VÉCTƠ TRONG PHÉP BIẾN HÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCVÉCTƠ TRONG PHÉP BIẾN HÌNHBố cục:Chương I: Cơ sở lý thuyết1. Định hướng.2. Đại cương phép biến hình trong mặt phẳng.3. Sự biến đổi của véc tơ thông qua một số phép biến hình.Chương II: Ứng dụng giải một số bài toán.Chương III: Một số bài toán đề nghị và tóm tắt lời giải.

Khoá luận tốt nghiệp Trờng đại học s phạm hà nội Khoa toán Vectơ trong phép biến hình Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Ngời hớng dẫn khoa học Hà nội, 3 Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Trong quá trình thực hiện luận văn này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân tôi còn đợc sự hớng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Bùi Văn Bình, cùng những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy, cô trong tổ hình học. Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Bùi Văn Bình và các thầy cô giáo trong tổ Hình học đã giúp tôi hoàn thành khoá luận này. Hà Nội, ngày tháng năm 20 Sinh viên 4 Khoá luận tốt nghiệp Lời cam đoan Em xin cam đoan bản khoá luận đợc hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân dới sự giúp đỡ của thầy giáo Bùi Văn Bình. Bản khoá luận này không trùng với các kết quả các tác giả khác. Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Sinh viên 5 Khoá luận tốt nghiệp mục lục Trang Mở đầu: 3 1. Lý do chọn đề tài. 3 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. 3 3. Phơng pháp nghiên cứu. 3 4. Cấu trúc khoá luận. 4 Nội dung: 5 Chơng I: Cơ sở lý thuyết. 5 Đ1. Định hớng 5 Đ2. Đại cơng về phép biến hình trong mặt phẳng. 7 Đ3. Sự biến đổi của veectơ qua một số phép biến hình cơ bản. 8 Chơng II: ứng dụng giải một số bài toán của hình học phẳng 14 Chơng III: Một số bài toán đề nghị và tóm tắt lời giải. 39 Kết luận 44 Tài Liệu tham khảo 45 6 Khoá luận tốt nghiệp Mở Đầu 1. Lý do chọn đề tài. Trong giải các loại toán toán hình học, sự lựa chọn các công cụ thích hợp là một việc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm đợc thời gian và công sức. Hiện nay, trong chơng trình Toán học THPT, vai trò và tầm quan trọng của các phép biến hình ngày càng đợc thể hiện rõ ràng và sâu sắc, không chỉ trong lý thuyết mà cả trong thực hành giải bài tập. Đặc biệt, sự biến đổi của các vectơ trong các phép biến hình giúp cho việc giải một số lớp bài toán trở nên đơn giản hơn. Tuy nhiên, việc giải bài toán hình học thông qua sự biến đổi của các vectơ không phải dễ dàng, thực tế, đây là phần khó đối với giáo viên trong quá trình dạy và học sinh trong quá trình học. Trong khuôn khổ của một khoá luận tốt nghiệp, em chỉ tập trung trình bày một cách khái quát sự biến đổi của vectơ qua phép biến hình; xem xét việc áp dụng của sự biến đổi này trong một số bài toán. Qua đó, phần nào giúp ngời đọc thấy tính u việt của phép biến hình nói chung và sự kết hợp giữa vectơ và phép biến hình nói riêng. Đó chính là lý do em chọn đề tài: Vectơ trong phép biến hình 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. Xây dựng và đa ra cơ sở lý thuyết về phép biến hình; sự biến đổi của các vectơ qua một số phép biến hình trong mặt phẳng. Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập thể hiện phơng pháp sử dụng vectơ trong phép biến hình. Đề tài nghiên cứu với hai nhiệm vụ: a/ Nghiên cứu lý luận chung: Các khái niệm cơ bản của phép biến hình và vectơ trong các phép biến hình. b/ Hệ thống các bài tập. 3. Phơng pháp nghiên cứu. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các giáo trình hình học, các bài giảng chuyên đề, tài liệu liên quan đến đề tài. 4. Cấu trúc khóa luận: Khóa luận gồm ba phần: Mở đầu. Nội dung: gồm 3 chơng. Chơng I: Cơ sở lý thuyết. Chơng II: ứng dụng giải một số bài tập hình học phẳng. Chơng III: Một số bài tập đề nghị và tóm tắt lời giải. Kết luận. 7 Khoá luận tốt nghiệp Chơng I: cơ sở lý thuyết Đ 1. Định hớng 1.1. Định hớng trong mặt phẳng. Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay, nếu ta chọn một chiều làm chiều dơng và chiều còn lại làm chiều âm thì ta nói rằng đã định hớng đợc mặt phẳng. Thông thờng ta chọn chiều quay xung quanh O, ngợc chiều kim đồng hồ làm chiều dơng, chiều ngợc lại làm chiều âm. 1.2. Góc định hớng giữa hai tia chung gốc. a/ Định nghĩa. Trong mặt phẳng định hớng cho hai tia chung gốc O: Ox, Oy, góc định h- ớng co tia đầu Ox, tia cuối là Oy. Kí hiệu: là góc thu đợc khi ta quay tia đầu Ox tới trùng với tia cuối Oy. Nhận xét. + Giá trị của góc định hớng trên mặt phẳng không phải duy nhất. Ta quy ớc giá trị đó là âm hay dơng tuỳ theo chiều quay là chiều âm hay chiều dơng của mặt phẳng. + Ta gọi là giá trị đầu của góc định hớng, đó là giá trị thu đợc khi quay Ox trùng Oy theo góc hình học nhỏ nhất. Nếu là một giá trị của góc định hớng giữa hai tia Ox và Oy thì: b/ Hệ thức Chales. Trong mặt phẳng định hớng cho 3 tia Ox, Oy, Oz. Ta có: 1.3. Góc định hớng giữa hai đờng thẳng. 1.3.1. Góc định hớng giữa hai đờng thẳng cắt nhau. a/ Định nghĩa. Trong mặt phẳng định hớng cho hai đờng thẳng a, b cắt nhau tại O. Ta gọi định hớng tạo bởi hai đờng thẳng a và b theo thứ tự đó là góc mà đờng thẳng 8 O + - _ X Y Khoá luận tốt nghiệp a phải quay theo một chiều nhất định qua điểm O để đến vị trí trùng với đờng thẳng b. Kí hiệu: , trong đó a là đờng thẳng đầu, b là đờng thẳng cuối. Nhận xét: + Góc định hớng giữa hai đờng thẳng nh trên không duy nhất. Cách xem xét về góc giữa hai đờng thẳng a, b giống nh cách xem xét giữa hai tia. + Giá trị là giá trị đầu (chính) của nếu giá trị là giá trị của góc định hớng thu đợc góc quay xung quanh O theo một chiều nhất định tới khi trùng b theo góc hình học nhỏ nhất. Khi đó: b/ Hệ thức Chales. Trong mặt phẳng định hớng cho ba đờng thẳng a, b, c. Khi đó: 1.3.2. Góc định hớng giữa hai đờng thẳng song song hoặc trùng nhau. Quy ớc: Cho hai đờng thẳng a, b song song hoặc trùng nhau. Khi đó ta quy ớc: Nhận xét: Hệ thức Chales với đờng thẳng vẫn đúng trong trờng hợp ba đờng thẳng đôi một song song hoặc đồng quy. Đ2. Đại cơng về phép biến hình trong mặt phẳng. 2.1. Phép biến hình. Định nghĩa: 9 Khoá luận tốt nghiệp Ta ký hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P. Khi đó mỗi hình H bất kỳ của mặt phẳng đều là một tập con của P và đợc ký hiệu là Một song ánh từ tập điểm của P lên chính nó đợc gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Phép biến hình đảo ngợc: Cho phép biến hình Khi đó ánh xạ ngợc của cũng là ánh xạ từ P lên P nên cũng là một phép biến hình của mặt phẳng. Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình nghịch đảo của phép biến hình . Phép biến hình tích: Cho f và g là hai phép biến hình của mặt phẳng. Khi đó ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh của mặt phẳng nên nó cũng là một phép biến hình của mặt phẳng. Ta gọi đó là phép biến hình tích của f và g. Ký hiệu g.f. Phép biến hình đối hợp Phép biến hình đợc gọi là phép biến hình đối hợp nếu (tức là ). Điểm bất động, hình kép, hình bất động. Cho phép biến hình + Điểm M của mặt phẳng đợc gọi là điểm bất động đối với f nếu + Hình H đợc gọi là hình kép đối với f nếu + Hình H đợc gọi là hình bất động đối với f nếu mọi điểm của H đều bất động đối với f, tức là 10 Khoá luận tốt nghiệp 2.2. Phép biến hình Afin. 2.2.1. Định nghĩa. Phép biến hình của mặt phẳng biến đờng thẳng thành đờng thẳng đợc gọi là phép biến hình Afin (gọi tắt là phép Afin). 2.2.2. Tính chất. a, Phép Afin bảo tồn tính song song của đờng thẳng. b, Phép Afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hớng. c, Phép Afin biến vectơ thành tổng của các vectơ tơng ứng. d, Phép Afin bảo tồn tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. Định lý: Trong E 2 cho tam giác và . Khi đó tồn tại duy nhất một phép Afin của E 2 biến A,B,C tơng ứng thành . Hay ngời ta còn nói: Phép Afin trong mặt phẳng đợc xác định bởi hai tam giác tơng ứng. Khái niệm hai tam giác cùng chiều, hai tam giác ngợc chiều. Trong E 2 , hai tam giác ABC và đợc gọi là cùng chiều (ngợc chiều) nếu trên đờng tròn ngoại tiếp của chúng từ cùng chiều (ngợc chiều) với chiều 2.2.4. Phân loại. Phép Afin trong E 2 đợc gọi là phép Afin loại một nếu hai tam giác xác định nó cùng chiều. Ngợc lại ta có phép Afin loại hai. Đ3. Sự biến đổi của vectơ qua một số phép biến hình cơ bản. 3.1. Phép đẳng cự. 3.1.1. Định nghĩa. Phép biến hình của mặt phẳng bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì đợc gọi là phép đẳng cự. 3.1.2. Tính chất. + Phép đẳng cự là phép Affin. 11 Khoá luận tốt nghiệp + Phép đẳng cự biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đờng đặc biệt, điểm đặc biệt của tam giác này tơng ứng thành đờng đặc biệt, điểm đặc biệt của tam giác kia. + Phép đẳng cự biến đờng tròn thành đờng tròn. 3.1.3. Phân loại. - Phép đẳng cự đợc gọi là phép dời hình nếu nó xác định bởi hai tam giác cùng chiều. - Phép đẳng cự đợc gọi là phép phản chiếu nếu nó xác định bởi hai tam giác ngợc chiều. 3.1.4. Một số phép đẳng cự đặc biệt. 3.1.4.1. Phép tịnh tiến. a/ Định nghĩa. Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình mỗi điểm M thành điểm sao cho đợc gọi là phép tịnh tiến theo vectơ . Ký hiệu: . Nh vậy: Nhận xét: + Phép tịnh tiến là một phép dời hình. + Phép tịnh tiến không có điểm bất động, không phải là phép đối hợp nếu + Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất. b/ Vectơ trong phép tịnh tiến. Giả sử là phép tịnh tiến theo vectơ . Khi đó: mà . 12 M M [...]... Nếu phép vị tự +) Nếu là phép đồng nhất phép vị tự là phép đối xứng tâm O b/ Vectơ trong phép vị tự Giả sử là phép vị tự tâm O, tỉ số k Khi đó: mà *Nhận xét: Phép vị tự biến vectơ thành 3.2.2 Phép đồng dạng a/ Định nghĩa: Phép biến hình của E2 thoả mãn: với hai điểm bất kỳ M, N có ảnh tơng ứng M, N ta luôn có: cho trớc) đợc gọi là phép đồng dạng tỉ số k Ký hiệu: b/ Tính chất: + Phép đồng dạng là phép. .. tốt nghiệp Nhận xét: Nh vậy: Phép tịnh tiến biến một vectơ thành một vectơ bằng nó 3.1.4.2 Phép đối xứng tâm a/ Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm I cố định Phép biến hình biến hình I thành chính nó; biến mỗi điểm M khác I thành thẳng sao cho I là trung điểm của đoạn đợc gọi là phép đối xứng tâm I Ký hiệu: ĐIM Nh vậy: I * Nhận xét: + Phép đối xứng tâm là phép dời hình, là phép đối hợp và có điểm bất... điểm bất động duy nhất là I b/ Vectơ trong phép đối xứng tâm Giả sử ĐI là phép đối xứng qua tâm I Khi đó: mà Nhận xét: Phép đối xứng tâm biến một vectơ thành một vectơ bằng vectơ đối của nó 3.1.4.3 Phép quay M a/ Định nghĩa: Cho điểm O cố định và góc lợng giác không đổi Phép biến hình biến điểm O thành O, biến mỗi điểm M khác O M O thành sao cho và đợc gọi là phép quay tâm O, góc quay Điểm O đợc... với vectơ qua phép quay bằng số thực đó nhân với ảnh của nó Cho Khi đó * Hệ quả: Cho thì 3, Định lý 3: ảnh của một vectơ qua phép quay vectơ với góc quay khác 0 bằng chính nó khi vectơ bằng 0 Cho 3.2 Phép đồng dạng 3.2.1 Phép vị tự a/ Định nghĩa 15 Khoá luận tốt nghiệp Trong mặt phẳng cho điểm O và số thực Phép biến hình của mặt phẳng biến mỗi điểm M thành điểm M thoả mãn hệ thức gọi là phép vị tự O,... Khoá luận tốt nghiệp *Nhận xét: - Phép quay tâm O, góc quay với k nguyên, chính là phép đối xứng tâm O - Phép quay tâm O, góc quay với k nguyên, chính là phép đồng nhất b/ Vectơ trong phép quay Giả sử là phép quay tâm O, góc quay Khi đó: mà Nhận xét: + Phép quay vectơ biến một vectơ thành 1 vectơ có độ dài bằng nó và góc giữa hai vectơ bằng góc quay + Để xác định một phép quay ta cần phải biết tâm quay... 1: (Dùng phép quay vectơ) Ta có: Xét phép quay vectơ với góc quay 27 Khoá luận tốt nghiệp vuông cân tại B Cách 2: (Sử dụng phép quay) Xét phép quay Phép quay này biến B thành A, C thành D Vậy trung điểm của BC thành trung điểm I của AD vuông cân tại B * Nhận xét: Qua ví dụ 5 và ví dụ 6 ta nhận thấy: Nếu bài toán giải đợc bằng phép quay thì giải đợc bằng phép quay vectơ Đặc biệt, khi sử dụng phép quay... Afin + Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn của góc phẳng 16 Khoá luận tốt nghiệp + Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác đồng dạng, biến đờng đặc biệt thành điểm đặc biệt của tam giác này thành đờng đặc biệt, điểm đặc biệt của tam giác kia + Phép đồng dạng biến đờng tròn bán kính R thành đờng tròn bán kính k.R 17 Khoá luận tốt nghiệp Chơng II: ứng dụng giải một số bài toán của hình học phẳng Trong chơng... nghiệp Chơng II: ứng dụng giải một số bài toán của hình học phẳng Trong chơng này, nhờ việc thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đờng đã cho trong giả thiết với các điểm hay các đờng trong kết luận thông qua sự biến đổi của vectơ trong phép biến hình ta sẽ nhận đợc các kết quả về tính đồng quy, tính thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc các đoạn thẳng bằng nhau, các đoạn thẳng tỉ... tốt nghiệp * Cách 2: (sử dụng phép quay) Theo ví dụ 6, ta có: (đpcm) Khai thác sâu bài toán 1, Khai thác 1: Nếu dựng các hình vuông bên trong tứ giác thì kết quả đợc vẫn đúng Thật vậy, ta có: Theo ví dụ 6, áp dụng trong tam giác ABD ta có: A Tơng tự: B O3 O1 O4 D 33 O2 C Khoá luận tốt nghiệp (đpcm) 2, Khai thác 2: Trong trờng hợp tứ giác ABCD là hình bình hành thì là hình vuông Thật vậy, theo chứng... Gọi tơng ứng là tâm của ba tam giác ấy Chứng minh rằng: tam giác đều? Lời giải Cách 1: (Sử dụng phép quay) Xét phép quay: B1 C1 A Xét phép quay: O2 O3 P N M Q C B O1 A1 là phép quay với góc quay nhng phép quay: Do đó Theo cách xác định tâm của phép quay tích ta có: Vậy tam giác O1O2O3 đều Cách 2: (Sử dụng phép quay vectơ) Qua O3 kẻ các đờng thẳng lần lợt song song với AC1 và BC1 cắt AB lần lợt tại M, . Khoá luận tốt nghiệp Trờng đại học s phạm hà nội Khoa toán Vectơ trong phép biến hình Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Ngời hớng dẫn khoa học Hà nội, 3 Khoá luận tốt nghiệp Lời. Bùi Văn Bình và các thầy cô giáo trong tổ Hình học đã giúp tôi hoàn thành khoá luận này. Hà Nội, ngày tháng năm 20 Sinh viên 4 Khoá luận tốt nghiệp Lời cam đoan Em xin cam đoan bản khoá luận. ứng dụng giải một số bài toán của hình học phẳng 14 Chơng III: Một số bài toán đề nghị và tóm tắt lời giải. 39 Kết luận 44 Tài Liệu tham khảo 45 6 Khoá luận tốt nghiệp Mở Đầu 1. Lý do chọn đề