Hình học phi euclid mô hình nửa phẳng poincaré

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã dành nhiều tâm huyết truyền đạt những kiến thức quý báu, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học và luận văn. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS.Nguyễn Duy Bình, người đã đặt bài toán và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hướng dẫn, đóng góp ý kiến quý báu để tôi hoàn thành khoá luận này. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn các thầy giáo trong chuyên ngành Hình học -Tôpô đã giảng dạy hướng dẫn, giúp đỡ trong học tập và viết luận văn. Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, tổ toán Trường THPT Hồng Lĩnh cùng các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện cho tôi trong quá trình theo học chương trình cao học tại Trường Đại học Vinh cũng như để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Vinh, tháng 9 năm 2013 Tác giả luận văn - 2 - MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 3 Chương 1: Nửa phẳng Poincare ’ 4 1.1. Đa tạp Riemann 2 chiều 4 1.2. Nửa phẳng Poincare ’ 7 1.3. Đường trắc địa trên nửa phẳng Poincare ’ 9 Chương 2: Hình học trên nửa phẳng Poincare ’ 13 2.1. Các yếu tố của hình học phi Euclid 13 2.2. Một số tính chất khác trên nửa phẳng Poincare ’ 15 2.3. Hình lồi trên nửa phẳng Poincare ’ 33 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 - 3 - I. MỞ ĐẦU Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởi Bolyai, Gauss, Riamann. Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỉ XIX và đã có nhiều ứng dụng trong cơ học, vật lý học và các ngành khác của kỹ thuật. Nó được xem như một sự mở rộng tự nhiên của hình học Lobasepki. Nửa phẳng Poincaré là một ví dụ đáng chú ý của đa tạp Riemann 2- chiều. Với mô hình nửa phẳng Poincaré không những hình học Lobasepki được công nhận mà loài người đã tiến được từ “ hình học vật lý ’’ lên “hình học toán học’’. Nửa phẳng Poincaré đã được trình bày trong một số tài liệu, giáo trình hình học như: “Hình học vi phân’’ của Đoàn Quỳnh(2003), “Mở đầu hình học Riemann’’ của Nguyễn Hữu Quang và nhiều tài liệu khác về hình học Riemann và hình học Lobasépki Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu về các tính chất của đa tạp Riemann, trên cơ sở đó nghiên cứu các tính chất hình học trên nửa phẳng Poincaré, dùng mô hình nửa phẳng Poincaré nghiên cứu các hệ tiên đề của hình học Lobasepski, diện tích tam giác, các điều kiện bằng nhau của hai tam giác Lobasepski và các công thức lượng giác Lobasepki. Nghiên cứu tính chất của hình lồi trên nửa phẳng Poincare ’ . Với mong muốn tìm hiểu một số yếu tố của hình học Euclid, chúng tôi chọn đề tài: " Hình học phi Euclid: Mô hình nửa phẳng Poincare ’ ” Luận văn được trình bày trong 2 chương: Chương 1: Nửa phẳng Poincare ’ Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các khái niệm cơ bản của đa tạp Riemann 2- chiều, xây dựng nửa phẳng và các tính chất của nửa phẳng - 4 - Poincaré, các kết quả cơ bản về đường trắc trên nửa phẳng Poincare ’ , các kiến thức đó là kiến thức cơ sở cho chương tiếp theo. Chương 2: Hình học trên nửa phẳng Poincaré Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dung hình học trên nửa phẳng Poincaré. Đây chính là nội dung chính của luận văn, tác giả trình bày một số yếu tố của hình học phi Euclid, các định nghĩa và mệnh đề của hình học Lobsepki, hệ thức lượng giác, diện tích tam giác và điều kiện bằng nhau của các tam giác Lobasepki, đưa ra liên hệ giữa hình học Lobasepki và hình học Ơclit, nêu định nghĩa và tính chất của hình lồi trên nửa phẳng Poincare ’ . Luận văn được hoàn thành vào tháng 9 năm 2013 tại trường Đại học Vinh. - 5 - CHƯƠNG 1: NỬA PHẲNG POINCARE ’ 1.1. Đa tạp Rieman 2-chiều 1.1.1. Định nghĩa: Cho M là đa tạp khả vi 2-chiều. Một cấu trúc Rieman trên M là ánh xạ g: p p g ; p  M. Trong đó p g thỏa mãn : i, p g là tích vô hướng trong MT p . ii, g phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa là g(X,Y)(p)=   ppp YXg , và g là hàm khả vi theo p). M cùng với cấu trúc g xác định ở trên được gọi là đa tạp Rieman 2-chiều, kí hiệu là M hay (M,g). 1.1.2. Ví dụ: - Giả sử S là một mặt trong 3 E =Oxyz. Với mỗi p  S ta đặt:   ppp YXg , = pp YX . . Khi đó S là đa tạp Rieman 2-chiều (ở đây pp YX . là tích vô hướng thông thường của pp YX , trong . 3 E - Nửa phẳng Poincaré (mục 1.2). 1.1.3. Liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp Định nghĩa : Cho M là đa tạp Rieman 2-chiều. Ánh xạ         YYX MBMBMB X   , : là một liên thông tuyến tính trên đa tạp M nếu thỏa mãn: +)   ZYZY XXX  +) ZZZ YXYX   +) YY XX       F (M). +)     ;. YYXY XX      F(M) (trong đó F (M) ={  | RM :  là hàm khả vi). - 6 - Liên thông tuyến tính  được gọi là liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp   thỏa mãn   XYYX YX , và 0 g z . 1.1.4. Đường trắc địa trên đa tạp Rieman 2- chiều Xét cung tham số trên đa tạp Rieman 2- chiều M tức ánh xạ (khả vi) MJ  :  , t    t  , J là khoảng mở trong R. Trường véc tơ dọc  là ánh xạ X:   MTI t   ;     MTtXt t   . Giả sử   21 ,UU là trường mục tiêu khả vi trên tập mở U chứa   t  , khi đó trong lân cận J  I của trường véc tơ X dọc  có thể biểu diễn bởi :               tUttUttX  2211  trong đó RJ :, 21  X được gọi là khả vi tại t nếu 21 ,  khả vi tại t, X được gọi là khả vi nếu X khả vi tại It   . 1.1.4.1. Định nghĩa: Giả sử X là trường véc tơ dọc cung tham số MJ  :  , t    t  , ta xác định trường véc tơ dt X  như sau: Với mỗi It  0 ta lấy trường trực chuẩn   21 ,UU trong một lân cận của   0 t  , ta viết               tUttUttX  2211  Đặt:                 01020 1 2010 .''' tUtttt dt X                02010 2 102 .''' tUttt   trong đó 2 1 1 2   là dạng liên kết của (M,g) trong trường mục tiêu đã chọn. Khi đó dt X  được gọi là đạo hàm của trường véc tơ X dọc  . 1.1.4.2. Định nghĩa: Giả thiết đường cong  trên đa tạp Rieman M được cho bởi tham số hóa MJ  :  (J là khoảng mở trong R và  khả vi ), - 7 -  được gọi là đường trắc địa trên M nếu và chỉ nếu 0 '   dt  hay trường véc tơ tiếp tuyến  ’ là trường véc tơ song song dọc  . Ví dụ: Đường trắc địa trong 2 R là đường thẳng. Chứng minh: Giả sử  cho bởi  :[a;b] 2 R t          txtxt 21 ,  là một đường trong 2 R .  là đường trắc địa 0 '    dt    0'0 '  tx dt D i    aaa 21 ,'0''   Suy ra :           tatx tatx 222 111 .    R   Vậy:  là đường thẳng.(đpcm) 1.1.4.3. Chú ý :  là đường trắc địa thì '  là hằng . Chứng minh:   0 ' '.'. '','      dt dt dt d      const   ''.     ct  '  . 1.1.4.4. Định lý: Trong bản đồ địa phương     ,U trên M, ta giả sử         ttt 21 ,   . Khi đó  trắc địa khi và chỉ khi : ji ji k jik  ''' , ,   =0; 2,1k Chứng minh:  trắc địa  0 '   dt      2 1 2 1 .'.'.' i ii i ii UU       2 1 2 1 .''.'.' i iUji i ii UU i  ]=0,       2 1 2 1 2 1 2 1 )].'('.['.' i k j k k ij j i i ii UU  , 2,1k - 8 -             2 1 '''' k k k ijik U  2,1k  ji ji k jik  ''' , ,   =0 2,1k 1.1.4.5. Hệ quả:  Cho MTRtMp p   ,, 0 . Khi đó có khoảng mở J chứa t 0 có đường trắc địa  với tham số hóa MJ  :          00 ',, tpttt   Nếu có tham số hóa MJ :  trắc địa và t 0 JJ            0000 '', tttt thì JI JI    '  Chứng minh: Thật vậy: Từ Định lý 1.1.4.4, ta có: 0 , 2 2   dt d dt d dt d j i ji k ii k   Hệ phương trình trên tương đương với hệ phương trình vi phân:           ji jiii k k k yy dt dy y dt dx , (ở đây     kk yyxx , ) Áp dụng lý thuyết hệ phương trình vi phân cấp 1 trong n R 2 ta có Hệ quả 1.1.4.5. 1.2. Nửa phẳng Poincaré 1.2.1. Xây dựng nửa phẳng Poincaré Xét M=     0|, 22  yRyxpH là đa tạp khả vi. Ta đưa vào tích vô hướng :   ppppp YX y YXgpg . 1 ,: 2  trong đó   2 , Hyxp  Khi đó g là tích vô hướng trên H 2 ta có g p là tích vô hướng trên T p H 2 . Ta kiểm tra các điều kiện sau : - 9 - *   ppp XXg , = pP XX y . 1 2 = 2 2 1 p X y p    ppp XXg , =0  0 2  p X    p X p    X . *) g p có tính chất giao hoán   ppppp YX y YXg . 1 , 2  = pp XY y . 1 2 =   ppp XYg , . *) g p song tuyến tính   pppp ZYXg , = ppp ZYX y ).( 1 2  , = ) ( 1 2 pppp ZYZX y  , = pppp ZY y ZX y . 1 . 1 22  , =   ppp ZXg , +   ppp ZYg , . Vậy: g p là tích vô hướng trên T p H 2 . *) g khả vi Thật vậy g(X p ,Y p )= pP YX y . 1 2 =  i ii YX y . 1 2 (ở đây ii YX , là tọa độ của X,Y). Do X,Y khả vi nên ii YX , khả vi   i ii YX y 2 1 khả vi => g khả vi. Vậy (H 2 ,g) là đa tạp Rieman 2-chiều và được gọi là nửa phẳng Poincaré. - 10 - 1.2.1.1. Định lý: Nếu   gM , là đa tạp Riemann 2-chiều thì có một và chỉ một hàm số khả vi K trên M sao cho với trường đối mục tiêu   21 ,  của trường mục tiêu trực chuẩn   21 ,UU tuỳ ý trên tập mở V của M ta có: d 211 2   K (trong đó 1 2  là dạng liên kết của   gM , ) 1.2.1.2. Định nghĩa: Hàm K nói trên được gọi là độ cong Gauss của đa tạp Riemann 2-chiều. 1.2.1.3. Mệnh đề: H 2 có độ cong Gauss hằng K=-1. Chứng minh Gọi   21 , EE là trường mục tiêu song song tương ứng với hệ tọa độ Oxy trên R 2 , khi đó 11 yEU  , 22 yEU  thì   21 ,UU là trường mục tiêu trực chuẩn trên H 2 và   21 ,  với y dx  1  , y dy  2  là trường đối với mục tiêu   21 ,UU . Ta có : 21 22 1 11 .0             dydx y dxdy y dxd 11 2 2 0 1 .0             dydy y dxd Suy ra dạng liên kết của H 2 ứng với trường mục tiêu trực chuẩn   21 ,UU là 1 2  = 1   . Khi đó 2111 2   dd . Từ đó H 2 có độ cong Gauss K=-1. 1.3. Đường trắc địa trên nửa phẳng Poincaré 1.3.1. Mệnh đề: Các đường trắc địa của H 2 là các đường thẳng song song với trục Oy và các nửa đường tròn có tâm thuộc trục Ox. Chứng minh : Giả sử 2 : HJ   (J là khoảng mở trong R và  khả vi )             tvttutt  21 ,  .  là đường cong trên 2 H cho bởi tham số  . Khi đó               tEtvtEtut  21 '''  [...]... thể xây dựng một thứ hình học khác, trong đó tiên đề thứ năm là không đúng Cả ba người đều đạt được kết quả Từ đó ra đời hình học phi Euclid 2.1.4 Hình học phi Euclid Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và... đó qua A có một đường trắc địa là nửa đường thẳng (Ơclit) song song với trục Oy và vô số các đường trắc địa là nửa đường tròn(Ơclit) có tâm thuộc trục Ox không cắt g A g O Hình 4 CHƯƠNG 2: HÌNH HỌC TRÊN MÔ HÌNH NỬA PHẲNG POINCARE’ 2.1 Các yếu tố của hình học phi Euclid 2.1.1 Định đề thứ 5 của Euclid 2.1.1.1 Định đề thứ 5 Nếu hai góc trong cùng phía tạo bởi một cát tuyến với hai đường thẳng có tổng nhỏ... (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởi Bolyai,Gauss, Riemann - 16 - Hình học phi Euclid là cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối của Albert Einstein, thông qua việc đề cập đến độ cong hình học củakhông gian nhiều chiều Hình học Lobachevsky (còn gọi hình học hyperbolic) do nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky khởi xướng, dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về đường thẳng... thuyết tương đối rộng, trong cơ học lượng tử và trong vật lý thiên văn, người ta mặc nhiên thừa nhận đó là đường đi của tia sáng-sóng điện từ giữa hai điểm đó Trong hình học Euclid, tổng các góc trong của một tam giác bằng 180°, nhưng trong hình học phi Euclid, tổng các góc đó không bằng 180°, và phụ thuộc vào kích thước của tam giác đó Hình học Lobachevsky là hình học do ông xây dựng lên, từ ý tưởng... nhận tính thống nhất hệ thống các tiên đề do Euclide xây dựng Khởi đầu, các nhà toán học đương thời gọi hình học do ông xây dựng lên là hình học ảo, nhưng ngày nay hình học Lobachevsky đã trở nên rất thực được kiểm chứng qua các kết quả nghiên cứu thiên văn vũ trụ, và không gian Lobachevsky đã trở thành không gian thực 2.2 Một số tính chất khác trên nửa phẳng Poincare' 2.2.1 Các định nghĩa 2.2.1.1... đường thẳng Lob  dạng a vuông góc với cả hai dường thẳng đã cho  O - 26 - I Hình 16 x  +)Nếu hai đường thẳng Lob cho trước là hai đường dạng b ( hai nửa đường tròn không đồng tâm) thì tồn tại duy nhất đường thẳng Lob  dạng b vuông góc với hai O đường đã cho Hình 17 x 2.2.3 Hệ thức lượng giác Lobasepki trên mô hình nửa phẳng Poincaré 2.2.3.1 Định nghĩa: Tam giác trắc địa Lobasepki (gọi tắt là tam giác... được ba cạnh a’, b’, c’ Kết hợp định lý 2.2.5.2.1 ta có ABC  A' B' C ' Nhận xét: Trong hình học Lobasepki không có hai tam giác đồng dạng kích thước khác nhau 2.3 Hình lồi trên mô hình nửa phẳng Poincare’ 2.3.1 Định nghĩa: Tập lồi là tập trên đó luôn chứa một đoạn trắc địa nối hai điểm bất kì thuộc tập đó Hình 21 2.3.2 Tính chất: 2.3.2.1.Mệnh đề : Giao của một họ tập lồi là một tập lồi, hợp của... của 2 mặt phẳng đó song song với đường thẳng đã cho 2.1.3 Sự ra đời của hình học phi Euclid Nhiều nhà toán học nghi ngờ rằng Định đề Euclid là một định lý, nghĩa là có thể suy ra từ các tiên đề khác và loay hoay tìm cách chứng minh nó Nhưng không một ai thành công Đến thế kỷ thứ 19, hầu như đồng thời và độc lập với nhau, ba nhà toán học ở Nga (Nikolai Ivanovich Lobachevsky), Đức (Carl Friedrich Gauss),... đường trắc địa g là nửa đường thẳng (Ơclit) song song với trục Oy thì khi đó qua A có một đường trắc địa (là nửa đường thẳng(Ơclit) song song với trục Oy) và vô số các đường trắc địa (là nửa đường tròn Ơclit có tâm thuộc trục Ox) không cắt g - 13 - x g A x Hình 3 Trường hợp 2: Nếu đường trắc địa g là nửa đường tròn (Ơclit) có tâm thuộc trục Ox thì khi đó qua A có một đường trắc địa là nửa đường thẳng (Ơclit)... của nửa đường 1 tròn mở trực giao với Ox) Khi đó: +) Nếu A   và A là điểm chính giữa của  A thì duy nhất đường Lobasepki dạng a (tức là ảnh của nửa đường thẳng mở x  trực giao với Ox) vuông góc  O Hình 12 I x +) Nếu A   và A không phải là điểm chính giữa của  thì tồn tại duy nhất đường  Lobasepki  1 dạng b (tức là ảnh của nửa 1 A đường tròn mở trực giao với Ox) vuông góc   1 là nửa . hình học khác, trong đó tiên đề thứ năm là không đúng. Cả ba người đều đạt được kết quả. Từ đó ra đời hình học phi Euclid. 2.1.4. Hình học phi Euclid Hình học phi Euclid là bộ môn hình học. cứu tính chất của hình lồi trên nửa phẳng Poincare ’ . Với mong muốn tìm hiểu một số yếu tố của hình học Euclid, chúng tôi chọn đề tài: " Hình học phi Euclid: Mô hình nửa phẳng Poincare ’. “ hình học vật lý ’’ lên hình học toán học ’. Nửa phẳng Poincaré đã được trình bày trong một số tài liệu, giáo trình hình học như: Hình học vi phân’’ của Đoàn Quỳnh(2003), “Mở đầu hình học