1.8.1. Định nghĩa
Cho một điểm I và một số thực k 6= 0. Một phép biến hình f biến
M → M0 sao cho: I, M, M0 thẳng hàng và −−→
IM0.−−→
IM = k, thì phép biến hình f được gọi là phép nghịch đảo cực I, phương tích k, ký hiệu
NIk : M → M0. Chú ý:
• Nếu k > 0 thì M, M0 cùng phía đối với I.
• Nếu k < 0 thì M, M0 khác phía đối với I. 1.8.2. Tính chất
1. Phép nghịch đảo là một phép biến hình 1−1. (trừ điểm I) 2. Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp.
3. Phép nghịch đảo có tập hợp các điểm kép là đường tròn W(I,√
k)
còn gọi là đường tròn nghịch đảo. Nếu k > 0 thì W là đường tròn thực. Nếu k < 0 thì W là đường tròn bán thực.
4. Điều kiện cần và đủ để 2 điểm M và M0 là ảnh của nhau qua NIk
là có hai đường tròn (O) và (O0) cùng đi qua M và M0 và trực giao với đường tròn W (đường tròn nghịch đảo).
5. Nếu qua NIk : A → A0, B → B0 thì 4 điểm A, A0, B, B0 thuộc một đường tròn.
6. Tích hai phép nghịch đảo đồng cực NIk2.NIk1 = Vk=
k2 k1
I . 7. Phép nghịch đảo bảo toàn độ lớn góc.
1.8.3. Ảnh của đường thẳng
1. Ảnh của một đường thẳng đi qua cực là chính nó.
2. Ảnh của một đường thẳng d không đi qua cực I là đường tròn (O)
1.8.4. Ảnh của một đường tròn
1. Ảnh của một đường tròn qua cực là một đường thẳng không qua cực.
2. Ảnh của một đường tròn (O) không qua cực I là một đường tròn
(O0) không qua cực I, O0 và R0 được xác định như sau: * −→
IO0 = k0−→
IO (k0 = Pk) trong đó P = P(I/(O)). * R0 = |k0|R.
1.8.5. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.8.1. Cho một đường tròn (O) và một điểm A cố định không thuộc (O). Một đường thẳng d thay đổi đi qua A.
1. Chứng minh rằng luôn có 2 đường tròn (O1) và (O2) cùng tiếp xúc tại d, tại A và cùng tiếp xúc (O).
2. Gọi M, N là hai tiếp điểm của (O) với (O1) và (O2), hãy dựng các tiếp điểm M, N.
3. Chứng minh M N luôn đi qua 1 điểm cố định.
Giải. (Hình 1.29)
1. Giả sử tồn tại hai đường tròn (O1) và (O2) có tính chất như đầu bài. Xét phép nghịch đảo NAk, k = PA/(O) khi đó (O) → (O), d →
d,(O1) →d1,(O2) →d2 trong đó d1, d2 tiếp xúc với (O).
Vì (O1),(O2) cùng tiếp xúc với d tại A nên d1//d2//d, nên ta suy ra d1, d2 luôn xác định được. Vậy luôn có (O1) và (O2).
2. Xác định tiếp điểm M, N của (O1) và (O2) với (O).
Gọi M0, N0 là hai tiếp điểm của d1 và d2 với (O), ta suy ra M ≡
AM0 ∩(O), N ≡AN0 ∩(O).
3. Ta chứng minh M N luôn đi qua 1 điểm cố định. Gọi đường tròn
(AM0N0) là ảnh của M N qua NAk, I0 ≡ (AM0N0) ∩ AO, từ đó ta suy ra −→ OI0.−→ OI = −−→ OM0.−−→ ON0 = −R2 do đó điểm I0 cố định. Gọi I ≡M N ∩AO thì NAk : I →I0, từ đó ta suy ra I cố định.
Ví dụ 1.8.2. Cho một đường tròn (O) và một đường thẳng d không cắt
(O), M chuyển động trên d. Kẻ hai tiếp tuyến M A và M B với (O). Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
Giải. Dễ thấy ba điểm O, I, M thẳng hàng. Trong tam giác ∆OAM có
−→
OI.−−→
OM = OA2 = R2, nên ta suy ra qua NOR2 : M → I. Quỹ tích điểm
M là đường thẳng d không đi qua O nên quỹ tích điểm I là đường tròn
(OE). Trong đó E = NOR2(H). (hình 1.30)
Chương 2
Các phép biến hình trong không gian
Chương này trình bày một số phép biến hình cơ bản trong không gian là sự mở rộng của các phép biến hình đã trình bày ở Chương 2. Các ví dụ trong chương này trước hết là sự phát triển các ví dụ ở Chương 2, sau đó bổ sung thêm một số ví dụ khác về việc vận dụng các phép biến hình trong không gian.
2.1. Phép tịnh tiến2.1.1. Định nghĩa 2.1.1. Định nghĩa
Trong không gian cho một véc tơ ~v 6=~0, một phép biến hình f biến điểm M thành điểm M0 sao cho −−−→
M M0 = ~v thì f được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ ~v, kí hiệu T~v : M → M0.
2.1.2. Tính chất
1. Phép tịnh tiến là một phép biến hình 1−1. 2. Phép tịnh tiến không có điểm kép.
3. * Mọi đường thẳng a//~v thì a là đường thẳng kép. * Mọi mặt phẳng (P)//~v thì (P) là mặt phẳng kép.
4. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm. (Nếu T~v : A→
A0, B →B0 thì AB = A0B0).
5. * Phép tịnh tiến biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm
* Phép tịnh tiến biến 4 điểm đồng phẳng thành 4 điểm đồng phẳng, biến mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (P0)//(P) hoặc (P0) ≡(P).
6. * Phép tịnh tiến biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm A0, B0, C0 không thẳng hàng, biến tam giác thành tam giác bằng nó.
* Phép tịnh tiến biến 4 điểm không đồng phẳng thành 4 điểm không đồng phẳng, biến tứ diệnABCDthành tứ diệnA0B0C0D0 = ABCD. 7. Phép tịnh tiến bảo toàn số đo góc.
+ Biến góc α thành α0 = α.
+ Biến góc nhị diện cạnh a thành góc nhị diện cạnh a0, hai nhị diện này bằng nhau.
8. * Phép tịnh tiến biến đường tròn (O, R) thành (O0, R0) = (O, R). * Phép tịnh tiến biến mặt cầu (O, R) thành (O0, R0) = (O, R). 2.1.3. Ví dụ áp dụng
Sử dụng phép tịnh tiến để giải các bài toán dựng hình. Khi phân tích bài toán, nếu các yếu tố biến đổi luôn song song với AB cố định nào đó và có độ dài không đổi bằng AB thì ta sử dụng phép tịnh tiến T−−→
AB để dựng hình.
Ví dụ 2.1.1 (Xem Ví dụ 1.2.1). Cho mặt cầu (O, R) và một mặt phẳng
(Q) cố định. Một mặt cầu (O0, R0) luôn tiếp xúc với (O, R), trong đó R0
không đổi. Ở mỗi vị trí của (O0, R0) ta kẻ một mặt phẳng tiếp diện của
(O0, R0) là (P)//(Q). Tìm tập hợp tiếp điểm M của (P) và (O0, R0) khi mặt cầu (O0, R0) thay đổi.
Giải. a. Trường hợp mặt cầu (O0, R0) tiếp xúc ngoài với (O, R)
Hình 2.1
tịnh tiến T~v : O0 → M. Tập hợp điểm O0 là mặt cầu W(O, R + R0), từ đó ta suy ra tập hợp điểm M là mặt cầu W0(O1, R + R0), trong đó
W0 = T~v(W), O1 = T~v(O).
b. Trường hợp mặt cầu (O0, R0) tiếp xúc trong với (O, R).
Tương tự như trên, tập hợp điểm O0 là mặt cầu C(O,|R−R0|), nên ta suy ra tập hợp điểmM là mặt cầu C0(O2,|R−R0|), trong đóC0 = T~v(C). Ví dụ 2.1.2 (Xem Ví dụ 1.2.2). Cho đường thẳng d và 2 điểm A, B
bất kỳ không thuộc d. Tìm trên d hai điểm M, N sao cho M N = m và
M A = N B
Giải. Giả sử ta đã dựng được 2 điểm M, N thỏa mãn yêu cầu đề bài,
Hình 2.2
khi đó chọn ~v sao cho |~v| = m, ~v//d. Ta có A0 = T~v(A), N = T~v(M) ta suy ra M A = N A0 = N B, nên từ đó ta suy ra N nằm trên mặt phẳng trung trực (P) của A0B. Vậy N ≡ d∩ (P).
Ví dụ 2.1.3 (Xem Ví dụ 1.2.3). Cho một mặt cầu (O, R) và một điểm
A cố định thuộc (O, R), một điểm I cố định không thuộc (O, R). Một đường thẳng d chuyển động đi qua I, d cắt (O, R) ở B và C. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC luôn thuộc một mặt cầu cố định.
Giải.
Hình 2.3
là điểm đối xứng với O qua BC ) từ đó ta suy ra −−→ AH = −−→ OO0 cho nên −−→ O0H = −→ OA do đó qua T−→ OA : O0 → H. Mặt khác O0I = OI, ta suy ra O0
thuộc mặt cầu tâm I bán kính IO do đó H thuộc mặt cầu tâm I0, bán kính I0H = IO, trong đó I0 = T−→
OA(I).
Ví dụ 2.1.4 (Xem Ví dụ 1.2.4). Cho hai mặt cầu (O, R) và (O0, R0). Dựng M ∈ (O, R) và N ∈ (O0, R0) sao cho M N = m và M N//OO0.
Giải. * Phân tích. Giả sử ta đã dựng được hai điểm M, N thỏa mãn
Hình 2.4
đề bài, trên OO0 lấy O1 sao cho OO1 = m khi đó −−→
M N = −−→
OO1, gọi ~v
là véc tơ có hướng OO0, độ dài m khi đó N = T~v(M), O1 = T~v(O), nên ta suy ra N ∈ (O1, R) là ảnh của mặt cầu (O, R) qua T~v. Do đó
N ≡ (O)∩ (O1), M = T−~v(N). * Cách dựng: + Dựng (O1, R) = T~v((O, R)). + Dựng N ≡ (O1, R)∩(O0, R0). + Dựng M = T−~v(N). *Chứng minh. Theo cách dựng N ∈ (O0, R0), M ∈ (O, R) và −−→ M N = ~v.(M N = m, M N//OO0).
* Biện luận. Gọi khoảng cách từ O1 đến (O0, R0) là d, khi đó: + Nếu R < d hoặc R > d+ 2R0 thì bài toán vô nghiệm.
+ Nếu R = d hoặc R = d+ 2R0 thì bài toán có 1 nghiệm hình. + Nếu d < R < d+ 2R0 thì bài toán có vô số nghiệm hình.
Ví dụ 2.1.5 (Xem Ví dụ 1.2.5). Cho hai mặt cầu (O, R) và (O0, R0) và một đường thẳng ∆. Dựng một đường thẳng d//∆ và d cắt (O),(O0)
theo 2 dây M N = M0N0. (M0, N0 ∈ (O0);M, N ∈ (O)).
Giải. * Phân tích. Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa mãn đề bài, gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O, O0 trên ∆, vì OO0 không đổi, ∆
Hình 2.5
cố định nên HK không đổi. Vì M N = M0N0 nên −−−→
M M0 = −−→
N N0 = −−→
HK, ta suy ra M0 = T~v(M), trong đó ~v = −−→
HK ⇒ M0 ⊂ (O0, R0) ∩ (O1, R), mặt cầu (O1, R) = T~v[(O, R)], d là đường thẳng qua M0 và song song với đường thẳng ∆.
* Cách dựng.
+ Dựng H, K là hình chiếu của O, O0 trên ∆.
+ Dựng (O1, R) = T~v[(O, R)],(~v = −−→
HK).
+ Dựng M0 ⊂(O1, R)∩(O, R).
+ Dựng d qua M0 và d//∆.
* Chứng minh. Theo cách dựng đường thẳng d cắt (O) tại M, N, cắt
(O0) tại M0, N0 thì −−−→ M M0 = −−→ N N0 = −−→ HK ⇒ M0 = T~v, N0 = T~v do đó ta có M0N0 = M N. * Biện luận.
+ Nếu (O1, R)∩(O, R) = thì bài toán vô nghiệm.
+ Nếu (O1, R)∩ (O, R) = M0 duy nhất thì bài toán có một nghiệm hình.
+ Nếu(O1, R)∩(O, R)là một đường tròn thì bài toán có vô số nghiệm hình.