Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán hình học phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG −−−⋆−−− TRƯƠNG THỊ NGA ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG −−−⋆−−− TRƯƠNG THỊ NGA ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Đà Nẵng - 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học Cấu trúc luận văn ĐẠI CƯƠNG VỀ CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT PHÉP BIẾN HÌNH 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Ví dụ 1.3 TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Tính chất tích phép biến hình CHƯƠNG 1.4 XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA HÌNH 10 1.4.1 Định nghĩa 10 1.4.2 Ví dụ 11 CHƯƠNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH PHẲNG 12 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 12 2.1.1 Định nghĩa 12 2.1.2 Ví dụ 12 2.1.3 Các tính chất 13 2.2 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 16 2.2.1.Định nghĩa 16 2.2.2 Tính chất 16 2.2.3 Phép đối xứng qua tâm hệ tọa độ ĐỀ - CÁC 22 2.2.4 Ứng dụng phép đối xứng tâm 23 2.3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 28 2.3.1 Định nghĩa 28 2.3.2 Tính chất 28 2.3.2 Phép đối xứng qua đường thẳng hệ tọa độ ĐỀ - CÁC 34 2.3.3 Ứng dụng phép đối xứng qua đường thẳng 34 2.4 PHÉP TỊNH TIẾN 40 2.4.1 Định nghĩa 40 2.4.2 Tính chất 40 2.4.3 Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến hệ trục tọa độ ĐỀ - CÁC 46 2.4.3 Ứng dụng phép tịnh tiến 47 2.5 PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM 51 2.5.1 Cung góc định hướng 51 2.5.2 Phép quay quanh điểm 52 2.5.3 Tính chất phép quay quanh điểm 53 2.5.4 Biểu thức tọa độ phép quay hệ trục tọa độ ĐỀ - CÁC 56 2.5.5 Ứng dụng phép quay 57 CHƯƠNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH ĐẶC BIỆT 61 3.1 PHÉP VỊ TỰ 61 3.1.1 Định nghĩa phép vị tự 61 3.1.2 Tính chất phép vị tự 61 3.1.3 Biểu thức tọa độ phép vị tự hệ trục tọa độ ĐỀ - CÁC 68 3.1.4 Tâm vị tự hai đường tròn 68 3.1.4.Ứng dụng phép vị tự 69 3.2 PHÉP ĐỒNG DẠNG 72 3.2.1 Định nghĩa 72 3.2.2 Tính chất 73 3.2.3 Ứng dụng phép biến đổi đồng dạng 73 3.3 PHÉP NGHỊCH ĐẢO 76 3.3.1 Định nghĩa 76 3.3.2 Tính chất 76 3.3.3 Phép nghịch đảo hệ tọa độ ĐỀ - CÁC 81 3.3.4 Ứng dụng phép nghịch đảo 82 3.4 PHÉP CO - DÃN 83 3.4.1 Định nghĩa 83 3.4.2 Tính chất 84 3.4.3 Ứng dụng phép co - dãn 89 3.5 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH 91 3.5.1 Định nghĩa 91 3.5.2 Tính chất 92 3.5.3 Ứng dụng phép biến đổi tuyến tính 97 KẾT LUẬN 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Trương Thị Nga MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các phép biến hình sơ cấp chiếm vị trí đặc biệt quan trọng hình học Trung học phổ thơng Quan điểm “Nhóm phép biến hình” Cayley Félix Klein mở đường cho đời nhiều phân mơn hình học khác nằm hệ thống lý thuyết (gọi lược đồ xạ ảnh Cayley – Klein) Sau “Phương pháp tiên đề” Euclid khởi xướng quan điểm “Nhóm biến hình” Cayley – Klein xem sợi đỏ xuyên suốt trình hình thành lý thuyết hình học; số đó, có hình học Euclid sơ cấp giảng dạy Trung học phổ thông Các em học sinh bậc Trung học phổ thơng thường gặp khó khăn tiếp cận phép biến hình (được trình bày theo kiểu “tân tốn học”), đặc biệt khâu ứng dụng (sử dụng phép biến hình để giải tốn) Quả thật, làm quen khái niệm phép biến hình, người ta thường chưa hiểu tường tận tư tưởng phương pháp tiếp cận lý thuyết Trong kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế khu vực, hay kì thi giải tốn nhiều tạp chí tốn học tốn hình học liên quan đến phép biến hình xuất nhiều xem dạng tốn loại khó (hoặc khó) bậc Trung học phổ thơng Hiện có số tài liệu tiếng Việt đề cập đến khía cạnh khác phép biến hình Tuy nhiên, tài liệu hệ thống theo dạng toán phương pháp giải chưa có nhiều tơi mong muốn cung cấp cho em học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi u thích tốn, thêm tài liệu tham khảo phép biến hình Với lý qua khả tìm hiểu, nghiên cứu, tơi chọn “Ứng dụng phép biến hình giải tốn hình học phẳng” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc cao học Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm hệ thống lại số kiến thức bản, bổ sung (so với nội dung có sách giáo khoa THPT) nâng cao phép biến hình phẳng Chúng tơi cố gắng phân loại dạng toán ứng dụng, tổng hợp số phương pháp cụ thể, đưa vào nhiều ví dụ để minh họa cho phương pháp trình bày; được, chúng tơi tìm cách nhận xét phân tích lí dẫn đến việc sử dụng phép biến hình cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Các phép biến hình mặt phẳng Ngồi lý thuyết tổng quan cịn có nhận xét, phân loại, giúp cải thiện khả giải toán học sinh THPT 3.2 Phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu đề cập đến phép biến hình phẳng ứng dụng giải toán THPT Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu tiếng Việt xuất nước tài liệu nước ngồi tìm mạng internet Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để trình bày nội dung vấn đề luận văn cách phù hợp Giả thuyết khoa học Xây dựng giáo trình có tính hệ thống, khép kín giảng dạy với thời lượng chấp nhận cho học sinh chuyên tốn bậc trung học phổ thơng cho sinh viên toán trường đại học Xây dựng hệ thống toán (cũ mới) với mức độ khó dễ khác Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương, cụ thể sau: Chương 1: Tổng hợp nêu cách xác định nghĩa Phép biến hình, kí hiệu Cụ thể chương trình bày khái niệm phép biến hình, kí hiệu ví dụ Định nghĩa điểm bất động phép biến hình, cho ví dụ để hiểu rõ Sau khái niệm tích phép biến hình,ảnh hình, kèm theo ví dụ cụ thể Chương 2: Trong chương giới thiệu phép biến đổi đặc trưng phép biến hình dạy chương trình Hình học lớp 11, phép dời hình Trong chương trình bày khái niệm, tính chất, hệ ví dụ phép dời hình Chương trình bày số phép dời hình bản: phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép tịnh tiến phép quay quanh điểm Ở phép dời hình định nghĩa, kí hiệu, tính chất, ví dụ số toán liên quan Chương 3: Nhằm giúp bạn học - giỏi tiếp cận thêm số phép biến hình phẳng khác, làm thay đổi khoảng cách hai điểm, kèm theo tập liên quan Đà Nẵng, năm 2015 Học viên Trương Thị Nga 87 A d D C B • Nếu AB cắt d D, thì: Theo tính chất 2: + Vì tam giác BDC có cạnh DC thuộc d nên theo ta chứng minh =⇒ S△B ′ DC = k.S△BCD ( tam giác B’DC ảnh tam giác BDC qua phép biến đổi trên) + Tương tự S△A′ DC = k.S△ADC ( tam giác A’DC ảnh tam giác ADC qua phép biến đổi trên) Mà ta có : S△A′ B ′ C ′ = S△B ′ DC +S△ADC = k.S△BCD +k.S△ADC = k.S(đpcm) • Nếu AB//d, cách chứng minh trường hợp Tam giác ABC bất kì: A A B d C D E D d E B C 88 Tam giác ABC nằm phía d d cắt thành phần Thì ta chứng minh biểu thức sau: dt(△ABC)=dt(ADE)-dt(BDE)-dt(BCE) dt(△ABC)=dt(ADE)+dt(DEC)+dt(BDC) Trong tình có kết S’=kS HỆ QUẢ Cho đa giác F có diện tích S Gọi F’ ảnh F phép biến đổi Γ(d,k) diện tích F’ S’, S’=kS ∗ Tính chất Nếu trục d phép biến đổi Γ(d,k) qua tâm đường trịn, ảnh đường trịn phép biến đổi elip Chứng minh Ta chọn hệ tọa độ cho d trùng với trục Ox đường trịn có phương trình: x2 + y = R2 Nếu M(x,y) điểm thuộc đường trịn, ảnh M’ M có tọa độ x’=x y’=ky Do x’ y’ nghiệm phương trình: x′2 y ′2 y ′2 = (∗) x′2 + = R2 ⇐⇒ + k R (kR)2 Nghĩa M’ thuộc elip có phương trình Đảo lại, M’ điểm thuộc elip (*), tồn điểm M thuộc đường tròn x2 + y = R2 nhận M’ ảnh phép biến đổi cho ∗ Tính chất Nếu trục d phép biến đổi Γ(d,k) trùng với 89 trục đối xứng elip k tỉ số hai trục elip, ảnh elip đường trịn Chứng minh Ta chọn hệ tọa độ Oxy cho d trùng với trục Ox phương trình x2 y elip có dạng + = Với điểm M(x,y) thuộc elip, ta có a b a ảnh điểm M’ mà tọa độ thỏa mãn điều kiện x’=x y’= y Vì b x′2 b2 y ′2 x’ y’ thỏa mãn phương trình + ′2 = ⇐⇒ x′2 + y ′2 = a2 a a b 2 Tức M’ thuộc đường tròn x + y = a2 ⋆HỆ QUẢ Phép biến đổi Γ(d,k) biến: i Đường thẳng d thành đường thẳng d’ ii Hai véc tơ phương thành hai véc tơ phương tỉ số độ dài hai véc tơ ảnh tỉ số độ dài hai véc tơ tạo ảnh tương ứng 3.4.3 Ứng dụng phép co - dãn • Bài tốn 1: Trên đường cong elip (E) ta lấy hai điểm A, B Gọi I trung điểm đoạn AB MN PQ dây cung (E) qua I(M P nằm phía với AB) Các dây cung NP MQ cắt AB tương ứng K H Chứng minh IK=IH Lời giải 90 A M K I P B H A’ Q M’ P’ K’ I’ H’ B’ Q’ N N’ Theo tính chất 6, tồn phép co dãn biến (E) thành đường tròn (E’), dây AB thành dây A’B’, I thành I’ trung điểm A’B’(Hệ ii), điểm K thành K’, H thành H’ dây MN thành M’N’, PQ thành P’Q’ Ta chứng minh đường trịn (E’) đoạn I’K’=I’H’ Vì IK=IH( hệ ii.) • Bài tốn 2: Trong số tam giác nội tiếp elip (E) cho trước (3 đỉnh tam giác thuộc đường cong elip (E)), tam giác có diện tích lớn Lời giải y A x B C Ta xét đường cong (E) hệ tọa độ vng góc có phương trình 91 x2 y + = (a>b) ABC tam giác nội tiếp (E) Theo tính a2 b2 chất 6, tồn phép dãn biến (E) thành đường trịn (E’) có phương trình x2 + y = a2 tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ nội tiếp (E’) Ta biết số tam giác A’B’C’ nội tiếp đường trịn đường√kính a, tam giác có diện tích lớn diện 3a2 tích Ta kí hiệu S diện tích tam giác ABC, S’ diện tích tam giác A’B’C’, theo tính chất ta √ √ có: b ′ b 3a 3ab a = S’= S =⇒ S = S ≤ b a a 4 √ √ √ −a −b a −b 3ab , ta chọn A(0,b),B( , ), C( , ) MaxS= 2 2 3.5 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH 3.5.1 Định nghĩa Giả sử F phép biến đổi - mặt phẳng biến điểm A −→ −−→ thành A’, B thành B’ Ta viết F(A)=A’, F(B)=B’ F(AB)=A′ B ′ → − → viết F(− u )= u′ Trong mặt phẳng cho phép biến đổi F thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i F phép biến đổi - → − → − → − − → → ii Với véc tơ → a b , F(− a + b )=F(− a )+F( b ) − → → iii Với véc tơ → a số thực k bất kì, F(k− a )=kF(− a) Khi ta nói F phép biến đổi tuyến tính mặt phẳng 92 3.5.2 Tính chất → − → − • Tính chất F( ) = Chứng minh → − → − → Từ điều kiện iii cho k=0, ta suy F( ) = 0F (− a)= → → • Tính chất F(−− a )=-F(− a ) Chứng minh Từ điều kiện iii cho k=-1, suy ra: → → → F(−− a )=(-1)F(− a )=-F(− a ) → − → − − → • Tính chất Nếu → a = b , F(− a )=F ( b ) Chứng minh → − → − − → → → Từ − a = b , ta suy − a − b = → − → − → → − − → − → → F(− a − b )=F( )= ⇐⇒ F (− a ) − F( b ) = • Tính chất Nếu A, B, C ba điểm thẳng hàng B nằm A, C F(A)=A’, F(B)=B’, F(C)=C’ thẳng hàng B’ nằm A’, C’ Chứng minh −→ −→ Từ điều kiện cho tồn số k, 0