Qua giới hạn dưới dấu tích phân

Phương pháp nghiên cứu 3 4 Nội dung chính báo cáo: Qua giới hạn dưới dấu tích phân 1... Sự cần thiết của đề tài Khi nghiên cứu tích phân, người ta luôn quan tâm tới vấn đề qua giớihạn dư

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô trongKhoa khoa học Tự nhiên nói chung và Bộ môn Giải tích nói riêng đã giúp đỡ

em trong quá trình học tập tại trường Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc

đến giảng viên bộ môn - Thạc sĩ Nguyễn Tiến Đà đã tạo cơ hội và điều kiện

tốt nhất để em được làm bài tập này, cảm ơn thầy đã giảng dạy chỉ bảo tậntình và truyền đạt những kiến thức quý báu cho em trong suốt thời gian qua

Cảm ơn tập thể lớp K17b Đại học Sư phạm Toán đã tận tình giúp đỡ,tạo điều kiện cho tôi hoàn thành đề tài này, cảm ơn các bạn trong lớp đã giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành bài tiểu luận

Bước đầu đi vào thực hiện bài tập lớn, kiến thức của em đang còn hạnchế do vậy không tránh khỏi những thiếu sót và những chỗ chưa chuẩn xác,kính mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy Cô vàcác anh chị, bạn học để em hoàn thiện hơn bài tiểu luận của mình

Em xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, ngày tháng năm

Sinh viên

Lê Thị Bích Hường

1. Sự cần thiết của đề tài

2. Mục tiêu nghiên cứu

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4. Nội dung nghiên cứu

5. Phương pháp nghiên cứu

3

4

Nội dung chính báo cáo:

Qua giới hạn dưới dấu tích phân

1. Hội tụ đơn điệu

 Định lý 1 (Levi - hội tụ đơn điệu)

 Một số bài tập và hướng dẫn giải

3. Tích phân coi như một hàm tập hợp

 Định lý 4

 Định lý 5

 Một số bài tập và hướng dẫn giải

44

LỜI MỞ ĐẦU

1 Sự cần thiết của đề tài

Khi nghiên cứu tích phân, người ta luôn quan tâm tới vấn đề qua giớihạn dưới dấu tích phân, nghĩa là tìm điều kiện để có đẳng thức:

chọn nghiên cứu đề tài "Qua giới hạn dưới dấu tích phân".

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Tìm hiểu vấn đề Qua giới hạn dưới dấu tích phân đối với tích phân

Lebesgue

- Trình bày các định nghĩa, định lý

- Đưa ra một số bài tập mà việc giải chúng chủ yếu là dựa vào các định

lý vừa nêu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Tích phân Lebesgue

- Phạm vi nghiên cứu: Các định lý về giới hạn dưới dấu tích phân

4 Nội dung nghiên cứu

- Định lý và hệ quả của chúng

- Chứng minh các định lý và hệ quả đó, đưa ra một số dạng bài tập tínhdựa trên những điều đã chứng minh trên

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập và đọc tài liệu để hiểu lý thuyết

- Tổng hợp các phương pháp tính

- Giải các bài tập về tích phân Lebesgue.

QUA GIỚI HẠN DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN

1 HỘI TỤ ĐƠN ĐIỆU.

Vấn đề đặt ra là: trong những điều kiện nào ta có

Định lý 1 (Levi - hội tụ đơn điệu) Nếu 0 ≤ fn Z f thì

n

A f → A f

Chứng minh: Nếu các hàm fn đơn giản thì đây chẳng qua là định nghĩa

tích phân của f Ta hãy xét trường hợp các hàm fn bất kỳ (đo được) Với

mỗi n có một dãy hàm đơn giản, không âm, gm( )n Z fn Vì fn+1≥ fn nên có thểcoi như gm( 1)n+ ≥ gm( )n Vậy với k n ≤

2 Ứng dụng kết quả trên để tính

1 0

( ) L dx

x

Lời giải:

1 Ta dễ dàng kiểm tra rằng f xn( ) min , ( ) = { n f x } Do đó:

* ( ) f xn đo được, không âm.

1 0,

n

khi x

n x

Các tích phân ở vế phải hữu hạn nên ∫A f d+ µ < ∞ Suy ra f khả tích

(Bài này cũng có thể giải dựa vào bất đẳng thức f x ( ) ≤ g x ( ) + h x ( ) )

Bài 3: Cho hàm f khả tích trên A Ta xây dựng các hàm fn như sau:

Ta dễ thấy f xn( ) min ,max = { n { − n f x , ( ) } } Từ đây ta suy ra:

• fn đo được, fn ≤ f ∀ ∈ n ¥*

• lim ( ) minn { ,max { , ( ) } } ( )

lim ∫ ∫ gn ≤ lim , fn

do đó suy ra bất đẳng thức đòi hỏi

Chú ý 1 Nếu fn ≥ gn , g khả tích trên A thì Bổ đề Fatou cũng đúng.

Thật vậy, khi đó f gn − ≥ 0 cho nên

lim( fn − ≤ g ) lim ( fn − g )

∫ ∫ và vì ∫ g < ∞ ta có

lim( fn − + g ) g ≤ lim( ( fn − + g ) g ),

từ đó suy ra kết quả đã phát biểu.

Định lý 3 (Lebesgue - hội tụ chặn) Nếu fn ≤ g g , khả tích và fn → f

(h.k.n.) hay theo độ đo trên A thì

n

A f → A f

Chứng minh Giả sử fn → f h.k.n trên A Ta có − ≤ ≤ g f g gn , khả

tích, vậy theo Bổ đề Fatou áp dụng cho các hàm g f − ≥n 0và g f + ≥n 0:

lim fn ≥ lim fn, lim fn ≤ lim fn

lim ∫ ∫ fn = f Bây giờ xét trường hợp fn→µ f Theo định nghĩa giới hạn trên, có một

dãy nk sao cho lim ,

Hệ quả 2 Trong không gian ¡ k , nếu một hàm số f(x) là khả tích (R) trên

một đoạn ∆ ⊂ ¡ k thì nó cũng khả tích (L) và hai tích phân Riemann và Lebesgue bằng nhau:

( ) L ∫∆ f = ( ) R ∫∆ f .

Chứng minh Nếu f(x) khả tích (R) trên đoạn ∆ thì theo Định lý 1, f(x)

bị chặn và liên tục h.k.n trên ∆ Xét một dãy phân hoạch σn của đoạn ∆ với

, inf ( )

n

n j

s

x j

( ) n ( )( )

j

s n

Hệ quả này cho thấy rằng khái niệm tích phân Lebesgue thật sự mở rộng khái niệm tích phân Riemann Điều cần lưu ý là tích phân nói đây là tích phân

chân chính (chứ không phải tích phân suy rộng) Chẳng hạn các tích phân

dx

∞

>

∫ không tồn tại theo nghĩa Riemann chân

chính (chỉ tồn tại theo nghĩa suy rộng) nhưng tồn tại theo nghĩa Lebesgue

chân chính Tích phân 0

sinx

dx x

∞

∫ không tồn tại theo nghĩa Riemann chân

chính, cũng không tồn tại theo nghĩa Lebesgue chân chính, mà chỉ tồn tại theo

k→ ∞ ∫ g d µ =

Từ (1) và (2) mâu thuẫn nên ta có điều phải chứng minh!

Bài 2: Cho dãy các hàm { } fn khả tích, hữu hạn trên A, hội tụ đều trên A về

hàm f và µ ( ) A < ∞

Chứng minh f khả tích trên A và

lim A n A

n→∞ ∫ f d µ = ∫ fd µ Lời giải:

Vì các hàm { } fn đo được nên f đo được.

Vì dãy { } fn hội tụ đều trên A về f nên có số *

1 lim

n n

Bài 4: Giả sử µ ( ) X < ∞ Ta ký hiệu M là tập các hàm đo được, hữu hạn trên

X Trong M ta định nghĩa quan hệ "=" như sau: f g = ⇔ f x ( ) g(x) = h.k.n

trên X Ta định nghĩa:

+ − đo được, bị chặn trên tập X và µ ( ) X < ∞ nên là hàm khả

tích Kiểm tra điều kiện i), iii) của mêtric như sau:

n n

3 TÍCH PHÂN COI NHƯ MỘT HÀM TẬP HỢP.

Giả sử có một hàm số f(x) khả tích trên một không gian X đối với một độ

đo µ xác định trên một σ − đại số ℑ trong X Ứng dụng mỗi tập A ∈ ℑ cóthể xác định số

Ngược lại nếu có các tích phân ∫A n f và nếu 1 A n

và nếu ∫A f có nghĩa thì vế trái của một trong hai đẳng thức này phải hữu hạn

do đó vế phải của nó cũng hữu hạn, cho nên ta có thể viết:

chứng tỏ rằng f khả tích Vậy f cũng khả tích, nói riêng ∫A f có nghĩa và do

đó theo trên ta phải có (2)

Định lý này cho thấy rằng nếu f là một hàm khả tích, không âm thì hàm

tập λ ( ) A xác định theo (1) là một độ đo trên σ − đại số T Rõ ràng nếu thì

A = ∈ x A − < f x ≤ Chứng tỏ rằng f khả tích trên A khi và

chỉ khi: 2 ( )k

k k

A

µ+∞

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Bài 2: Với các giả thiết như bài 1 và giả sử thêm µ ( ) 1 X =

a) Chứng minh rằng f r ≤ f s nếu 0 r s < < ≤ ∞

b) Tìm điều kiện sao cho với 0 r s < < ≤ ∞ ta có f r = f s < ∞ .

c) Chứng minh rằng L Lr ⊃ s nếu 0 r s < < Tìm điều kiện để chúngbằng nhau (theo nghĩa tập hợp)

+) Điều kiện đủ: Lúc này ta có thể phân hoạch X thành một số hữu hạn

các nguyên tử, mỗi nguyên tử có độ đo ≥ α Như thế nếu gọi n là số các

nguyên tử, ta sẽ có Lp là £n, ∀ ∈ ∞ p (0, ) Do đó L Lr = s

+) Điều kiện cần: Giả sử µ không thỏa mãn điều kiện nói trên

Khi đó với n ∈ ∃ ∈ ¢+, A Mn sao cho 0 ( ) 3 n

nA

s n

n n

Ta có f L ∉ s nhưng f L ∉ r (theo (*)) Vậy ta nhận được mâu thuẫn

Bài 3: Cho các hàm f, g khả tích trên A Với n ∈ ¥ ta đặt:

n n

n n

gd

n A

n B

µµµ

KẾT LUẬN

Sau một thời gian nghiên cứu đề tài "Qua giới hạn dưới dấu tích phân"

đã đạt được một số kết quả như sau:

1 Đề tài đã trình bày một cách hệ thống các phương pháp tính tích phân qua giới hạn

2 Đề tài đã cung cấp một số bài tập về tính tích phân suy rộng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ ] 1 Hàm thực và giải tích hàm -Hoàng Tụy

[ ] 2 Bài tập không gian Tô pô- độ đo - tích phân Bùi Đắc Tắc , Nguyễn Thanh

Hà

[ ] 3 Bài tập Tô pô đại cương Độ đo và tích phân - Đỗ Đức Hải

[ ] 4 Giải tích hiện đại - Nguyễn Xuân Liêm