2.3.1. Định nghĩa
Trong không gian, cho một đường thẳng ∆ và một góc α có định hướng, một phép biến hình f biến M → M0 sao cho qua M dựng mặt phẳng (P) ⊥ ∆. (P) cắt ∆ ở O, trong (P) lấy M0 sao cho OM = OM0
và (−−→
OM ,−−→
OM0) = α + k2π, thì f được gọi là phép quay xung quanh ∆, góc quay α, ký hiệu Qα∆ : M → M0.
Đặc biệt: α = k2π :Qα∆ ≡ E; α = (2k + 1)π : Qα∆ ≡ D∆.
2.3.2. Tính chất
1. Qα∆ là một phép biến hình 1−1. 2. ∆ là đường thẳng kép.
3. Qα∆ bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
4. Qα∆ biến mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (Q) sao cho (P, Q) =
α+k2π.
5. Qα∆ biến tứ diện ABCD thành A0B0C0D0, bảo toàn góc nhị diện
(A, d, B) = (A0, d0, B0).
6. Qα∆ Biến đường tròn thành đường tròn bằng nó, biến mặt cầu thành mặt cầu bằng nó.
2.3.3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 2.3.1 (Xem Ví dụ 1.4.1). Cho nửa mặt cầu đường kính AB; điểm
C trên nửa mặt cầu. Trên mặt phẳng (ACB) dựng hình vuông CBEF
sao cho (−−→
BC,−−→
BE) =−900. Tìm tập hợp điểm E.
Giải. Lấy ∆ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B. Qua Q−∆900 : C → E. Trong mặt phẳng (ABC) tập hợp điểm E là nửa đường tròn đường kính A0B, trong đó A0 = Q∆−900(A). Khi C chạy trên nửa mặt cầu đường kính AB thì tập hợp điểm E là nửa mặt cầu đường kính A0B.
Ví dụ 2.3.2. Chứng minh rằng phép quay Qαd với 00 < α ≤ 1800, biến mặt phẳng (P) thành chính nó thì (P) ⊥d.
Giải. Trước hết trục d phải cắt (P) tại điểm O. Thật vậy, nếu d ∈ (P)
và với mỗi điểm M ∈ (P) không thuộc d, thì ảnh M0 của M thuộc (P). Mặt khác M và M0 cùng thuộc mặt phẳng (P0) vuông góc với d tại O, do đó M và M0 thuộc giao tuyến của (P) và (P0). Như vậyM và M0 đối xứng qua O hay α = 1800. Điều đó trái với giả thiết. Nếu d//(P) thì O
không thuộc (P) và ta chọn M là chân đường vuông góc hạ từ O xuống
(P). Vì M0 khác M và thuộc (P), nên OM0 > OM. Điều đó trái với định nghĩa phép quay. Như vậy nếu M và M0 là ảnh của M trong phép quay thì OM và OM0 vuông góc với d tại O. Điều đó chứng tỏ (P) ⊥ d. Ví dụ 2.3.3. Hình chóp SABCD có SA = 1, các góc phẳng ở đỉnh S
bằng 300. Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC lớn hơn √
2.
Giải. Thực hiện phép quay quanh SB biếnA thành A0 thuộc mặt phẳng
(SBC) và A0 nằm khác phía với C đối với SB. Tương tự phép quay quanh SC biến A thành A00 thuộc mặt phẳng (SBC) và A00 khác phía với B đối với SC. Trên mặt phẳng (SBC) ta có A0BCA00 là đường gấp khúc có độ dài bằng chu vi tam giác ABC. Vì độ dài đó lớn hơn độ dài
A0A00 = √ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2. Nên chu vi tam giác ABC lớn hơn √
2. 2.4. Phép dời hình
2.4.1. Định nghĩa
Một phép biến hình Dđược gọi là một phép dời hình nếu D(M) =M0
2.4.2. Tính chất
• Phép dời hình biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng, biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.
• Phép dời hình biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm không A’, B’, C’ thẳng hàng, biến M ABC thành M A0B0C0 =M
ABC, biến mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (P0).
• Phép dời hình bảo toàn độ lớn góc.
• Phép dời hình biến đường tròn (O, R) thành đường tròn (O0, R0) = (O, R), biến mặt cầu (O, R) thành mặt cầu (O0, R0) = (O, R).
2.4.3. Mối quan hệ giữa phép tịnh tiến, phép đối xứng và phép quay
1. Tv~2.Tv~1 = Tv~;~v = v~1 +v~2.
2. Nếu(P1)//(P2)thìDP2.DP1 = T~v, trong đó:~v ⊥ (P1),(P1)//(P2),|~v| = 2ρ(P1, P2), chiều ~v là chiều (P1, P2).
Ngược lại: T~v = DP2.DP1, trong đó: ~v ⊥ P2, P1//P2, ρ(P1, P2) = |~v2|, chiều (P1, P2) là chiều của ~v.
3. Nếu (P1)∩(P2) ≡ ∆ thì DP2.DP1 = Qα∆. (∆ là giao tuyến của (P1)
và (P2) ). Chứng minh:
DP1 : M → M0. DP2 : M0 → M00.
Từ đó ta suy ra DP2.DP1 : M →M00 = Qα∆.
Trong đó ∆ ≡ P1 ∩ P2, α = 2(P1, P2), chiều của α là chiều từ
P1 → P2.
Đảo lại: Qα∆ = DP2.DP1, trong đó: (P1) ∩ (P2) ≡ ∆,(P1, P2) = α2, Chiều (P1, P2) là chiều của α.
Chú ý: Sự phân tích trên là vô số. 4. Qα2∆.Qα1∆ = Q∆α, trong đó α = α1 +α2. Chứng minh. Qua Qα1 ∆ : M → M0, Qα2 ∆ : M0 → M00. Từ đó ta suy ra Qα2 ∆.Qα1 ∆ : M → M00 = Qα∆, trong đó (P) là mặt phẳng chứa M, (P) ⊥ ∆ tại O. Trong mặt phẳng (P) OM = OM0, OM0 =
OM00,(−−→ OM ,−−−→ OM00) = (−−→ OM ,−−→ OM0) + (−−→ OM0,−−−→ OM00) =α1 +α2 = α. 5. Qα2∆ 2.Qα1∆ 1 = T−→v hoặc Qα2∆ 2.Qα1∆ 1 = Qα∆. 6. Qα∆.T~v = Qα∆0. Chứng minh.Qα∆.T~v = DP3.DP2.DP2.DP1 = DP3.DP1 = Qα∆0, trong đó ∆ ≡ (P2) ∩ (P3),(P)1//(P)2 ⊥ ~v, ρ(P1, P2) = |~v2| = H1H2 và (P2, P3) = α2. Từ đó ta suy ra (P1, P3) = (P1, P2) = 2α2 = α.
7. Một phép dời hình có thể xem là tích không quá 3 phép đối xứng qua 3 mặt phẳng.
2.4.4. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 2.4.1 (Xem Ví dụ 1.5.1). a. Cho 2 điểm O và O0 cố định, hãy xét tích DO0.DO?.
b. Cho hai đường thẳng ∆//∆0. Xét tích: D∆0.D∆?.
Giải. a. (hình 2.9)
Hình 2.9
Lấy điểm M bất kỳ, qua DO : M → M0, DO0 : M0 → M00, do đó qua (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
DO0.DO : M → M00 ⇔ −−−→M M” = 2−−→ OO0. Suy ra qua T 2−−→ OO0 : M → M00. Vậy: DO0.DO = T 2−−→ OO0. Hình 2.10
b. (hình 2.10) LấyM bất kỳ, qua D∆ : M → M0, D∆0 : M0 → M00, do đó qua D∆0.D∆ : M → M00. Ta thấy −−−→
M M” = ~v, trong đó ~v ⊥ ∆, |~v| = 2h, hướng ~v từ ∆ → ∆0 (h là khoảng cách ∆ → ∆0). Từ đó ta suy ra qua
T~v : M → M00, do đó D∆0.D∆ = T~v.
Ví dụ 2.4.2 (Xem Ví dụ 1.5.2). Cho 3 mặt phẳng α, β, γ. Hãy xác định tích: Dγ.Dβ.Dα trong hai trường hợp sau:
a. α//β//γ.
b. α∩β ∩γ ≡ ∆.
Giải.
Hình 2.11
a. Dựng λ sao cho α//β//γ//λ, khoảng cách từ λ đến γ bằng khoảng cách từ α đến β và chiều λ →γ là chiều α →β. (Hình 2.11)
Vì α//β//γ//λ nên Dγ.Dβ.Dα = Dγ.T~v = Dγ.Dγ.Dλ = Dλ.
b. Dựng mặt phẳng λ sao cho λ qua ∆, góc (λ, γ) = (α, β) = α1, chiều từ (λ, γ) ≡ chiều từ (α, β). (Hình 2.12)
Hình 2.12
Ta có Dγ.Dβ.Dα = Dγ.Q2α1
∆ = Dγ.Dγ.Dλ = Dλ.
Ví dụ 2.4.3 (Xem Ví dụ 1.5.3). Cho một hìnhF (có thể tíchV). Chứng minh rằng F không thể có quá một tâm đối xứng.
Hình 2.13
Giải. Giả sử F có hai tâm đối xứng là O1 và O2.
Lấy điểm M bất kỳ, qua DO1 : M → M0; qua DO2 : M0 → M00 từ đó ta suy ra DO2.DO1 = T2−−−→
O1O2 : M → M00. Xây dựng hệ trục tọa độ vuông góc xO1y, sao cho O1O2 ≡ O1x, O1y ⊥ O1O2. Giả sử M có hoành độ lớn nhất mà −−−→
M M00 = 2−−−→
O1O2 từ đó ta suy ra hoành độ M” lớn hơn hoành độ của M tức là M00 ∈/ F. Trái giả thiết O2 là tâm đối xứng của F nên từ đó ta suy ra O2 ≡ O1. Vậy F chỉ có một tâm đối xứng.
Ví dụ 2.4.4 (Xem Ví dụ 1.5.4). Cho một hình F có thể tích V, chứng minh rằng nếu F có từ hai mặt phẳng đối xứng trở lên thì các mặt phẳng đối xứng phải cắt nhau theo một đường thẳng.
Giải. a) Giả sử F có hai mặt phẳng đối xứng là P1 và P2 trong đó
P1//P2
Hình 2.14
Lấy M ∈ F, khi đó qua DP2.DP1(M) =M00 = T~v(M) ta suy ra −−−→
M M00 =
~v, trong đó |~v| = 2h và h = ρ(P1, P2). Qua DP2.DP1 : M00 → M000 ta suy ra |−−−−→M00M000| = 2h do đó |−M M−−−→000| = 4h, cứ tiếp tục như vậy thì ảnh của
M là Mx sẽ không thuộc F. Vậy P1 phải cắt P2. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) Giả sử F có 3 mặt phẳng đối xứng P1, P2, P3 ta chứng minh
Hình 2.15
Thật vậy, giả sử P1, P2, P3 không cắt nhau theo một đường thẳng ∆, chúng tạo thành lăng trụ ABC.A0B0C0 (hình 2.15). Gọi M là một điểm nằm trong lăng trụ ABC.A0B0C0, I ∈ F và M I lớn nhất. Gọi I0 =
DP1(I), N ≡ M I0 ∩ P1 ta suy ra N I = N I0 và M N + N I0 = M I0 =
M N +N I > M I. Vậy I0 có khoảng cách tới M lớn hơn khoảng cách từ
I tới M từ đó ta suy ra I không thuộc F, ( điều này vô lí vì P1 là mặt phẳng đối xứng của F) do đó P1, P2, P3 phải cắt nhau theo một đường thẳng.Vậy nếu F có quá 2 trục đối xứng trở lên thì chúng phải cắt nhau theo một đường thẳng ∆.
2.5. Phép vị tự2.5.1. Định nghĩa 2.5.1. Định nghĩa
Trong không gian cho một điểm I cố định và một số thực k 6= 0. Một phép biến hình f biến M →M0 sao cho −−→
IM0 = k.−−→
IM thì f được gọi là
phép vị tự tâm I, tỷ số k, ký hiệu VIk : M →M0. Chú ý:
1. Nếu k = 1 thì VI1 ≡ E ≡Q360∆ 0. (∆ là đường thẳng qua I).
2. Nếu k = −1 thì VI1 ≡DP ≡ Q180∆ 0.(P là mặt phẳng qua I và vuông góc với IM)
3. Nếu k > 0 thì M và M0 cùng phía đối với I. 4. Nếu k < 0 thì M và M0 khác phía đối với I. 5. Nếu |k| > 1 thì IM0 > IM.
2.5.2. Tính chất
1. Phép vị tự là phép biến hình 1−1. 2. Phép vị tự có điểm I là điểm kép.
3. Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. 4. Phép vị tự biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không
thẳng hàng, do đó nó biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó. Nếu I, A, B, C không đồng phẳng thì phép vị tự biến ∆ABC
thành ∆A0B0C0 v ∆ABC và 2 mặt phẳng (ABC)//(A0B0C0). 5. Phép vị tự bảo toàn độ lớn góc.
6. Phép vị tự biến một tứ diện thành một tứ diện đồng dạng với nó. 7. Phép vị tự biến đường tròn (O, R) thành (O0, R0), biến mặt cầu
(O, R) thành (O0, R0) sao cho −→
IO0 = k.−→
IO, và R0 = |k|.R.
Chú ý: Hai đường tròn (O, R) và (O0, R0) có thể coi là vị tự của nhau bằng phép vị tự Vk= R0 R I : (O, R) → (O0, R0) và Vk=− R0 R J : (O, R) → (O0, R0). (hình 2.16) Hình 2.16
Trong đó I là tâm vị tự ngoài, J là tâm vị tự trong. 8. Trục vị tự của 3 mặt cầu
Cho 3 mặt cầu (O1, R1),(O2, R2) và (O3, R3) có 3 tâm O1, O2, O3
không thẳng hàng; sẽ có 6 tâm vị tự, cứ 3 tâm (trong 6 tâm đó) thẳng hàng; đường thẳng chứa 3 tâm gọi là trục vị tự của 3 mặt cầu, có 4 trục vị tự.
Thật vậy,V R2 R1 I : (O1, R1) → (O2, R2), V R3 R2 F : (O2, R2) →(O3, R3), V R3 R1 Q = V R3 R2 F .V R2 R1 I : (O1, R1) →(O3, R3), từ đó ta suy ra F, I, Q thẳng hàng. Tương tự, sẽ có 4 trục vị tự là(F, Q, I),(J, E, Q),(P, E, I),(F, P, J). (hình 2.17) Hình 2.17 9. Tích hai phép vị tự: a. Tích hai phép vị tự cùng tâm: VIk2.VIk1 = VIk, k = k1.k2. b. Tích hai phép vị tự khác tâm: VI2k2.VI1k1 = VIk, k = k1.k2. Trong đó I1, I2, I thẳng hàng và I thỏa mãn −→ I2I = k21−(1k1k2−k1)−−→ I2I1. 2.5.3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 2.5.1 (Xem Ví dụ 1.6.1). Cho hai mặt cầu (O, R) và (O0, R0) tiếp xúc với nhau tại A. Đường OO0 cắt (O) và (O0) ở B và B0. Một đường thẳng d qua A, d cắt (O) và (O0) ở C và C0. Tìm tập hợp điểm M là giao của BC0 và CB0.
Giải. a. Trường hợp (O, R) và (O0, R0) tiếp xúc ngoài ở A. (hình 2.18) Vì BCA[ = AC\0B0 = 900 nên ta suy ra BB0//CC0, do đó (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
M B M C0 = BC B0C0 = AB A0B0 = 2R 2R0 = R R0.
Hình 2.18 Từ đó ta suy ra M B M B−M C0 = M B BC0 = R R−R0 (Giả sử R > R 0) Từ đó ta có −−→ BM = R−RR0.−−→ BC0, do đó V R R−R0 B : C0 → M. Vì tập C0 là mặt cầu (O0), nên tập M là mặt cầu (O00, R00) = V
R R−R0 B [(O0, R0)], trong đó −−→ BO00 = R−RR0.−−→ BO0 và R00 = | R R−R0|.R0.
b. Trường hợp (O, R) và (O0, R0) tiếp xúc trong ở A. (hình 2.19)
Hình 2.19
Tương tự trường hợp a, BC//B0C0. Nên ta có
BM M C0 = BC B0C0 = AB A0B0 = 2R 2R0 = R R0. Từ đó ta có BM BC0 = R R+R0 = k 0 Do đó −−→ BM = R R+R0 −−→ BC0.
Từ đó ta suy ra, qua VBk0 : C0 → M. Vậy tập hợp điểm M là mặt cầu
Ví dụ 2.5.2 (Xem Ví dụ 1.6.2). Cho hình thang ABCD có AB//CD,
AB cố định; CD = a; AD = m. Gọi M là giao của AC và BD. Tìm tập hợp điểm M khi CD chuyển động.
Giải. Vì AB//CD nên BMM D = CDAB. Từ đó ta suy ra BMBM+M D = a+ABAB = k. Do đó ta có −−→
BM = k−−→
BD, nên ta suy ra VBk : D → M. Vì tập hợp D là mặt cầu (A, m) nên tập M là mặt cầu (A0, m0) : A0 = VBk(A), m0 = k.m0. (hình 2.20)
Hình 2.20
Ví dụ 2.5.3 (Xem Ví dụ 1.6.3). Cho mặt cầu (O, R) và điểm Acố định, một cát tuyến d đi qua A, d cắt (O) ở B và C. Kẻ phân giác góc BOA[, gọi I là giao của phân giác với AB. Tìm tập hợp điểm I.
Giải. (Hình 2.21)
Hình 2.21
Theo tính chất của phân giác IAIB = OAOB. Nên ta có AIAI+IB = ROA+OA = k.
Từ đó ta suy ra−→
AI = k.−→
AB do đóVAk : B → I. Vì tập hợp điểmB là mặt cầu (O, R) nên tập hợp điểm I là mặt cầu (O0, R0) sao cho −−→
AO0 = k.−→
AO
Ví dụ 2.5.4 (Xem Ví dụ 1.6.4). Cho mặt cầu (O, R) và một điểm P
nằm trong mặt cầu. Một góc vuông có đỉnh ở P quay quanhP, hai cạnh của góc cắt (O, R) ở A và B. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm tập hợp M0 là đối xứng của P qua M.
Giải. (Hình 2.22) Hình 2.22 Vì P M = M M0 nên ta suy ra −−→ P M0 = 2−−→ P M do đó VP2 : M → M0. Mặt khác, vì M P2 + M O2 = M B2 +M O2 = OB2 = R2 nên tập hợp M là mặt cầu (I, ρ), trong đó I là trung điểm của OP, và ρ = 12√
2R2 −OP2. Vậy, tập hợp M0 là mặt cầu tâm I0, bán kính ρ0 = 2ρ (I0 ≡ O), đó là mặt cầu (O,2ρ).
2.6. Phép đồng dạng2.6.1. Định nghĩa 2.6.1. Định nghĩa
Cho hai góc xOy và x0O0y0 bằng nhau. Một phép biến hình f : M →
M0 sao cho tam diện xOyM bằng tam diện x0O0y0M0, O0M0 = kOM (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(k > 0), (k, O, O0 cho trước) thì f được gọi là phép đồng dạng tỷ số k,
ký hiệu Œ(k) : M → M0.
2.6.2. Tính chất
1. Phép đồng dạng là phép biến hình 1−1.
2. Phép đồng dạng biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, biến đường thẳng thành đường thẳng.
3. Phép đồng dạng biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó. Biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
4. Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn của góc.
5. Phép đồng dạng biến đường tròn (O, R) → (O0, R0), biến mặt cầu
(O, R) → (O0, R0), trong đó O → O0, R0 = kR.
2.6.3. Phân loại phép đồng dạng 1. Phép đồng dạng thuận.
a. Định nghĩa. Phép đồng dạng thuận là phép đồng dạng mà hai tam diện xOyM và x0O0y0M0 cùng hướng.
b. Dạng chính tắc. Phép đồng dạng thuận là tích giao hoán được của một phép một phép vị tự thuận và một phép quay xung quanh một trục.
D(k) = VOk.Qα∆ = Qα∆.VOk. * Nếu D(k)(M) =M0, D(k)(O) = O0, T−−→ OO : M → M1, VOk0 : M1 →M2,