1.7.1. Định nghĩa
Một phép biến hình f : M → M0;N :→ N0 sao cho M0N0 =
kM N(k > 0) thì f được gọi là phép đồng dạng tỷ số k, ký hiệu D(k) :
M → M0.
1.7.2. Tính chất
1. Phép đồng dạng là phép biến hình 1−1.
2. Phép đồng dạng biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, biến đường thẳng thành đường thẳng.
3. Phép đồng dạng biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó.
4. Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn của góc.
5. Phép đồng dạng biến (O, R) → (O0, R0) trong đó O → O0, R0 = kR
1.7.3. Phân loại phép đồng dạng 1. Phép đồng dạng thuận.
a. Định nghĩa. Phép đồng dạng thuận là phép đồng dạng biến∆ABC →
∆A0B0C0. (cùng hướng)
b. Dạng chính tắc. Phép đồng dạng thuận là tích giao hoán được của một phép quay QαO và một phép vị tự thuận VOk. (tích duy nhất)
D(k) = VOk.QαO = QαO.VOk = D(O,α,k).
* Nếu D(k)(M) =M0,D(k)(N) =N0 thì M0N0 = kM N.
* Tìm được điểm O là giao của hai cung chứa góc α qua (M, M0) và
(N, N0), α là góc giữa (−−→ M N ,−−−→ M0N0). Với QαO : M N → M1N1, và phép vị tự thuận VOk :M1N1 → M0N0. Ta suy ra D(k) = VOk.QαO : M N →M0N0. 2. Phép đồng dạng nghịch. a. Định nghĩa. Phép đồng dạng nghịch là một phép đồng dạng nhưng biến ∆ABC →∆A0B0C0. (ngược hướng).
b. Dạng chính tắc. Mọi phép đồng dạng nghịch D(k) đều có thể phân tích thành tích (giao hoán và duy nhất) của một phép đối xứng trục ∆
và một phép vị tự thuận. D(k) = VOk.D∆ = D∆.VOk : M → M0;N → N0.
Trong đó tỷ số k vị tự bằng với tỷ số k đồng dạng, ∆ là đường thẳng đi qua I, J (I và J là hai điểm chia trong đoạn M M0 và N N0 theo tỉ số không, tâm O nằm trên ∆ ). D(k) = D(O,α,k).
1.7.4. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.7.1. Cho nửa đường tròn đường kính AB, C là điểm nằm trên nửa đường tròn đường kính AB. Dựng hình vuông CBEF sao cho
(−−→ BC,−−→ BE) = −900. Tìm tập hợp điểm F. Giải. Vì góc (−−→ BC,−−→ BF) = −450 và −−→ BF = √ 2−−→ BC nên ta suy ra Hình 1.27 phép đồng dạng D(B,−450,√ 2) : C → F. Tập hợp điểm C là nửa đường tròn đường kính AB nên tập hợp điểm E là nửa đường tròn đường kính
A0B, trong đó A0 = D(B,−450,√
2)(A).
Ví dụ 1.7.2. Cho một điểm O và hai đường thẳng a//b (O∈a, b). Điểm A ∈ a và B ≡ OA∩
b. Qua B kẻ đường thẳng x ⊥ OB, trên Bx lấy
B0 sao cho BB0 = BA. Tìm tập hợp điểm B0.
Giải. Kẻ đường thẳng OEF ⊥ a, b ta suy ra OAOB = OEOF. Do đó ta có
OB−OA
OB = OFOF−OE = ABOB = F OEF = k. Ta suy ra BBOB0 = k = tanα
Hình 1.28
từ đó ta suy ra α không đổi (OBB\0 = 900) do đó ∆OBB0 luôn tự đồng dạng, ta suy ra D(O,α,cosα) : B → B0. Tập hợp B là b nên tập hợp điểm