Qua giới hạn dưới dấu tích phân

Lời nói đầu Khi nghiên cứu tích phân, ngời ta luôn quan tâm tới vấn đề qua giới hạn dới dấu tích phân, nghĩa là tìm điều kiện để có đẳng thức: = A A n n n n ff limlim Trong giải tích cổ điển, chúng ta biết rằng đối với tích phân Riman thì điều kiện để = A A n n n n ff limlim thờng liên quan đến tính hội tụ đều và nói chung là khá nặng nề. Tuy nhiên đối với tích phân Lebesgue những điều kiện ấy đơn giản hơn. Mục đích của niên luận này là tìm hiểu vấn đề Qua giới hạn dới dấu tích phân đối với tích phân Lebesgue. Với mục đích đó, đầu tiên dành cho việc trình bày lại các định nghĩa, định lý. Tiếp theo đa ra một số bài tập mà việc giải chúng chủ yếu là dựa vào các định lý vừa nêu. Các bài tập này đợc viết thành các mệnh đề hay hệ quả của định lý. Nhng có một vấn đề đặt ra trong niên luận là sau mỗi định lý, hệ quả nếu thay đổi hoặc bớt điều kiện trong định lý, hệ quả thì kết quả còn đúng nữa hay không? Các phản ví dụ sẽ trả lời câu hỏi trên. Đây là lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu một đề tài khoa học vì vậy không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy, các cô chỉ dẫn, góp ý giúp em. Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Đinh Huy Hoàng đã tận tình hớng dẫn, giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình thực hiện đề tài. Em xin chân thành cảm ơn! Ngời thực hiện SV Thái Thị Thu Hiền Lớp 40E 5 Toán 1 Đ1 Tích phân của các hàm đơn giản Trong mục này cũng nh trong các mục sau ta luôn giả thiết X là tập nào đó khác rỗng A là - đại số các tập con nào đó của X còn à là độ đo - hữu hạn và đầy đủ trên A. 1.1 Định nghĩa. Hàm f: X R + đợc gọi là hàm đơn giản nếu nó biểu diễn đợc dới dạng: f(x) = = n i Ei xXa i 1 )( (1) trong đó: với mọi (i=1,n) a i R + : E i A , i E X (x) là hàm đặc trng của tập hợp E i và E i đôi một rời nhau: n i i EX 1 = = nếu à ( E i ) = thì a i = 0 (1) là dạng chính tắc của hàm đơn giản. 1.2 Định nghĩa. Nếu f(x) là hàm đơn giản đợc biểu diễn dới dạng (1) thì ta gọi tích phân của hàm f trên X là tổng: = n i ai 1 à ( E i ) và đợc ký hiệu là: X dxf à )( hoặc X dxxf )( hoặc If . 1.3 Định lý. Giả sử H là tập hợp tất cả các hàm đơn giản xác định trên X và I là ánh xạ từ H vào R 1 đợc xác định bởi công thức: H = f If I(f) . Khi đó ánh xạ I là tuyến tính và liên tục theo định nghĩa, nếu dãy các hàm đơn giản {h n (x)} giảm sao cho: 0 h n 0 h.k.n. X thì 0lim = n n Ih . Vấn đề đặt ra là liệu mệnh đề đảo của định lý trên còn đúng hay không 2 Định lý sau đây có thể xem là mệnh đề đảo của định lý trên. 1.4 Định lý. Nếu {h n (x)} H giảm sao cho: 0 h n h h.k.n X (h H ) và 0lim = n n Ih thì h(x) = 0 h.k.n X. Nhận xét: Nếu trong định lý 1.3 ta thay điều kiện 0 h n 0 h.k.n. X bởi điều kiện h n h (h n h) h.k.n. X thì kết quả tơng ứng có còn đúng hay không? Các hệ quả sau giải quyết vấn đề này. 1.5 Hệ quả. Nếu h H và dãy { h n } H sao cho h n h h.k.n X thì I h n Ih. Chứng minh: Đặt g n = h - h n : n=1,2 Ta thấy g n là hàm đơn giản với mọi n. Vì h n h h.k.n X nên 0 g n 0 h.k.n X Theo định lý 1.3 ta có: 0Iglim n n = (2) Mặt khác n n Iglim = )hh(Ilim n n = )IhIh(lim n n = Ihlim n - n n Ihlim =Ih - n n Ihlim (3) Từ (2) và (3) suy ra: Ih - n n Ihlim = 0 tức là: n n Ihlim = Ih (4) Do h n h h.k.n. X (h 1 h 2 ) và I có tính đơn điệu nên ta có: Ih 1 Ih 2 (5) Kết hợp (4) với (5) ta đợc: Ih n Ih. ( ) 1.6 Hệ quả. Nếu h H và dãy { h n } H sao cho h n h h.k.n. X thì I h n Ih. 3 Chứng minh: Đặt g n = h n - h n=1,2 Ta thấy g n là hàm đơn giản với mọi n vì h n h h.k.n. X nên 0 g n 0 h.k.n. X. Theo định lý 1.3 ta có: 0Iglim n n = (6) Mặt khác n n Iglim = )hh(Ilim n n = )IhIh(lim n n = IhlimIhlim n n n = IhIhlim n n (7) Từ (6) và (7) suy ra: IhIhlim n n = 0 tức là: n n Ihlim = Ih. (8) Do h n h h.k.n. X tức là h 1 h 2 ) và I có tính đơn điệu nên ta có: Ih 1 Ih 2 (9) Kết hợp (8) với (9) ta đợc: Ih n Ih. ( ) 1.7 Hệ quả. Nếu h H ; h 0 h.k.n X và Ih = 0 thì h = 0 h.k.n. X. Chứng minh: Đặt h n = h. Ta có {h n } H và 0 h n h h.k.n. X. Theo hệ quả 1.6 IhIhlim n n = .Mặt khác, theo giả thiết Ih = 0 Vậy theo định lý 1.4, h = 0 h.k.n. X. 1.8 Chú ý. Bây giờ nếu ta thay điều kiện 0 h n h h.k.n. X Trong định lý 1.3 bởi điều kiện hn(x) 0 thì định lý có còn đúng không? Các ví dụ sau cho ta câu trả lời phủ định. Ví dụ 1: Nếu các hàm số h n (x) xác định trên R 1 nh sau: 4 = ](0 ]( )( n 1 n 1 0, x nếu 0, x nếun xh n ; n = 1, 2. . . thì với mọi x R + ta có: )X(hlim n n = 0 nhng n 1 n 1 n. Ih n == Do đó n n Ihlim = 1 0. Ví dụ 2: Giả sử k > 0. Với mỗi n đặt h n = X [n,n+k] ; n = 1,2,. Khi đó {h n } là dãy các hàm đơn giản, h n 0 nhng Ih n / 0. Thật vậy với mọi xR ắt tồn tại n 0 sao cho n 0 > x. Từ đó: h n (x) = 0 n n 0 . do đó h n (x) 0 xR. Mặt khác với mọi n đều có Ih n = k. vì thế n n Ihlim = k > 0. Ví dụ 3: Cho E = (0,1) trên E ta xét độ đo cảm sinh bởi độ đo Lơbe trên R. Đặt: < << = 10 x nếu x0 k nếu )x(f k 1 k 1 k 5 Chứng minh f k 0 trên E nhng 0lim k If k . Chứng minh: Với mỗi k = 1, 2. . . đặt E 1 = (0, k 1 ), E 2 = ( k 1 ,1); Khi đó E = E 1 E 2 , E 1 và E 2 đo đợc, rời nhau ta có: f k (x) = k. 1 E X (x) + 0. 2 E X (x) Ta sẽ chứng minh f k 0 Thật vậy với mọi x( 0,1) ắt tồn tại k 0 N sao cho 0 1 k < x . Khi đó f k (x) = 0 k > k 0 . Do đó 0If lim k k = Vậy f k 0. Mặt khác vì f k (x) = k. k E X (x) nên If k (x) = I(k. k E X (x)) = k.à(E k ) = k. k 1 = 1 Do đó 011lim)x(If lim k k k == Vậy ta có f k 0 nhng 0 1 f lim k k = . 6 n n Đ2 Tích phân của hàm đo đợc không âm Hàm đo đợc không âm là lớp hàm tạo nên từ việc lấy giới hạn các dãy hàm đơn giản không âm và tăng. Trong tiết này ngoài việc trình bày các khái niệm về hàm đo đợc, tích phân của hàm đo đợc không âm chúng ta còn trình bày một định lý quan trọng trong việc chuyển qua giới hạn của tích phân Lơbe, đó là định lý Bêppo-Lêvi cùng một số ứng dụng của nó. 2.1 Định nghĩa. Hàm f: X R 1 gọi là đo đợc nếu với mọi a R 1 {x;f(x)<a} A Nếu X= R n , à là độ đo Lơbe thì ta cũng nói f đo đợc theo Lơbe. 2.2. Định lý. Nếu f là hàm đo lợng không âm h.k.n.X thì tồn tại một dãy các hàm đơn giản {h n } sao cho 0 h n f h.k.n.X. 2.3. Định nghĩa. Cho hàm f: X R 1 đo đợc và không âm h.k.n. Giả sử {h n } là dãy hàm đơn giản sao cho: 0 h n f h.k.n Khi đó giới hạn Ih n luôn tồn tại (có thể bằng ). Ta gọi giới hạn đó là tích phân của hàm f và ký hiệu là If = n n Ihlim Nếu muốn chỉ rõ đó là tích phân của hàm f lấy trên X theo độ đo à thì thay cho If ta ký hiệu: xdxf X à )( . Nếu If < thì ta nói hàm f là khả tích. Chú ý: Nếu có dãy {h' n } H sao cho 0 h n f h.k.n. X thì If = n n 'Ihlim = n n Ihlim 7 2.4 Định lý (định lý Bêppô-Lêvi). Cho dãy hàm đo đợc không âm {f n }. Nếu f n f h.k.n thì If n If. * Nhận xét: Nếu trong định lý 2.3 ta thay giả thiết f n f bởi f n f thì kết luận t- ơng tự còn đúng không? Hệ quả sau sẽ trả lời câu hỏi này. 2.5 Hệ quả. Cho dãy các hàm đo đợc {f n } sao cho 0 f n f h.k.n Nếu If 1 < thì lim If n = If. Chứng minh: Đặt g n = f 1 - f n ; n = 1,2, Ta thấy g n đo đợc và 0 g n f 1 f h.k.n áp dụng định lý Bêppô-Lêvi cho dãy g n ta suy ra: n n Iglim = I (f 1 - f) hay )ff(Ilim n1 n = I(f 1 - f) (1) Vì f n f h.k.n. nên f n f 1 h.k.n; n và f f 1 h.k.n. Do đó If n If 1 < n, If If 1 < Từ đó suy ra I ( f 1 - f n ) = If 1 - If n n I ( f 1 - f ) = If 1 - If Thay vào (1) ta đợc: n n 1 n IflimIflim = If 1 - If Vì If 1 < nên n n Iflim = If. 2.6 Hệ quả. Cho dãy các hàm đo đợc {f n } sao cho 0 f n f h.k.n. X. Nếu If n 0 thì f = 0 h.k.n. X. Chứng minh: If n 0 tức là n n Iflim = 0 (2) Theo tính chất của giới hạn sẽ tồn tại n 0 sao cho 0 n If < 1< . Theo hệ quả 2.4 thì: n n Iflim = If. (3) Từ (2) và (3) suy ra If = 0. 8 Vì f là hàm đo đợc, không âm h.k.n. X nên theo tính chất của hàm đo đợc không âm, tồn tại dãy các hàm đơn giản {h n } sao cho 0 h n f h.k.n. X Do đó 0 Ih n If = 0 n Nh vậy 0 h n h.k.n. X và Ih n = 0 n Từ đó theo hệ quả 1.7 ta có: h n = 0 h.k.n. X n Mặt khác h n f h.k.n. X nên f = 0 h.k.n. X. 2.7 Nhận xét. Trong định lý Bêppô- Lêvi nếu thay điều kiện f n f h.k.n bởi điều kiện f n f h.k.n thì If n If hay không ? Để trả lời câu hỏi này ta xét ví dụ sau: Trong R 1 , với mọi n N , đặt n = [n, n+1] và = n n x nếu0 x nếu1 )(xf n Ta chứng minh đợc với mọi x R 1 thì )X(Iflim n n = 0. Thật vậy với mọi x R 1 ắt tồn tại n 0 N sao cho n 0 > x. Khi đó với mọi n N mà n n 0 ta có x n do đó f n (x) = 0 n n 0 . Vì thế )X(Iflim n n = 0 x R Nhng với mọi n thì If n = 1 à( n ) = 1 Suy ra )X(Iflim n n = 1 > 0 hay: If n / 0 9 n Nh vậy ta có thể kết luận định lý Bêppô-Lêvi không còn đúng nếu thay giả thiết f n f bởi f n f. Tích phân của hàm đo đợc tuỳ ý Trong mục này chúng ta xét đến việc qua giới hạn dới dấu tích phân của một lớp hàm rộng hơn các lớp hàm ta đã xét. Đó là các hàm đo đợc tuỳ ý. 1 Định nghĩa. Cho hàm đo đợc f: Xà. Nếu một trong các hàm f+ hoặc f- khả tích thì ta gọi tích phân của hàm f (trên X, theo độ đo à) là If = If+- If- Nếu cả hai hàm f+ và f- đều khả tích thì f đợc gọi là khả tích. 2 Mệnh đề. Cho dãy các hàm đo đợc {fn} sao cho fn f h.k.n và f1 khả tích thì Ifn If . Chứng minh: Vì f n f h.k.n nên f 1 f n h.k.n với n. Theo giả thiết f 1 khả tích nên tồn tại If n với n. Tơng tự, f 1 f với n mà f 1 khả tích nên tồn tại If. Mặt khác, từ giả thiết f 1 khả tích suy ra f 1 hữu hạn h.k.n. Do đó, đặt h n =f n - f 1 thì h n 0, đo đợc và 0 h n f - f 1 áp dụng định lý Bêppô-Lêvi cho dãy { h n } ta đợc: n n Ihlim = I (f - f 1 ) hay )ff(Ilim 1n n = I (f - f 1 ). (1) Vì tồn tại If n và If 1 < nên If n - If 1 có nghĩa. Do đó I(f n - f 1 ) = If n - If 1 (2) Tơng tự ta có: I( f n - f 1 ) = If - If 1 (3) Thay (2) và (3) vào (1) ta đợc: 1 nn 1 n n n IflimIflimIflimIflim = hay n n Iflim - If 1 = If - If 1 10