2.2.1. Định nghĩa
Cho một mặt phẳng(P) cố định, một phép biến hìnhf biếnM →M0
sao cho M M0 nhận(P) làm mặt phẳng trung trực thì f là phép đối xứng qua mặt phẳng (P), kí hiệu DP : M →M0.
2.2.2. Tính chất
2. (P) là mặt phẳng kép hoàn toàn.
3. DP là một phép biến hình có tính chất đối hợp. 4. DP bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
5. DP bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của 3 điểm A, B, C.
6. DP biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến 4 điểm không đồng phẳng thành 4 điểm không đồng phẳng, biến tứ diện thành tứ diện bằng nó.
7. DP bảo toàn độ lớn góc.
8. DP biến đường tròn thành đường tròn bằng nó, biến mặt cầu thành mặt cầu bằng nó.
2.2.3. Mặt phẳng đối xứng của hình F
Nếu DP : F → F0 và F0 ≡F thì mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng đối xứng của F.
2.2.4. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 2.2.1 (Xem Ví dụ 1.3.1). Cho một mặt cầu (O, R), một đường thẳng ∆ và một điểm A. Điểm B chạy trên (O) và điểm C chuyển động sao cho AB = AC và BC//∆. Tìm tập hợp điểm C.
Giải.
Hình 2.6
Qua A dựng mặt phẳng (P) ⊥ ∆. Vì A,∆ cố định nên mặt phẳng (P)
DP : B →C. Vì B ∈ (O, R) nên C ∈ (O0, R0) là ảnh của mặt cầu (O, R)
qua DP.
Ví dụ 2.2.2 (Xem Ví dụ 1.3.2). Cho mặt phẳng (P)và 2 điểmA, B nằm cùng phía bờ là (P). Tìm trên (P) một điểm M sao cho (M A + M B)
nhỏ nhất.
Giải. Gọi A0 = DP(A) ⇒M ≡ A0B ∩(P).
Hình 2.7
Thật vậy, lấy M0 ∈ (P) bất kì ta có M0B + M0A = M0B + M0A0 > BA0 = BM + M A0 = M B +M A, hay M0B + M0A > M A+ M B. Ví dụ 2.2.3 (Xem Ví dụ 1.3.3). Cho góc nhị diện (P, Q) có giao tuyến là ∆ và hai điểm A, B nằm trong góc (P, Q). Tìm trên (P) và (Q) các điểm M, N sao cho AM +M N +N B nhỏ nhất.
Giải. (Hình 2.8) Nếu A, B nằm ngoài góc (P, Q) thì M, N là giao điểm củaAB với (P) và (Q). NếuA, B nằm trong góc (P, Q) thì M, N là giao điểm của A0B0 với (P) và (Q). Trong đó A0 = D(P)(A), B0 = D(Q)(B).
Hình 2.8 * Cách dựng: • Dựng (P, Q);A, B ở trong góc (P, Q). • Dựng A0 = D(P)(A), B0 = D(Q)(B). • Dựng A0B0. • Dựng M ≡ (P)∩A0B0, N ≡ (Q)∩A0B0. * Chứng minh: Lấy bất kì M0 ∈ (P), N0 ∈ (Q) ta có AM +M N +N B = A0M + M N + N B0 < A0M0+ M N+N0B0 = AM0+M N+N0B. VậyAM+M N+ N B < AM0+M N+N0B với mọiM0 ∈ (p), N0 ∈ (Q) hay (AM +M N +N B) nhỏ nhất.
Ví dụ 2.2.4. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau và không vuông góc với nhau. Gọi (R) là ảnh của (Q) qua phép đối xứng D(P). Chứng minh rằng D(P).D(Q).D(P) = D(R).
Giải. Đặt f = D(P).D(Q).D(P). Ta cần chứng minh rằng mặt phẳng (R)
là bất động của f. Với điểm X bất kì thuộc (R), ta có D(P) : X → X0 ∈
(Q), D(Q) : X0 → X0, D(P) : X0 → X. Vậy (R) là mặt phẳng bất động đối với phép biến hình f. Với M không thuộc (R) ta có D(P) : M →M1
khi đó M M1 vuông góc với (P) tại I; DQ : M1 → M2, khi đó M1M2
vuông góc với (Q) tại K; D(P) : M2 → M0, khi đó M2M0 vuông góc với
(P) tại H. Như vậy ta thấy D(P) : M1 → M, M2 → M0, do đó M1M2
biến thành M M0 và K → K0 là trung điểm của M M0. Vì K ∈ (Q) nên
K0 ∈ (R). Hơn nữa M1M2 vuông góc với (Q), do đó M M0 vuông góc với
(R). Tóm lại (R) là mặt phẳng trung trực của M M0 và f là phép đối xứng qua (R).