Hình học phi euclid mô hình nửa phẳng poincaré

Nửa phẳng Poincaré đã được trình bày trong một số tài liệu, giáo trình hình học như: “Hình học vi phân’’ của Đoàn Quỳnh2003, “Mở đầu hình học Riemann’’ của Nguyễn Hữu Quang và nhiều tài

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa

Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã dành nhiều tâm huyết truyền đạt những kiến thức quý báu, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học và luận văn

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS.Nguyễn Duy Bình, người đã đặt bài toán và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hướng dẫn, đóng góp ý kiến quý báu để tôi hoàn thành khoá luận này

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn các thầy giáo trong chuyên ngành Hình học -Tôpô đã giảng dạy hướng dẫn, giúp đỡ trong học tập và viết luận văn

Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, tổ toán Trường THPT Hồng Lĩnh cùng các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện cho tôi trong quá trình theo học chương trình cao học tại Trường Đại học Vinh cũng như

để hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Vinh, tháng 9 năm 2013

Tác giả luận văn

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 3

Chương 1: Nửa phẳng Poincare ’ 4

1.1 Đa tạp Riemann 2 chiều 4

1.2 Nửa phẳng Poincare’ 7

1.3 Đường trắc địa trên nửa phẳng Poincare’ 9

Chương 2: Hình học trên nửa phẳng Poincare ’ 13

2.1 Các yếu tố của hình học phi Euclid 13

2.2 Một số tính chất khác trên nửa phẳng Poincare’ 15

2.3 Hình lồi trên nửa phẳng Poincare’ 33

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

I MỞ ĐẦU

Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng)

và phát triển bởi Bolyai, Gauss, Riamann

Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỉ XIX và đã có nhiều ứng dụng trong

cơ học, vật lý học và các ngành khác của kỹ thuật Nó được xem như một sự mở rộng tự nhiên của hình học Lobasepki Nửa phẳng Poincaré là một ví dụ đáng chú

ý của đa tạp Riemann 2- chiều Với mô hình nửa phẳng Poincaré không những hình học Lobasepki được công nhận mà loài người đã tiến được từ “ hình học vật

lý ’’ lên “hình học toán học’’

Nửa phẳng Poincaré đã được trình bày trong một số tài liệu, giáo trình hình học như: “Hình học vi phân’’ của Đoàn Quỳnh(2003), “Mở đầu hình học Riemann’’ của Nguyễn Hữu Quang và nhiều tài liệu khác về hình học Riemann và hình học Lobasépki

Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu về các tính chất của đa tạp Riemann, trên cơ sở đó nghiên cứu các tính chất hình học trên nửa phẳng Poincaré, dùng mô hình nửa phẳng Poincaré nghiên cứu các hệ tiên đề của hình học Lobasepski, diện tích tam giác, các điều kiện bằng nhau của hai tam giác Lobasepski và các công thức lượng giác Lobasepki Nghiên cứu tính chất của hình lồi trên nửa phẳng Poincare’ Với mong muốn tìm hiểu một số yếu tố của hình học Euclid, chúng tôi

chọn đề tài: " Hình học phi Euclid: Mô hình nửa phẳng Poincare ’ ”

Luận văn được trình bày trong 2 chương:

Chương 1: Nửa phẳng Poincare ’

Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các khái niệm cơ bản của

đa tạp Riemann 2- chiều, xây dựng nửa phẳng và các tính chất của nửa phẳng

Poincaré, các kết quả cơ bản về đường trắc trên nửa phẳng Poincare’, các kiến thức

đó là kiến thức cơ sở cho chương tiếp theo

Chương 2: Hình học trên nửa phẳng Poincaré

Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dung hình học trên nửa phẳng Poincaré Đây chính là nội dung chính của luận văn, tác giả trình bày một số yếu tố của hình học phi Euclid, các định nghĩa và mệnh đề của hình học Lobsepki, hệ thức lượng giác, diện tích tam giác và điều kiện bằng nhau của các tam giác Lobasepki, đưa ra liên hệ giữa hình học Lobasepki và hình học Ơclit, nêu định nghĩa và tính chất của hình lồi trên nửa phẳng Poincare’

Luận văn được hoàn thành vào tháng 9 năm 2013 tại trường Đại học Vinh

CHƯƠNG 1: NỬA PHẲNG POINCARE’ 1.1 Đa tạp Rieman 2-chiều

1.1.1 Định nghĩa: Cho M là đa tạp khả vi 2-chiều Một cấu trúc Rieman trên M là

ánh xạ g: p g p; pM

Trong đó g p thỏa mãn :

i, g p là tích vô hướng trong T p M

ii, g phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa là g(X,Y)(p)=g pX p,Y p và g là hàm khả

1.1.3 Liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp

Định nghĩa : Cho M là đa tạp Rieman 2-chiều

Ánh xạ      

X Y Y

M B M B M B

Liên thông tuyến tính  được gọi là liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp  thỏa mãn X,Y X Y  Y X và  g z  0

1.1.4 Đường trắc địa trên đa tạp Rieman 2- chiều

Xét cung tham số trên đa tạp Rieman 2- chiều M tức ánh xạ (khả vi) :J  M ,

t  t , J là khoảng mở trong R Trường véc tơ dọc  là ánh xạ X: I  T  t M ;

được gọi là đạo hàm của trường véc tơ X dọc 

1.1.4.2 Định nghĩa: Giả thiết đường cong  trên đa tạp Rieman M được cho bởi tham số hóa :J  M(J là khoảng mở trong R và  khả vi ),

 được gọi là đường trắc địa trên M nếu và chỉ nếu  '  0

x

t a t

x

2 2 2

1 1 1

' ' '

, '

1

'.

'.

'

i

i i

1

' '.

'.

'

i

i U j i i

1 2

1

)]

'

( '.[

'.

'

i

k j k

k i j j i i

i

k k i j i

k k

y y dt

dy

y dt dx

,

(ở đây    k k

y y x

Áp dụng lý thuyết hệ phương trình vi phân cấp 1 trong n

R2 ta có Hệ quả 1.1.4.5

1.2 Nửa phẳng Poincaré

1.2.1 Xây dựng nửa phẳng Poincaré

Xét M=H2 px,yR2 |y 0 là đa tạp khả vi Ta đưa vào tích vô hướng :

p p p X p Y p

y Y X g p

,y H x

Khi đó g là tích vô hướng trên H2

ta có gp là tích vô hướng trên TpH2

Ta kiểm tra các điều kiện sau :

1

i Y X

i Y X

1.2.1.1 Định lý: Nếu M , g là đa tạp Riemann 2-chiều thì có một và chỉ một hàm

số khả vi K trên M sao cho với trường đối mục tiêu  1 2 

1.2.1.2 Định nghĩa: Hàm K nói trên được gọi là độ cong Gauss của đa tạp

2 2

0

1

Suy ra dạng liên kết của H2

ứng với trường mục tiêu trực chuẩn U1,U2 là 1

1.3 Đường trắc địa trên nửa phẳng Poincaré

1.3.1 Mệnh đề: Các đường trắc địa của H2

là các đường thẳng song song với trục Oy và các nửa đường tròn có tâm thuộc trục Ox

H cho bởi tham số  Khi đó ' t u' t E1 t v' t E2 t 

=  

     

 

 t U   t v

t v t U t v

t u



1

' '

t v t v

t u

t

1 2

'

' '

' '

t u t v

t v

t u t v

t v t v

t u



1

'

' ' '

t u t v

t u t v

t v



2 ' '

' '

' ' '

0 ' ' '

' '

t v t v

t u t u t v

t v

t v

t u t v

t v t v

t u

'

"

) 1 ( 0 ' ' ' '

"

2 2 2

2

2 2

t v

t u t

v

t v t v t v

t v

t u t v t

v

t u t v t v t u

Chia cả hai vế (1) ,(2)cho v(t) và nhân 2 vế của (2) với 2 ta được hệ phương trình tương đương:

2 2 '

"

2

) ' 1 ( 0 ' ' 2

"

3 2 3

2 2

3 2

t v

t v t

v

t u t v

t v

t v

t u t v t v

t u

' 2

"

' 2 ' ' ' ' ' ' '

".

2

0 ' '.

'.

''

2 2

2

v u E Eu u v u E v v E v Ev

v u E u E

v v

v v

'

"

' 2 ' ' ' '

".

2

0 ' '.

'.

''

2 2

v u E Eu u v v E v Ev

v u E u E

v v

v

0 '

2 2

u E v E Eu

1 2 2

c Eu

Trong đó c1, c2 là các hằng số và ta thấy điều kiện (2”) tương đương với

0 '

t d c Edv Edu

2

2 1 2 2

2 2 2 2 1

2 2 2 1

2 2

dt c du E

t d c Edv c

c Edu c c

Suy ra : 2 2 2 2 2 2

du E Edv c Edu

1

2

c c

 c2du2 c2dv2 Edu2

2 2  2 2

du c E dv



2 2 2

1 c v

cv c

E

c dv

1 c v

cv dv

du







Khi c=0: u là hàm hằng theo v tức  là nửa đường thẳng trực giao với trục hoành

Khi c 0: Đặt cv=sint thì ta có du= tdt

u   ,  là nửa đường tròn (vì v>0) trực giao với trục hoành

1.3.2 Mệnh đề: Với bất kỳ hai điểm 2

2

1 ,h H

h  luôn có một đường trắc địa đi qua

O x

h1 h2



h2

Chứng minh :

Trường hợp 1: Nếu h1, h2 nằm trên nửa đường

thẳng song song với trục Oy thì đường trắc địa

đi qua h1, h2 chính là đường thẳng 

Hình1

Trường hợp 2: Nếu h1, h2 không nằm ở Hình 2

vị trí như trường hợp 1 nghĩa là h1, h2 nằm bất kì ở phía trên Ox

( trên nửa đường tròn có tâm thuộc trục Ox) Nối h1, h2 , dựng đường thẳng trung trực của h1h2cắt Ox tại I Khi đó đường trắc

địa đi qua h1, h2 chính là nửa đường tròn tâm I, bán kính Ih2

1.3.3 Mệnh đề: Với một đường trắc địa g trong H2 và một điểm A không nằm

trên g thì sẽ có vô hạn các đường trắc địa đi qua A và song song với g (hai đường

trắc địa trong H2

gọi là song song nếu chúng không cắt nhau)

Chứng minh:

Trường hợp 1: Nếu đường trắc địa g là nửa đường thẳng (Ơclit) song song với

trục Oy thì khi đó qua A có một đường trắc địa (là nửa đường thẳng(Ơclit) song

song với trục Oy) và vô số các đường trắc địa (là nửa đường tròn Ơclit có tâm

thuộc trục Ox) không cắt g

I

h1

Ox thì khi đó qua A có một đường trắc địa là nửa đường thẳng (Ơclit) song song

với trục Oy và vô số các đường trắc địa là nửa đường tròn(Ơclit) có tâm thuộc

trục Ox không cắt g

Hình 4 CHƯƠNG 2: HÌNH HỌC TRÊN MÔ HÌNH NỬA PHẲNG

POINCARE’ 2.1 Các yếu tố của hình học phi Euclid

2.1.1 Định đề thứ 5 của Euclid

2.1.1.1 Định đề thứ 5

Nếu hai góc trong cùng phía tạo

bởi một cát tuyến với hai đường thẳng

có tổng nhỏ hơn 1800 thì hai đường

thẳng đó phải cắt nhau ở phía hai góc

trong nói trên đối với cát tuyến

g

A

( uv 180 abI) Xem Tài liệu [6]

2.1.1.2 Định đề Euclid

Định đề của Euclid gây nhiều sự chú ý của các nhà toán học vì nội dung của

nó khá dài Theo ngôn ngữ hiện nay thì định đề này có nội dung là:

"Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng luôn có và chỉ có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho"

Ngoài ra có thể phát biểu định đề dưới các dạng sau:

 Nếu qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a có 2 đường thẳng song song với a thì chúng trùng nhau

 Cho điểm M ở ngoài đường thẳng a Đường thẳng đi qua M và song song với a là duy nhất

2.1.1.3 Chú ý

Định đề thứ 5 tương đương với định đề sau:

+, “ Tổng các góc trong mọi tam giác đều bằng 180 0 ”

+, “ Qua một điểm nằm trong một góc có đường thẳng cắt hai cạnh của góc”

2.1.2 Tính chất của hai đường thẳng song song

Nhờ định đề Euclid người ta suy ra tính chất sau: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

1 Hai góc so le trong bằng nhau;

2 Hai góc đồng vị bằng nhau;

3 Hai góc trong cùng phía bù nhau

Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước

có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

NX: Hai đường thẳng song song xác định một mặt phẳng

Định lí 2: (định lí giao tuyến của ba mặt phẳng)

Nếu 3 mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau

Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đưòng thẳng thứ ba thì

song song với nhau

Định lí 4: Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì

giao tuyến của 2 mặt phẳng đó song song với đường thẳng đã cho

2.1.3 Sự ra đời của hình học phi Euclid

Nhiều nhà toán học nghi ngờ rằng Định đề Euclid là một định lý, nghĩa là có

thể suy ra từ các tiên đề khác và loay hoay tìm cách chứng minh nó Nhưng không một ai thành công Đến thế kỷ thứ 19, hầu như đồng thời và độc lập với nhau, ba nhà toán học ở Nga (Nikolai Ivanovich Lobachevsky), Đức (Carl Friedrich Gauss),

và Hungary (János Bolyai) đã đặt ra một tư duy mới mẻ: "Chứng minh rằng nó không thể chứng minh được" Điều đó có nghĩa là ta có thể xây dựng một thứ hình

học khác, trong đó tiên đề thứ năm là không đúng Cả ba người đều đạt được kết quả Từ đó ra đời hình học phi Euclid

2.1.4 Hình học phi Euclid

Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất

một trong số những tiên đề Euclid Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những

công trình nghiên cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởi Bolyai,Gauss, Riemann

Hình học phi Euclid là cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối của Albert Einstein, thông qua việc đề cập đến độ cong hình học củakhông gian nhiều chiều

Hình học Lobachevsky (còn gọi hình học hyperbolic) do nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky khởi xướng, dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về đường thẳng song song Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm ngoài đường thẳng ta có thể vẽ được hơn một đường thẳng khác, nằm trên cùng mặt phẳng với đường thẳng gốc,

mà không giao nhau với đường thẳng gốc (đường thẳng song song) Từ đó, ông lập luận tiếp rằng từ điểm đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng song song với đường thẳng gốc, từ đó xây dựng nên một hệ thống lập luận hình học logic

Để xem xét hình học Lobachevsky ứng dụng vào lý thuyết không-thời gian cong, cần thiết phải xem lại khái niệm đường thẳng nối hai điểm Trong lý thuyết tương đối rộng, trong cơ học lượng tử và trong vật lý thiên văn, người ta mặc nhiên thừa nhận đó là đường đi của tia sáng-sóng điện từ giữa hai điểm đó

Trong hình học Euclid, tổng các góc trong của một tam giác bằng 180°, nhưng trong hình học phi Euclid, tổng các góc đó không bằng 180°, và phụ thuộc vào kích thước của tam giác đó

Hình học Lobachevsky là hình học do ông xây dựng lên, từ ý tưởng không công nhận tính thống nhất hệ thống các tiên đề do Euclide xây dựng Khởi đầu, các nhà toán học đương thời gọi hình học do ông xây dựng lên là hình học ảo, nhưng ngày nay hình học Lobachevsky đã trở nên rất thực được kiểm chứng qua các kết quả nghiên cứu thiên văn vũ trụ, và không gian Lobachevsky đã trở thành không gian thực

2.2 Một số tính chất khác trên nửa phẳng Poincare'

2.2.1 Các định nghĩa

2.2.1.1 Điểm Lobasepki

Gọi mỗi điểm của H là một điểm Lob(viết tắt của Lobasepki)

2.2.1.2 Đường thẳng, đoạn thẳng Lobasepki

Các nửa đường thẳng trong H2

trực giao với Ox hay nửa đường tròn trong

t

t q

2

1 1

t t

dt t

2

1 0

t

t t

t

t r

t

t r

p= t2 q= t1

 t3

r

Suy ra p, q q, r

2

3 2

ln ln

t t

t

2 1

3 2

t t

t t

p, r

* Trường hợp 2: Giả sử p, q, r có hai trong ba điểm thuộc nửa đường tròn Ơclit

có tâm trên Ox và hai điểm còn lại thuộc nửa đường thẳng mở trực giao với Ox Giả sử rằng: px0 R1cost1,R1sint1

t tg

2 / ln

s

s r

1 1 3 1 1 0

sin sin

cos cos





R t R

R x t R x

1 2 1 3

sin

cos

s t R

x t R x

1 2 2 3

sin

cos

s R

x R

t tg

t tg

=ln

2

cos 2

cos 2

sin 2 sin

2

cos 2

cos 2

sin 2 sin

1 2 1 1

1 1 2 2

t t

1 2

2 1

2 1

2 cos 2 cos

2 sin 2 sin sin sin

sin sin

2 sin 2 sin

2

2

1 2

R t

t

, ln

sin

sin ln sin

sin

sin sin

1 2 1

1

2 2 1

Đường dạng a là ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox và đường dạng b

là ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox

2.2.1.4.3 Mệnh đề: Trong H2

, khoảng cách p, q bằng độ dài của đoạn pq (khi

p, q thuộc ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox) hoặc bằng độ dài cung

pq (khi p, q thuộc ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox)

Chứng minh:

+) Khi p,q thuộc cung dạng a (tức là ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox

), độ dài cung đoạn t1 ,t2 nối p=  t1 với q=  t2 (t1<t2) đó là cận dưới của độ dài cung đoạn nhẵn trong H2

nối p, q Coi cung này xác định bởi tham số

s(x(s),y(s)) với r s 1 p; r s2 q s 1 s2 thì độ dài cung đoạn rs1, s2 bằng :

1 2

1

' '

s s

dy ds

s y

s y ds s

y

s y

s

x

=t1,t2

+) Khi p, q thuộc ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox (cung dạng b), lúc

đó tồn tại phép đẳng cự f biến cung dạng b thành cung dạng a (xem  6 )

  '

; '

'

: pq p q f  

f  (,' lần lượt là cung nối p với q; p’ với q’)

Ta có độ dài cung pq bằng độ dài cung p’q’’ '  (do f đẳng cự và p’q’ là cung

r p

s q r p







 ) (

r p





:

s q

r q