hình học giải tích trong không gian

2014 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LỜI NÓI ĐẦU Trong mặt phẳng, đồ, vẽ chi tiết đ~ thể rõ vật.Và không gian vật biểu diễn c|ch rõ r{ng Trong không gian, với trục tọa độ, điểm trục làm hình ảnh vật trở nên sinh động Hệ trục tọa độ không gian đời đ~ giải nhiều vấn đề Các khối đa diện khơng gian hình chóp, tứ diện, hình lập phương, hình hộp chữ nhật, bát diện thể qua tọa độ khơng gian Vì nhóm đ~ chọn chủ đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Với chủ đề này, nhóm trình b{y phương ph|p tọa độ không gian bao gồm chương chính: hệ tọa độ khơng gian, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng, giải tốn hình học không gian phương ph|p tọa độ, số tổng hợp Mỗi chương trình b{y sau: - Tóm tắt lý thuyết Các dạng to|n thường gặp Một số ý giải dạng tốn Ngồi ra, phần cuối gồm số tập tổng hợp tọa độ không gian giúp độc giả hiểu rõ phương ph|p tọa độ không gian Nhóm hy vọng với nội dung giúp bạn tham khảo, làm quen với hệ tọa độ không gian củng cố thêm kiến thức giải hình học khơng gian, tìm hứng thú v{ đam mê với toán học Mặc dù đ~ có nhiều cố gắng q trình biên soạn, khó tr|nh khỏi sai sót , chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến bạn Xin chân thành cảm ơn GVHD: Ts Trần Nam Dũng Thực hiện: 0911260 Bùi Văn Hưng 1111093 Nguyễn Trương Mỹ Hạnh 1111229 Tống Minh Nhựt 1111332 Trần Vũ Quỳnh Tiên 1111555 Cao Sỹ Tiến CHƯƠNG I: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục tọa độ không gian hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi điểm gốc O, có c|c vector đơn vị i, j, k , gọi hệ trục tọa độ Đề Các vng góc Oxyz khơng gian Trong đó:   xOx : gọi trục hồnh yOy : gọi trục tung    zOz : gọi trục cao O : gọi gốc tọa độ Oxy,Oyz,Ozx đơi vng góc với gọi mặt phẳng tọa độ Các tính chất vector khơng gian giống tính chất vector mặt phẳng Tuy nhiên khơng gian có tính chất mà mặt phẳng khơng có :” Đó l{ tích có hướng hai vector.” I LÝ THUYẾT TỌA ĐỘ VECTOR 1.1 Định nghĩa: u  ( x, y,z)  u  xi  y j  zk 1.2 Tính chất: Cho a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 ,b2 ,b3 )  a  b  (a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 )  ka  (k a1 ,k a2 ,k a3 )  a1  b1  a  b  a2  b2 a  b  3  a.b  a1.b1  a2 b2  a3.b3  a1  kb1  a phương b a  kb  a2  kb2 a  kb   a  b  a1.b1  a2 b2  a3.b3   a  a12  a2  a32  a  a12  a2  a32  cos(a, b)  a.b a.b  a1.b1  a2 b  a3 b3 a  a2  a32 b12  b2  b32  a phương b   a, b    a, b, c đồng phẳng   a, b  c   Trong không gian Oxyz cho hai vector u  ( x1 , x2 , x3 ) , v  ( y1 , y2 , y3 ) Khi tích có hướng hai vector u v , kí hiệu u, v  x|c định :  yz zx xy  u , v    1 1 1     y2 z2 z2 x2 x2 y2  Chính nhờ khác biệt n{y, m{ tích có hướng tọa độ khơng gian có nhiều ứng dụng 1.3 Một số ứng dụng tích có hướng 1.3.1 Tính diện tích Chúng ta biết cơng thức tính diện tích có nhiều Từ công thức đơn giản đến công thức phức tạp HÊ-RÔNG Tuy nhiên tất phải có độ dài hay góc tam giác Nếu khơng gian, đ~ có tọa độ vector ta tính diện tích dựa v{o tích có hướng Bài tốn Chúng ta thử nghĩ xem, cho tọa độ A(1,0,0); B(0,0,1); C (2,1,1);D(3,1,0) Bạn tính diện tích hình bình hành ABCD diện tích tam gi|c ABC nào? Với u cầu tốn này, rõ ràng ta tính độ dài cạnh tam giác dùng cơng thức HÊ-RƠNG để tính diện tích tam gi|c, sau diện tích hình bình hành gấp đơi diện tích tam giác Tuy nhiên với cách làm này, phải tính tốn nhiều, đặc biệt sử dụng cơng thức HÊ-RƠNG Khi với tích có hướng, ta giải b{i to|n nhanh AB  (1,0,1) AC  (1,1,1)  AB, AC   (1, 2, 1)   SABC  1 AB, AC    (2)2  12   2 S ABCD   AB, AC   Ta thấy với tích có hướng, diện tích tam giác diện tích hình bình h{nh tính dễ dàng Và đ}y l{ hai cơng thức dùng tích vơ hướng tính diện tích:  AB, AC   2   AB, AC  S ABC  S ABCD 1.3.2 Tính thể tích Tích có hướng vector khơng gian dùng để tính thể tích tứ diện thể tích hình hộp Trong khơng gian, có tọa độ c|c điểm, ta tính thể tích mà khơng cần tính chiều cao diện tích đ|y Đ}y l{ cơng thức tính thể tích sử dụng tích có hướng: VABCD  1 AB, AC  AD 6 VABCD ABCD   AB, AC  AA 1.3.3 Điều kiện đồng phẳng vector Giả sử ta cần chứng minh vector đồng phẳng, tức nằm mặt phẳng hay chúng không đồng phẳng, tức chúng tạo thành tứ diện ta chứng minh cách n{o đ}y Với phương ph|p sử dung tọa độ ta dễ dàng chứng minh Đ}y l{ ví dụ cụ thể: Cho a  (2,0, 1)b  (0,1, 2)c  (1,1, 2)d  (0,1, 2)  a, b   (1, 4, 2)    a, b  c  1.1  1.4  2.2     Vậy vector a, b, c không đồng phẳng tức chúng tạo thành mặt phẳng V{ ngược lại ta chứng minh vector đồng phẳng sau:  a, b  d  0.1  1.4  2.2    1.4 Phương trình mặt cầu: Nếu phương trình đường tròn mặt phẳng tọa độ khơng gian đường tròn biểu diễn mặt cầu Chúng ta thấy mặt cầu thường sử dụng l{m hình tượng nhiều vật :” bóng chuyền, bóng rổ, bóng b{n…” Cũng giống phương trình đường tròn, phương trình mặt cầu có t}m v{ b|n kính Phương trình mặt cầu tâm I ( x0 , y0 , z0 ) bán kính R có dạng:  (x  x )2  ( y  y0 )2  ( z  z0 )2  R  x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  Với a, b, c tâm mặt cầu Bán kính mặt cầu: R  a  b  c  d 2 Điều kiện để có phương trình mặt cầu: a  b2  c  d  Phương trình mặt cầu tạo nên thiết kế cho kiến trúc mở rộng hình dạng, góp phần làm nên vẻ đẹp cho người II PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN VECTOR TRONG KHƠNG GIAN  Dạng 1: Tìm tọa độ vector điểm Bài 1: Trong không gian cho điểm A(1,2,3) ; B(1,2, 3) ; C(7,4, 2) a Tìm tọa độ điểm D cho AC  BD b Tìm tạo độ điểm E cho CE  2EB Giải a Đặt D(x, y, z) , ta có: AC  (6, 2, 5) , BD  (x  1, y 2, z 3) 6  x  x    Do AC  BD  2  y    y  5  z   z  8   Vậy D(7,4, 8) b Đặt E ( x, y, z ) ta có : CE  ( x  7, y  4, z  2) , EB  (1  x,  y, 3  z )  x   x   2(1  x)    Do CE  2EB   y   2(2  y )   y   z   2(3  z )     z   8 Vậy E (3, ,  ) Bài 2: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1,2,1);B(5,3,4);C(8, 3,2) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng tính diện tích tam giác ABC Giải Chứng minh tam giác vuông: AB  (4,1,3)  AB  16    26 AC  (7, 5,1)  AC  49  25   BC  (3, 6, 2)  BC   36   AB  BC  26  49  75 BC  75  AB  BC  AC  ABC tam giác vng B Diện tích tam giác ABC: S  1 26 AB.BC  26.7  2 (đvdt) Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(3, 2,0);B(3, 3,1);C(5,2,0) Tìm tọa độ điểm D góc vector AC BD Giải Gọi tọa độ D( x, y, z ) , ta có: DC  (5  x,  y,  z ); AB  (6,1, 1) 5  x   x  1   Do ABCD hình bình hành nên: AB  DC   y  1   y  2  z  z    Vậy D(1,1,1) Ta có: AC  (8, 2, 2); BD  (4, 4,0) Góc vector AC BD : cos( AC , BD)  AC.BD  AC BD    AC , BD   8.(4)  2.4  2.0 24   64   16  16  2.4 Bài 4: Cho điểm A(1,0,0);B(0,0,1);C(2,1,1) a b c d e Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành Tính chu vi diện tích tam giác ABC Tính độ d{i đường cao tam giác kẻ từ A Tính góc tam giác ABC Giải a Ta có: AB  (1,0,1) AC  (1,1,1)   AB, AC   (1, 2, 1) Vì  AB, AC   Vậy vector AB AC không phương    A, B, C không thẳng hàng b Gọi tọa độ D( x, y, z ) ta có: DC  (2  x,1  y,1  z ); AB  (1,0,1) 2  x  1  x    Để tứ giác ABCD hình bình hành thì: AB  DC  1  y    y  1  z  z    Vậy D(3,1,0) c Ta có: AB     AC     BC     Chu vi tam giác ABC là: = P  AB  AC  BC    Ta có: AB  AC    BC   AB  AC  BC  ABC tam giác vng A Diện tích tam giác ABC là: S ABC  1 (đvdt) AB.A C   2 d Gọi H l{ đường cao kẻ từ A Ta có AH l{ đường cao tam giác ABC Ta có: S ABC   AH  AH BC 2.S ABC  BC e Ta có: AB AC  (1).1  0.1  1.1   AB  AC  BAC  900 cos ABC  AC 15   BC 5 cos ACB  AB 10   BC 5 10  Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng có tâm I nằm đường thẳng x  t  có phương trình l{ ( d ) :  y  1 z   Giải Gọi I (t , 1,0) tâm mặt cầu với bán kính R Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có: t  1.2  12  22  12  t  (2).(1)  12  (1)  22  R  t 1  t  t  2 Khi ta có tọa độ tâm I ( , 1,0) bán kính R  Vậy phương trình mặt cầu là: (S) : (x  )  ( y  1)  z  Bài 2: ý Các kiến thức cần truyền đạt: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M(x , y0 ,z0 ) đến mặt phẳng ( ) : Ax  By Cz D  : d  M ,( )   Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C 74 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình là: ( ) : 3x  y  z   0;( ) : 3x  y  z   Tìm tập hợp c|c điểm c|ch mặt phẳng Giải Giả sử A(x, y, z) v{ điểm A c|ch ( ) (  )  d ( A,( ))  d ( A( ))  3x  y  z  29  3x  y  z  29  3x  y  z   3x  y  z   3x  y  z   Vậy tập hợp c|c điểm A c|ch ( ) (  ) mặt phẳng có phương trình: 3x  y  z   75 Bài 3: ý Các kiến thức cần truyền đạt: Phương trình mặt cầu, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Phương trình mặt cầu có tâm I(x , y0 ,z0 ) bán kính R là: (S ) : (x  x )2  ( y  y0 )2  ( z  z0 )2  R2 Khi mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bán kính mặt cầu: R  d ( I ( ))  Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I (4, 2, 4) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 3x  y 5z16  Giải Mặt cầu ( S ) tiếp xúc ( ) với mặt phẳng nên ta có: R  d ( I ( ))  3.4  2.(2)  5.4  16  (2)  2  12  Phương trình mặt cầu ( S ) có dạng là: ( x  4)2  ( y  2)2  ( z  4)2  Như vậy, với phương trình mặt phẳng ta áp dụng để tính tốn khoảng cách hay tìm vị trí theo yêu cầu n{o 76 Bài 4: ý Các kiến thức cần truyền đạt: Hai mặt phẳng song song có tính chất: ( ) : A1 x  B1 y C1z D1  Nếu ( ) / /(  ) : giả sử ( ) : Ax  By Cz D  A B C   A1 B1 C1 Cơng thức tính khoảng cách hai mặt phẳng song song: Ta gọi điểm thuộc mặt phẳng, sau ta tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lại l{ khoảng cách mặt phẳng: d  M ,( )   d  ( )( )  Cơng thức tính thể tích hình lập phương biết độ dài cạnh hình lập phương: V  a3 ( với a cạnh hình lập phương)  Cho hai mặt phẳng song song có phương trình : ( ) : x  y  z   ( ) : x  y 2z  Khoảng cách hai mặt phẳng l{ độ dài cạnh hình lập phương Tính thể tích hình lập phương Giải Gọi điểm A(0, 1, 2) thuộc mặt phẳng (  ) Khi khoảng cách hai mặt phẳng l{ khoảng cách từ A đến ( ) 77 d(A(  ))  2.0  (1).(1)  2.2  22  (1)2  2  Vậy ta có cạnh hình lập phương có độ dài m , thể tích hình lập phương l{: 3   512 V   m 27  3 Bài 5: ý Các kiến thức cần truyền đạt: Một điểm c|ch điểm khoảng cách từ điểm đến điểm Một điểm thuộc mặt phẳng tọa độ điểm thỏa mãn thay tọa độ v{o phương trình mặt phẳng  Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : x  y  z   v{ điểm A(1,2,3);B(1,3,2);C(2,1,3) Tìm điểm M  ( ) cho M c|ch A,B,C Giải Do điểm M  ( ) nên ta có phương trình: x  y  z   0(1) Do M c|ch A,B,C nên: MA  MB  MC  MA  MB  MA  MC Vậy ta có hệ phương trình:  ( x  1)2  ( y  2)  ( z  3)  ( x  1)  ( y  3)  ( z  2)   2 2 2  ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  ( x  2)  ( y  1)  ( z  3)  x  y  z Thay v{o phương trình (1) ta có: 3x   x   x  y  z  Vậy M (2,2,2,) 78 Bài 6: ý Các kiến thức cần truyền đạt: Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: u, MN    ( với N  () ) d  M ,()   u  Trong không gian Oxyz, cho (d ) : x  y 1 z    2 A( , , 1)Tính khoảng cách từ điểm A đến (d) Giải Ta gọi B(1,1, 2) thuộc (d ) u d  (2, 2,1) vector phương đường thẳng (d ) AB  (3, 2,1)  AB, u d   (2,5, 4)   Khoảng cách từ A đến đường thẳng (d ) là: d(A, (d))   AB, u d  (2)  52  (4) 45     ud 22  22  12 79 Bài 7: ý Các kiến thức cần truyền đạt: Cơng thức tính góc đường thẳng mặt phẳng : Đường thẳng (d) có vector phương u  (a, b, c) mặt phẳng ( ) có vector pháp tuyến n  ( A, B, C ) cơng thức tính góc đường thẳng mặt phẳng là: sin   u.n a A  b.B  c.C  a  b  c A2  B  C u.n  x  y 1 z    mặt 2 ( ) : 2 x  y  z   Tính góc đường thẳng (d ) mặt phẳng ( ) Trong không gian Oxyz, cho (d ) : Giải Vector phương đường thẳng (d ) là: u d  (1, 2, 2) Vector pháp tuyến mặt phẳng ( ) là: n  (2,1, 2) Góc hợp đường thẳng mặt phẳng là: sin   u d n u d n  1.(2)  2.1  2.2  12  22  22 (2)  12  22    420 Bài 8: Hai đường thẳng song song với có vector phương 80 phẳng Viết phương trình đường thẳng phải có vector phương v{ tọa độ điểm m{ đường thẳng qua Phương trình đường thẳng qua I(x , y0 ,z0 ) có vector phương l{  x  x0  at  u  (a, b, c) có dạng:  y  y0  bt  z  z  ct   x   2t   Trong không gian Oxyz, cho (d) :  y  2  t v{ điểm A(1,2,3) z   t  Tìm điểm đối xứng với A qua đường thẳng (d ) Giải Ta có đường thẳng (d) có vector phương l{: ud  (2, 1,1) Do hai đường thẳng song song với nên ta có : ud1  ud  (2, 1,1) Vậy phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) v{ qua điểm A(1,2,3) có  x  x0  at  dạng:  y  y0  bt  z  z  ct   x   2t  Vậy theo cơng thức ta có phương trình đường thẳng (d ) :  y   t z   t  81  x   2t  Vậy phương trình đường thẳng cần tìm l{ đường thẳng (d )  y   t  z  2t  Gọi H hình chiếu A qua đường thẳng (d) H  (d )  H (1  2t ,1  t ,2t ) AH  (2t ,3  t ,2t ) A(1, 2,0) Gọi A điểm đối xứng với A qua đường thẳng (d) Đường thẳng (d) có vector phương l{: ud  (2,1,2) Do đường thẳng (d) vng góc với vector phương AH nên ta có: AH ud   AH ud  2t.2   t  4t  9t  =0  9t   t  2  H( , , ) 3 Do A A đối xứng với qua H nên H l{ trung điểm AA 1   x A  xH  x A     10    y A  yH  y A    3  4 4   z A  zH  z A      A( 1 10 4 , , ) 3 82 Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ phẳng – – , cho hai điểm – Viết phương trình mặt phẳng mặt qua hai điểm vng góc với mặt phẳng Giải Mặt phẳng nên ⃗⃗⃗⃗⃗ qua Mặt khác vng góc với vectơ phương nên vectơ ph|p tuyến ( ⃗⃗⃗⃗ của l{ (Q) Như vậy, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (Q): ⃗⃗⃗⃗ Hiển nhiên thấy (Q) qua ⃗⃗⃗⃗ nên Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng song song với đường thẳng qua hai điểm { Giải Mặt phẳng Mặt khác Như vậy, nên ⃗⃗⃗⃗⃗ qua song song với đường thẳng Hiển nhiên thấy ⃗⃗⃗⃗ qua ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ nên 83 l{ Bài 11: Cho điểm A(1,0,0) , B(0,2,0) , C(0,0,2) Viết phương trình phẳng qua điểm A, B,C Giải Ta có phương trình đoạn chắn là: Vậy phương trình qua điểm A,B,C là: Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ , viết phương trình mặt phẳng góc với mặt phẳng v{ c|ch điểm – qua gốc tọa độ O, vuông khoảng √ Giải Phương trình mp(P) qua O (0,0,0) nên có dạng Vì ⊥ nên ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) Từ √ | √ (1) | (2) √ ta được: [ Từ Từ – Chọn Chọn – – Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng tạo với mặt phẳng góc Tìm tọa độ giao điểm mặt phẳng với trục 84 Giải: qua điểm có ⃗⃗⃗⃗ Giao điểm có ⃗⃗⃗⃗ | có ⃗ cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ] tạo thành góc nên : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | √ √ √ [ Kết luận : √ hay √ Bài 14: (Đại học Khối B−2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho c|c điểm mặt phẳng X|c định b c, biết mặt phẳng phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng Giải: Mặt phẳng có phương trình: Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Ta có: ( ) , √ Từ 85 , b,c dương vng góc với mặt Bài 15: (Đại học Khối B−2009) Trong không gian với hệ toạ độ qua , cho tứ diện có c|c đỉnh Viết phương trình mặt phẳng cho khoảng cách từ C đến khoảng cách từ đến Giải Trường hợp Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗ có VTPT ⃗ Trường hợp Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗ có ⃗⃗⃗⃗⃗ hay ⃗ qua ⃗⃗⃗⃗ l{ trung điểm ⃗ 86 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I Lý thuyết tọa độ vector II Phương ph|p giải c|c dạng To|n vector Dạng 1: Tìm tọa độ vector v{ điểm Dạng 2: Tích có hướng hai vector Dạng 3: Mặt cầu Dạng 4: Dùng tọa độ vector chứng minh số bất đẳng thức Trang 3 7 12 18 23 CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I Tổng hợp lý thuyết II Một số phương ph|p giải Dạng 1: viết phương trình mặt phẳng Dạng 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng Khoảng c|ch từ điểm đến mặt phẳng Dạng 3: Ví trí tương đối mặt phẳng v{ mặt cầu 28 28 CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I Tổng hợp lý thuyết II Một số phương ph|p giải Dạng 1: viết phương trình đường thẳng Dạng 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Của đường thẳng v{ mặt phẳng Của đường thẳng v{ mặt cầu Dạng 3: Khoảng c|ch v{ góc 41 41 29 30 32 36 42 42 46 49 CHƯƠNG IV: GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I HÌNH CHĨP II HÌNH LẬP PHƯƠNG III HÌNH TRỤ 54 54 59 66 CHƯƠNG V: MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP 71 87 88 ... đời đ~ giải nhiều vấn đề Các khối đa diện khơng gian hình chóp, tứ diện, hình lập phương, hình hộp chữ nhật, bát diện thể qua tọa độ không gian Vì nhóm đ~ chọn chủ đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG. .. khơng gian dùng để tính thể tích tứ diện thể tích hình hộp Trong khơng gian, có tọa độ c|c điểm, ta tính thể tích mà khơng cần tính chiều cao diện tích đ|y Đ}y l{ cơng thức tính thể tích sử dụng tích. .. ĐẦU Trong mặt phẳng, đồ, vẽ chi tiết đ~ thể rõ vật.Và không gian vật biểu diễn c|ch rõ r{ng Trong không gian, với trục tọa độ, điểm trục làm hình ảnh vật trở nên sinh động Hệ trục tọa độ không gian