Vận dụng cặp phạm trù cái chung và cái riêng trong dạy học hình học nhằm bồi dưỡng năng lực gải toán cho học sinh trung học phổ thông luận văn tốt nghiệp đại học

Biện pháp 4: Hình thành cho học sinh năng lực dự đoán, phát hiện định hướng lời giải các bài toán Hình học theo tư tưởng đi từ trường hợp riêng đến trường hợp chung, lấy trường hợp riêng

Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới cô giáo Th.s Thái Thị Hồng Lam đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học để tác giả

hoàn thành khóa luận.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại học Vinh,

đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và thực hiện Khóa luận

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô khoa Toán, Đại học Vinh; Ban giám hiệu cùng các thầy cô Trường THPT Nghi Lộc

1 đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và bạn bè lòng biết ơn sâu sắc Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!

Khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được và biết ơn các ý kiến đóng góp của thầy cô giáo và các bạn.

Vinh tháng 05 năm 2011

Tác giả

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Đóng góp của khóa luận 4

7 Cấu trúc của khóa luận 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Cái chung và cái riêng 5

1.2 Bài toán và dạy học giải bài tập toán: 17

1.3 Năng lực và năng lực giải toán 24

Kết luận chương 1 31

Chương 2: CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM VẬN DỤNG CẶP PHẠM TRÙ CÁI CHUNG VÀ CÁI RIÊNG TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 32

2.1 Các yêu cầu sư phạm của việc đề ra các biện pháp 32

2.2 Các biện pháp sư phạm vận dụng cặp phạm trù cái chung và cái riêng trong dạy học Hình học nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Trung học phổ thông 33

2.2.1 Biện pháp 1: Luyện tập cho học sinh biết phân loại khái niệm và các tính chất theo nhiều dấu hiệu khác nhau 33

2.2.2 Biện pháp 2: Trong dạy Toán, dạy cho học sinh biết tìm cái riêng trong cái chung 39

năng lực trí tuệ chung như phân tích và tổng hợp; đặc biệt hoá và khái quát hoá;

quy nạp và suy diễn 52

2.2.4 Biện pháp 4: Hình thành cho học sinh năng lực dự đoán, phát hiện định hướng lời giải các bài toán Hình học theo tư tưởng đi từ trường hợp riêng đến trường hợp chung, lấy trường hợp riêng gợi ý cho trường hợp chung 62

2.2.5 Biện pháp 5: Để tìm lời giải bài toán Hình học nào đó ta có thể đi giải bài toán tổng quát bao trùm nó và khi bài toán này được giải thì bài toán đã cho chỉ là trường hợp riêng của bài toán này mà thôi 69

2.2.6 Biện pháp 6: Phát triển và mở rộng bài toán 76

2.3 Kết luận chương 2: 84

Chương 3 : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 85

1 Mục đích thực nghiệm 85

2 Nội dung thực nghiệm 85

3 Cách tiến hành 85

4 Kết quả thực nghiệm 86

4.1 Phân tích định tính 86

4.2 Phân tích định lượng 86

5 Kết luận chương 3: 88

KẾT LUẬN 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ph.Ăngghen định nghĩa "Phép biện chứng là khoa học về sự liên hệ phổbiến" V.I.Lênin viết "Phép biện chứng, tức là học thuyết về sự phát triển, dướihình thức hoàn bị nhất, sâu sắc nhất và không phiến diện, học thuyết về tínhtương đối của nhận thức của con người, nhận thức này phản ánh vật chất luônphát triển không ngừng" Phép biện chứng duy vật là sự thống nhất hữu cơ giữathế giới quan duy vật với phương pháp biện chứng; giữa lí luận nhận thức vớilogic biện chứng Sự ra đời của phép biện chứng duy vật là cuộc cách mạngtrong phương pháp tư duy triết học; là phương pháp tư duy khác về chất so vớicác phương pháp tư duy trước đó; là "phương pháp mà điều căn bản là nó xemxét những sự vật và những sự phản ánh của chúng trong tư tưởng, trong mốiliên hệ qua lại lẫn nhau của chúng, trong sự ràng buộc, sự vận động, sự phátsinh và sự tiêu vong của chúng" Nội dung của phép biện chứng duy vật baogồm hai nguyên lí (nguyên lí về mối liên hệ phổ biến; nguyên lí về sự pháttriển); sáu cặp phạm trù cơ bản (cái riêng, cái chung và cái đơn nhất; nguyênnhân và kết quả; tất nhiên và ngẫu nhiên; nội dung và hình thức; bản chất vàhiện tượng; khả năng và hiện thực) và ba qui luật cơ bản (qui luật chuyển hoá

từ những thay đổi về lượng dấn đến những thay đổi về chất và ngược lại; quiluật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập; qui luật phủ định của phủđịnh) Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh vànhiệm vụ của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh xem các các đối tượng

và hiện tượng trong sự vận động và phát triển

Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lí)rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dungđịnh lí, hiểu chứng minh định lí, cố gắng tập vận dụng các công thức, các định

lí để tính toán, để chứng minh khi làm bài tập mà ở đó cái gì cho biết, cái gìphải tính toán, phải chứng minh là rõ ràng Nhiều học trò giỏi thường thắc mắc

không biết giả thiết và kết luận của bài toán từ đâu mà ra, ai nghĩ ra đầu tiên vàlàm thế nào mà nghĩ ra được Những bài toán khó đối với họ là những bài màcon đường suy diễn từ giả thiết đến kết luận là khó xác định, thường gồm nhiềumắt xích khó thấy ngay Nhưng làm xong được một bài toán như thế, chân trờicủa họ cũng ít được mở rộng, nếu thầy hay sách không ra cho họ thêm bài tậpmới thì họ thường không biết làm gì vì nhà trường không dạy cho họ cách

"phát hiện vấn đề" để tự đề xuất ra bài toán Trong việc phát hiện và địnhhướng cho cách giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng đóng vai trò chủ đạo

Cũng như các khoa học khác, Toán học nghiên cứu những quy luật củahiện thực khách quan Nó là một trong những môi trường thuận lợi, là phươngtiện để người dạy có thể tổ chức lồng ghép, cài đặt những quy luật của hiệnthực khách quan vào trong quá trình dạy học của mình Vì vậy các kiến thứcToán học, nếu được giảng dạy chính xác với phương pháp đúng đắn sẽ gópphần tích cực giúp học sinh hiểu sâu sắc các quy luật phát triển của tự nhiên,cũng như nhận thức đúng về thái độ của con người đối với tự nhiên, đối vớinhững biến đổi đang diễn ra trong tự nhiên, tức là sẽ góp phần vào việc bồidưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh Và ngược lại khi họcsinh nhận thức được các quy luật của tự nhiên, hoà mình vào thực tế của cuộcsống thì tất yếu sẽ nảy sinh nguyện vọng và ý chí cải tạo thực tiễn và từ đó cóđược động cơ mạnh mẽ vươn lên nắm lấy những kiến thức mới mẻ khác, giảiquyết những vấn đề Toán học tốt hơn Do đó vận dụng tư tưởng của phép biệnchứng duy vật nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT, giúphọc sinh hiểu tốt hơn nguồn gốc kiến thức, mối quan hệ giữa Toán học và thựctiễn, mối quan hệ giữa nội bộ Toán học, tăng thêm hứng thú học tập, nâng caohiệu quả học tập, và rèn luyện tư duy biện chứng cho các em

Trong chương trình ở trường phổ thông, học sinh thường gặp khó khănkhi giải quyết các bài toán Hình học vì nó đòi hỏi người học sinh phải biết địnhhướng và tư duy chứ hầu như không phải là dạng tính toán và lắp ráp theo côngthức định sẵn Hệ thống bài tập khá phong phú về chủng loại với nhiều mức độ

khác nhau nhưng để giải nó đòi hỏi học sinh phải có một năng lực giải toánnhất định

Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến việc bồi dưỡng năng lực giảitoán cho học sinh nhưng đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả vềphương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học

Vì những lý do trên đây mà chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Khóa

luận là: “Vận dụng cặp phạm trù cái chung và cái riêng trong dạy học Hình học nhằm bồi dưỡng năng lực giải Toán cho học sinh Trung học phổ thông”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn về các vấn đề vận dụngcặp phạm trù cái chung và cái riêng trong dạy học Hình học nhằm bồi dưỡngnăng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mônToán ở trường phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề vận dụng cặp phạmtrù cái chung và cái riêng và bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh

Nghiên cứu và đề ra các biện pháp sư phạm vận dụng cặp phạm trùcái chung và cái riêng nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinhtrong dạy học Hình học

Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp sưphạm đã đề xuất

4 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy học Hình học theo định hướng bồi dưỡng năng lực giải toán cho

học sinh thông qua việc vận dụng cặp phạm trù cái chung và cái riêng thì có thể

đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường phổthông

5 Phương pháp nghiên cứu

Khóa luận sử dụng các phương pháp sau trong quá trình nghiên cứu:

5.1 Nghiên cứu lý luận:

 Nghiên cứu các tài liệu về Triết học, Giáo dục học, Tâm lý học, Lýluận dạy học môn toán

 Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về Toán học, các công trìnhkhoa học giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài

5.2 Điều tra quan sát:

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trongquá trình khai thác các bài tập

5.3 Thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem tính khả thi của khóa luận

6 Đóng góp của khóa luận

 Về mặt lý luận: Góp phần làm sáng tỏ một số thành phần trong nănglực giải toán của học sinh thông qua việc vận dụng cặp phạm trù cáichung và cái riêng

 Về mặt thực tiễn: Xây dựng một số biện pháp sư phạm vận dụng cặpphạm trù cái chung và cái riêng nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán chohọc sinh vào thực tiễn dạy học Hình học ở trường phổ thông

Với các đóng góp nhỏ trên, hy vọng khóa luận có thể làm tài liệu thamkhảo cho các giáo viên Toán và các bạn sinh viên nghành Toán nhằm góp phầnnâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường phổ thông

7 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, gồm 3chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm vận dụng cặp phạm trù cái chung

và cái riêng trong dạy học Hình học nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán chohọc sinh phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.

1.1 Cái chung và cái riêng

1.1.1 Quan điểm biện chứng về cặp phạm trù cái chung, cái riêng.

Sự phong phú và đa dạng của các sự vật, hiện tượng trong tự nhiên, xãhội, tư duy qui định nội dung phép biện chứng duy vật Nội dung của phép biệnchứng duy vật bao gồm nguyên lý về mối liên hệ phổ biến và nguyên lí về sựphát triển Đây là các nguyên lí có ý nghĩa khái quát nhất Các phạm trù, cácqui luật cơ bản của phép biện chứng duy vật là sự cụ thể hoá của các nguyên lítrên

Chúng được hình thành và phát triển trong quá trình hoạt động nhận

thức, hoạt động cải tạo tự nhiên, xã hội Các cặp phạm trù cái chung, cái riêng,

cái đơn nhất; tất nhiên và ngẫu nhiên; bản chất và hiện tượng là cơ sở phương pháp luận của các phương pháp phân tích và tổng hợp, diễn dịch và qui nạp; khái quát hoá và trừu tượng hoá để từ đó nhận thức được toàn bộ các mối liên

hệ theo hệ thống Các cặp phạm trù nguyên nhân và kết quả; khả năng và hiện

thực là cơ sở phương pháp luận chỉ ra các mối liên hệ và sự phát triển giữa sựvật, hiện tượng là một quá trình Các cặp phạm trù nội dung và hình thức là cơ

sở phương pháp luận để xây dựng các hình thức tồn tại trong sự phụ thuộc vàonội dung, phản ánh tính đa dạng của các phương pháp nhận thức và thực tiễn.Nghiên cứu và làm sáng tỏ các nguyên lí, các cặp phạm trù, qui luật cơ bản đó

là nhiệm vụ của phép biện chứng duy vật Ph.Ăngghen nhấn mạnh "Vậy là từtrong lịch sử của xã hội loài người mà người ta đã rút ra được các quy luật củabiện chứng" Những qui luật không phải là cái gì khác ngoài những qui luậtchung nhất của hai giai đoạn phát triển lịch sử ấy cũng như là bản thân tư duy

Theo quan niệm của phép duy vật biện chứng, nhận thức bắt đầu từ sựphản ánh những sự vật, hiện tượng cụ thể của thế giới Nhưng trong quá trình

so sánh giữa những sự vật, hiện tượng này với sự vật hiện tượng khác; phânbiệt chỗ giống nhau và khác nhau giữa chúng, nhận thức đi đến sự phân biệt cái

riêng, cái chung Cái riêng là phạm trù dùng để chỉ một sự vật, hiện tượng nhấtđịnh và cái đơn nhất Cái chung là phạm trù dùng để chỉ những mặt, nhữngthuộc tính lặp lại trong nhiều sự vật, nhiều hiện tượng Cái đơn nhất là phạmtrù dùng để chỉ những mặt, những đặc điểm chỉ có ở một sự vật, hiện tượng nào

đó mà không lặp lại ở các hiện tượng, sự vật khác

Cái riêng, cái chung, cái đơn nhất có mối liên hệ biện chứng với nhau.Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, biểu hiện thông qua cái riêng, ngược lại,cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung, bao hàm cái chung; Cáiriêng là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là cái bộ phận nhưngsâu sắc hơn cái riêng; cái đơn nhất và cái chung có thể chuyển hoá lẫn nhautrong quá trình vận động, phát triển của sự vật V.I.Lênin viết: "cái riêng chỉtồn tại trong mối liên hệ đưa đến cái chung Cái chung chỉ tồn tại trong cáiriêng, thông qua cái riêng Bất cứ cái riêng nào cũng là cái chung Bất cứ cáichung nào cũng chỉ bao quát một cách đại khái tất cả mọi vật riêng lẻ Bất cứcái riêng nào cũng không gia nhập đầy đủ vào cái chung, v.v Bất cứ cái riêngnào cũng thông qua hàng nghìn sự chuyển hoá mà liên hệ với những cái riêngthuộc loại khác"

1.1.2 Tư tưởng của phép biện chứng đối với cặp phạm trù cái chung và cái riêng thể hiện trong Toán học và trong dạy học môn Toán.

Toán học có lẽ là lĩnh vực đặc thù để xét mối quan hệ giữa cái chung vàcái riêng Các chân lí Toán học cũng như các chân lí thực nghiệm là sự phảnánh gần đúng hiện thực; chúng luôn luôn cần được hoàn thiện để phản ánh chânthực hơn nhằm đáp ứng cao hơn những nhu cầu thực tiễn của loài người Cáithay đổi trong Toán học là sự thay đổi quan điểm từ đó nhìn nhận những kếtquả đã thu lượm được Trước sự thay đổi quan điểm, các định lí Toán học vẫnđúng trong chừng mực như khi chúng được khám phá ra, vẫn tồn tại mà không

bị thay thế bởi định lí khác; tuy nhiên vị trí cơ bản duy nhất, chúng trở thànhthứ yếu, riêng biệt trong hệ thống tri thức Toán học Chẳng hạn, sự thay đổiquan điểm về thực thể Toán học Từ thượng cổ đến thế kỉ thứ 19 có một sự

thống nhất giữa các nhà Toán học về quan niệm các thực thể Toán học; đó lànhững số, những đại lượng, những hình và " chúng ta không thể gán cho chúngnhững tính chất bất kì, cũng như các nhà vật lí không thể thay đổi một hiệntượng tự nhiên ".

Ở các giai đoạn kế tiếp, quan niệm về thực thể Toán học gắn liền vớiquan niệm về mô hình Thí dụ là đại số n - biến số là mô hình của Hình học n -chiều; một điểm trên mặt phẳng là mô hình của số phức Các nhà toán hoc chỉ

" an tâm " công nhận một khái niệm Toán học mới khi tìm thấy một mô hìnhđược diễn đạt bằng ngôn ngữ của Toán học cổ điệm tương ứng Ngày nay Toánhọc hiện đại quan niệm các thực thể Toán học như các cấu trúc, " Toán họchiện đại là sự trình bày Toán học có dùng đến những tập hợp và những cấu trúclớn "

Như vậy nhận thức đi từ cái riêng đến cái chung, rồi cái chung lại chuyểnhóa thành cái riêng Xét đến một phương diện nào đó thì cái chung và cái riêngmâu thuẫn, nhưng xét đến một phương diện khác thì cái riêng và cái chung làthống nhất: Cái chung bao trùm lên cái riêng, cái riêng nằm trong cái chung;mỗi cái riêng có thể nằm trong nhiều cái chung khác nhau và mỗi cái chungnhư vậy ứng với một cách nhìn về cái riêng, ứng với một quan điểm làm cơ sởcho sự thống nhất giữa cái chung đó và cái riêng Từ một cái riêng nếu biếtnhìn theo nhiều quan điểm khác nhau thì có thể khái quát thành nhiều cái chungkhác nhau, đôi khi đem đặc biệt hóa nhiều cái chung khác nhau ta lại được mộtcái riêng Thí dụ: vòng tròn vừa là trường hợp riêng của mặt cầu, vừa là trườnghợp riêng của elip Xét về số chiều thì mặt cầu và vòng tròn mâu thuẫn, nhưngxét về tính chất "cách đều một điểm cố định " thì mặt cầu và vòng tròn là thốngnhất; xét về số chiều thì vòng tròn và elip là thống nhất, nhưng xét về tính chất

"cách đều một điểm cố định " thì vòng tròn và elip lại mâu thuẫn Nắm vữngqui luật trên chúng ta sẽ dạy toán và học Toán tốt hơn

1.1.2.1 Trong quá trình dạy học Toán tuân theo cặp phạm trù cái chung, cái riêng cần đặc biệt rèn luyện cho HS một số thao tác tư duy như: Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, qui nạp.

Khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng đến cái chung, là "chuyển từviệc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớnhơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu" (G Polya)

Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hoá, là "chuyển từviệc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tậpnhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho" Trong quá trình dạy học không chỉ yêucầu học sinh đi từ cái riêng đến cái chung (khái quát hoá) mà còn đòi hỏi họ đi

từ cái chung đến cái riêng (đặc biệt hoá) và làm rõ mối quan hệ chung - riênggiữa cái đạt được và cái xuất phát

Tương tự được xem như tiền thân của khái quát hoá, bởi vì việc chuyển

từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cáitổng quát, là một bước để đi tới những trường hợp riêng bất kì của cùng một cáitổng quát đó Nhiều khi học sinh đã có một sự hình dung nhất định về cáichung nhưng chưa hiểu nó một cách đầy đủ, chỉ có thể đưa ra những hiệntượng riêng lẻ coi như đại biểu của cái chung Vì thế trong những trường hợpnhất định, ta có thể coi thực hiện phép tương tự như là biểu hiện của khái quáthoá

Cần làm cho học sinh hiểu rằng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự

là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mở rộng, đào sâu và hệ thống hoá kiếnthức Từ những kiến thức đã có có thể vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá,tương tự để hình thành những tri thức mới, đề xuất và giải những bài Toán mới.Trên cơ sở đó giúp các em đào sâu và hiểu rõ các khái niệm, định lí, góp phần

mở rộng vốn kiến thức của mình từ đó sẽ tạo cho các em hiểu rõ hơn bản chất

và các quy luật của các sự kiện Toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhấtgiữa các tri thức mà các em tiếp nhận được

1.1.2.2 Một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau.

Một khái niệm, một định lý, một tính chất nào đó có thể là trường hợpđặc biệt của nhiều khái niệm, một định lý, một tính chất khác nhau

Ví dụ 1: "cái riêng" là định lí Pitago

- Theo góc độ tam giác vuông là trường hợp riêng của tam giác thường,định lý Pitago có thể xem là trường hợp riêng của định lí cosin

- Theo góc độ bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài, có thểxem là trường hợp riêng của phép tính tổng vectơ:

hay AB  BC thì ta có định lí Pitago

"Cái riêng" là hình thoi có thể xem là trường hợp đặc biệt của "cáichung" là hình bình hành nếu ta nhìn hình thoi dưới góc độ có các cạnh đốidiện song song; ta có thể xem nó là trường hợp đặc biệt của "cái chung" là tứgiác có vòng tròn nội tiếp nếu ta nhìn nó dưới góc độ " có vòng tròn nội tiếp";

là trường hợp đặc biệt của "cái chung" là tứ giác có hai đường chéo vuông gócnếu nhìn dưới góc độ " hai đường chéo vuông góc"v.v

Trung điểm của một đoạn thẳng có thể xem xét dưới các góc độ sau đây:trọng tâm của đoạn thẳng, trọng tâm của hệ hai điểm, tâm của đường trònkhông chiều (tập hợp các điểm cách trung điểm của đoạn thẳng một đoạn thẳngbằng nửa đoạn thẳng), tâm đối xứng của đoạn thẳng hay hai đầu mút của đoạnthẳng, đoạn liên hợp điều hoà của những điểm xa vô tân trên đường thẳng chứađoạn thẳng đối với hai đầu mút của đoạn thẳng

Nếu p là một số nguyên tố thì p + 1 có thể xem như là số nguyên đi sau

p, nhưng cũng có thể xem như là tổng các ước số của p

Tập nhìn một cái "riêng" theo nhiều góc độ khác nhau là một điều rấtquan trọng đối với việc rèn luyện óc sáng tạo Toán học vì mỗi góc độ lại gợi ramột hướng mở rộng "cái riêng" đó; đồng thời khi đứng trước một bài toán có

thể có nhiều hướng suy nghĩ để giải quyết vấn đề Tìm ra một cách nhìn mớiđộc đáo về một "cái riêng" nào đó vốn đã có nhiều cách nhìn thông dụng, cóthể là mầm mống của một phát minh khoa học

1.1.2.3 Một cái chung, đem đặc biệt hoá từng bộ phận khác nhau, bằng những cách khác nhau sẽ cho nhiều cái riêng khác nhau.

Ví dụ, một tứ giác đem đặc biệt hoá theo tính chất và quan hệ giữa cáccạnh và góc có thể cho ta hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhât,hình vuông Đó là những cách đặc biệt hoá quen thuộc Thường ở nhà trường ítlưu ý học sinh đến những cách đặc biệt hoá ít gặp như đặc biệt hoá tứ giác bằngcách cho một cạnh triệt tiêu, hoặc bằng cách cho một góc đạt tới giới hạn 1800

để có tam giác

1.1.3 Qui trình của một sự mở rộng

1.1.3.1 Các phát minh lí thuyết chủ yếu là sự mở rộng

Sự sắp xếp chương trình học Toán nói chung là sự dẫn dắt học sinh đi từnhững trường hợp riêng rồi khái quát lên thành những cái chung như từ số tựnhiên rồi đến số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, từ tam giác vuông rồi đến tam giácthường, từ tam giác rồi đến tứ giác, từ hàm lượng giác các góc nhọn đến hàmlượng giác các góc suy rộng,.v.v Khi làm bài tập, học sinh phải vận dungnhững khái niệm chung, những định lí chung vào các trường hợp riêng cụ thểcho từng bài

Nói rộng ra thì sự phát minh lí thuyết có tầm cỡ trong lĩnh vực Toán họcluôn luôn là một sự mở rộng từ một cái riêng dã biết đến hay nhiều cái chungtrước đó chưa ai biết, mà cái riêng đã biết chỉ là một trường hợp đặc biệt Cũng

có những phát minh chỉ là phát hiện một trường hợp riêng trước đó chưa ai biếtcủa một cái chung đã biết Trong lịch sử Toán học, có những bài toán mà suốthàng chục năm, có khi hàng trăm năm, công sức của bao thế hệ các nhà Toánhọc chỉ mới giải được bài toán trong một số trường hợp đặc biệt, nghĩa là chỉmới giải được một phần của bài toán Lấy thí dụ bài toán sau đây:

" Chứng minh rằng phương trình:

xn + yn = znkhông có nghiệm nguyên khác không với n > 2 ", được gọi là "định lí lớnFecma", do Fecma đề ra từ thế kỷ thứ 17 Hơn 100 năm sau, Ơ- le chứng minhđược định lí cho các trường hợp đặc biệt n = 3, n = 4 Sau đó Lơ-giăng và Đi-rich-lê chứng minh được cho trường hợp n = 5, La-me chứng minh được chotrường hợp n = 7, Cu-me chứng minh được cho mọi số nguyên tố n từ 3 đến

100 Năm 1960, dùng máy tính điện tử người ta chứng minh được định lí chomọi n 2521 (n > 2) Đến nay định lí đã được chứng minh cho những số n lớnhơn nữa nhưng như vậy định lí cũng chỉ mới được chứng minh cho một số rấtlớn các trường hợp đặc biệt Sự cố gắng của các nhà Toán học còn tiếp tục vàtrong thời gian qua, việc tìm cách chứng minh định lí lớn Fecma đã góp phầnthúc đẩy Toán học tiến tới Đừng hiểu lầm rằng phát minh ra cái "mới" thì

"mới" đó phải là "mới toanh", còn mở rộng cái cũ thì không mới lắm Đã cóngười, khi nhận xét về một công trình nghiên cứu Toán học, đã nói: "cũng chả

có gì mới lắm, chẳng qua chỉ là một sự mở rộng " Nói như vậy là không hiểu

gì về qui luật "phủ định của phủ định" Không bao giờ có cái "mới toanh" hiểutheo nghĩa "không dính dáng gì tới cái cũ" Cái "mới" bao giờ cũng là từ cái cũ

mà ra, các nhà phát minh thế hệ sau bao giờ cũng đứng lên vai những nhà phátminh thế hệ trước, kế thừa các thành quả của họ Các thành quả này chỉ đẻ ravấn đề cho thế hệ sau nghiên cứu khi chúng bất lực trong việc giải quyết cácvấn đề lí luận hay thức tiễn mới đặt ra Kết quả nghiên cứu sẽ là một lí thuyếtmới vừa có tính kề thừa những mặt tích cực của lí thuyết cũ (đây là mặt thốngnhất giữa hai lí thuyết mới và cũ), vừa phủ định những mặt tiêu cực của líthuyết cũ, theo nghĩa là nó giải quyết được những yêu cầu mà theo lí thuyết cũđành bất lực Chẳng hạn, lí thuyết số phức đã kế thừa mặt tích cực của lí thuyết

số thực vì nó cũng thoả mãn các tính chất của một trường Đồng thời cũng phủđịnh mặt tiêu cực của lí thuyết số thực là đã bó tay với việc lấy căn bậc hai của

số âm, nhờ vậy mà phương pháp Cácđanô đã trót lọt trong việc giải phương

trình bậc ba Quy luật phủ định của phủ định này là khách quan, không phụthuộc chủ quan người nghiên cứu Lôbasepki khi phát minh ra Hình học mangtên ông, chỉ ngĩ rằng mình phủ định tiên đề của Ơclít, phủ định Hình học Ơclít.Những nghiên cứu khách quan của ông và của các tác giả khác càng ngày càngcho thấy Hình học Lôbasepki một mặt phủ định Hình học Ơclít, mặt khác là sự

mở rộng của Hình học Ơclít, Hình học Ơclít là một trường hợp giới hạn củaHình học Lôbesepki khi góc nhọn giữa hai đường thẳng song song với mộtđường thẳng a xuất phát từ một điểm A nằm ngoài a, dần tới không Như vậy,ngay một phát minh vĩ đại đã tạo cuộc cách mạng trong Toán học như Hìnhhọc Lôbesepki cũng không thoát khỏi qui luật "phủ định của phủ định", tức làphủ định có kế thừa, không mới toanh Vì vậy, tập dượt phát minh, tập dượtsáng tạo trong Toán học chủ yếu là tập dượt sự mở rộng

Bước 3: Lập các tổ hợp khác nhau về cách nhìn từng bộ phận, mỗi tổhợp như vậy sẽ cho một cách nhìn "cái riêng" mà ta muốn mở rộng

Bước 4: Mỗi cách nhìn từng bộ phận dễ dàng cho ta một hướng mở rộng

về bộ phận đó Từ đó ta có thể đề xuất nhiều giả thuyết về những "cái chung"

mở rộng "cái riêng" đã biết

Bước 5: Mỗi giả thuyết có thể đúng, có thể sai Nhiều khi, bằng trực giác

có thể thấy ngay những giả thuyết sai để bỏ đi ngay

Bước 6: Với những giả thuyết không bị bỏ ở bước 5, ta có thể thử tháchchúng bằng cách đem ứng dụng chúng vào một số trường hợp đặc biệt: Nếuứng dụng đưa đến kết quả sai thì chắc chắn giả thuyết sai Nếu các thử tháchđều đưa đến kết quả đúng thì chưa chắc giả thuyết tương ứng đã đúng, nhưng

lòng tin rằng nó sẽ đúng tăng lên Sở dĩ chưa dám khẳng định giả thuyết tươngứng là đúng vì từ một cái "sai", bằng một suy diễn chặt chẽ, có thể rút ra đượcmột cái "đúng".

Bước 7: Sử dụng các kết quả trong bước 6 để điều chỉnh, bổ sung cácgiải thuyết không bị bác bỏ qua bước 5 và bước 6 Nếu cần có thể áp dụngbước 6 cho các giả thuyết đã được bổ sung, điều chỉnh để hoàn chỉnh chúngthêm một bước

Bước 8: Chứng minh từng giả thuyết không bị bác bỏ qua hai bước 5 vàbước 6 và được hoàn chỉnh thêm ở bước 7 Nếu ta thành công với giả thuyếtnào thì giả thuyết đó là đúng, nó là một cái chung mở rộng cho cái riêng đãbiết Có bao nhiêu giả thuyết được chứng minh thì có bấy nhiêu "cái chung"

mở rộng "cái riêng" đó Còn những giả thuyết chưa được chứng minh ( cũngchưa bác bỏ được) thì đặt ra vấn đề tiếp tục nghiên cứu

Bước 9: Nếu sau bước 7, tất cả các giả thuyết đều bị vứt bỏ thì như vậychưa phải là thất bại Nói đúng hơn, thì đó mới chỉ là một sự thất bại tạm thời.Thất bại tạm thời này do một trong hai nguyên nhân sau đây:

a) Ta chưa tìm ra được một cách nhìn thích hợp về cái rieng đã biết để cómột sự mở rộng cái riêng đó Vậy phải tiếp tục xem xét từng bộ phận trong cáiriêng đó, hy vọng khám phẩ những cách nhìn mới mà trước đây chưa nghĩ tới

b) Ở bước 4, ta đã phạm sai lầm nào đó ( ví dụ suy nghĩ đơn giản) trongviệc đề xuất các giả thuyết Sự phát hiện ra những cái " riêng" sai ở bước 6 cóthể giúp ta thấy được trước đây ta đã phạm sai sót gì và hướng sửa chữa

Kiên trì khắc phục hai nguyên nhân trên, có thể đến một lúc nào đó, tathành công Đức tính kiên trì này cũng không thuần tuý thuộc phạm trù "đạođức", " nhân sinh quan" mà còn thuộc cả phạm trù "thế giới quan", "phươngpháp luận": giữa cái "chung" (chưa biết) và cái "riêng" vừa có mâu thuẫn, vừa

có thống nhất (và tin rằng đến một ngày nào đó sẽ nhìn ra) Nhiều phát minhToán học, trong đó có những phát minh tầm cỡ, đều bắt đầu ở chỗ tác giả có

được cách nhìn mới về một cái riêng cũ kĩ, quen biết đến mức tưởng chừng nhưkhông còn gì để tìm tòi, khai thác trên cái riêng đó.

Ví dụ 1:

Bài toán 1: Cho x 2  y 2  z 2  1. Tìm giá trị lớn nhất của S xy yz xz   

Trước hết giải bài toán trên:

Ở đây cái riêng là bài toán trên

Bước 1: Phân tích cái riêng cần mở rộng thành các bộ phận của nó: Giả thiết, kết luận

Bước 2: Nhìn từng bộ phận nêu ra ở bước 1 theo nhiều quan điểm khác nhau, càng nhiều càng tốt

*) Nhìn giả thiết theo các góc độ:

a) Tổng các luỹ thừa bậc chẵn, cùng bậc, cùng hệ số của x, y, z

b) Tổng các luỹ thừa bậc chẵn, cùng bậc của x, y, z

c) Tổng các luỹ thừa cùng bậc, cùng hệ số của x, y, z

**) Nhìn kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng:

a) Tổng của các tích đôi một của x, y, z

b) Tổng của các tích cùng bậc của x, y, z

c) Tổng của các tích đôi một của x, y, z mà bậc bằng 1

2 bậc của giả thiết.Bước 3: Ta sẽ cố gắng phối hợp các cách nhìn ở *) và **) để đề ra các bài toán khác dưới dạng giả thuyết ở bước 4

Bước 4: Ta chưa viết giả thuyết thành bài toán được vì có thể sẽ không

đủ giả thiết để giải bài toán

Giả thuyết 1: Cho x 4  y 4  z 4  1. Tìm giá trị lớn nhất của S xy yz xz    Giả thuyết 2: Cho x 4  y 4  z 4  m Tìm giá trị lớn nhất của S xy yz xz    Giả thuyết 3: Cho x 2n  y 2n  z 2n  M Tìm giá trị lớn nhất của

Giả thuyết 10: Cho ax 2n  by 2n  cz 2n  M Tìm giá trị lớn nhất của

S x y   y z  x z

Bước 5: Ở giả thuyết 5) căn cứ vào phương pháp giải bài toán 1, ta thấykhông tìm được giá trị lớn nhất của S, muốn tìm được ta cần phải bổ sung thêmđiều kiện cho x, y, z

Bước 6: Nếu giải được (tức là khẳng định được có đủ điều kiện để có kếtquả) các giả thuyết 1, giả thuyết 2, giả thuyết 6, giả thuyết 7, giả thuyết 8 thìcác giả thuyết 3, giả thuyết 9, giả thuyết 10 cũng có cơ sở

Chẳng hạn:

*) Xem xét giả thuyết 1:

Do vai trò của x, y, z như nhau nên có thể dự đoán trước giá trị lớn nhất

*) Từ việc khẳng định giả thuyết 1 đúng ta có

Bài toán 1.1: Cho x 4  y 4  z 4  1. Tìm giá trị lớn nhất của S xy yz xz   

Tổng quát bài toán 1.1 theo phương pháp giải ta có giả thuyết 2, giảthuyết 3 đúng Ta có các bài toán;

Bài toán 1.2: Cho x 4  y 4  z 4  m Tìm giá trị lớn nhất của S xy yz xz   

Bài toán 1.3: Cho 2n 2n 2n

x  y  z  M Tìm giá trị lớn nhất của S xy yz xz   

1.2 Bài toán và dạy học giải bài tập toán:

1.2.1 Bài toán

Theo nhà Toán học G.Polya: “Nếu khi có một ước muốn, mà trong óc ta,

không cần một chút cố gắng nào, lập tức nảy sinh ra một phương tiện rõ rành rành, mà dùng phương tiện đó chắc chắn có thể thực hiện được ước muốn, thì

sẽ không nảy ra bài toán Nhưng nếu không có một phương tiện như vậy, thì đó

là một bài toán” Như vậy là, bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một

cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhưngkhông thể đạt được ngay Giải bài toán tức là tìm ra phương tiện đó

Một bài toán có thể là phức tạp hay đơn giản; tìm ra lời giải bài toánphức tạp là một việc khó, còn bài toán đơn giản thì dễ Tuy nhiên, tính chất khócủa lời giải ở chừng nào đó, nằm ngay trong bản thân khái niệm bài toán, nếukhông có khó khăn thì cũng không có bài toán

Về mức độ khó dễ của bài toán, G.Polya cho rằng: “ Không dễ dàng xét

đoán về mức độ khó của một bài toán, lại càng khó hơn nữa khi xác lập giá trị giáo dục của nó”.

Theo G.Polya, thầy giáo nên nắm được cách phân loại mức độ khó, dễcủa một bài toán, vì đó là một điều có ích cho giảng dạy Ông đã ghi nhận cônglao của Frank Denk về sự phân loại này Trên cơ sở sự phân loại của FrankDenk, G.Polya có điều chỉnh chút ít và phân loại như sau:

Loại thứ nhất: các bài toán có thể giải được bằng cách vận dụng trực tiếpquy tắc mẫu hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu Hơn nữa, quytắc hoặc ví dụ mẫu có ngay trước mắt học sinh (vừa mới học xong), thầy giáothường cho những bài như thế vào cuối giờ học

Loại toán thứ hai khó hơn, nó được giải tuy cũng được vận dụng trựctiếp quy tắc mẫu hoặc tuân thủ máy móc các ví dụ mẫu đã được biết Tuynhiên, học sinh chưa rõ ngay nên chọn quy tắc mẫu nào hoặc ví dụ mẫu nào,học sinh cần phải có sự chọn lọc sơ bộ trong một phạm vi nào đó

Loại thứ ba còn khó hơn nữa Để giải được chúng, học sinh cần phải kếthợp một số quy tắc hoặc ví dụ đã học Bài toán sẽ không quá khó nếu một tổhợp nào đấy tương tự với nó (nhưng không phải chính nó) đã dược thảo luận ởlớp Nếu tổ hợp này hoàn toàn mới, hoặc cần phải phối hợp nhiều phần củagiáo trình (có thể rất xa nhau), thì bài toán thường là rất khó.

Trong thực tiễn dạy học, các bài tập toán thường được sử dụng vớinhững dụng ý khác nhau Tất nhiên, các bài toán thường không chỉ nhằm vàomột mục đích đơn nhất mà thường bao hàm nhiều dụng ý khác nhau

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạyhọc đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khácnhau Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạyhọc

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán mang các chức năng sau:

- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành củng cố, ôn tập hệ thống

các kiến thức của lý thuyết, hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyếttrong chừng mực có thể, làm cho học sinh nhớ và khắc sâu những lý thuyết đãhọc Qua bài tập toán, học sinh có thể phải đào sâu một khía cạnh nào đó củakiến thức hoặc phân tích, tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để giải Tất cảnhững thao tác tư duy đó sẽ góp phần củng cố, khắc sâu và mở rộng kiến thứccho học sinh Đây là phương tiện tốt để học sinh phát triển tư duy sáng tạo, xâydựng và củng cố những kỹ năng,kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trìnhdạy học

- Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển tư duy của học sinh, đặc

rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành và phát triển phẩm chất của tư duy Bồidưỡng cho học sinh phương pháp nghiên cứu khoa học, bởi vì thông qua việcgiải bài tập sẽ rèn luyện cho học sinh thói quen và khả năng độc lập phát hiện

và giải quyết vấn đề có liên quan Trong môi trường đó, tư duy logic, tư duysáng tạo của các em từng bước được phát triển, năng lực các em được nângcao

Bài tập toán cũng là phương tiện nghiên cứu tài liệu mới, nhằm đảm bảocho học sinh lĩnh hội kiến thức một cách toàn diện, sâu sắc và vững chắc hơn.

Là phương tiện trong việc phát triển năng lực tư duy của học sinh, ta có thể sửdụng kiến thức trung gian để nâng cao chất lượng học tập của học sinh

- Chức năng giáo dục: Thông qua việc giải bài tập, sẽ tạo môi trường rèn

luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ như: tính sáng tạo, tính độc lập, tính linhhoạt, tính mềm dẻo, tính phê phán, Việc giải các bài tập sẽ giúp học sinhlàm quen với nhiều tình huống mới lạ Những tình huống đó cùng với phươngpháp dạy học thích hợp của giáo viên sẽ giúp học sinh tính linh hoạt, tính mềmdẻo của tư duy

- Chức năng kiểm tra, đánh giá: Bài tập Toán học là một phương tiện có

hiệu quả để kiểm tra kiến thức, kiểm tra năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh.Thông qua bài tập, có thể kiểm tra được sự hiểu biết của học sinh phân phầnthuyết cơ bản, lý thuyết mở rộng (hoặc kiến thức sâu hơn) Khả năng vận dụng

lý thuyết vào bài tập

1.2.2 Dạy học giải bài tập toán:

Thế nào là biết giải toán? Đó là phải biết giải toán không chỉ những bàitoán thông thường mà còn cả những bài toán đòi hỏi tư duy độc lập nhất định,

có óc phê phán, tính độc đáo và sáng tạo nữa Vì vậy, việc vận dụng có hiệuquả tư tưởng của phép biện chứng đối với cặp phạm trù cái chung và cái riêngvào giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên chỉ đơn thuần cungcấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quan trọng bằnglàm thế nào để giải được bài toán Để tăng hứng thú học tập cho học sinh, pháttriển tư duy, rèn luyện kỹ năng và hoạt động độc lập sáng tạo cho họ, thầy giáophải hình thành cho học sinh quy trình chung, các phương pháp tìm tòi lời giảimột bài toán

Mỗi bài toán mà học sinh đã giải, dạy cho họ kỹ năng hướng về nhữngtình huống có vấn đề khác nhau, biết phân biệt tình huống, biết lựa chọn cái

riêng trong cái chung, một hướng đi để giải quyết vấn đề Khi làm toán trí tuệcon người được huy động tối đa, khả năng phân tích, tổng hợp được rèn luyện,các thao tác tư duy từ đó trở nên nhanh nhạy Có thể nói kỹ năng giải toán là tàisản đặc trưng của tư duy Toán học.

Thông qua động thái của học sinh khi giải bài tập, bộc lộ được khả năng

về trí tuệ, tính nhanh, tính sáng tạo v.v… Cũng thông qua hoạt động này, pháthiện những khuyết điểm, những sai lầm và nguyên nhân dẫn đến sai lầm củahọc sinh để kịp thời uốn nắn Từ đó đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánhgiá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát triển của học sinh

 Những yêu cầu chủ yếu đối với lời giải bài tập:

- Lời giải không có sai lầm: học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường

do ba nguyên nhân sau:

+ Sai sót về kiến thức Toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giảthiết hay kết luận của định lý,…;

+ Sai sót về phương pháp suy luận;

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai

- Lời giải phải có cơ sở lý luận;

- Lời giải đầy đủ;

- Lời giải đơn giản nhất

 Dạy học sinh phương pháp chung để giải bài tập:

Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giảimọi bài toán Đó là điều ảo tưởng Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng.Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, pháthiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cũng với những gợi ý chi tiết củaPolya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễndạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

H

I K A

B

M

C

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dungbài toán;

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hộ trợ cho việc diễn tả đềbài

Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chát tìm đoán:biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đãcho hoặc cái phải tìm với những tri thức tri đã biết, liên hệ bài toán cần giải vớimột bài toán cụ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn haymột bài toán nào đó có liên quan, sử dụng với những phương pháp đặc thù vớitừng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp Toán học, toán dựnghình, toán quỹ tích v.v…

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặcbiệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liênquan,…

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giảihợp lý nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành mộtchương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bướcđó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả

của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự,

mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trong

một tam giác đều tới ba cạch của tam giác đó là một hằng số

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Bài toán này có thể phát biểu một cách cụ thể như sau:

Cho một tam giác đều ABC Gọi M là một điểm nằm trong tam đó Kí hiệu cáchình chiếu của M trên 3 cạnh AB, BC và CA lần lượt là H, I và K Chứng minhrằng MH + MI + MK không đổi dù cho lấy M ở vị trí nào trong tam giác

Bước 2: Tìm lời giải:

Việc giải bài toán sẽ dễ hơn nếu ta xác định được hằng số MH + MI + MK.Muốn vậy ta có thể đặc biệt hóa chẳng hạn bằng cách lấy M trùng với đỉnh A.Khi đó I tới vị trí I,và MH + MI + MK = 0 + AI, + 0 = AI, Như vậy hằng sốcần tìm chính bằng độ dài đường cao h của tam giác đều đã cho (chú ý rằngtrong một tam giác đều, ba đường cao có độ dài bằng nhau) Bài toán trở thànhchứng minh rằng: MH + MI + MK = h

Để chứng minh tổng MH + MI + MK = h, người ta thường nghĩ tới sắp đặt bađoạn thẳng này liên tiếp trên một đường thẳng nào để tạo thành một đoạn thẳng

có độ dài bằng h Nhưng vị trí sự thay đổi vị trí của ba đoạn thẳng này trên hình

vẽ khi M di chuyển trong tam giác ABC cho thấy điều này khó thực hiện vớibài toán này

Một hướng khác là có thể biểu thị h qua những đại lượng không đổi khác Chotrước một tam giác đều thì không chỉ là đường cao mà cả diện tích, cạnh a, …của tam giác đó cũng không đổi Ý nghĩa về mối liên hệ giữa MH + MI + MKvới diện tích gợi ra sự liên tưởng tới đẳng thức sau đây:

dt(MAB) + (MBC) + dt(MCA) = dt(ABC)

2a(MH + MI + MK) = 1

2a.h,

do đó: MH + MI + MK = h

I K A

Bước 3: Trình bày lời giải

Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác

đều ABC, hình chiếu của M trên ba cạnh AB,

2a(MH + MI + MK) = 1

2a.h,

do đó: MH + MI + MK = h

Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ tổng MH + MI + MK không đổi dù cho ta lấy M

ở vị trí bất kỳ nào trong tam giác

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Từ bài toán trong ví dụ này có thể phát biểu và giải những bài toán khái quáthoặc mở rộng sau đây

(i) Mở rộng ra trường hợp đa giác đều Chứng minh rằng tổng tổng cáckhoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trong một đa giác đều tới các cạnhcủa đa giác đó là một hằng số

(ii) Mở rộng ra trường hợp đa giác lồi có các cạnh bằng nhau: Phân tích kỹlời giải, ta thấy kết quả trên không đòi hỏi đa giác đã cho bắt buộc phải là

đa giác đều, và bài toán trên có thể mở rộng cho trường hợp đa giác lồi cócác cạnh bằng nhau.

(iii) Mở rộng trường hợp tứ diện đều: Chứng minh rằng tổng các khoảngcách từ một điểm bất kỳ nằm trong một tứ diện đều tới các mặt của tứ diện đó

là một hằng số

1.3 Năng lực và năng lực giải toán

1.3.1 Khái niệm năng lực

Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học cho thấy,

từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động Qua quá trìnhhoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cầnthiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức

độ cao hơn Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong để giải quyếtnhững hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc sốngthì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định Sau đây là một số cáchhiểu về năng lực:

+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khảnăng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao

+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của conngười, đáp ứng được một số yêu cầu của hoạt động nhất định và là điều kiệncân thiết để hoàn thành có kết quả một hoạt động nào đó

+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đápứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoànthành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó

Như vậy cả ba định nghĩa đều có đặc điểm chung là: năng lực chỉ nảy sinh

và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ, và do đó

nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định nghĩa 3 gắnvới mức độ hoàn thành xuất sắc)

Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như tính

dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo vàđộc đáo trong giải quyết nhiệm vụ

Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừanhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng,tức là sự thừa nhận tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho

sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau

Tóm lại, năng lực khá trừu tượng trong tâm lý học Tuy còn có những cáchhiểu và cách diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà tâm lý học đều thốngnhất rằng:

- Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có năng lực cầnphải có những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt độngnhất định, đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao

- Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải:

+ Có tri thức về hoạt động đó;

+ Tiến hành thành thạo các hoạt động theo đúng các yêu cầu của nó mộtcách có hiệu quả;

+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra;

+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau

Trên cơ sở tìm hiểu về những quan điểm của năng lực, xét từ phương diệngiáo dục, chúng ta có thể hiểu rằng:

- Năng lực thể hiện đặc thù tâm lý, sinh lý khác biệt của cá nhân, chịu ảnhhưởng của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạnchế còn do những điều kiện khác của môi trường

- Những yếu tố bẩm sinh của năng lực cần có môi trường điều kiện xã hội(ở đây ta sẽ giới hạn môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển được, nếukhông sẽ bị thui chột Do vậy, năng lực không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà cònphát triển trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể

- Nói đến năng lực là nói đến năng lực trong một loại hoạt động cụ thể củacon người.

- Cấu trúc của năng lực bao gồm một tổ hợp nhiều kỹ năng thực hiện nhữnghành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau Đồng thời năng lựccòn liên quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm

- Hình thành và phát triển những năng lực cơ bản của học sinh trong học tập

và đời sống là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường phổ thông

1.3.2 Khái niệm năng lực Toán học

Theo V.A.Crutecxki năng lực Toán học được hiểu theo hai ý nghĩa, haimức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việchọc Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm mộtcách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt độngsáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với

xã hội loài người

Giữa hai mức độ hoạt động Toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệtđối Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập tới năng lựcsáng tạo Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học mộtcách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã

tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý,độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo chonhững bài toán không mẫu mực … Tuy nhiên, đó chỉ chiếm một tỉ lệ rất nhỏ.Với việc nghiên cứu khái quát, khóa luận chủ yếu tiếp cận năng lực ở góc độthứ nhất

+ Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán là các đặc điểm tâm lý cá nhân(trước hết là các hoạt động trí tuệ ) đáp ứng yêu cầu hoạt động Toán học vàgiúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, tương đối nhanh, dễ dàng

và dâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo Toán học

+ Định nghĩa 2: Những năng lực Toán học được hiểu là những đặc điểmtâm lý cá nhân (trước hết là những hoạt động trí tuệ ) đáp ứng yêu cầu của hoạtđộng Toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguênnhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo Toán học với

tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâusắc kiến thức, kỹ năng kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học

Nói đến học sinh có năng lực Toán học là nói đến học sinh có trí thôngminh trong việc học Toán Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắmđược chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinh nàyqua học sinh khác Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi : cácnăng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trongquá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng

Tuy nhiên, ở mỗi người có năng lực khác nhau về mức độ năng lực Toánhọc Về vấn đề này nhà Toán học Xôviết nổi tiếng, Viện sĩ A N Kôlmôgôrôvcho rằng: ‘Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để cho các em đótiếp thu, nắm được Toán học trong trường trung học với sự hướng dẫn tốt củathầy giáo hay với sách tốt”

1.3.3 Năng lực giải toán

1.3.3.1 Khái niệm

Theo tâm lý năng lực Toán học của V.A.Crutecxki: “ Những năng lựcToán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những hoạtđộng trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán, và trongnhững điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành côngtrong việc nắm vững một cách sáng tạo Toán học với tư cách là một môn học,đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹnăng , kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học”

Năng lực giải toán là một thành phần của năng lực Toán học, được hìnhthành, rèn luyện và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán Do đó,năng lực giải toán có thể hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao

yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng độc lập huy động tri thức, kỹ năng, kinhnghiệm trong hoạt động giải toán, hướng đến việc góp phần hình thành, bồidưỡng và phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.

1.3.3.2 Bản chất của năng lực giải toán

Năng lực giải toán gồm có các thành tố:

- Hiểu rõ giới hạn phạm vi của bài toán Đối với các bài toán là vấn đề thìxác định rõ vấn đề trong các tình huống cần phải giải quyết, luôn nhìn bài toán

ở nhiều góc độ và tìm tòi các hướng giải mới lạ

- Xác định các mối liên hệ giữa các thành phần chính trong bài toán, xử lý

sự liên kết, phối hợp các tình huống bằng cách thức gắn bó các vấn đề cần giảiquyết Đề ra chiến lược giải và hoàn tất việc giải quyết bài toán một cách thíchhợp đi đến kết quả của tiến trình giải toán Phân tích, nghiên cứu, đánh giá kếtquả của tiến trình giải toán

Các môn học ở trường trung học phổ thông đều huy động đến năng lựcgiải toán trong quá trình tiếp thu kiến thức mới Dạy học giải toán với tư cách

là một nghệ thuật, dù ở môn học này hay môn học khác đều phải đòi hỏi họcsinh và giáo viên có sự linh hoạt , mềm dẻo trong tư duy dựa trên cơ sở có sựhiểu biết xuyên suốt về bản chất của năng lực giải toán

1.3.3.3 Các thành phần của năng lực giải toán

Các thành phần năng lực giải toán gồm cả ba lĩnh vực: Lĩnh vực nhậnthức, lĩnh vực cảm xúc và lĩnh vực trí tuệ Ba lĩnh vực kết cấu này được cụ thểhóa thành các thành tố và các mối liên hệ giữa chúng, tạo nên một cấu trúc củanăng lực giải toán gồm:

chóng tiến trình giải một bài toán và các tri thức trong tiến trình giảitoán.

+ Có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, phân tích bài toán, có khảnăng xây dựng mô hình Toán học, xây dựng kế hoạch giải và tiến hànhchiến thuật giải một bài toán

+ Có năng lực khái quát hóa, phát hiện các vấn đè mới trong các vấn đềquen thuộc Từ đó đề xuất và sáng tạo các bài toán mới, thu nhập hợpthức hóa bài toán thành tri thức của người dạy toán

- Lĩnh vực trí tuệ:

+ Có năng lực nắm cấu trúc hình thành của bài toán, tri giác hệ thốnghóa kiến thức về giải toán, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn cóthiên hướng về thao tác với các số liệu về giải toán: Ký hiệu dấu, số, dữliệu điều kiện, giả thiết, kết luận…

+ Biểu lộ sự phát triển mạnh, linh hoạt của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo

Có tốc độ tư duy nhanh biểu hiện rõ nét của tư duy độc lập, mềm dẻo trong giảitoán

Tập hợp các thành phần của năng lực giải toán là một thể thống nhất.Các thành phần trên có liên quan chặt chẽ và ảnh hưởng lẫn nhau, tạo thànhmột hệ thống, một cấu trúc của năng lực giải toán; việc phân tách thành ba lĩnhvực cụ thể cũng chỉ nhằm để hiểu rõ sâu sắc hơn chứ không xem xét chúng mộtcách tách biệt nhau Trong các thành phần nêu trên thì năng lực phát hiện vàgiải quyết vấn đề là năng lực đặc thù, là một bộ phận quan trọng của năng lựcgiải toán Nắm được điểm then chốt này có tác dụng quyết định trong việc rènluyện năng lực giải toán cho học sinh trong quá trình lĩnh hội tri thức

1.3.3.4 Đặc trưng của năng lực giải Toán theo quan điểm vận dụng cặp phạm trù cái chung và cái riêng.

Đặc trưng của năng lực giải Toán là tập hợp tất cả những nét riêng biệt

và tiêu biểu được xem là dấu hiệu để phân biệt với các năng lực khác gồm:

-Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độclập, sáng tạo của học sinh; tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm trong tiếntrình giải toán để đi đến lời giải; để tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho

và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu

-Năng lực giải toán luôn thể hiện ở “trạng thái động” bởi tính linh hoạt,mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổi phương thức khác nhau để giải bàitoán

-Tiến trình giải một bài toán cụ thể có ba mức độ của năng lực giải toán:+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài toán đặt ra(đối với học sinh trung bình với biểu hiện chưa rõ nét của năng lực giải toán)

+ Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương phápgiải toán thích hợp; việc sử dụng có hiệu quả những tri thức và phương pháp đó

để hoàn tất tiến trình giải toán (đối với học sinh khá nắm được bản chất củanăng lực giải toán, vận dụng cụ thể, sáng tạo các thành phần năng lực của giảitoán)

+ Mức độ 3: Tập trung vào những điều kiện đã làm nảy sinh các vấn đềkhó khăn hay mâu thuẫn cần giải quyết trong bài toán và việc “phán xét”, cáchtiếp cận, giải quyết các vấn đề trong tiến trình giải toán, (điều này thể hiện nănglực giải toán ở học sinh khá giỏi)

Năng lực giải Toán theo quan điểm vận dụng cặp phạm trù cái chung vàcái riêng hình thành trên nền tảng tư duy sáng tạo Năng lực này mang đầy đủbản chất của năng lực giải Toán và được đặc trưng bởi khả năng mở rộng ra cácbài toán mới Cái mới được tạo trên cơ sở cách nhìn bài toán ban đầu như thếnào Đó là cách nhìn không rập khuôn, cứng nhắc, không bị gò bó bởi nhữngkinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng, suy nghĩ đã có từ trước Bên cạnh nhìn bàitoán dưới dạng chính quy, mẫu mực, còn biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độkhác nhau; thấy được chức năng mới của đối tượng, các quan hệ, tìm ra đượctrong mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng mà bên ngoài tưởng chừng nhưkhông có

Kết luận chương 1

Trong chương 1, Khóa luận đã trình bày khá cụ thể và làm rõ được vaitrò quan trọng của việc vận dụng cặp phạm trù cái chung và cái riêng trongdạy học Hình học nhằm bồi dưỡng năng lực giải Toán cho học sinh Trung họcphổ thông Trên cơ sở hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về cặp phạmtrù cái chung và cái riêng, về dạy học giải bài tập toán và về năng lực giảiToán Từ đó, khẳng định việc xây dựng các biện pháp sư phạm vận dụng cặpphạm trù cái chung và cái riêng trong dạy học Hình học nhằm bồi dưỡng nănglực giải Toán cho học sinh Trung học phổ thông là cần thiết và có thể thựchiện được

Chương 2 CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM VẬN DỤNG CẶP PHẠM TRÙ CÁI CHUNG VÀ CÁI RIÊNG TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ

THÔNG

Vận dụng quan điểm duy vật biện chứng, sử dụng cặp phạm trù cáichung và cái riêng trong dạy học Hình học, có thể giúp cho học sinh nhìn nhậnmột vấn đề ở những góc độ khác nhau Người làm toán cũng như người dạytoán có khả năng sáng tạo bài toán mới, thông qua các thao tác tư duy đặc biệthoá, khái quát hoá, tương tự hoá để tìm ra các mối liên hệ giữa các kiến thức Đồng thời cũng nhờ các thao tác tư duy nói trên để mở rộng bài toán, mở rộngmột lí thuyết, đề xuất giả thuyết và giải quyết các vấn đề đã đề xuất Đó là conđường phát triển của Toán học Đó cũng là con đường mà người thầy giáo cầnquan tâm chú trọng trong giảng dạy Toán

2.1 Các yêu cầu sư phạm của việc đề ra các biện pháp

2.1.1 Yêu cầu 1: Hệ thống các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng góp phần

bồi dưỡng năng lực giải toán trong nhà trường phổ thông

2.1.2 Yêu cầu 2: Khai thác chương trình và sách giáo khoa hiện hành để vận

dụng cặp phạm trù cái chung và cái riêng nhằm bồi dưỡng năng lực giải toáncho học sinh phổ thông,

2.1.3 Yêu cầu 3: Hệ thống các biện pháp phải khả thi, có thể thực hiện được

trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học

2.1.4 Yêu cầu 4: Các biện pháp không chỉ thực hiện được trong dạy học Hình

học mà còn sử dụng trong dạy học Toán nói chung

2.1.5 Yêu cầu 5: Trong quá trình thực hiện các biện pháp cần chú trọng đến

việc phát huy tối đa tính tích cực, tự giác của người học

2.2 Các biện pháp sư phạm vận dụng cặp phạm trù cái chung và cái riêng trong dạy học Hình học nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Trung học phổ thông

2.2.1 Biện pháp 1: Luyện tập cho học sinh biết phân loại khái niệm và các tính chất theo nhiều dấu hiệu khác nhau

Thông qua phân loại các khái niệm, tính chất có thể rèn luyện cho họcsinh nắm được mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng Một cái riêng có thểnằm trong nhiều cái chung khác nhau, từ đó có thể có nhiều hướng mở rộng bàitoán Mặt khác, nhiều cái riêng có thể nằm trong một cái chung Do đó, có thểxuất phát từ việc khảo sát các tính chất trong nhiều trường hợp riêng thông qua

đó học sinh khái quát thành mệnh đề tổng quát cho cái chung bao trùm nó

cách khác: AC.BD AB.CD AD.BC  

Trong hình thang cân ABCD đáy AB

Vậy, vấn đề là trong một tứ giác nội

tiếp thì có xảy ra đẳng thức trên không?

Trên AC lấy điểm E sao cho EDA BDC   

Từ giả thiết tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp, suy ra

AE.BD EC.DB AD.BC AB.DC

AC.BD AD.BC AB.DC

Đây chính là nội dung của định lí Ptôlêmê

Bài toán 1.2: Nhận thấy {hình vuông}{hình chữ nhật}{hình bình hành}{tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường}

Các tính chất của hình bình hành đều có ở hình thoi bời vì chúng ta biết rằnghình thoi là một hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau Ngoài các tính chất

đó thì hình thoi còn có những tính tính chất mà hình bình hành không có chẳnghạn tính chất “Hai đường chéo vuông góc với nhau”

Nếu như chúng ta nhìn hình thoi và hình bình hành một cách mâu thuẫnthì điều đó là đúng và không có vấn đề gì, nhưng ta xem xét vấn đề trong sự

“mâu thuẫn giữa cái chung và cái riêng” của phép biện chứng thì chúng ta sẽthấy ngay là có vấn đề Nhận xét trên chỉ đúng khi ta nhìn hình bình hành (cáichung) và hình thoi (cái riêng) một cách mâu thuẫn, còn nếu ta xem hai hình đóthống nhất với nhau thì sẽ nghĩ đến điều là nếu hình thoi có tính chất đó thìbình hành sẽ có tính chất tương tự nhưng tổng quát hơn và tính chất hai đườngchéo của hình bình hành vuông góc với nhau chỉ là trường hợp riêng của tínhchất đó Điều đó thúc đẩy chúng ta đi tìm xem tính chất tổng quát hơn đó là gì?

Để giải quyết vấn đề này chúng ta hãy xem đường chéo của hình thoi có gì đặcbiệt dẫn đến hình thoi có tính chất đặc biệt đó? Phải chăng vì hình thoi có cácđường chéo là các đường phân giác của các góc? Vậy nếu ta xét các đườngchéo của hình bình hành bất kỳ ta sẽ có điều gì?

Từ đó ta đưa ra được nhận xét sau: “Trong một hình bình hành giao điểmcủa 4 đường phân giác tạo thành 4 đỉnh của hình chữ nhật”

Muốn đạt được điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng ta phải xem xét

từ chính bản thân nó, nhìn nó dưới nhiều khía cạnh khác nhau, đặt nó vàonhững hoàn cảnh khác nhau, như thế mới giải quyết vấn đề một cách sángtạo được Mặt khác, tư duy biện chứng đã chỉ rõ là khi xem xét sự vật phải xemxét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vậttrong tất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ phongphú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác Đây là cơ sở để học sinh

J I

B'

A'

C B

A C'

có năng lực giải Toán một cách sáng tạo, không gò bó, đưa ra được nhiều cáchgiải khác nhau

Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện tư duy biện chứng cho họcsinh hay nói cách khác là rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh, từ đó cóthể rèn luyện được năng lực giải toán cho học sinh

Ví dụ 2: Xét bài toán sau đây: "Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác

đó ta dựng các tam giác đều ABC', ACB', BCA' Chứng minh rằng tam giác IJKtạo thành từ các điểm là tâm của các tam giác đều trên là một tam giác đều"

Trước hết ta chưa nêu ra lời giải bài toán ngay mà hãy đặt bài toán trong những mối liên hệ, xem xét nó trong sự vận động, nhìn bài toán dưới nhiều góc độkhác nhau để tìm phương án giải quyết tối ưu nhất, sáng tạo nhất

Đối với bài toán chứng minh một tam giác là một tam giác đều chúng ta phải hướng học sinh nhìn nhận tam giác đều dưới nhiều khía cạnh khác nhau đểtìm ra các lời giải cho bài toán:

+ Xem tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau;

+ Xem tam giác đều là tam giác có ba góc bằng nhau;

+ Tam giác đều là tam giác mà qua phép quay có tâm quay là một điểm bất kì thì sẽ biến thành một tam giác đều

* Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba cạnh bằng nhau chúng

ta sẽ có hướng chứng minh ba cạnh của tam giác bằng nhau:

Cách giải 1:

Chứng minh JI = JK = KI

Trong tam giác AIJ ta có:

IJ2 = AI2+AJ2 - 2.AI.AJ.cosIAJ

Gọi các cạnh của tam giác ABC lần

Ta tìm cách biến đổi để có biểu thức của KJ2 đối xứng đối với a, b, c Chú ý rằng bc.sinA SΔABCABC

Cách giải 2: Chứng minh ba góc I, J, K bằng nhau: