Nửa phẳng poincaré và hình học hyperbolic

Mục lục Trang mở đầu .2 Ch-ơng Hình học Riemann chiều 1.1 Đa tạp Riemann chiều .4 1.2 Dạng liên kết đa tạp Riemann chiều 1.3 Đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann chiều 1.4 ánh xạ đẳng cự đa tạp Riemann chiều .9 Ch-ơng Nửa phẳng Poincaré hình học Hyperbolic 11 2.1 : Nửa phẳng Poincaré 11 2.2: Hình học Hyperbolic .19 2.3 : Nhóm biến đổi đẳng cự H 25 2.4 : Nhóm tham số U .37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo .41 Lời nói đầu Sơ l-ợc vấn đề: Hình học Riemann đ-ợc xem nh- mở rộng tự nhiên hình học Hyperbolic.Vấn đề chủ yếu đ-ợc Riemann quan tâm độ cong không gian mà chủ yếu không gian với độ cong Mục đích luận văn sở hình học Riemann hai chiều sâu nghiên cứu đối t-ợng cụ thể , hình học Hyperbolic thông qua mô hình nửa phẳng Poincaré Bài toán đặt tìm hiểu số tính chất, quỹ đạo nhóm tham số biến đổi đẳng cự nửa phẳng Poincaré hình học Hyperbolic Luận văn đ-ợc chia thành ch-ơng : Ch-ơng I : Hình học Riemann chiều Trong ch-ơng trình bày khái niệm đa tạp Riemann 2-chiều, kiến thức sở cho ch-ơng Cũng vậy, kiến thức đ-ợc trình bày theo tinh thần cô đọng Ch-ơng gồm mục 1.1 Đa tạp Riemann chiều 1.2 Dạng liên kết đa tạp Riemann chiều 1.3 Đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann chiều 1.4 ánh xạ đẳng cự đa tạp Riemann chiều Ch-ơng II : Nửa phẳng Poincaré hình học Hyperbolic : Ch-ơng trình bày mục sau : 2.1 : Nửa phẳng Poincaré Trong mục nghiên cứu số tính chất hình học nửa phẳng Poincaré đồng thời trình bày kết đ-ờng trắc địa độ dài cung đoạn H2 2.2 : Hình học Hyperbolic Trong mục nghiên cứu số khái niệm tính chất hình học Hyperbolic Chứng minh cụ thể mối quan hệ điểm Hyperbolic đ-ờng thẳng Hyperbolic nh- mối quan hệ đ-ờng thẳng Hyperbolic, sở đ-a tính toán đ-ợc hai ví dụ cụ thể 2.3 : Nhóm biến đổi đẳng cự H Trong mục thông qua nhóm ánh xạ phân tuyến tính có điều kiện nghiên cứu nhóm biến đổi đẳng cự H2 xem xét tr-ờng hợp hai tam giác Hyperbolic từ góc độ nhóm phép đẳng cự 2.4 : Nhóm tham số U Trong mục tìm quỹ đạo số nhóm tham số nhóm ánh xạ phân tuyến tính có điều kiện Luận văn đ-ợc hoàn thành vào tháng 12 năm 2007 tr-ờng Đại học Vinh Tác giả chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Duy Bình đặt toán h-ớng dẫn tác giả trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô khoa sau đại học, thầy cô khoa Toán, Sở GD&ĐT Nghệ An, BGH đồng nghiệp tr-ờng THPT Diễn Châu 5, gia đình, bè bạn tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập Tác giả Ch-ơng I Hình học RIEMANN - chiều Nh- biết , đa tạp Riemann khái niệm đ-ợc trình bày chi tiết nhiều tài liệu chuyên khảo hình học , chẳng hạn [3] Trong ch-ơng trình bày khái niệm tính chất đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann 2- chiều 1.1 Đa tạp Riemann hai chiều 1.1.1 Định nghĩa : Cho M đa tạp khả vi - chiều Một (cấu trúc) mêtric Riemann g M việc đặt t-ơng ứng p M với tích vô h-ớng , p TpM cho tích vô h-ớng phụ thuộc vào p cách khả vi, tức với hai tr-ờng véc tơ (tiếp xúc) khả vi X,Y M hàm số p X ( p), Y ( p) P khả vi M M với cấu trúc g xác định đ-ợc gọi đa tạp Riemann - chiều Ký hiệu M hay (M, g) 1.1.2 Tính chất : Trên đa tạp khả vi - chiều M tồn mêtric g Chứng minh : Giả sử M đa tạp với hệ đồ U , B (U ) = { X | X tr-ờng véc I tơ tiếp xúc , khả vi M } Ta xét g ( X , Y ) ( X ).(Y ) ; X , Y B (U ) ( g đ-ợc gọi mêtric cảm sinh tích vô h-ớng thông th-ờng R 2) Ta ký hiệu {} phân hoạch đơn vị ứng với U I ( p ).g ( X p ,Y p ); Ta đặt g ( X , Y ) | p 0; p U p U Khi g g mêtric M I Vậy M tồn mêtric g 1.1.3 Liên thông Lêvi-Sivita đa tạp a) Định nghĩa : Cho M đa tạp Riemann - chiều ánh xạ : B(M) B(M) (X, Y) B(M) X Y Đ-ợc gọi liên thông tuyến tính đa tạp M thoã mãn : +) X (Y Z ) X Y X Z +) X Y Z X Z Y Z +) X Y X Y ; F (M) +) X (Y ) X []Y X Y ; F (M) Chú ý : Giả sử M đa tạp khả song với tr-ờng mục tiêu {E 1, E2} Ta có biểu diễn E E j = i k k i j thành phần liên E k với i ,j =1,2 Khi ik j thông b) Định nghĩa : Liên thông tuyến tính đ-ợc gọi liên thông LêviSivita thoã mãn [X,Y] = X Y Y X Z g , ( g ( X ,Y ) X , Y ) 1.2 Dạng liên kết đa tạp Riemann chiều Giả sử (M,g) đa tạp Riemann - chiều ; {U1,U 2} tr-ờng mục tiêu trực chuẩn M , ,2 tr-ờng đối mục tiêu {U 1,U2 } ; liên thông Lêvi-Sivita M Khi tồn dạng vi phân i j M cho X B(M) ta có : X U1 11 ( X )U1 21 ( X )U ; X U 12 ( X )U1 22 ( X )U 1.2.1 Mệnh đề : 11 22 21 12 Chứng minh : X B (M) ta có X [U1 ,U ] U , X U1 X U ,U 11 ( X ) U1 , U1 11 ( X ) ; Vậy 11 Chứng minh t-ơng tự ta có 22 Do U , U nên X [U1 ,U ] U1 , X U X U ,U 12 ( X ) 12 ( X ) ; X B (M) Vậy 12 12 1.2.2 Định nghĩa : Dạng vi phân 12 đ-ợc gọi dạng liên kết (M,g) ứng với tr-ờng mục tiêu {U1 ,U2} 1.2.3 Tính chất (Xem [8]) d1 12 d2 12 1.2.4 Nhận xét : Do d12 (M ) sở (M ) nên Trên M tồn hàm số nhẵn K cho d12 K 1.2.5 Định nghĩa : Hàm số K nhận xét 1.2.4 đ-ợc gọi độ cong Gauss (M,g) 1.3 Đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann - chiều Bây ta xét cung tham số (M,< , >), : I M , t (t ) I khoảng R Tr-ờng véc tơ X dọc ánh xạ X: I T( t) M t X (t ) T(t ) M Giả sử {U1,U 2}là tr-ờng mục tiêu khả vi tập mở U chứa (t ) , lân cận J I tr-ờng véc tơ X dọc biểu diễn X(t) = (t )U1 ( (t )) (t )U ( (t )) ,2 : J R X đ-ợc gọi khả vi t ,2 khả vi t X đ-ợc gọi khả vi X khả vi t I 1.3.1 Định nghĩa : Giả sử X tr-ờng véc tơ dọc cung tham số : I M , t (t ) , ta xác định tr-ờng véc tơ X nh- sau : dt Với t I ta lấy tr-ờng mục tiêu trực chuẩn {U 1,U2 } lân cận (t ) , ta viết X(t) = (t )U ( (t )) (t )U ((t )) Đặt : X (t ) (1 (t ) ( (t ). (t ) (2 (t ) ( (t ).1 (t )).U ( (t ) (t )).U ( dt Trong 12 12 dạng liên kết (M,g) ứng với tr-ờng mục tiêu {U1,U2 } Khi X đ-ợc gọi đạo hàm tr-ờng véc tơ X dọc dt ) Định nghĩa không phụ thuộc vào tr-ờng mục tiêu chọn ( Xem [8]) 1.3.2 Độ cong trắc địa Trên đa tạp Riemann định h-ớng (M,g) , cho cung quy định h-ớng với tham số hóa tự nhiên : J M ; s (s) Đặt T = (s) Với s J lấy N (s) T( s) M cho T ( s), N ( s)là sở trực chuẩn thuận T( s) M Ta có T ,T d T , T ds T ,T ds Vì tồn hàm số k g : J R cho T k g N Khi k g đ-ợc gọi ds độ cong trắc địa cung 1.3.3 Định nghĩa : Cho M đa tạp Riemann hai chiều Khi : i ) Cung quy định h-ớng M với tham số hóa đ-ợc gọi đ-ờng trắc địa độ cong trắc địa kg không ii ) đ-ờng cong M đ-ợc cho tham số hoá : J M với J khoảng mở R khả vi.Tham số hoá đ-ợc gọi cung trắc địa M =0 dt 3.4 Tính chất: Trong đồ địa ph-ơng U, M Đ-ờng cong M đ-ợc cho tham số hoá : J M ; t (t ) (1 (t ), (t )) trắc địa k k i j i j = ; k 1,2 i.j Chứng minh : trắc địa = dt ' U i i i Ui , k 1,2 i i ' U i Ui i i j U j i1 i j , 2 U i i i j U j U i i1 i j , k 1,2 k 1,2 2 k i U i i ( j (i jU k ))0 , k 1,2 i1 i1 j k k Uk k i j i j 2 k i, j1 , k 1,2 i k j , k 1,2 k i j = i j 1.4 ánh xạ đẳng cự đa tạp Riemann - chiều 1.4.1 Định nghĩa : Giả sử f : M N ánh xạ khả vi hai đa tạp Riemann - chiều M , N.Với p M ta có ánh xạ Tpf : T pM Tf(p)M đ-ợc xác định nh- sau : Lấy p Tp M , coi p = (t ) ,với : [a , b] M , t (t ) cung tham số M ta có Tpf( p ) = (f ) (t ) Khi ánh xạ T pf đ-ợc gọi ánh xạ tiếp xúc f p , ký hiệu f p 1.4.2 Nhận xét : ánh xạ f p ánh xạ tuyến tính 1.4.3 Định nghĩa : M , N đa tạp Riemann - chiều , ánh xạ (khả vi) f : M N gọi ánh xạ đẳng cự với điểm p M , ánh xạ Tp f : T p M T f ( p ) N bảo tồn tích vô h-ớng, nghĩa f , f , , T p M 1.4.4 Tính chất : +) f ánh xạ vi phôi đẳng cự f ánh xạ vi phôi đẳng cự +) Tích ánh xạ đẳng cự ánh xạ đẳng cự Chứng minh : +) f : M N , f : N M , Tf ( p ) N , ( f ) (t ) , ( f ) (t ) T f ( p) f () ( f f (t1 ) (t1 ) ; ) 10 T f ( p) f () ( f f ) (t ) (t ) T f ( p ) f (),T f ( p ) f ( ) (t1 ), (t ) ( f ) (t1 ), ( f ) (t ) , Vậy f : N M ánh xạ đẳng cự +) Giả sử f, g ánh xạ đẳng cự , f : M N , g : N Z với , Tp M ta có : < Tp ( g f )(), Tp (g f )() T f ( p ) g T p f (), T f ( p ) g Tp f ( ) = T f ( p ) g (T p f ()), T f ( p ) g (Tp f ( )) = T p f (), Tp f ( ) = Vậy g f ánh xạ đẳng cự 27 z Xét f : z Giả sử z = (x , y) H2 , ta có = (u , v) = ( z Khi hay u x y , ũx ( x y ) u v ũx ũy x , y ) x y x y u 2xy v xy v x y , , ũy ( x y ) ũx ( x y )2 ũy (x y ) u v ũy ũx áp dụng dấu hiệu Cauchy - Riemann ( Xem [4]) ta có f khả vi Do f f f f f khả vi +) f-1 khả vi : Nếu nên Vậy f -1(z) = z - tích hai ánh xạ khả vi Nếu f f1 : z z f2 : z z - nên f -1 khả vi (z ) (z ) Và f-1(z) tích ánh xạ sau: f1 : z z z1 ; f : z2 z3 ; z2 f : z1 z1 z f : z3 z3 Do f , f , f , f ánh xạ khả vi H2 nên f f f f f khả vi Vậy f song ánh f , f khả vi nên f : H H vi phôi 2.3.2 Định lí : U đẳng cấu nhóm với tất ma trận vuông thực cấp có định thức Chứng minh : a b M2 = | a, b, c, d R; ad bc c d +) Xét : U2 M2 z f ( z) z 28 Ta cần chứng minh đẳng cấu nhóm ) đồng cấu : Xét f , f U mà z f ( z) U ; z Ta có : ( f f )( z) ( z f ( z) U z z( ) ) z( ) = = = (( f ) ( f ))(z ) ; z H ( f f ) ( f ) ( f ) hay đồng cấu Từ suy ) song ánh : z z đơn ánh : Lấy f ( z) U f (z ) U z z mà ( f ) ( f ) Khi ta có z z = z z f f a b toàn ánh : Với A = M tồn c d az b f (z ) U để ( f ) A cz d Vậy đồng cấu song ánh nên đẳng cấu 29 2.3.3 Nhận xét : a) Đ-ờng tròn (Euclid) C (I (k ,0), R ) cho ph-ơng trình dạng phức z z kz k z k R b) Đ-ờng thẳng (Euclid) x b = cho ph-ơng trình dạng phức z z 2b 2.3.4 Biến đổi đẳng cự H a) Định nghĩa: ánh xạ khả vi f : H H đ-ợc gọi ánh xạ đẳng cự p H f , f ( f ( p )) , ( p ) , với , hai tr-ờng véc tơ H2 b) Nhận xét : f ánh xạ đẳng cự f E i , f E j ( f ( p )) E i , E j ( p ) , p H i , j =1,2 Trong {E1, E2}là tr-ờng mục tiêu song song tắc H2 Giả sử f : H H , ( x, y) (u(x,y), v(x,y)) u x v x Thì f E1 ( f ( p )) E1 ( f ( p)) E ( f ( p) u v f E ( f ( p )) E1 ( f ( p)) E ( f ( p) y y Nên f đẳng cự hai điều kiện sau thoả mãn u v u v 1 ( ) ( ) = ( ) ( ) x v ( x , y ) y v ( x, y) y ũx ũy u u v v x y x y 2.3.5 Mệnh đề : Xem H2 = { (x,y)R \ y 0} = { zC \ Imz > 0} ánh xạ sau ánh xạ đẳng cự H2 +) z z a ( a R ) +) z kz ( Phép tịnh tiến với ph-ơng song song ox ) ( k R ) ( Phép vị tự tâm O tỉ số k ) +) z z ( Phép đối xứng qua trục oy ) +) z ( Phép nghịch đảo tâm O(0,0) ph-ơng tích ) z +) z - z 30 Chứng minh : +) Giả sử z = (x , y)H2 , ta có z + a =(u , v) = (x+a , y).Khi : u u v v u v 1 , , , nên ( ) ( ) ũx y x y x v ( x, y) y ũx u v 1 ( ) ( ) y v ( x , y ) y ũy T-ơng tự Mặt khác ta có : u u v v ũx y x y Vậy z z a ánh xạ đẳng cự (theo nhận xét 2.3.4 (b)) +) Giả sử z = (x , y)H , ta có kz =(u , v) = (kx, ky) Khi : u v nên ( ) ( ) u u u v k , , , k ũx y x y ũx u v 1 ( ) ( ) y v (x , y ) y ũy T-ơng tự Mặt khác ta có : x v ( x, y) y u u v v ũx y x y Vậy z kz ánh xạ đẳng cự ( theo nhận xét 2.3.4 (b)) +) Giả sử z = (x , y)H , ta có - z = (u , v) = (- x, y) Khi : u v nên ( ) ( ) u u v v , , , ũx y x y ũx x v ( x, y) y u v 1 ( ) ( ) y v ( x , y ) y ũy T-ơng tự Mặt khác ta có : u u v v ũx y x y Vậy z z ánh xạ đẳng cự ( theo nhận xét 2.3.4 (b)) +) Giả sử z = (x , y)H2, ta có u y x , ũx ( x y ) z = (u , v) = ( x y , ) Khi đó: x y x y 2 u xy v xy v x y , , nên ũy ( x y ) ũx ( x y ) ũy ( x y ) 31 2 y x xy ( y x ) u v ( ) ( ) ( y x ) ( y x ) y x v ( x, y ) ũx ( x y ) ( x y ) 2 ( x y ) y y 2 u v xy y x ( y x ) ( ) ( ) ( y x ) ( y x ) y v ( x , y ) ũy y ( x y ) ( x y ) 2 ( x y ) y y Mặt khác ta có : u u v v ũx y x y Vậy z ánh xạ đẳng cự ( theo nhận xét 2.3.4 (b)) z z +) Giả sử z = (x , y)H2 , ta có = (u , v) = ( x x y 2 , y x y 2 Khi : u x y , ũx ( x y ) u xy v xy v x y , , ũy (x y )2 ũx ( x y ) ũy ( x y ) 2 x y xy ( y x ) u v nên ( ) ( ) x y ( y x ) y x v ( x, y ) ũx ( x y ) ( x y ) 2 ( x y ) y y 2 u v xy x y ( y x ) ( ) ( ) ( y x ) ( y x ) y v ( x , y ) ũy y ( x y ) ( x y ) 2 ( x y ) y y Mặt khác ta có : u u v v ũx y x y Vậy z ánh xạ đẳng cự z ) 32 2.3.6 Mệnh đề i, Phép tịnh tiến với ph-ơng song song Ox , phép đối xứng qua trục Oy phép vị tự tâm O tỉ số a R bảo tồn đ-ờng dạng a đ-ờng dạng b ii, Tồn phép nghịch đảo tâm thuộc Ox ph-ơng tích d-ơng biến đ-ờng dạng b thành đ-ờng dạng a Chứng minh: i, +) ánh xạ f : z z a ( aR ) phép tịnh tiến với ph-ơng song song Ox mà f : z z kz k z k R f: z z 2b z z (a k ) z (a k ) z ( a k )2 R z z a 2b +) ánh xạ f : z az ( a R ) phép vị tự tâm O tỉ số a mà : f : z z kz k z k R a z z akz ak z k R f : z z 2b az a z 2b +) ánh xạ f : z z phép đối xứng qua trục Oy mà : f : z z kz k z k R z z kz k z k R f : z z 2b z z 2b ii, ánh xạ f : z phép nghịch đảo tâm O(0,0) ph-ơng tích mà : z f : z z kz k z k R ( k R ) z z kz k z Ta thấy k = R f : z z Rz R z Rz R z tức phép nghịch đảo tâm O(0,0) ph-ơng tích biến đ-ờng dạng b thành đ-ờng dạng a 2.3.7 Định lý : Cho T ánh xạ tuyến tính H2 xác định T(x , y) = (-x , y) U2 nhóm phép biến đổi H2 sinh T U Khi U nhóm tất phép đẳng cự H2 33 Chứng minh : +) Giả sử k ánh xạ U2 ,T ánh xạ tuyến tính H2 xác định T(x,y) = (-x,y) , f ánh xạ U .Ta cần chứng minh k ánh xạ đẳng cự Theo mệnh đề 2.3.5 ta có T : z - z ánh xạ đẳng cự Giả sử f : z z ( , , , R =1) z Ta cần chứng minh f ánh xạ đẳng cự : Nếu = f : z đẳng cự f : z z = z ánh xạ f tích ánh xạ z z f : z z + nên f ánh xạ đẳng cự Nếu f ( z) (z ) Và f tích ánh xạ sau : f1 : z z z1 ; f : z z ; z2 f : z1 z1 z2 f : z3 z3 Khi f = f f f f tích ánh xạ đẳng cự f1 , f2 , f3 , f nên f ánh xạ đẳng cự Do U2 nhóm phép ánh xạ H2 sinh T U nên k tích ánh xạ đẳng cự T f Vậy k ánh xạ đẳng cự +) Cho z H , v véc tơ tiếp xúc đơn vị H2 Ta gọi cặp ( z , v) vi phân cung g U : g(z,v) = ( g(z) , g (v) ) với g ánh xạ không gian tiếp xúc cảm sinh ánh xạ g Do U tác động vi phân cung ) U tác động bắc cầu lên vi phân cung Xét z j x j iy j ta có ánh xạ f j : z ( z x j ) biến zj thành điểm i yj 34 Xét f : z (cos ) z sin U f : i i (sin ) z cos Khi ( f ) i : Ti H Ti H phép quay tâm i góc quay Gọi (i ,v0) vi phân cung cố định (z1,v1) , (z 2,v2 ) hai vi phân cung H2 Xét f : z1 i hay f1 ( z1 , v1 ) (i, v1 ) Khi tồn góc mà f : (i, v1 ) (i , v ) Trong U có phép biến đổi đẳng cự f f f : ( z1 , v1 ) (i , v ) T-ơng tự U 2cũng có phép biến đổi đẳng cự g : ( z2 , v2 ) (i, v ) Suy k = g f ( z1 , v1 ) g (i, v0 ) ( z2 , v ) Vậy tồn phép biến đổi đẳng cự U biến vi phân cung thành vi phân cung khác Vậy U tác động bắc cầu lên vi phân cung H2 ) Giả sử k phép đẳng cự ( không thiết phải nằm U2) thoả mãn k ( z , v ) (z , v ) det J k / z0 Gọi v1 , v sở trực chuẩn T( z0 ) Khi ta có k (v1 ) (cos)v1 (sin ) v2 k( v2 ) ( sin )v1 (cos)v cos Vì k ( z , v ) 1( z , v ) giá trị riêng k giá trị riêng Jk cos sin sin cos (cos 1) +sin2 = cos1 k ( v ) v1 J k = ma trận đơn vị hay 1 k (v ) v k làm cho véc t sin với Jk = sin cos T( z0 ) bất biến 35 Mặt khác, phép đẳng cự k biến cung trắc địa thành cung trắc địa cung trắc địa xác định vi phân cung nên k biến đ-ờng trắc địa thành k làm cho điểm tất đ-ờng trắc địa qua z bất biến (vì điểm H2 nối với z0 trắc địa ) k ánh xạ đồng ) Giả sử k phép đẳng cự H2 mà det Jk > k ( z1 , v1 ) (i , v0 ) Giả sử g U g ( z1 , v1 ) (i , v ) Khi ta có : k g ( z1 , v1 ) k (i , v ) ( z1 , v1 ) k g ánh xạ đồng k = g hay k U 2 ) Giả Giả sử k phép đẳng cự H mà det Jk < Xét k k T , det Jk' > Theo chứng minh ta có k U k k T U Vậy U2 nhóm tất phép đẳng cự H 2.3.8 Các điều kiện tam giác Hai tam giác ABC A B C tồn phép đẳng cự H2 biến tam giác ABC thành tam giác A B C Xét e1 ; e lần l-ợt véc tơ đơn vị tiếp xúc với AB AC A Xét e B A C A ; e lần l-ợt véc tơ đơn vị tiếp xúc với A Xét e ; e B A C A 2là véc tơ đơn vị tiếp xúc với A a) Hai tam giác ABC A B C có AB = A B ; AC A C ; AAthì (c.g.c) Chứng minh ) Giả sử { e1 , e2 } { e , e2 } h-ớng Do U tác động cách bắc cầu lên tập vi phân cung nên tồn phép đẳng cự f U cho f( A,e1 ) = ( A, e ), 36 tức f (A ) = A, f (e1 ) e1 Khi cung trắc địa AB xác định ( A,e1 ) biến thành cung trắc địa xác định ( A, e B nên f ( B ) B , ) Vì AB = A Do f bảo toàn góc môđun nên f (e ) e nên đ-ờng trắc địa AC biến thành đ-ờng trắc địa A C Do AC A C nên f (C ) C Cung trắc địa BC qua f biến thành cung trắc địa qua B C .Vì B C cung trắc địa xác định cung trắc địa qua điểm suy f ( BC ) B C Suy tồn f: ABC A B C phép đẳng cự Vậy ABC A B C ) Giả sử { e1 , e2 } { e , e } ng-ợc h-ớng Xét T ánh xạ đẳng cự H2 xác định T(x,y) = (-x,y) T-ơng tự cách chứng minh T biến tam mà { e1 , e } { e1 giác ABC thành tam giác A B C , e }ng-ợc h-ớng tồn f ánh xạ đẳng cự biến A B C thành tam giác A B C đặt f1 f T ta có f1 : ABC A B C phép đẳng cự Vậy ABC A B C b) Hai tam giác ABC A B C có AB = A ; AC A C ; BC B C B (c.c.c) Chứng minh Sử dụng hệ thức l-ợng giác tam giác Hyperbolic ta có .( Xem [10] ) chc cha.chb sha.shb.cos C chc cha.chb sha.shb cos C Suy CC , áp dụng câu a mục 2.3.8 ta có hai tam giác ABC A B C c) Hai tam giác ABC A B C có AB = A B ; BB; AAthì (g.c.g) Chứng minh ) Giả sử { e1 , e } { e , e } h-ớng Khi tồn ánh xạ đẳng cự f U biến AB thành A B 37 f biến vi phân cung với véc tơ đơn vị tiếp xúc AC A thành vi phân cung với véc tơ đơn vị tiếp xúc với A C A(do f bảo tồn góc), tức f biến đ-ờng trắc địa chứa AC thành đ-ờng trắc địa chứa A C f biến vi phân cung với véc tơ đơn vị tiếp xúc BC B thành vi phân cung với véc tơ đơn vị tiếp xúc với B C B (do f bảo tồn góc), tức f biến đ-ờng trắc địa chứa BC thành đ-ờng trắc địa chứa B C Do f biến giao điểm C AC BC thành giao điểm C A C B C Vậy f: ABC A B C , nghĩa hai tam giác ABC A B C ) Giả sử { e1 , e2 } { e , e } ng-ợc h-ớng Xét T ánh xạ đẳng cự H2 xác định T(x,y) = (-x,y) T-ơng tự cách chứng minh T biến tam mà { e1 , e } { e1 giác ABC thành tam giác A B C , e }ng-ợc h-ớng tồn f ánh xạ đẳng cự biến A B C thành tam giác A B C đặt f1 f T ta có f : ABC A B C phép đẳng cự Vậy ABC A B C 2.4 Nhóm tham số U 2.4.1 Định nghĩa : Cho G = { t }, t R G đ-ợc gọi nhóm tham số phép đẳng cự H2 t ánh xạ đẳng cự t s t s 2.4.2 Định nghĩa : z H đ-ợc gọi điểm kép g i(t) gi (t)( z ) = z0 ; t R 2.4.3 Một số ví dụ loại nhóm tham số U Trong định lí 2.3.2 ta chứng minh đ-ợc U đẳng cấu với nhóm ma trận vuông thực cấp có định thức nên ta xét số nhóm sau: t Nhóm tham số loại g1 (t) = ; (t R ) g1(t)(z) = z + t Phép biến đổi g1(t) điểm kép 38 t R tập hợp điểm g1(t)(z) đ-ờng thẳng y = c ( lấy phần nằm trục hoành ), (c số) Nhóm tham số loại g2 (t) = ( t R ) t g2(t)( z ) = z0 z0 z0 tz z0 z tz0 ; t R tz z0 H Phép biến đổi g2(t) điểm kép Xét z = a + ib , b > z H Ta có : g2(t)(z) = a ib a ib t ( a ib ) ta itb Đặt g2 (t)(z) = x + iy a + ib = (x + iy)(ta + + itb) a + ib = xta + x ytb + i(xtb +y +yta ) xta x ytb a xtb y yta b t ( xa yb) a x t ( xb ya) b y (a x )( xb ya) (b y)( xa yb ) bx by ( a b ) y a b 2 a b 2 x ( y ) ( ) 2b 2b Tập hợp điểm g 2(t)(z) đ-ờng tròn Euclide tiếp xúc với trục thực O(0,0) ,( không lấy điểm x = y = ) et Nhóm tham số loại g3 (t) = t ; ( tR ) e t Phép biến đổi g3(t) điểm kép Xét z = a + ib , b > z H Đặt g3(t)(z) = x + iy Ta có : x e t a et z 2t 2t g3(t)(z) = t = e z = e (a ib ) x iy t e y e b 39 Tập hợp điểm g3 (t)(z) đ-ờng thẳng Euclide qua điểm z = ( lấy phần nằm trục hoành ) cos t sin t Nhóm tham số loại g4(t) = ; ( t R ) sin t cos t Ta có : g4 (t)(z) = (cos t ) z sin t (sin t ) z cos t ( tR ) g4(t)(i) = i z = i điểm kép phép biến đổi ánh xạ g4(t)(z) Nếu z i , ta đặt z = a + ib ( b > 0) g3 (t)(z) = x + iy Khi : (cos t ) z sin t = x + iy (sin t ) z cos t (cost)z + sint = (x + iy)((-sint)z + cost) (a + ib)cost + sint = (x + iy)(-asint ibsint + cost) acost + sint +ibsint = - asint + xcost + ybsint +(-bxsint - aysint + ycost) a cos t sin t ax sin t x cos t yb sin t b cos t bx sin t ay sin t y cos t Rút cost hai ph-ơng trình biến đổi cụ thể ta có : (a x) cos t ( yb ax 1) sin t (b y) cos t (bx ay) sin t ( yb ax 1)(b y ) (a x )(bx ay ) b y by abx axy b y abx a y bx axy x + y2 a b y+1=0 b x + (y a b 2 a b 2 ) =( ) 2b 2b 2 Vì ( a b )2 > nên tập hợp điểm g 4(t)(z) đ-ờng tròn 2b Euclide có tâm nằm trục y ( lấy phần nằm trục hoành ) 40 Kết luận: Trong luận văn đạt đ-ợc kết sau: Tập hợp chứng minh chi tiết số tính chất đa tạp Rieman - chiều Chứng minh số tính chất độ cong Gauss, đ-ờng trắc địa mô hình Poincaré Chứng minh chi tiết mệnh đề mối liên hệ đ-ờng hyperbolic Mối liên hệ đ-ờng hyperbolic điểm hyperbolic ( mệnh đề 2.2.2 - 2.2.3 ) Đ-a tính toán ví dụ cụ thể hình học hyperbolic ( Ví dụ 1, ví dụ mục 2.2.4) Xây dựng chứng minh số tính chất ánh xạ phân tuyến tính có điều kiện ( tính chất 2.3.1(c) - định lý 2.3.2) Chứng minh cụ thể số ánh xạ đẳng cự H mô tả ánh xạ d-ới dạng hình học (mệnh đề 2.3.5 - 2.3.6 ) Chứng minh cụ thể định lý nhóm tất phép đẳng cự H2 (định lý 2.3.7) Xem xét tr-ờng hợp hai tam giác Hyperbolic từ góc độ nhóm phép đẳng cự ( mục 2.3.8) Mô tả hình dạng số nhóm tham số U (mục 2.4.3) 41 Tài liệu tham khảo [1] Louis Auslander Differential Geometry, Harper & Row, Publishers New York, Evanston , and London 1967 [2] Đoàn Quỳnh - Hình học vi phân, NXB Giáo Dục 1968 [3] Nguyễn Hữu Quang Mở đầu hình học Riemann, Vinh 2005 [4] Tr-ơng Văn Th-ơng Hàm số biến số phức, NXB Giáo Dục 1999 [5] Đỗ Viết Khánh Nửa phẳng Poincaré, khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh 2005 [6] Nguyễn Thị Ph-ợng Một số tính chất đ-ờng trắc địa đa tạp Riemann hai chiều, khoá luận tốt nghiệp Đại học Vinh 2005 [7] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn Lý thuyết liên thông hình học Riemann, NXB S- phạm 2003 [8] Đào Nguyên Sử - Một số tính chất l-ới trắc địa nửa phẳng Poincaré , luận văn thác sĩ toán học, Vinh 2005 [9] http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/ hyperbolic/moretrig.html [10] Nguyễn cảnh Toàn (dịch) - Hình học cao cấp, NXBGD Hà Nội 1962 [...]...11 CHƯƠNG II Nửa phẳng Poincaré và Hình học Hyperbolic 2.1 Nửa mặt phẳng Poincaré Kí hiệu H2 ={(x, y) R 2 / y 0 }; : H 2 R ( x, y) y 2 , Với , là tích vô h-ớng thông th-ờng trong R2 Khi đó H , 2 là một đa tạp Riemann 2 chiều , H2 đ-ợc gọi là nửa phẳng poincaré Gọi {E1 ; E2 } là tr-ờng mục tiêu song song t-ơng ứng với hệ toạ... một đ-ờng thẳng Hyperbolic +) Mỗi cung đoạn nói ở các điểm a, b mục 2.1.5 là một đoạn thẳng Hyperbolic +) Độ dài đoạn thẳng xét trong H2 nối hai điểm p , q là khoảng cách giữa hai điểm p , q trong hình học Hyperbolic 2.2.1 Mệnh đề : a) Qua hai điểm Hyperbolic phân biệt có duy nhất một đ-ờng thẳng Hyperbolic b) Qua một điểm ở ngoài đ-ờng thẳng Hyperbolic có nhiều hơn một đ-ờng thẳng Hyperbolic không... nhất qua A và vuông góc với là A đ-ờng thẳng dạng b (nửa đ-ờng tròn (Euclid) tâm I , bán kính IA) O x I 20 Tr-ờng hợp 2 : Giả sử đ-ờng thẳng Hyperbolic có dạng b là nửa đ-ờng tròn(Euclid) có tâm I thuộc Ox 1 A +) Nếu A và A là điểm chính giữa của thì tồn tại duy nhất đ-ờng thẳng Hyperbolic 1 có dạng a vuông góc với 1 là nửa đ-ờng thẳng (Euclid) vuông góc với Ox tại I x O I +) Nếu A và A không... hai nửa đ-ờng tròn (Euclid) đồng tâm I) Khi đó tồn tại duy nhất x đ-ờng thẳng Hyperbolic dạng a O I vuông góc với hai đ-ờng thẳng đã cho +) Nếu hai đ-ờng thẳng Hyperbolic phân biệt cho tr-ớc là hai đ-ờng thẳng có dạng b( hai nửa đ-ờng tròn (Euclid) không đồng x O I1 I I2 tâm Khi đó tồn tại duy nhất đ-ờng thẳng Hyperbolic dạng b vuông góc với hai đ-ờng thẳng 2.2.4 Một số ví dụ cụ thể trong hình học Hyperbolic. .. g là nửa đ-ờng thẳng g (Euclid) song song với trục Oy Khi A đó qua A có một trắc địa (là nửa đ-ờng thẳng (Euclid) song song với trục Oy) và vô số các trắc địa (là nửa đ-ờng tròn (Euclid) có tâm x O thuộc trục Ox) không cắt g Tr-ờng hợp 2 : Nếu trắc địa g là nửa đ-ờng tròn (Euclid) có tâm thuộc trục Ox Khi đó qua A có một trắc địa (là nửa đ-ờng thẳng (Euclid) song song O A g x 15 với trục Oy) và vô... hai đ-ờng thẳng Hyperbolic phân biệt cho tr-ớc là hai đ-ờng có dạng a Khi đó không tồn tại đ-ờng thẳng Hyperbolic vuông góc với hai O đ-ờng nói trên x 21 +) Nếu hai đ-ờng thẳng Hyperbolic phân biệt cho tr-ớc có một đ-ờng A dạng a và một đ-ờng dạng b Khi đó tồn tại duy nhất đ-ờng thẳng x O Hyperbolic dạng b vuông góc với hai I I đ-ờng thẳng Hyperbolic đã cho +) Nếu hai đ-ờng thẳng Hyperbolic phân... Hyperbolic không cắt đ-ờng thẳng Hyperbolic đã cho 2.2.2 Mệnh đề : Qua một điểm Hyperbolic có duy nhất một đ-ờng thẳng Hyperbolic vuông góc với đ-ờng thẳng cho tr-ớc Chứng minh : Tr-ờng hợp 1 : Giả sử đ-ờng thẳng Hyperbolic có dạng a là nửa đ-ờng thẳng (Euclid) vuông góc với Ox tại I A +) Nếu A thì đ-ờng thẳng duy nhất qua A và vuông góc với là đ-ờng thẳng dạng b (nửa đ-ờng tròn (Euclid) tâm I , bán... thành cung dạng a, khi đó pr và qr là hai cung dạng b Ta có ( r, q ) ( p, r) ln ( q, p) +) Tr-ờng hợp 3 : Giả sử p, q, r là ba điểm thuộc đ-ờng dạng b trong đó Do luôn tồn tại phép biến đổi đẳng cự biến cung dạng b thành cung dạng a nên theo tr-ờng hợp 2 ta có i , ii và iii Vậy ( p, q ) là một mêtric trên H2 19 2.2 Hình học Hyperbolic +) Mỗi điểm của H2 đ-ợc gọi là một điểm Hyperbolic +) Mỗi ảnh của... ph-ơng trình nửa đ-ờng tròn (Euclid ) có tâm là điểm I ( a , 0) 2 Vậy : Các đ-ờng trắc địa của H2 gồm các nửa đ-ờng thẳng (Euclid) song song với trục Oy và nửa đ-ờng tròn (Euclid) với tâm thuộc trục Ox 2.1.4 Chú ý: a) Với bất kỳ hai điểm h1 ,h2 H 2 luôn có một trắc địa đi qua 14 b) Ta gọi hai trắc địa trong H2 là song song nếu chúng không cắt nhau Nh- vậy, nếu trên H2 ta lấy một trắc địa g và một điểm... kiện bằng nhau của tam giác Hai tam giác ABC và A B C bằng nhau nếu tồn tại phép đẳng cự trong H2 biến tam giác ABC thành tam giác A B C Xét e1 ; e 2 lần l-ợt là véc tơ đơn vị tiếp xúc với AB và AC tại A Xét e B và A C tại A 1 ; e 2 lần l-ợt là véc tơ đơn vị tiếp xúc với A Xét e ; e B A C và tại A 1 2là véc tơ đơn vị tiếp xúc với A a) Hai tam giác ABC và A B C có AB = A B ; AC A C ; AAthì bằng ... Riemann chiều Ch-ơng II : Nửa phẳng Poincaré hình học Hyperbolic : Ch-ơng trình bày mục sau : 2.1 : Nửa phẳng Poincaré Trong mục nghiên cứu số tính chất hình học nửa phẳng Poincaré đồng thời trình... t-ợng cụ thể , hình học Hyperbolic thông qua mô hình nửa phẳng Poincaré Bài toán đặt tìm hiểu số tính chất, quỹ đạo nhóm tham số biến đổi đẳng cự nửa phẳng Poincaré hình học Hyperbolic Luận... 2.2 : Hình học Hyperbolic Trong mục nghiên cứu số khái niệm tính chất hình học Hyperbolic Chứng minh cụ thể mối quan hệ điểm Hyperbolic đ-ờng thẳng Hyperbolic nh- mối quan hệ đ-ờng thẳng Hyperbolic,