi, trau dồi kiến thức, nâng cao trình độ chuyên môn rút ra những kinh nghiệm trong công tác giảng dạy để kết quả dạy và học ngày càng tốt hơn

Xuất phát từ tình hình trên, tôi xin đưa ra kinh nghiệm của mình về việc giảng dạy cho học sinh lớp 8 biết cách vẽ thêm đường phụ để chứng minh một

số bài toán hình phần tam giác đồng dạng

III MỘT SỐ BIỆN PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 8 TRƯỜNG THCS THĂNG LONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG BẰNG CÁCH DÙNG “SƠ ĐỒ NGƯỢC” :

1 Biện pháp:

- Trước hết, giải thích để học sinh hiểu “đường phụ” là gì? Hiểu nôm na,

đó là yếu tố chúng ta cho thêm, chọn thêm để tạo ra sự liên kết gần hơn giữa giả thiết và kết luận "Đường phụ" có thể là một điểm, một đường thẳng hay là một đoạn thẳng Khi vẽ đường phụ phải tự trả lời câu hỏi " Vẽ đường phụ này có đạt được mục đích mình cần không?"

- Tiếp theo, lựa chọn các ví dụ, các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, tài liệu nâng cao, phù hợp với từng đối tượng học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi

- Hướng dẫn cho học sinh một số bài tập mẫu có sử dụng vẽ thêm đường phụ

- Tổ chức cho học sinh vận dụng “vẽ đường phụ” để giải quyết các bài tập trong từng tiết học Hình cụ thể với sự hướng dẫn của giáo viên (nếu cần)

- Cung cấp cho học sinh một số bài tập để học sinh tự tìm tòi cách giải,

tự vẽ thêm đường phụ và trình bày bài Qua đó, học sinh xác định được tầm quan trọng của “đường phụ” đối với các dạng bài tập hình học

1.1 Một số ví dụ:

Giáo viên hướng dẫn, làm mẫu một số bài tập với các dạng toán khác nhau, từ đó định hình rõ nét “đường phụ” cho học sinh.

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC và BD cắt nhau tại O,

AD và BC cắt nhau tại K CMR: OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD

Hướng dẫn học sinh:

Kẻ EF // CD và EF đi qua O Dễ dàng chứng minh được OE = OF (bài toán quen thuộc) Từ đó, sử dụng cặp đoạn thẳng bằng nhau này để chứng minh cho

AN = BN; DM = CM.

Giải:

Vẽ đường thẳng EF đi qua O và song song với CD (E AD và F BC)

Áp dụng hệ quả của định lí Talet, ta có:

DC AC (1)

OF BO

DC BD (2)

Từ giả thiết AB // CD, ta lại có:

OC ODOC OA OD OB  

Hay OA OB

AC BD (3)

Từ (1), (2), (3) => EO OF

DC DC => EO = OF

Từ đó, ta có: AN KN BN; KN

Do đó, AN BN

EO FO => AN = BN

K

C D

O

N

F E

B A

M

Chứng minh tương tự, ta được DM = CM

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến.

Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt BC tại E CMR: EB = 2 EC

Hướng dẫn học sinh:

Từ kết luận EB = 2 EC, kết hợp với giả thiết là ΔABC vuông cân, BD là đườngABC vuông cân, BD là đường trung tuyến, ta nghĩ đến trọng tâm G của ΔABC vuông cân, BD là đườngABC

Vẽ AH  BC (H  BC), G là trọng tâm của ΔABC vuông cân, BD là đườngABC, ta có: GB = 2 GD.

Mặt khác, ta cũng có G là trực tâm của ΔABC vuông cân, BD là đườngABE nên EG  AB Từ đó có EG //

CD suy ra EB = 2 EC

Giải:

Vẽ đường cao AH của ΔABC, AH cắt BD tại G ABC, AH cắt BD tại G

ΔABC, AH cắt BD tại G ABC vuông cân đỉnh A nên AH cũng là

đường trung tuyến của ΔABC, AH cắt BD tại G ABC

=> G là trọng tâm của ΔABC, AH cắt BD tại G ABC nên GB 2

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G ABE có BG  AE (gt), AH  BE

=> H là trực tâm của ΔABC, AH cắt BD tại G ABE

=> EG  AB

Ta có: EG  AB, CD  AB nên EG // CD

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G BCD có: EG // CD => EB GB

EC GD (Theo định lí Talet)

Mà GB 2

GD => EB 2

EC  => EB = 2 EC

Ví dụ 3: Cho ΔABC, AH cắt BD tại G ABC có AB < AC, D và E là các điểm lần lượt trên các cạnh

AB và AC sao cho BD = CE; DE cắt BC tại K

CMR: AB KE

Hướng dẫn học sinh:

G

A

H

D

E

Việc chứng minh trực tiếp AB KE

song để tạo ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.

Giải: Vẽ EF // AB, F BC

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G KDB có EF // BD, ta có: KE EF

(hệ quả của định lí Talet) (1)

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G ABC có EF // AB, ta có: CE EF

(hệ quả của định lí Talet)

=> AB EF

Mà BD = CE (gt), do đó: AB EF

AC BD (2)

Từ (1) và (2) => AB KE

Lưu ý: HS có thể vẽ đường thẳng song song khác để tạo ra cặp tam giác đồng dạng.

Ví dụ 4: Cho ΔABC, AH cắt BD tại G ABC với G là trọng tâm Một đường thẳng bất kì qua G cắt các

cạnh AB, AC lần lượt tại M và N

CMR: AB AC 3

Hướng dẫn học sinh:

Ta chứng minh được ΔABC vuông cân, BD là đườngIBD = ΔABC vuông cân, BD là đườngICE, áp dụng hệ quả của định lí Talet vào các tam giác AMG và ANG ta sẽ có lời giải bài toán.

Giải:

Gọi AI là đường trung tuyến của ΔABC, AH cắt BD tại G ABC, vẽ BD // MN; CE // MN (D, E  AG)

A

K

E D

F

Ta có: BD // CE

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G IBD và ΔABC, AH cắt BD tại G ICE có:

 

1 2

I I (đối đỉnh)

BI = CI

 

DBI ECI (so le trong)

=> ΔABC, AH cắt BD tại G IBD = ΔABC, AH cắt BD tại G ICE (g.c.g)

=> BD = CE, ID = IE

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G AMG có MG // BD nên AB AD

AM AG (hệ quả của định lí Talet) Xét ΔABC, AH cắt BD tại G ANG có GN // EC nên AC AE

AN AG (hệ quả của định lí Talet)

=>

2

3 2

3

Vậy AB AC 3

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD,

BC Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M, N Chứng minh rằng: MA NC = MB ND

Hướng dẫn học sinh:

được các tỉ lệ thức.

Giải:

Vẽ AG // BC, DH // BC (G, H  EF)

=> AG // DH

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G MAG có BF // AG nên

MB BF (hệ quả của định lí Talet)

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G NDH có FC // DH nên

B

E

F

A

M

D H

N

C

1

G

2

A

D

N M

E I

ND HD

NC FC (hệ quả của định lí Talet)

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G EAG và ΔABC, AH cắt BD tại G EDH, có:

AEG DEH 

AE = DE (gt);

EAG EDH (Do AG // DH)

=> ΔABC, AH cắt BD tại G EAG = ΔABC, AH cắt BD tại G EDH (g.c.g)

=> AG = HD

Mà BF = FC (gt) => MA ND

Vậy MA NC = MB ND

Ví dụ 6: Cho ΔABC, AH cắt BD tại G ABC cân đỉnh A và H là trung điểm của cạnh BC Gọi I là hình

chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI

CMR: ΔABC, AH cắt BD tại G BIC ∽ ΔABC, AH cắt BD tại G AOH

Hướng dẫn học sinh:

ΔABC vuông cân, BD là đườngBIC và ΔABC vuông cân, BD là đườngAOH có BIC  AHO ta tìm cách chứng minh IBC OAH  

Do đó ta sẽ lấy thêm điểm phụ là K - trung điểm của IC

Giải:

Gọi K là trung điểm của IC, AO cắt

BC tại J

Ta có: OK là đường trung bình của

ΔABC, AH cắt BD tại G IHC nên: OK // HC

Mà AH BC (vì ΔABC, AH cắt BD tại G ABC cân đỉnh A,

AH là đường trung tuyến)

=> OK AH

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G AHK có: OK  AH, HI AC (gt) nên O là trực tâm của ΔABC, AH cắt BD tại G AHK

=> OA  HK

Mặt khác, HK là đường trung bình của ΔABC, AH cắt BD tại G BIC nên

O B

A

C H

I

K

J

HK // BI, do đó OA  BI.

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G BIC và ΔABC, AH cắt BD tại G AOH có:

 

BCI AHO (cùng phụ với góc OHC)

 

IBC OAH ( cùng phụ với góc BJO)

=> ΔABC, AH cắt BD tại G BIC ∽ ΔABC, AH cắt BD tại G AOH (g.g)

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có Â = 900, D là điểm thuộc cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng d song song với BD Vẽ BE vuông góc với d tại E

CMR: ΔABC, AH cắt BD tại G BAE ∽ ΔABC, AH cắt BD tại G DBC

Hướng dẫn học sinh:

Tứ giác BDCF là hình bình hành, chứng minh ΔABC, AH cắt BD tại G ABD ∽ ΔABC, AH cắt BD tại G EBF Từ đó ta có lời giải cho bài toán.

Giải:

Vẽ BF // AC (F EC)

Tứ giác BDCF là hình bình hành vì BF // AC; FC // BD (gt)

=> DC = BF và BDC BFC  

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G ABD và ΔABC, AH cắt BD tại G EBF có: A E   90 0

ADB EFB  (vì ADB BDC EFB BFC       180 0)

=> ΔABC, AH cắt BD tại G ABD ∽ ΔABC, AH cắt BD tại G EBF (g.g)

=> BA BD BA BE

BE BF  BD BF

Mà BF = DC => BA BE

Ta lại có: BD // EC, BE  EC => BE  BD

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G BAE và ΔABC, AH cắt BD tại G DBC có:

 

ABE BDC (cùng bù với góc DCF)

C B

A

E

D

F

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

CMR: BH.BD + CH.CE = BC2

H

ư ớng dẫn học sinh :

Ta cần làm xuất hiện 1 tổng của 2 tích bên vế phải

Do đó, ta nghĩ đến điểm phụ F trên cạnh BC.

BC.BF = BH.BD

BC.FC = CH.CE

Lưu ý: GV có thể dùng kết hợp sơ đồ ngược

để HS quan sát dễ hơn.

Ta có sơ đồ ngược:

BH.BD + CH.CE = BC2



BH.BD + CH.CE = BC.BC



BH.BD + CH.CE = BC (BF + FC)



BH.BD + CH.CE = BC.BF + BC.FC



BH BC BD BF ; CH BC CE FC



∆BHF ∽ ∆BCD; ∆CHF ∽ ∆CBE

Giải:

Vẽ HF BC (F BC)

Xét ∆BHF và ∆BCD Ta có:

BFH = BDC = 900

B chung

 ∆BHF ∽ ∆BCD (g.g)



BD

BF BC

BH

  BH.BD = BC.BF (1)

H

A D E

F

D F A

E

H

CM tương tự: ∆CHF ∽ ∆CBE (g.g)



CE

CF CB

CH



 CH.CE = CB.CF (2)

Từ (1) và (2)  BH.BD + CH.CE = BC.BF + BC.CF

= BC (BF + FC) = BC.BC = BC2 (đpcm)

1.2 Một số bài tập vận dụng:

Giáo viên đưa ra các bài tập tương tự để học sinh bước đầu tập phân tích bài toán và tìm ra đường phụ.

Bài 1 Cho hình bình hành ABCD, AC là đường chéo lớn Vẽ CEAB;

(E AB); CF AD, (F  AD) CMR: AB AE + AD AF = AC2

Giáo viên HD:

Tương tự như VD8, ta tách AC2 = AC AC = AC (a+b) = AC.a + AC.b

Từ đó làm xuất hiện 1 điểm trên cạnh AC Dựa vào đề bài, vẽ đường phụ BH 

AC (H  AC) hoặc DH AC (H  AC)

Học sinh phân tích sơ đồ ngược :

AB.AE + AD.AF = AC2 = AC (AH+HC)



AB.AE + AD AF = AC.AH + AC.HC



AB.AE = AC.AH ; AD.AF = AC.HC



AE

AH

AC

AB



F

A

HC AC

AD

 (

AF C

HC A

BC

 )



∆HAB ∽ ∆EAC; ∆HBC ∽ ∆FCA

Giải:

Vẽ BH AC (H  AC)

Xét ∆HAB và ∆EAC Ta có:

AHB = AEC = 900

 ∆HAB ∽ ∆EAC (g.g)



AE

AH AC

AB

  AB.AE = AC AH (1) Xét ∆HBC và ∆FCA , ta có:

BHC = CFA = 900

BCH = CAF (so le trong, do BC//AF)

 ∆HBC ∽ ∆FCA (g g)



F

A

HC AC

BC

  BC.AF = AC.HC

Mà AD = BC (vì ABCD là hình bình hành)

 AD.AF = AC.HC (2)

Từ (1) và (2)  AB.AE + AD.AF = AC.AH + AC.HC

= AC (AH + HC) = AC2 (đpcm)

Bài 2 Cho tam giác ABC, AD là đường phân giác trong của góc BAC, D thuộc

BC CMR: AD2 = AB AC - DB DC

Giáo viên HD:

Tương tự như bài tập trên, ta tách :

Từ đó làm xuất hiện 1 điểm trên tia AD, sao cho các tích bên trái tương ứng bằng các tích bên phải.

Giả sử điểm M thuộc tia AD sao cho:

AD DM = DB DC

Từ đó, ta sẽ có cặp tam giác: ΔABC vuông cân, BD là đườngADB = ΔABC vuông cân, BD là đườngCDM

Do đó, ta xác định được điểm phụ M là giao điểm của

Tia Cx và tia AD sao cho DCx BAD 

Giải:

Vẽ tia Cx sao cho: DCx BAD   ,

tia Cx khác phía với A đối với BC.

Gọi M là giao điểm của Cx và AD

Xét ΔABC, AH cắt BD tại G ADB và ΔABC, AH cắt BD tại G CDM, có:

BAD DCM 

14

D

A